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Algebra logica - Introducción a las proposiciones (página 2)

Enviado por Francisco



Partes: 1, 2

La disyunción es otro símbolo matemático perteneciente a los conectivos lógicos cuya representación es una (V) normal. También este conectivo tendrá su significado propio en las oraciones. La disyunción reemplazara la Vocal O en las proposiciones y por ende se llega a la conclusión de que el valor de (v) = O y se leerá tal como la vocal

  • c) Implicación (?)

La implicación es uno de los conectivos mas importantes ya que tiene mas valor que la conjuncion y la disyunción su simbología matemática es una flecha (?) es un conectivo que tiene varios significados y por ende habrá que prestarle un poco mas de atención. Reemplazara las palabras Entonces, Luego, Por ende. Por tanto Etc.

En las proposiciones y por ende se llega a la conclusión de que el símbolo (?) tendrá varios significados y se leerá conforma a la palabra que reemplacé.

  • d) Doble Implicación (?)

La Doble Implicación es un conectivo mas fuerte que la implicación y por ende mas fuerte que la disyunción y conjuncion su símbolo matemático es (?). Tiene su significado correspondiente dentro de las oraciones reemplazara a la palabra Si y Solo Si en las proposiciones y se leerá tal como se lea dicha palabra.

  • e) Disyunción Exclusiva (V)

La disyunción exclusiva dentro de la jerarquía de los conectivos viene a ocupar el primer lugar. Su simbología matemática es una (v) Normal que a diferencia de la disyunción tiene una línea debajo de la (V) lo que por lo tanto permite diferenciarlas. Reemplazara en las oraciones a la palabra O p O q Pero no ambas lo que implica que se tendrá que elegir una sola opción y no las dos al mismo tiempo. Se leerá tal como se pronuncie la palabra correspondiente.

Valores de Verdad de Una Proposición

El valor de verdad de una proposición tiene por objetivo demostrar con que valor de verdad esta actuando una proposición. Este valor puede ser verdadero o falso dependiendo de la veracidad de dicha oración. Se simboliza de la siguiente manera tomando el siguiente significado.

? (P) = F o V "Significa el valor de verdad de la proposición P es igual a F o V"

PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN RESOLUCIONES CON PROPOSICIONES

  • a) PROBLEMA TIPO I (Dada una Oración Determinar si es Proposición)

- Determinar si las siguientes Oraciones son Proposiciones

1.- la Gravedad vale 9,81 mt/sg2

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

2.- 3+3=9

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

3.- Algebra es una materia de primer semestre

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

4.- el cielo es de color celeste

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

5.- newton fue un famoso químico

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

6.- La carrera de Ingeniería Petrolera pertenece a la facultad de Ciencias Económicas

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

7.- La materia de algebra I es una materia muy difícil

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

8.- las vocales son diez

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

9.- El tema de Derivadas pertenece a la materia de Ecuaciones Diferenciales

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

10.- En el curso existen más de 100 Alumnos

Solución

1er paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una declaración Declarativa

2do Paso.- Determinar si es Proposición

Es una Proposición por que es una declaración declarativa y por lo tanto se puede decir si es verdadera o falsa

11.- 3+3

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una expresión Matemática sin sentido

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una proposición por que carece de igualdad por lo tanto no se puede decir si es verdadera o falsa.

12.- Quiero ir a la Plaza

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una oración de deseo

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una proposición por que es una oración de Deseo y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

13.- Quiero Jugar Cartas

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de oración es

Es una oración de deseo

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una proposición por que es una oración de Deseo y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

14.- Tráeme dos asientos del otro curso por favor

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Orden

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de orden y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

15.- Ayúdame a terminar mi tarea

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Orden

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de orden y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

16.- ¡Viva Blooming!

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Admiración

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de Admiración y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa.

17.- ¡Viva Santa Cruz!

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Admiración

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de Admiración y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

18.- ¿Cómo es tu Nombre?

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Interrogación

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de Interrogación y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

19.- ¿Cuántos años tienes?

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Interrogación

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de Interrogación y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

20.- ¿Cuál es tu materia Favorita?

Solución

1er Paso.- Verificando que tipo de Oración es

Es una oración de Interrogación

2do Paso.- Determinar si es Proposición

No es una Proposición por que es una oración de Interrogación y por lo tanto no tiene sentido afirmar si es verdadera o falsa

  • b) PROBLEMA TIPO II (Dadas las proposiciones determinar su expresión simbólica)

- Para solucionar estos problemas se siguen los siguientes pasos

1.- Se lee el pensamiento para determinar cuantas oraciones tiene el mismo

2.- El numero de oraciones estará en función a los conectivos lógicos que se encuentren en el pensamiento es decir y-o-entonces-si y solo si- si P o Q pero no ambas. (Palabras claves)

3.- Una vez determinado el número de oraciones existentes en el pensamiento se procede a nombrar a cada una asignándole un valor a cada una generalmente una letra del alfabeto a partir de la letra P.

