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Aprender Jugando: El caso de la Geometría y el doblado de papel (página 2)

Enviado por Manuel Hidalgo Tupia



Partes: 1, 2

Proponemos la estrategia de "aprender jugando" , que se remonta a Sócrates y Platón, aplicado concretamente para el caso de la geometría el doblado y recorte de papel (papiroflexia) resaltando la acción circular como la morfología de la acción típica en el dominio visible, como lo establece el concepto de la Geometría Constructiva[6]de lo cual abundaremos mas adelante.

Agregaremos antes otras consideraciones del campo psicológico. Aporte indiscutido de la psicología es la división de los estadíos inconsciente, conciente y preconsciente de los actos mentales humanos. Podemos decir que existe un cierto isoformismo entre estos estadios y los estados sensible, formal y estético (lúdico) definidos por Schiller. Por ejemplo, los elementos comunes entre el estadío consciente y el estado o impulso formal son muy amplios; y en el estadío inconsciente se hallan los determinantes del impulso sensible, aunque es posible concebir partes del impulso sensible que no lo sean. Pero la relación entre el impulso estético (lúdico) y el estadío preconsciente es el que dá mas fruto. El destacado psicólogo Lawrence Kubie, en su obra "El proceso creativo y su distorsión neurótica"[7], sostiene que la creatividad descansa en el estadío preconsciente, y recibe luego su forma comunicable en el estadío consciente. El estadío preconsciente es el encargado de unir las distintas impresiones o datos, diríamos, en forma multiconexa y muy veloz, para encontrar nuevas relaciones, o isomorfismos, regularidades, y de allí nuevos conceptos que empujen el proceso científico, tecnológico y cultural. Se requiere en un primer momento adquirir un acervo de impresiones muy grande, y en segundo lugar, un momento (estadío preconsciente) en que seleccionemos y relacionemos de la multitud informe de impresiones las pertinentes y hagamos las relaciones, isoformismos o metáforas adecuadas. Kubie identifica que este segundo momento se dá típicamente en las ocasiones de vigilia, entrando o saliendo del sueño, también se concibe otras ocasiones diferentes en que estas características pueden darse.

Estos dos momentos, sostengo, los podemos generar en el Taller o Sesión de Aprendizaje, específicamente, en el caso del aprendizaje de la Geometría en la Educación Básica – Primaria, sobre "Aprender Geometría doblando papel". Brindaremos el conocimiento de muchos procesos y objetos geométricos resultantes – por construcción – y también las conexiones entre objetos y procesos diferentes, como esperamos demostrar con los modelos que daremos a conocer.

Diremos también, que entre otros muchos pedagogos se ha discutido la utilidad de la papiroflexia concretamente para la enseñanza de las matemáticas. Según Blanco y Otero, esta "proporciona al profesor de matemáticas una herramienta pedagógica que les permite desarrollar diferentes contenidos, o sólo conceptuales, sinó de procedimientos. También desarrolla la psicomotricidad ... fina, así como la percepción espacial." "Desarrolla la destreza manual", añaden, "la exactitud en la realización del trabajo y la precisión manual. Relaciona la disciplina de las matemáticas con otras ciencias como las artes; por ejemplo". También "motiva al estudiante a ser creativo, ya que puede desarrollar sus propios modelos e investigar la conexión que tiene con la geometría, no solo plana, sino también espacial". Hernández Acosta añade que la papiroflexia "estimula la imaginación y la creatividad" y el "desarrollo de la destreza, la exactitud y la precisión manual", "fomenta la capacidad de crear modelos propios". E "impulsa la creación imaginativa, no tanto en la búsqueda de la perfección sino en favor de la riqueza expresiva y la variedad de formas".

