La modelación matemática de situaciones problémicas de la física en el preuniversitario (página 2)

La
modelación de situaciones
problémicas

Uno de los aspectos a tomar en cuenta durante la
resolución de situaciones problémicas en
Física es la modelación matemática del
fenómeno que se describe o se observa. Como ya se ha
dicho, se trata de transformar la "contemplación viva" a
la forma de "pensamiento abstracto". Esto requiere del uso del
lenguaje matemático por parte de profesores y estudiantes.
Pero debe tenerse en cuenta que los docentes que imparten
Matemática lo hacen siguiendo ciertas normas, de modo que
los físicos deberán utilizar normas similares en el
uso de dicho lenguaje para no generar contradicciones y
confusiones innecesarias en los estudiantes. Con frecuencia el
vocabulario utilizado por los profesores de Física al
realizar la transposición de términos en una
ecuación no coincide con el que utiliza el profesor de
Matemática; en ocasiones, el manejo del trabajo con
variables durante el despeje de incógnitas en las
ecuaciones no es el mismo. Resulta frecuente escuchar a un
profesor de Física decir: "… esto es Física,
no Matemática", como si se tratara de otro lenguaje, como
si los procederes no tuvieran que coincidir, como si las
matemáticas fueran diferentes al ser utilizadas en las
distintas asignaturas. De modo que, ante todo, debemos unificar
la manera de utilizar el lenguaje matemático y para ello
los físicos debemos ajustarnos a la forma y al estilo que
utilizan lo docentes que imparten Matemática.

La resolución de situaciones problémicas
en la Física es una de las habilidades específicas
de la asignatura que más peso tiene en su proceso de
enseñanza aprendizaje. Es resolviendo situaciones
problémicas que los estudiantes desarrollan el pensamiento
lógico, son las situaciones problémicas los que
exigen esfuerzos personales y favorecen el desarrollo de
cualidades volitivas. La resolución de problemas estimula
el debate y como consecuencia, aparecen diferentes vías de
solución para un mismo problema lo que permite la
aparición del pensamiento divergente, contribuyendo
así al debate científico. En ese debate entre los
estudiantes se socializan las estrategias de aprendizaje y los
métodos para abordar las situaciones problémicas.
Así, está presente el llamado plano
interpsicológico en el proceso de aprendizaje. Cuando el
estudiante se sienta a resolver el problema, sin la ayuda de
alguno de sus compañeros, de manera independiente, entra
en función el plano intrapsicológico que,
según Lev S. Vigotski, juegan un papel decisivo en el
aprendizaje y en la formación de la personalidad de los
educandos. Uno de los momentos fundamentales de la
resolución de situaciones problémicas lo constituye
la modelación matemática de la misma. La
modelación es una habilidad dentro de otra habilidad, ella
propicia el tránsito a la forma de pensamiento abstracto,
lo que permite la predicción científica, que
podrá ser corroborada mediante el experimento.

Como toda habilidad, tiene una estructura interna.
Estructura que ha de conocer el profesor para poder diagnosticar
el estado en que se encuentra el aprendizaje de sus alumnos y
para dar un tratamiento didáctico adecuado a la
resolución de la situación problémica. Solo
mediante el conocimiento de la estructura interna de una
habilidad, un profesor puede saber "dónde" es que se
"detiene" el estudiante, en qué indicadores falla. Solo
así se puede concebir una estrategia para lograr que el
alumno avance.

Antes de pasar al estudio de la estructura interna de la
habilidad referida es conveniente conceptualizar
"modelación matemática de una situación
problémica de la Física", en el nivel
preuniversitario cubano.

En el contexto de este trabajo asumimos la referida
modelación como "Un proceso constituido por un sistema
de pasos lógicos que se rige consecuentemente por la
aplicación de las leyes de la Física, que se apoya
en el uso del lenguaje matemático, para predecir, desde la
teoría, la solución de una situación
problémica concreta del mundo físico y que favorece
el desarrollo del pensamiento estratégico y táctico
de los estudiantes".

