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Características de la moda (página 2)

Enviado por ROBERTO BAC YAT



Partes: 1, 2

Definición de mediana

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central de la misma.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me= 5

3 Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me= 9.5

Cálculo de la mediana para datos agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.

Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre Monografias.com

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Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

Monografias.comes la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana.

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos.

Ejemplo

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

 

fi

Fi

[60, 63)

5

5

[63, 66)

18

23

[66, 69)

42

65

[69, 72)

27

92

[72, 75)

8

100

 

100

 

100/2 = 50

Clase de la mediana: [66, 69)

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Definición de media aritmética

La media aritmética es el valor obtenido al sumar todos los datos y dividir el resultado entre el número total de datos.

Monografias.comes el símbolo de la media aritmética.

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Ejemplo

Los pesos de seis amigos son: 84, 91, 72, 68, 87 y 78 kg. Hallar el peso medio.

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Media aritmética para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la media es:

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Ejercicio de media aritmética

En un test realizado a un grupo de 42 personas se han obtenido las puntuaciones que muestra la tabla. Calcula la puntuación media.

 

xi

fi

xi · fi

[10, 20)

15

1

15

[20, 30)

25

8

200

[30,40)

35

10

350

[40, 50)

45

9

405

[50, 60

55

8

440

[60,70)

65

4

260

[70, 80)

75

2

150

 

 

42

1 820

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Propiedades de la media aritmética

1. La suma de las desviaciones de todas las puntuaciones de una distribución respecto a la media de la misma igual a cero.

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La suma de las desviaciones de los números 8, 3, 5, 12, 10 de su media aritmética 7.6 es igual a 0:

8 - 7.6 + 3 - 7.6 + 5 - 7.6 + 12 - 7.6 + 10 - 7.6 =

= 0. 4 - 4.6 - 2.6 + 4. 4 + 2. 4 = 0

2. La suma de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la variable con respecto a un número cualquiera se hace mínima cuando dicho número coincide con la media aritmética.

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3. Si a todos los valores de la variable se les suma un mismo número, la media aritmética queda aumentada en dicho número.

4. Si todos los valores de la variable se multiplican por un mismo número la media aritmética queda multiplicada por dicho número.

Observaciones sobre la media aritmética

1. La media se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

2. La media es independiente de las amplitudes de los intervalos.

3. La media es muy sensible a las puntuaciones extremas. Si tenemos una distribución con los siguientes pesos:

65 kg, 69kg , 65 kg, 72 kg, 66 kg, 75 kg, 70 kg, 110 kg.

La media es igual a 74 kg, que es una medida de centralización poco representativa de la distribución.

4. La media no se puede calcular si hay un intervalo con una amplitud indeterminada.

 

xi

fi

[60, 63)

61.5

5

[63, 66)

64.5

18

[66, 69)

67.5

42

[69, 72)

70.5

27

[72, 8 )

 

8

 

 

100

En este caso no es posible hallar la media porque no podemos calcular la marca de clase de último intervalo.

Los cuartiles son los tres valores de la variable que dividen a un conjunto de datos ordenados en cuatro partes iguales.

Q1, Q2 y Q3 determinan los valores correspondientes al 25%, al 50% y al 75% de los datos.

Q2 coincide con la mediana.

Cálculo de los cuartiles

1 Ordenamos los datos de menor a mayor.

2 Buscamos el lugar que ocupa cada cuartil mediante la expresión Monografias.com

Número impar de datos

2, 5, 3, 6, 7, 4, 9

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Número par de datos

2, 5, 3, 4, 6, 7, 1, 9

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Cálculo de los cuartiles para datos agrupados

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra Monografias.comen la tabla de las frecuencias acumuladas.

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Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el cuartil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil.

ai es la amplitud de la clase.

Ejercicio de cuartiles

Calcular los cuartiles de la distribución de la tabla:

 

fi

Fi

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

18

[70, 80)

16

34

[80, 90)

14

48

[90, 100)

10

58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

 

65

 

Cálculo del primer cuartil

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Cálculo del segundo cuartil

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Cálculo del tercer cuartil

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Los deciles son los nueve valores que dividen la serie de datos en diez partes iguales.

Los deciles dan los valores correspondientes al 10%, al 20%... y al 90% de los datos.