Sesiones de Aprendizaje con Geometría Constructiva. Descripción

Las "Sesiones" o Módulos, en un total de 33, están reseñados en el libro de mi autoría, "Aprender Geometría doblando papel: Módulos de aprendizaje con Geometría Constructiva". Las sesiones han sido agrupadas en secciones que tratan de "Construcciones básicas: polígonos", "Poliedros Básicos", "La proporción áurea", "Simetría", "Paralelogramos – relaciones geométricas", "Sólidos platónicos – cono – cilindro". El principio establecido en nuestras sesiones es no hacer uso de definiciones, formulaciones algebraicas; se usan cantidades numéricas en lo estrictamente necesario sólo para que el docente disponga los materiales adecuándolos al uso de los alumnos. Se trata de construir las formas geométricas con el doblado -- y recorte – de papel, partiendo de una hoja de papel cortada en forma circular, o también, cuadrada (que sale a su vez de la forma circular). El maestro da las indicaciones a los alumnos, pudiendo escoger no decirles "vamos a construir tal figura...", sino "si hacemos de esta manera, ¿qué figura nos saldrá?", para que el alumno vaya descubriendo mas espontáneamente el resultado del proceso de construcción que está ejecutando. A la medida del avance, el alumno va descubriendo las relaciones – por ejemplo, como un cuadrado está relacionado con un octógono; como un triángulo equilátero con su circunferencia inscrita --. Si se desea, se puede ir introduciendo los nombres de los nuevos objetos o nuevas relaciones que se van descubriendo. Aún en el caso que no se den los nombres, el efecto seguirá siendo el mismo. La idea es que el alumno sea puesto en contacto mediante su propia actividad de construcción, con el despliegue de su imaginación, con las formas presentes en la naturaleza, mediante una actividad libre pero reflejante de las leyes naturales[8]

Este aprestamiento le permitirá conocer procesos y conceptos que después hallarán en la química, la biología, la arquitectura, el arte, el diseño industrial y de ingeniería, etc. Es decir, se les dará las primeras impresiones y relaciones de los conocimientos que posteriormente – en la educación básica secundaria y educación superior – verán y someterán a definiciones y tratamiento formal.

A su vez, estas sesiones se convierten en ejercicios artísticos (estéticos), porque las armonías y regularidades permiten poner en juego la sensibilidad estéticas, y más si hacemos uso profuso de los colores y de la imaginación, para convertir las formas geométricas en "casitas", "barcos", "pelotas", "planetas", "platos", etc.

Objetivos de las Sesiones

Las Sesiones buscan un aprestamiento que permita al niño, guiado por su maestro, conocer, mediante su actividad lúdica y estética, procesos y conceptos geométricos que después hallarán en las diversas disciplinas científicas y tecnológicas, como la química, la botánica, la biología, la astronomía, la arquitectura, el arte, el diseño industrial y de ingeniería, etc.

El alumno reconocerá el resultado de su acción de construcción, las formas geométricas, como los polígonos y los poliedros, hasta reconocer e identificar sus propiedades, elementos y relaciones, como resultado de la propia acción de construcción.

Ejemplos de Sesiones de Aprendizaje

"Construyendo y Conociendo un triángulo regular mediante el doblado de papel"

Actividades

Metodología –Plan de Trabajo

Observaciones

1.- Construcción de un triángulo inscrito

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores, lápiz, goma

1Monografias.com2Monografias.com3Monografias.com

4Monografias.com5Monografias.com6Monografias.com

1.- Cortar un círculo de papel (recomendamos unos 9 cm. de diámetro) (1).

2.- Pliéguenlo y marquen lo en forma "simétrica", refleja, perfecta.

3.- Ahora, hagan un segundo doblez "simétrico" con lo obtenido (2).

4.- Con los cuatro puntos (V, W, X e Y) y el centro marcados, sobrepongamos V con O. Obtenemos Ay B.

5.- Usando A sobrepongamos O con el arco de circunferencia y obtengamos C.

6.- Unamos con un doblez A y C. Tenemos el triángulo ABC:

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo hace dos triángulos, siguiendo las indicaciones.

3.- Comparan las figuras resultantes

4.-. Uno de los triángulos será coloreado, y el otro, recortado

5.- Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas ) en un papel.

Se pretende que el alumno construya y conozca el triángulo regular a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

2.- Identificar las partes del triángulo.

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores, lápiz, goma.

Monografias.com

1.- Hacemos un triángulo según la actividad 1.

2.- Identificamos y marcamos los lados del triángulo y el centro de la circunferencia.

3.- Comprobamos si los lados son iguales. ¿Lo son?

4.- Comprobamos si los ángulos son iguales. ¿Lo son?

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo hace dos triángulos, siguiendo las indicaciones.

3.- Identificamos las partes y comprobamos las igualdades.

4 Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas ) en un papel.

Se pretende que el alumno identifique al triángulo y sus partes a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

"Construyendo y Conociendo un exágono y un octágono regular mediante el doblado de papel"

Actividades

Metodología –Plan de Trabajo

Observaciones

1.- Construcción de un exágono regular

Un exágono regular es un polígono de 6 lados iguales.