Proceso al fin, está constituido por etapas. El
hecho de presentar un carácter sistémico implica
que está compuesto por subsistemas de diferente nivel
jerárquico donde se manifiestan nexos de
coordinación y subordinación. Obviamente la
modelación parte de la aplicación de las leyes de
la Física, de modo que está presente el cuerpo
legal de dicha ciencia. El uso del lenguaje matemático se
convierte en una necesidad para codificar y expresar en
símbolos los conceptos subyacentes en dichas leyes y
operar con los mismos. Esa codificación permite trabajar
cómodamente en el intricado laberinto que representan los
procesos del pensamiento lógico aplicados a situaciones
problémicas complejas. De modo que la traducción
del lenguaje común al lenguaje matemático es una
condición imprescindible para enfrentar dichas
situaciones. Posteriormente, al llegar a la solución,
será necesaria la decodificación de los resultados
para su interpretación física y poder brindar una
respuesta inteligible.

Pero la solución a que conduce la
modelación está en el marco de las
hipótesis. Decir que el alcance de un proyectil es 250
metros es solo predecir que, si se monta el experimento con las
condiciones requeridas, el resultado estará, dentro de
cierto margen de error, en el entorno de los 250 metros. Una
situación problémica en Física no
está totalmente resuelta hasta tanto no se compruebe
mediante el experimento (la práctica), de modo que lo que
muchos profesores llaman "resolver un problema" no es otra cosa
que modelar una solución e hipotetizar un posible
resultado. Algunos especialistas le llaman "problemas de
lápiz y papel" indicando que no se trata de una
solución completa a un problema físico. Pero en la
Física existen los físicos teóricos, ellos
se dedican a la obtención de modelos, estos modelos,
llevados al experimento, han conducido a grandes descubrimientos
en el terreno de esta ciencia. Ahí está la
expansión del universo, la existencia de las
antipartículas, la existencia de los agujeros negros,
así como otras muchas soluciones teóricas que
después han sido comprobadas en la práctica. Es por
ello que resulta conveniente que los estudiantes se familiaricen
con este proceso, para que "sientan" la Física, para que,
de acuerdo con su nivel, puedan saborear las vivencias de los
físicos "de verdad", esto los motiva y los implica en la
actividad que organiza el docente.

Cuando se habla de pensamiento estratégico se
hace referencia a que, durante la modelación de una
situación problémica, se requiere organizar las
ideas, establecer una serie de pasos lógicos, en un orden
preciso. Cuando se hace referencia al pensamiento táctico
se está hablando de la necesidad de encontrar soluciones
parciales a sub-problemas que aparecen dentro de una
situación problémica y que implican soluciones
tácticas, es cuando el alumno se plantea: bueno, ya
conozco la ecuación que debo utilizar pero
¿cómo determino la velocidad?, ¿y el
tiempo?, porque son magnitudes que están contenidas en
dicha ecuación y no conozco sus valores.

La estructura interna de esta habilidad
específica de la Física, en opinión del
autor, es la siguiente:

Veamos cada aspecto en detalle:

Esquematización: se trata de confeccionar un
esquema de la situación que se describe en el texto del
problema o se observa a través de un experimento en clase,
de manera que se represente lo verdaderamente importante, lo
esencial, despreciando lo superfluo. Esta es una habilidad que
debe desarrollarse en los estudiantes y que contribuye a la
comprensión de la situación
problémica.

Graficación: el estudiante debe confeccionar un
gráfico que represente la dependencia funcional entre las
variables involucradas en el problema. Para ello debe tener
conocimientos sobre las funciones lineales, cuadráticas,
trigonométricas, etc. Es importante que el alumno sea
capaz de predecir, a partir de las ecuaciones, el tipo de
gráfica que le corresponde. Muchos problemas de la
Física se resuelven partiendo de un diagrama de
dispersión que sugiere una tendencia, que puede ser
lineal, cuadrática, exponencial, etc. De modo que el
trabajo del físico pasa por la necesidad de dominar la
confección, aunque sea aproximada, de un gráfico de
permita comprender cómo están relacionadas las
variables que se involucran dentro de la posible solución
de la situación problémica.

Selección de la información útil:
se trata, ni más ni menos, que de la selección de
lo que llamamos comúnmente "los datos", es aquella
información, explícita o no, que aparece en el
texto del problema o que se aprecia a través de la
realización de un experimento.

Interpretación de dicha información: el
estudiante debe culminar esta etapa "comprendiendo" con
profundidad en qué consiste la situación
problémica gracias a una correcta interpretación de
la información recogida. La mayoría de los
estudiantes no se detienen a procesar la información
preliminar antes de comenzar a trabajar, esto conduce a la
selección de vías de solución inadecuadas
que una vez encaminadas, frenan la capacidad de encontrar la
vía de solución correcta. Es necesario que el
estudiante ahora sea capaz de enfocar el problema desde
diferentes aristas, por ejemplo, la selección del sistema
de referencia más cómodo para abordar la
solución.

