El grupo cociente (página 2)

Ejemplo:

Podemos resumir que: si un grupo es dividido en celdas,
o mediante las clases laterales generadas a partir de determinado
subgrupo o mediante una relación de equivalencia
congruente con determinado subgrupo, no obstante estas celdas se
operan empleando la operación heredada del grupo; entonces
este nuevo conjunto será un grupo siempre y cuando el
subgrupo empleado sea normal o invariante.

¿Quién es no es más que un reagrupamiento de los
elementos de de
modo que es posible pensar en una relación entre ambos
grupos…un homomorfismo (lo tratamos brevemente más
adelante y conlleva a una idea capital: la de
isomorfismo).

De ser finito se tiene que el número de
elementos de es
como es
fácil demostrar.

Ejemplo:

Ejemplo:

Homomorfismos

La relación existente entre el grupo inicial
y el grupo
resultante viene
dada matemáticamente a través de una
transformación llamada homomorfismo, idea que analizamos a
continuación:

Una definición formal será:

DEFINICIÓN 05:

Teorema 04.-

DEFINICIÓN 06:

Esto queda justificado en los siguientes
teoremas:

Finalmente, hemos visto que y están relacionados (teorema 04).
Además puesto que el núcleo (kernel) de cualquier
homomorfismo es un subgrupo normal (teorema 06) podemos construir
el grupo cociente donde representa el kernel.

Por supuesto, la relación viene dada por el
teorema siguiente, donde empleamos la idea de isomorfismo (un
homomorfismo que además es una biyección) que nos
indica que dos estructuras algebraicas (grupos) son
idénticas salvo por el nombre de sus elementos y la forma
de operar a sus elementos.

Teorema Fundamental del
homomorfismo.-

Del diagrama se obtiene la
factorización

Esperamos haber cumplido con nuestro objetivo, rogamos a
los estudiantes en quienes caiga esta monografía no dejar
de maravillarse con las matemáticas puras.

Referencias

• Herstein I. N. "Álgebra
  Abstracta"

Grupo Editorial Iberoamericana,
México 1988

• Fraleigh Jhon B. "Álgebra
  Abstracta"

Addison-Wesley Iberoamerica, México
1988

• Adilson Goncalves "Introducao à
  álgebra"

Impa, Brasil 1999.

Algunos enlaces en la Web:

http://www.monografias.com/trabajos57/grupo-sobre-conjunto/grupo-sobre-conjunto2.shtml

Autor:

Lic. Ellis R. Hidalgo M.

Piura, Nov. 2009