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores o plumón, lápiz, tijera goma

Fig. 1Monografias.comFig. 2 Monografias.comFig.3 Monografias.com

Fig. 4 Monografias.comFig. 5Monografias.com

1.- Cortar un círculo de papel (recomendamos unos 9 cm. de diámetro) (1).

2.- Pliéguenlo y marquen lo en forma "simétrica", refleja, perfecta.

3.- Ahora, hagan un segundo doblez "simétrico" con lo obtenido (2), tal y como lo hicimos con el cuadrado.

4.- Con los cuatro puntos (A, W, D e Y) y el centro marcados, sobrepongamos A con O. Obtenemos B y F. (3)

5.- Luego, usando D, lo sobreponemos a O, y marcamos el doblez, con los extremos C y E (4) .

6.- Tenemos los puntos A , B, C, D, E y F, que son los vértices. Si unimos los puntos por doblez (no sobreponer) obtenemos el exágono regular. También podemos unir con un lapicero o plumón, o si lo deseas, recortarlo.

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo hace dos exágonos, siguiendo las indicaciones.

3.- Comparan las figuras resultantes

4.-. Uno de los exágonos será coloreado, y el otro, recortado

5.- Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas ) en un papel.

Se pretende que el alumno construya y conozca el exágono regular a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

Actividades

Metodología –Plan de Trabajo

Observaciones

2.- Dibuja las diagonales de un exágono.

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores o plumón, lápiz, tijera goma

1Monografias.com2 Monografias.com3 Monografias.com

1.- Hacemos un exágono, según la actividad 1.(1)

2.- Partiendo del vértice A, trazamos las diagonales consecutivas AE, EC y AC (2)

3.- Partiendo ahora del vértice D, trazamos las diagonales consecutivas DF, FB y BD (exceptuando la consabida AD). (3). Lo podemos hacer con dobleces, con regla y plumón, color o lapicero, o recortándolo con tijeras

4.- Hemos obtenido un exágono estrellado formado por las diagonales (una Estrella de David). Nótese que cada serie forma un triángulo, opuesto (girado) al otro.

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo hace dos exágonos y traza las diagonales, siguiendo las indicaciones.

3.- Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas ) en un papel. Podemos pintar de un color las puntas de la estrella y el exágono pequeño del centro de otro color.

Se pretende que el alumno identifique las diagonales del exágono y sus propiedades a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

Actividades

Metodología –Plan de Trabajo

Observaciones

3.- Construye un Octógono por dobleces .

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores o plumón, lápiz, tijera goma.

1Monografias.com2 Monografias.com3 Monografias.com4Monografias.com5 Monografias.com6.- Monografias.com

7.- Monografias.com8.- Monografias.com

1.- Partimos de nuestro cuadrado, ABCD, según la Sesión 1. (Figura 1). Ahora, sobreponemos A con D, y B con C (Figura 2).

2.- Sin desdoblar, hacemos coincidir simétricamente el punto donde concurren D y A, y el punto B con C.(figura 3). Al desdoblar observamos la figura 4. Allí se observan también los puntos nuevos EFGH.

3.- Basta unir consecutivamente los puntos en la circunferencia (A- E- B- F-C-G- D- H) para determinar nuestro octágono (Figura 5). Podemos unirlos con una doblez (sin sobreponerlos) o con lápiz y regla. También podemos colorearlo y remarcar sus diagonales (Figura 6).

4.- Si unimos con regla y lápiz los 2 cuadrados formados, ABCD y EFGH, (Figura 7) y coloreamos el área, obtenemos un octágono estrellado (Fig 8).

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo hace 3 octágonos y traza las diagonales, siguiendo las indicaciones.

3.- Pegan sus resultados (las piezas de papel con las dobleces marcadas) en un papel. Podemos pintar con plumón el octágono, y también el octágono estrellado.

Se pretende que el alumno identifique las diagonales del octágono y sus propiedades a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

"Construyendo un tetraedro regular"

Actividades

Metodología –Plan de Trabajo

Observaciones

1.- Construyendo un tetraedro regular

Recursos: Papel lustre cortado en círculos; regla, colores, lápiz, goma, cinta adhesiva

F. 1 Monografias.comF. 2 Monografias.comF. 3 Monografias.com

F. 4 Monografias.com

1. Partiendo del triángulo, construido a su vez con dobleces, unamos ahora, cada uno de los 3 vértices, por ejemplo, empezando con A, con el punto medio del lado opuesto. Formamos un nuevo triángulo, más pequeño, como vemos en la Figura 3

2. Ahora, tratemos de unir estos 4 triángulos por sus lados de la forma mas exacta, y lo mas herméticamente que sea posible (con los menores vacíos entre ellos). De hecho, varios lados están ya unidos entre sí en forma exacta y hermética (los del triángulo pequeño del centro), pero faltan los lados "externos".

