Partes: 1, 2

Volvamos a la ecuación de la iconal. Para el caso de de una propagación del rayo según el eje X o sea para ( valiiendo cero grados y ( noventa, con x como única componente de r, se tendrá que por la ecuación de la iconal:

expresión del camino óptico para un caso particular que nos permitirá didácticamente en lo que sigue aplicar el Principio de Fermat a la deducción de la ley de Snell y evidenciar la formulación de la óptica geométrica partiendo de la óptica ondulatoria.

El Principio de Fermat es una derivación del Principio de Maupertuis el cual es mas general .Este último puede expresarse así:

donde ð es el signo de variación, p=mv, momento y dl elemento de longitud de la trayectoria. Mediante (1) se determina la trayectoria del cuerpo cuyo momento es p en su movimiento desde A hasta B. El subíndice AB del signo integral indica integral definida entre A y B. De ahora en adelante y por razones de comodidad de escritura, cada vez que aparezca el signo integral se supondrá que ésta es definida entre A y B.

El Principio de Fermat, resulta de la adecuación del Principio de Maupertuis a la determinación de la marcha de la luz en Óptica Geométrica. Para ello se considera la naturaleza corpuscular o cuántica de la luz según la cual a los cuantos de luz o fotones se le asigna la llamada longitud de onda de De Broglie:

donde h es la constante de Planck.

A todo medio de propagación de la luz la corresponde un índice de refracción n=c/v (3) donde c velocidad de la luz en el vacío y v la velocidad de la luz en el medio que se trate. Se tiene además que v=?? (4) donde ? frecuencia de la luz.

Poniendo (4) en en (3):

que es el Principio de Fermat.

Existen diferentes procedimientos de iniciar el tratamiento de ls Óptica Geométrica tomando como punto de partida distintos preincipios que alternativamente pueden servir de basamento teórico.

Algunos de esos principios pueden utilizarse en cursos de la enseñanza media general o en estudios universitarios que no siendo de Física, de Optometría o de Ingeniería, requieran de algún conocimiento de Óptica, como pueden ser las especialidades de Biología, Química u otras similares.

Como ejemplo de esos presupuestos teóricos está el Teorema de Malus el cual en una variante elemental de nuestra autoría, puede utilizarse en los casos antes mencionados. El Teorema de Malus de la Óptica Geométrica (no confundirlo con la Ley de Malus de la Óptica Ondulatoria) expresa en síntesis que un haz de rayos perpendiculares a una superficie de onda permanecerá perpendicular a una superficie de onda despúés de experimentar cualquier número de refracciones o reflexiones.

Otro principio que puede servir de base teórica en el tema que nos ocupa, es el de Huygens. Este principio, por cierto el mas utilizado, considera que cada punto de un frente de onda puede considerarse como un foco emisor de ondículas la envolvente de las cuales conformará el siguiente frente. De un defecto evidente de este aserto volveremos a ocuparnos mas adelante. En (8) a ?n dl se le llama longitud óptica por lo cual el Principio de Fermat se puede enunciar así: "La longitud óptica entre un punto A y un punto B tiene un valor estacionario". Sabido es que en cálculo de variaciones estacionario significa máximo o mínimo, pero la práctica óptica sólo se tiene en cuenta el significado de mínimo.

Veamos la comprobación del Principio de Fermat en el caso sencillo de un rayo de luz que se refracta al pasar de un medio isótropo de índice de refracción n´ a otro de índice n´´.

Tomemos como plano de incidencia el del papel . Situemos en él los ejes coordenados XY tomando el eje X como la representación de la superficie de separación de los dos medios y al Y como la normal en el origen O(0,0) de coordenadas que será el punto de incidencia del rayo que estudiamos. Ese rayo sale del punto A(-x,a) en el segundo cuadrante, llega a O donde se refracta desviándose hacia la normal. y llega hasta el punto B(d-x,-b).Sea i el ángulo de incidencia (el de AO con la normal) y r el de refracción (el de OB con la normal). En el punto A, el segmento AO forma también el ángulo i con la vertical que pasa por A, y en el punto B, el segmento BO forma un ángulo r con la vertical que pasa por B.

Por el teorema de Pitágoras:

La longitud óptica la obtendremos dando los siguientes pasos:

poniendo en esta igualdad los valores obtenidos para AO y OB y diferenciado se obtiene:

Nos damos cuenta que en la igualdad anterior, el factor que multiplica a n´es igual a sen i y el que multiplica a n´´ es igual a sen r, por tanto, realizando estas sustituciones e integrando en ambos miembros en la igualdad anterior, se tiene:

con lo cual se comprueba el Principio de Fermat (8).

Desde el punto de vista didáctico, debemos apuntar que el Principio de Fermat puede utilizarse para que dándolo como conocido, o deduciéndolo como hicimos al principio de este trabajo, a partir de él deducir la ley de Snell. Este método será mas adecuado que el muy utilizado para deducir la ley de Snell mediante el Principio de Huyghens dado el inconveniente que éste presenta de no poder justificar el hecho de que el frente de onda sólo se propague en el sentido que avanza el rayo.

Conclusiones

Se ha visto la aplicación de la Óptica de Fourier a la formación de imágenes mediante lentes teniendo en cuenta la teoría de Abbe-Porter. Y hemos presentado una forma que aunque a un nivel no muy alto en el uso de las matemáticas, puede emplearse para introducir la "Optica Geométrica" en los cursos de Física General de los primeros años de las carreras de Física y de Ingenie.

Bibliografía

González, A., E. Moltó et alt. Óptica. Pueblo y Educación. La Habana. 1984.

Serway, R., J. Jewett.Physics for Scientists and Engineers.Thomson Brooks/Cole. Belmont. 2004.

Levi, L. Applied Óptics. New York, 1968.

Tippens,P. Física, Conceptos y Aplicaciones.McGraw-Hill.New York.2001.

 

 

Autor

Joaquín González Álvarez

Graduado de Física y Optometría por la Universidad de la Habana.,

Miembro de Mérito de la Sociedad Cubana de Física, residente en USA.