Aplicación de las leyes de la física para
seleccionar las ecuaciones que se requieren: el estudiante
selecciona, a partir de las leyes que rigen el fenómeno
que se estudia, aquellas ecuaciones con las que se debe trabajar,
al menos para comenzar.

Adecuación de las ecuaciones a las condiciones
del problema: ahora se ajustan las condiciones iniciales (en este
nivel no hay que pensar, de modo general, en condiciones de
frontera), es decir, si hay o no velocidad inicial, si el cuerpo
experimenta una caída libre o si es lanzado, si se detiene
por completo, si está acelerado o no…

Obtención de la ecuación solución
mediante el trabajo con variables: el estudiante debe ser capaz
de combinar las ecuaciones necesarias para obtener una
ecuación en la que está despejada la variable que
desea evaluar en función de los datos
seleccionados.

Estudio de casos límite: es donde el estudiante
valora diversas hipótesis, ¿qué pasa si se
reduce la masa?, ¿y si la velocidad inicial fuera cero?,
¿y si no hay rozamiento?, en fin, diversas posibilidades
que permiten encontrar una respuesta lógica ante
determinadas situaciones que pudieran darse. Se trata de poner a
prueba la ecuación obtenida ante situaciones
extremas.

El resto de los indicadores se explican por sí
solos, pero es conveniente apuntar que en la valoración de
la solución los estudiantes deberán ser capaces de
obviar aquellos resultados absurdos y revisar qué "anda"
mal en la solución encontrada.

La mejor manera de comprender lo que se pretende
expresar es mediante un ejemplo donde se manifieste la necesidad
de apoyarse en el lenguaje matemático para resolver
situaciones problémicas de la Física en el nivel
preuniversitario. Veamos un problema típico de la
enseñanza preuniversitaria y cómo tratar la
situación física utilizando el lenguaje
matemático que resulta habitual a los alumnos de este
nivel.

En algunos casos se pide la velocidad inicial para que
el estudiante se vea obligado a realizar el despeje de la
variable, sustituir y calcular. Después se proponen varios
ejercicios similares, en ocasiones exigiendo la conversión
de unidades. En un turno de clase se pueden hacer varios
ejercicios como este, pero se pierde el sentido de la
modelación matemática de la situación
problémica, de la concepción de un modelo
físico-matemático que brinde una solución
general. Se apuesta por la reproducción y no se explotan
conocimientos matemáticos que adquirirían
significado si se utilizaran. Proponemos partir del criterio de
manejar la situación problémica como lo
haría un físico en el supuesto caso de que se
tratara de un fenómeno totalmente desconocido.

Ante todo, debe ser elaborado un esquema que ilustre
aproximadamente la situación que se describe. Esta
esquematización forma parte de la comprensión de la
situación problémica que se estudia, el esquema
ayuda a aclarar las ideas porque se convierte en una manera
gráfica de describir, desde la interpretación que
hace el estudiante, la situación que se estudia y que se
pretende modelar.

Fig 1

La lectura inteligente permite la
selección de la información útil.

Se procede a discutir la vía de
solución, para ello se descompone el vector Ven sus proyecciones sobre
los ejes coordenados.

Después de arribar a la conclusión (previo
debate con razonamientos incluidos) de que el movimiento en la
dirección vertical es uniformemente acelerado, no
así en la dirección horizontal, que es sin
aceleración, se llega a que:

Entonces se puede construir un gráfico aproximado
que describe dicha trayectoria parabólica. El estudiante
estará familiarizado con este tipo de gráfico
porque ya ha recibido el contenido relativo a las funciones
cuadráticas con anterioridad en la asignatura
Matemática.