3.- La única forma de unir los 4 triángulos por los lados es saltando del plano ....Unamos, por ejemplo, el vértice A con el B ...¡Esto no se puede hacer en el plano!. Salta del plano en que está el triángulo base Ahora, unamos también el vértice C. La única forma de hacerlo es esta ....(Figura 4).

4.- ¿Que hemos obtenido?. ¡Un tetraedro!. Un sólido, POLIEDRO REGULAR (cuyas caras son también polígonos regulares), formado de 4 caras triangulares.

1.- Formamos grupos de 3 miembros.

2.- Cada alumno del grupo trabaja sus círculos siguiendo las indicaciones.

3.- Comparan las figuras resultantes.

4.- Pegamos con cinta adhesiva los bordes de nuestro tetraedro.

5.- Como tarea de aplicación, cada alumno trae un ejemplo (recorte, ejemplar físico, fotocopia) de cómo se halla el tetraedro en la Naturaleza o en la obra humana,

COMENTARIO:

El tetraedro forma la estructura más sólida que se pueda construir, es el mas estable de los poliedros o sólidos regulares, y lo vamos a ver innumerables veces en la Naturaleza, en la Arquitectura, etc. Además, el Tetraedro se inscribe perfectamente en la Esfera

Se pretende que el alumno construya un tetraedro e identifique sus partes a través de una orientación dirigida y comparta sus experiencias con sus compañeros.

Otras experiencias y ejemplos

Del gran acervo de experiencias de aplicación de la geometría constructiva y de la papiroflexia, que atestiguan cientos de sitios web alrededor del mundo, y que están al alcance de los lectores en cualquier buscador digitando "papiroflexia+matemáticas", tomaremos algunas.

1.- La de mas impacto para el autor fueron las decenas o cientos de exposiciones, talleres, clases sobre la geometría constructiva, entre otros temas, llevados a cabo internacionalmente por el Instituto Schiller[9]. Una parte de estas actividades se dieron con niños del nivel primario, especialmente en los EE.UU., de lo cual quedaron testimonios escritos y gráficos publicados en revistas como Fidelio, XXIst. Century Science & Technology , New Federalist, El Federalista, etc. En el Perú, la actividad mas significativa fue el Taller de Invierno 2005 llevado a cabo con niños de entre 6 y 12 años por el Instituto Schiller – Capítulo Peruano y la Comisaría de la Policía Nacional de Miraflores, céntrico distrito de Lima, capital del país. El Taller incluyó bel canto, flauta dulce y geometría constructiva; llevándose a cabo en sesiones consecutivas los días sábado entre los meses de julio y diciembre de 2004. Un reporte sobre el mismo fue publicado en la revista Resumen Ejecutivo[10]La parte de la geometría constructiva, llevada a cabo según un guión del autor, similar a las "Sesiones", se dedicaron en especial a la construcción de los sólidos platónicos. Era notable que, al dársele la consigna y organizándolos en grupos, el trabajo cooperativo era muy animado. Las clases, que iban después de las de bel canto y flauta, se extendían por dos horas, cuando sólo se había programado una sólo. "¿Podemos hacer un sólido regular con 8 triángulos?", se les preguntaba a los niños, que competían para hacerlo con triángulos de cartulina dúplex con pestañas que se unían mediante ligas de goma. El orgullo de los niños mostrando sus octaedros era conmovedor, los niños experimentaron y expresaron notablemente la alegría del descubrimiento.

El año 2002, el autor, junto con el ingeniero Alembert Pacora, en una visita a la Provincia de Sullana, Departamento de Piura, Perú, sustentaron una conferencia en el Salón de Actos de la Municipalidad Provincial ante un público mixto de estudiantes y adultos, mayormente, maestros. Allí, decenas de jóvenes construyeron, sólo doblando un círculo de papel, un triángulo equilátero y un tetraedro (con la consigna que figura en los ejemplos del presente trabajo), revisando los conceptos de línea, ángulo, y otros que fueron apareciendo. "Hemos pasado en un momento de la geometría que se enseña en primaria a la de la secundaria", comentó uno de los profesores asistentes.