4.- Si hubiera oraciones negadas estas deben nombrarse en forma positiva y cuando se tengan que simbolizar se las coloca en forma negativa.

5.- Se procede a escribir el pensamiento en su correspondiente simbología matemática reemplazando las palabras claves por sus respectivos conectivos

NOTA: EN LOS EJERCICIOS A CONTINUACION EL COLOR ROJO MOSTRARA LOS CONECTIVOS QUE SE ENCUENTRAN EN CADA ORACION.

21.- No es cierto que no me gusta bailar

* Solución

* Asignando un valor a la Oración

p = Me gusta bailar

* Formalizando la Oración

~~p

22.- Me gusta bailar y leer libros de ciencia ficción

* Solución

* Asignando un valor para cada Oración

p = Me gusta bailar

q = Leer libros de ciencia ficción

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PROBLEMA TIPO III (Dadas las proposiciones y su simbología correspondiente determinar su correspondiente en lenguaje común)

1.- Se reemplaza los valores correspondientes asignados a cada proposición donde corresponda.

2.- Se procede a escribir su equivalencia en lenguaje comun

Sean p, q y r los siguientes enunciados:

p = Estudiare Matemáticas

q = Iré a mi clase de Computación

r = Estoy de buen humor

Escriba en lenguaje común las oraciones que correspondan a los siguientes enunciados

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* Solución

* Colocando el valor correspondiente a cada proposición

p = Estudiare Matemáticas

q = Iré a mi clase de Computación

* Encontrando su correspondiente en lenguaje común

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* Solución

* Colocando el valor correspondiente a cada proposición

p = Estudiare Matemáticas

q = Iré a mi clase de Computación

r = Estoy de buen humor

* Encontrando su correspondiente en lenguaje común

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Para los problemas tipo IV, V, VI se necesitara primero hacer una pequeña introducción a los valores de verdad de cada conectivo lógicos para que de esta manera se entienda mejor como se solucionan estos problemas

TABLA DE VALORES DE LOS CONECTIVOS LOGICOS

1.- CONJUNCION (^)

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La conjuncion es verdadera solamente cuando el antecedente p y el consecuente q son también verdaderos como se muestra en su tabla marcado con el color rojo

2.- DISYUNCION (V)

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La disyunción es falsa solamente cuando el antecedente p y el consecuente q son también falsos como se muestra en su tabla marcado con el color rojo

3.- IMPLICACION (?)

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La implicación es falsa solamente cuando el antecedente p es verdadero y el consecuente q es falso como se muestra en su tabla con el color rojo

4.- BICONDICIONAL O DOBLE IMPLICACION (?)

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La doble implicación tiene dos casos especiales será verdadera cuando el antecedente p y el consecuente q tomen ambos valores idénticos como se muestra en su tabla marcado con el color rojo

5.- DISYUNCION EXCLUSIVA (V)

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La disyunción exclusiva resulta ser la negación de la doble implicación ya que será falsa cuando el antecedente p y el consecuente q tomen ambos a la vez valores idénticos como se demuestra con rojo en su tabla de verdad.

FORMULARIO PARA FACIL RESOLUCION DE LOS PROBLEMAS

Para evitar de aprenderse todas las combinaciones mostradas en cada una de las tablas de verdad de los conectivos lógicos se realizara este formulario que permitirá una fácil solución de los problemas

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Por lo tanto el alumno solo debe aprenderse estas siete combinaciones para poder dominar y resolver los problemas que se mostraran a continuación

PROBLEMA TIPO IV (VALORES DE VERDAD CON CONDICIONES)

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* Solución

* Encontrando el valor de las proposiciones cualesquiera

Como las variables q y s son proposiciones cualesquiera esto significa entonces de que nosotros podemos elegir en forma voluntaria el valor que tomara q y s

Por lo tanto elegimos de qué q sea V y s sea F:

q = V

s = F

* Análisis de la condición

El problema tiene una condición la cual es ~ (p ? ~ r) es verdadera significa entonces de que las variables p y r no pueden ser elegidas por nosotros sus valores saldrán de resolver la condición expuesta en el ejercicio

Como se resuelve la condición?

Reemplazando un valor a la variable p y a la variable r de tal manera que cuando se hagan operaciones esta de cómo resultado verdadero aquí entra la aplicación del formulario expuesto anteriormente.