Al llegar a este punto es conveniente reflexionar sobre
lo que se ha hecho: se ha demostrado, mediante el uso de las
matemáticas y partiendo de ciertas condiciones
físicas iniciales, que si se lanza un cuerpo puntual, en
las condiciones dadas, sobre un plano horizontal y formando
cierto ángulo (< 90º) con dicha dirección,
el cuerpo se mueve siguiendo una trayectoria parabólica
como se muestra en el gráfico (y aquí se pone de
manifiesto la importancia del signo "menos" que precede la
ecuación paramétrica que describe el movimiento en
el eje x y que aparece después en la "ecuación de
la trayectoria"). El razonamiento físico apoyado por la
herramienta matemática ha permitido obtener un modelo
teórico que predice cómo se moverá el cuerpo
en las condiciones que se describen, qué trayectoria
seguirá. El experimento para corroborar la
predicción puede hacerse lanzando un fragmento de tiza y
observando su trayectoria. En la historia de la Física son
muchos los descubrimientos hechos de esta manera, desde las
ecuaciones de Newton para describir el comportamiento de los
cuerpos bajo la acción del campo gravitatorio, pasando por
las ecuaciones obtenidas por Dirác que condujeron al
descubrimiento de las antipartículas hasta las que
manejaron Einstein y Fridman y que predicen la expansión
del universo. ¿Por qué privar a los alumnos del
placer de modelar una situación problémica, de
hipotetizar, de predecir y de dar significado a sus conocimientos
matemáticos?

Volviendo al problema del alcance. Se ha probado que el
proyectil sigue una trayectoria parabólica. Si se observa
detenidamente el gráfico, el estudiante puede percatarse
de algo esencial: L (el alcance) es uno de los "ceros" de la
función cuadrática, es uno de los puntos donde su
gráfica corta al eje de las abscisas. Entonces: si y = 0,
en la ecuación (I) podemos escribir:

Hay una gran diferencia entre la deducción de la
ecuación solución con las reflexiones que implica,
aprovechando el vínculo que es posible establecer con los
conocimientos matemáticos; a dar la ecuación ya
"hecha" para que solo se sustituya y se calcule.

En la expresión obtenida se puede hacer el
análisis de las unidades y probar su compatibilidad
dimensional como vía alternativa para la
comprobación del proceso.

Cualquier pedagogo sabe que el aprendizaje de los
alumnos es insuficiente si se conforma solamente con lo que se
discute en el turno de clase. Se requiere del estudio individual,
por equipos, con carácter independiente, sin los niveles
de ayuda que aporta siempre el profesor en el aula. Es durante el
trabajo en equipos donde mejor se socializan las estrategias de
aprendizaje entre los estudiantes. Es durante el estudio
individual donde se alcanza la independencia cognoscitiva. Pero
ello solo ocurre cuando hay una fuerte
motivación.

El estudiante del preuniversitario se motiva cuando
aprecia cómo y dónde se aplica lo que
aprendió, cómo se pueden usar las
matemáticas, cómo el lenguaje matemático
permite establecer argumentos y fundamentar modelos de
solución. Solo así los contenidos adquieren
significado. El proceso de reflexión asociado a la
situación problémica antes descrita – a modo
de ejemplo de cómo introducir las ecuaciones a partir de
un problema- consume casi todo el turno de la clase, por lo que
se recomienda, para este caso, el uso de la clase especializada.
Es preferible provocar la reflexión de los alumnos,
motivarlos con el debate profundo de una situación
problémica, sorprenderlos con un punto de vista novedoso
para ellos, que resolver varios problemas sencillos con un
carácter meramente reproductivo. La utilización de
métodos como la Elaboración Conjunta mediante el
uso del diálogo interrogativo posibilita la
reflexión y contribuye a la activación de la clase
haciendo que el estudiante se implique en el proceso de
enseñanza-aprendizaje y se sienta motivado para continuar
la búsqueda independiente del conocimiento.

Se trata de "(…) que el alumno debe aprender a
analizar los problemas, encontrar por sí mismo los medios
para resolverlos, y que la resolución de problemas no
puede convertirse en la realización de ejercicios
rutinarios que no estimulan la iniciativa, independencia y
creatividad (…). Gozan de particular respeto aquellas
materias en que los profesores demandan esfuerzos mentales,
imaginación, inventiva y crean condiciones para que el
alumno participe de modo activo."[1] Esto es lo
que se quiere, a ello se aspira: "(…) habituar a los
estudiantes a un ambiente interactivo, reflexionar, plantear
hipótesis y conjeturas…", un ambiente "(…)
que propicie la reflexión, la comprensión
conceptual junto con la búsqueda de
significados…"[2]. Todo ello se puede
conseguir mediante la modelación matemática de
situaciones problémicas tratadas adecuadamente.

