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El grupo cociente




Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Preliminares
  3. Subgrupo normal
  4. Grupo cociente
  5. Homomorfismos
  6. Referencias

Introducción

Cuando un novel estudiante de álgebra abstracta se enfrenta a expresiones como grupo cociente, espacio cociente, cree y con justificada razón, que se enfrentará a conjunto de cocientes, finalmente se resigna a saber que esto no es así, lo cual no significa que sean conceptos difíciles de asimilar. EL objetivo de esta monografía es definir y ejemplificar la idea de grupo factor, también llamado GRUPO COCIENTE debido a la notación empleada, el cual es un conjunto de conjuntos llamados clases laterales que posee una estructura algebraica, la de grupo, es decir, sobre dicho conjunto se ha definido una operación binaria que cumple ciertas condiciones; se enfatiza el hecho que no siempre el conjunto de clases laterales tendrá la estructura de grupo, pequeño inconveniente que fue salvado por Evaristo Galois al introducir la brillante idea de SUBGRUPO NORMAL.

Preliminares

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Una relación de equivalencia produce una partición del conjunto en subconjuntos o celdas como veremos más adelante.

Nota 01.- La relación también puede ser definida como

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DEFINICIÓN 01:

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De manera que el conjunto Monografias.comqueda particionado en celdas, las cuales son disjuntas, al conjunto Monografias.comtambién se le denomina clase de equivalencia. Donde Monografias.comes llamado representante de la clase.

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Teorema 01.-

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DEFINICIÓN 02:

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Análogamente se puede definir clase lateral derecha.

Se tiene que:

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Luego Monografias.comes decir las clases de equivalencia (congruencia derecha) son las clases laterales derechas.

A continuación veremos un ejemplo de cómo un conjunto es particionado en celdas a partir de una relación de equivalencia. Este ejemplo es importarte y sirve para ejemplificar muchos conceptos que son tratados en álgebra abstracta como el concepto que aquí nos ocupa, el de GRUPO COCIENTE.

Nota 02.- Hasta aquí ya es posible demostrar el importantísimo teorema de Lagrange.

Ejemplo: Congruencia módulo n en el conjunto de los enteros.

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Es fácil ver que el conjunto de los números enteros se partió o dividió en dos subconjuntos o clases: los enteros divisibles por dos y los enteros que no son divisibles por dos.

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Es fácil ver que el conjunto de los números enteros se divide en tres subconjuntos o clases:

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Subgrupo normal

DEFINICIÓN 03:

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Así se tiene que:

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El poder identificar los elementos de Monografias.comcon las aplicaciones definidas anteriormente se debe a la poderosa idea de isomorfismo, a través del cual dos conjuntos son indistinguibles desde el punto de vista algebraico.

La tabla obtenida al realizar todas las posibles "multiplicaciones" entre los elementos de Monografias.comse muestra más abajo.

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La tabla para el grupo será:

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De la tabla se puede deducir que:

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Teorema 02.-

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Hasta aquí hemos visto que un grupo puede ser dividido en celdas, ¿será posible operar con estas celdas?

DEFINICIÓN 04:

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Nota 05.-

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Ya tenemos los elementos necesarios construir nuestro grupo, pues hablar de grupo implica tener un conjunto (como el conjunto de clases laterales derechas o bien izquierdas), ¡ya lo tenemos! y una operación binaria ¡ya la definimos! , ¿Podemos formar un grupo? veamos:

Grupo cociente

Teorema 03.-

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Nótese que la definición de Monografias.comse hace para clases derechas, igualmente resulta si se hace para clases izquierdas.

Debe quedar claro que la idea de subgrupo normal es aquí primordial, puesto que para cualquier subgrupo Monografias.comde Monografias.comel conjunto de clases laterales derechas o izquierdas no siempre será un grupo con la operación inducida como podemos ver en el:

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