2.- El antecedente mas importante es el del hindú Sundara Row, y su libro "Construcciones geométricas en doblado de papel", en idioma ingles sin traducción castellana. Row llega a la conclusión que prácticamente todos los contenidos de la Elementos de Euclides pueden construirse mediante doblado de papel. Sin embargo, Row se limita a usar papel cuadrado, perdiéndose de la vuelta al origen de la "Esférica" que se refleja si usamos papel cortado el círculo.

3.- Otro enfoque interesante es el de Víctor Larios y Noraisa González (ver bibliografía), de la Universidad Autónoma de Querétaro, en su paper "El doblado de papel: una experiencia en la enseñanza de la geometría", con ejemplos de aplicación a paralelogramos, aplicando los conceptos de los profesores holandeses esposos Van Hiele. Ambos tienen una página web muy interesante llamada Doblando la Geometría (www.uaq.mx/matematicas) Larios también publicó en internet propuestas muy interesantes de talleres de construcción de polígonos con doblado de papel. Sin embargo, Larios y González se limitan a la "enseñanza de la geometría euclidiana", lo que implica un enfoque que excluye el concepto escogido por mi y muchos otros y muy reconocidos antes que yo de una geometría constructiva no axiomática.

4.- Notable es el libro de Donovan A. Jonson, "Matemáticas mas fáciles doblando papel", que fue promovida por le Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas de los Estados Unidos. De este libro, podríamos comentar lo mismo que del trabajo anterior. En su edición en español, también se acompaña por el libro de Magnus Wenninger, "Matemáticas más fáciles construyendo poliedros", que es de mucha utilidad y muy recomendable.

5.- Hay cientos o miles de experiencia recogidas en internet sobre "papiroflexia modular", y temas como modelos moleculares, modelos de arquitectura con papiroflexia – por ejemplo, cúpulas geodésicas con papiroflexia realizadas en España en un colegio de secundaria, o modelos del ADN doblando papel. En Japón, la unión entre papiroflexia (origami) y matemáticas está muy trabajada, existiendo comisiones para el tema dentro de las sociedades de origami. Estas experiencias, dijimos, están al alcance de los lectores en cualquier buscador digitando "papiroflexia+matemáticas".

Conclusiones y recomendaciones

  • La estrategia del "Taller de Geometría Constructiva para aprender Geometría doblando papel", como aplicación del concepto de "aprender jugando", es muy apropiada para el aprestamiento a la geometría de los niños de educación básica regular –primaria, a la luz del marco teórico presentado y de las experiencias exitosas reseñadas.

  • Recomendamos a los profesores de primaria el tratamiento de los contenidos de geometría del currículo bajo los conceptos presentados y usando los moldes propuestas

  • Recomendamos a los profesores de primaria adaptar las 33 sesiones del libro "Aprender Geometría doblando papel. Módulos de Aprendizaje con Geometría Constructiva", para su aplicación con su grupo clase.

Monografias.com

  • Recomendamos a las instituciones educativas de primaria la organización de Talleres de Geometría Constructiva usando los modelos propuestos y/o los contenidos en el libro Aprender Geometría doblando papel, y/o de la bibliografía arriba mencionada, ó creando nuevas sesiones con similar enfoque.

  • Recomendamos a los profesores que hallan aplicado estas indicaciones comuniquen sus resultados para su mejora permanente y para alentar a los demás profesores a hacer lo mismo.

Bibliografía

  • Schiller, Federico. La Educación Estética del Hombre en una serie de Cartas, Madrid 1920, Editorial Calpe

  • Platón, "La República". En: "Diálogos"; Ed, Porrúa, Ciudad de México, Vigésima edición; 1984

  • Platón: "Las Leyes. Epinomis. El Político". Cuarta Edición. Editorial Porrúa S.A. Ciudad de México, 1985.

  • Kubie, Lawrence, "El proceso creativo, su distorsión neurótica". Editorial Pax, Ciudad de México, 1966.

  • Hidalgo, Manuel, "Aprender Geometría doblando papel: Módulos de aprendizaje con Geometría Constructiva". Editorial AMEC, Lima, 2006.

  • Hidalgo, Manuel, Sesiones de Aprendizaje con Geometría Constructiva, sitio web ubicado en: http://es.geocities.com/mhidalgot7

  • González, Noraísa y Víctor Larios, "El doblado de papel: una experiencia en la enseñanza de la geometría". En: Revista Electrónica de Didáctica de las Matemáticas. Año 1, num. 2. Enero 2001. Universidad Autónoma de Querétaro. Consultado en: consultado el 10/Oct/2005.