Para establecer un vínculo entre las situaciones
problémicas características de la Física y
el uso adecuado del lenguaje matemático para su
modelación matemática no se requieren problemas de
alto nivel de complejidad. Veamos un ejemplo de lo interesante
que puede resultar un problema sencillo, con texto, tratado
didácticamente de la manera que se propone. Un problema de
caída libre de los cuerpos.

Los datos serían:

Estos constituyen ejemplos de lo que se puede hacer al
tratar las situaciones problémicas físicas
aprovechando el lenguaje matemático al alcance del
estudiante del preuniversitario y desarrollar el hábito de
utilizar este lenguaje en la modelación matemática
de los fenómenos que se estudian. Así se hace
más atractiva la enseñanza de la Física en
ese nivel, se consigue una mejor motivación y se estimula
el interés por vincular las asignaturas de Física y
Matemática. Se utiliza la Matemática como lenguaje
útil para la resolución de problemas físicos
y se aprecia dónde y cómo aplicar los conocimientos
matemáticos estudiados en clase.

Conclusiones

• La habilidad "modelación matemática de
  una situación problémica de la Física"
  es una de las habilidades específicas fundamentales de
  la asignatura en el nivel preuniversitario.

• Esta habilidad, como todas, tiene una estructura
  interna que el docente debe conocer para utilizar sus
  componentes como dimensiones e indicadores que le permitan
  "medir", diagnosticar, el estado de desarrollo que al
  respecto tienen sus estudiantes.

• Todos los pasos que conforman esta estructura
  interna no tienen que aplicarse, forzosamente, en todos los
  problemas sino solo aquellos que se requieran.

• Trabajar siguiendo esta metodología permite
  favorecer el desarrollo del pensamiento estratégico y
  táctico de los estudiantes.

• La modelación matemática de las
  situaciones problémicas de la Física favorece
  la motivación por la asignatura en los
  alumnos.

Bibliografía

• Colectivo de autores: Diccionario Filosófico,
  Editorial Progreso, 4º edición, Moscú,
  1984.

• Colectivo de autores: Metodología de la
  enseñanza de la Física, 7º y 8º
  grados", tomo I, Editorial Pueblo y Educación, Ciudad
  de La Habana, 1985.

• Pérez Rosell R y otros: Didáctica de
  las Ciencias Exactas, Tabloide para la maestría en
  Ciencias de la Educación, Módulo III, segunda
  parte, Mención en Educación Preuniversitaria,
  La Habana, 2006.

• Portuondo Duany, Raúl y Pérez
  Quintana, Medel: Mecánica, Editorial Pueblo y
  Educación, Ciudad de la Habana, 1983.

• Resnick, Robert y Halliday, Davis: Física.
  Para estudiantes de Ciencias e Ingeniería, Parte 1.
  Instituto Cubano de Libro, Séptima Edición, La
  Habana, 1965.

• Savéliev, I. V.: Física General, Tomo
  I, Editorial MIR, Moscú, 1982.

• Yaborski, B. M. y Detlaf, A. A.: Prontuario de
  Física, Editorial MIR, Moscú, 1983.

Autor:

Agustín Ricardo Vázquez
Mestre

Nacido en Media Luna, provincia Granma, en Cuba, en
julio de 1949. Es graduado como profesor de Matemática de
la enseñanza media y licenciado en Educación en la
especialidad de Física y Astronomía. Máster
en Ciencias de la Educación y profesor auxiliar de la
Universidad Pedagógica "Blas Roca Calderío" de
Granma. Se desempeña como metodólogo de
Física de la Educación Preuniversitaria en Media
Luna y ejerce la docencia en la sede municipal de la Universidad
Pedagógica granmense impartiendo cursos de pregrado y
postgrado sobre Didáctica de la Física y
Metodología de la Investigación
Educativa.

DATOS DE TRABAJO:

Este artículo ha sido escrito en el año
2010 como parte de una serie de reflexiones sobre temas
polémicos de la didáctica de la Física en el
nivel preuniversitario de Cuba.

[1] otas y Referencias: Pérez Rosell R
y otros: Didáctica de las Ciencias Exactas, Tabloide
para la maestría en Ciencias de la Educación,
Módulo III, segunda parte, Mención en
Educación Preuniversitaria, La Habana, 2006.

[2] Ibíd. p.30