D5 coincide con la mediana.

Cálculo de los deciles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra Monografias.comen la tabla de las frecuencias acumuladas.

Monografias.com

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el decil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase el decil..

ai es la amplitud de la clase.

Ejercicio de deciles

Calcular los deciles de la distribución de la tabla:

 

fi

Fi

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

18

[70, 80)

16

34

[80, 90)

14

48

[90, 100)

10

58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

 

65

 

Cálculo del primer decil

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Cálculo del segundo decil

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Cálculo del tercer decil

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Cálculo del cuarto decil

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Cálculo del quinto decil

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Cálculo del sexto decil

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Cálculo del séptimo decil

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Cálculo del octavo decil

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Cálculo del noveno decil

Monografias.comMonografias.com

Los percentiles son los 99 valores que dividen la serie de datos en 100 partes iguales.

Los percentiles dan los valores correspondientes al 1%, al 2%... y al 99% de los datos.

P50 coincide con la mediana.

Cálculo de los percentiles

En primer lugar buscamos la clase donde se encuentra Monografias.comen la tabla de las frecuencias acumuladas.

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Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra el percentil.

N es la suma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase del percentil.

ai es la amplitud de la clase.

Ejercicio de percentiles

Calcular el percentil 35 y 60 de la distribución de la tabla:

 

fi

Fi

[50, 60)

8

8

[60, 70)

10

18

[70, 80)

16

34

[80, 90)

14

48

[90, 100)

10

58

[100, 110)

5

63

[110, 120)

2

65

 

65

 

Percentil 35

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Percentil 60

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Desviación respecto a la media

La desviación respecto a la media es la diferencia en valor absoluto entre cada valor de la variable estadística y la media aritmética.

Di = |x - x|

Desviación media

La desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de las desviaciones respecto a la media.

La desviación media se representa por Monografias.com

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Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18

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Desviación media para datos agrupados

Si los datos vienen agrupados en una tabla de frecuencias, la expresión de la desviación media es:

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Ejemplo

Calcular la desviación media de la distribución:

 

xi

fi

xi · fi

|x - x|

|x - x| · fi

[10, 15)

12.5

3

37.5

9.286

27.858

[15, 20)

17.5

5

87.5

4.286

21.43

[20, 25)

22.5

7

157.5

0.714

4.998

[25, 30)

27.5

4

110

5.714

22.856

[30, 35)

32.5

2

65

10.174

21.428

 

 

21

457.5

 

98.57

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Un histograma es una representación gráfica de una variable en forma de barras.

Se utilizan para variables continuas o para variables discretas, con un gran número de datos, y que se han agrupado en clases.

En el eje abscisas se construyen unos rectángulos que tienen por base la amplitud del intervalo, y por altura, la frecuencia absoluta de cada intervalo.

La superficie de cada barra es proporcional a la frecuencia de los valores representados.

Polígono de frecuencia

Para construir el polígono de frecuencia se toma la marca de clase que coincide con el punto medio de cada rectángulo.

Ejemplo

El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:

 

ci

fi

Fi

[50, 60)

55

8

8

[60, 70)

65

10

18

[70, 80)

75

16

34

[80, 90)

85

14

48

[90, 100)

95

10

58

[100, 110)

110

5

63

[110, 120)

115

2

65

 

 

65

 

 

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Histograma y polígono de frecuencias acumuladas

Si se representan las frecuencias acumuladas de una tabla de datos agrupados se obtiene el histograma de frecuencias acumuladas o su correspondiente polígono.

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Histogramas con intervalos de amplitud diferente

Para construir un histogramas con intervalo de amplitud diferente tenemos que calcular las alturas de los rectángulos del histograma.

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hi es la altura del intervalo.

fi es la frecuencia del intervalo.

ai es la amplitud del intervalo.

Ejemplo

En la siguiente tabla se muestra las calificaciones (suspenso, aprobado, notable y sobresaliente) obtenidas por un grupo de 50 alumnos.

 

fi

hi

[0, 5)

15

3

[5, 7)

20

10

[7, 9)

12

6

[9, 10)

3

3

 

50

 

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Autor:

Roberto Bac Yat

Partes: 1, 2


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