  • Jonson, Donovan A., "Matemáticas mas fáciles doblando papel", Barcelona, 1975, Editorial Dinstein.

  • Wenninger, Magnus, "Matemáticas más fáciles construyendo poliedros", En: Jonson, Donovan A., "Matemáticas mas fáciles doblando papel", Barcelona, 1975, Editorial Dinstein

  • Row, Sundara, "Geometrical exercises in paper folding", The Open Court Publishing Company, Chicago, 1917

  • Delgado, Mª Laura, y Soledad Zapatero y Fiol, Mª Lluisa, "El origami (papiroflexia) recurso didáctico para el aprendizaje de la Geometría". Consultado el 20/Marzo/2006 en : www.uv.es/Angel.Gutierrez/aprengeom/archivos2/DelgadoZapFiol03.pdf.

  • Blanco García, Covadonga y Teresa Otero Suárez. Geometría con papel (papiroflexia matemática).... . En : webpages.ull.es/users/imarrero/sctm05/modulo3tf/1/cblanco.pdf. Consultado el 27 de octubre de 2006.-

Hernandez Acosta, Ramón. Matemáticas y Papiroflexia En: http://www.correodelmaestro.com/anteriores/2006/junio/nosotros121.htm. Consultado el 27 de octubre de 2006.-

 

 

Autor:

Manuel Hidalgo Tupia

mhidalgot[arroba]hotmail.com

Manuel Hidalgo Tupia, nació en Lima, Perú, 1962. Egresado de la maestría en Educación en la Universidad Cesar Vallejo Lima Norte. Economista y además con estudios de Ingeniería Industrial. Colaboró con distintos programas de educación "informal" organizados por el Instituto Schiller - Capítulo Peruano. Investigador, redactor y traductor en la revista EIR Resumen Ejecutivo. Ha sido profesor en su especialidad en la Universidad Nacional Federico Villarreal y otras instituciones educativas.

Autor del libro "Aprender Geometría doblando papel"; actualmente se desempeña como asesor metodológico y docente en diferentes instituciones de educación superior en Lima – Perú.

[1] Schiller, Federico. La Educación Estética del Hombre en una serie de Cartas, Madrid 1920, Editorial Calpe. Hay ediciones posteriores en Editorial Aguilar, p. 83.

[2] Platón, “Las Leyes o de la Legislación”, Libro VII, pp. 157 – 158. En: Platón: “Las Leyes. Epinomis. El Político”. Cuarta Edición. Editorial Porrúa S.A.. México, 1985.

[3] Platón, “La República”, Libro VII. En: “Diálogos”; Ed, Porrúa, México, Vigésima edición; 1984, p. 566

[4] “... el ideal de la belleza , que la razón construye, exige un impulso iedal de juego, que, en todos sus juegos, debe el hombre tener muy presente”, dice Schiller, Op. Cit., p.82

[5] Op. Cit., pag. 80

[6] Geometría“constructiva” o “sintética”..... “....significa un sistema de representación inteligible tanto del dominio geométrico abstracto como del dominio físico, exclusivamente mediante la construcción basada completa y originalmente en un principio único de acción universal, por ejemplo, el principio “isoperimétrico” o del “mínimo máximo” de Nicolás de Cusa (La Docta Ignorancia), y el principio de acción mínima de Gottfried Leibniz”. “Esta es también la definición de una verdadera “geometría no euclidiana”, definición que excluye la dependencia de un conjunto de axiomas y postulados, y prohíbe el uso de los métodos de la lógica deductiva, salvo negativamente, en su totalidad.”. Lyndon H. LaRouche, “En defensa del Sentido Común”, Instituto Schiller, Washington D.C., 1992, página. V.

[7] Kurt Lewin, “El proceso creativo y su distorsión neurótica”

[8] La teoría de la Gestalt sostiene entre otras muchas cosas que el individuo posee en su mente las formas básicas de la Naturaleza, en forma innata.

[9] Ver: http://www.schillerinstitute.org Hay un enlace a las páginas en castellano.

[10] Perales, Teresa, “¡Hagamos de cada niño un genio!”, En.: EIR Resumen Ejecutivo, Vol. XXI, n. 21, 1ª quincena de noviembre de 2004, ,p. 34 y 35

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