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Por lo tanto para que la conclusión se cumpla Las variables p y r deben tomar los siguientes valores

p = F

r = V

* Reemplazando para encontrar el valor de verdad correspondiente

Como ya hemos encontrado todos los valores correspondientes a las proposiciones procedemos a reemplazarlas en la proposición para encontrar su valor de verdad

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* Solución

Como el problema tiene la misma condición del problema anterior entonces ya conocemos cuanto valen los valores de verdad de cada proposición

p = F

q = V

r = V

s = F

* Reemplazando para encontrar el valor de verdad

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Introducción a las tablas de verdad

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Es una CONTINGENCIA

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Es una CONTINGENCIA

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Es una TAUTOLOGIA

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Es una CONTRADICCION

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Es una ANTITAUTOLOGIA

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* Es una TAUTOLOGIA

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Es una CONTINGENCIA

La fórmula que rige las tablas de verdad está en función a la cantidad de letras o variables que tenga la proposición esta fórmula está representada por la siguiente expresión matemática:

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Donde n es la cantidad de variables o letras que posea la formula proposicional, cabe recordar que el número de proposiciones puede ser ilimitado, lo que significa que las tablas de verdad pueden determinar el valor de verdad de cualquier razonamiento lógico sin importar el número de variables que tenga dicho razonamiento, es también importante mencionar que el razonamiento estudiado mediante una tabla de verdad no debe ser cualquiera si no uno que tenga y cumpla con las leyes de la lógica, es decir un pensamiento que tenga claridad y que indique algo aproximado a la realidad.

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Es una CONTINGENCIA

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Es una CONTINGENCIA

Las letras A, B, C etc. que se ven en la parte superior de algunos ejercicios son conocidas como "Auxiliares o pivotes" ya que permiten resumir la realización de un ejercicio es decir pueden representar a una formula extensa que exista en la proposición se colocan encima de la formula a la cual están representando así se sabrá que formula fue designada por una de estas letras en la proposición evitando una solución larga.

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Es una CONTINGENCIA

SIMPLIFICAR LAS PROPOSICIONES SIGUIENTES:

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109.- Demostrar la validez de los siguientes razonamientos

Si la ballena es un mamífero entonces toma oxigeno del aire. Si toma oxigeno del aire entonces no necesita branquias. La ballena es un mamífero y habita en el océano. Por tanto, habita en el océano y no necesita branquias.

* Solución

* Asignándole un valor a cada proposición

p = Si la ballena es un mamífero

q = Toma oxigeno del aire

r = Necesita branquias

s = Habita en el océano

* Transformando a su expresión Lógica

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110.- Demostrar la validez de los siguientes razonamientos

Si la enmienda no fue aprobada entonces la constitución queda como estaba. Si la constitución queda como estaba, entonces no podemos añadir nuevos miembros al comité. Podemos añadir nuevos miembros al comité o el informe se retrasara un mes. Pero el informe no se retrasara un mes. Por tanto la enmienda fue aproada.

* Solución

* Asignándole un valor ara cada Proposición

p = Si la enmienda fue aprobada

q = La constitución queda como estaba

r = Podemos añadir nuevos miembros al comité

s = El informe se retrasara un mes

* Transformando a su expresión lógica

Demostrar: p (Método Directo)

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111.- Demostrar la validez de los siguientes razonamientos

Si el reloj esta adelantado entonces Juan llego antes de las diez y vio partir el coche de Andrés. Si Andrés dice la verdad, entonces Juan no vio partir el coche de Andrés. Andrés dice la verdad o estaba en el edificio en el momento del crimen. El reloj esta adelantado. Por tanto, Andrés estaba en el edificio en el momento del crimen.

* Solución

* Asignándole un valor a cada Proposición

p = Si el reloj esta adelantado

q = Juan llego antes de las diez

r = Vio partir el coche de Andrés

s= Andrés dice la verdad

t= Estaba en el edificio en el momento del crimen

* Transformando a su expresión lógica

Demostrar: t (Método Directo)

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112.- Demostrar la validez de los siguientes razonamientos

Si Marcos consigue trabajo entonces comprara un automóvil. Si Marcos compra un automóvil entonces no conducirá con cuidado. Si Marcos no conduce con cuidado entonces tendrá un accidente.

Por tanto: Si Marcos consigue trabajo entonces tendrá un accidente

* Solución

* Asignándole un valor a cada Proposición

p = Marcos consigue trabajo

q = Comprara un automóvil

r = Conducirá con cuidado

s = Tendrá un accidente

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114.- Demostrar: ~ p Método Indirecto

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Autor:

Francisco

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