del contenido en la vasija grande, es jugo de
naranja.
Familiarización y
comprensión:
Como cada uno de los cinco amigos lanzó dos
dardos, en total fueron lanzados diez dardos y por dato cada uno
llegó a una región de diferente valor del 1 al 10.
Es decir que hay que repartir los diez números en parejas
para cada uno de los cinco amigos.
Diseño del plan
Habrá que hacer un examen de las posibilidades
buscando entre los puntajes obtenidos a aquellos que tengan menos
combinación de parejas, por ejemplo 4 solo puede
descomponerse en 1+3.
Ejecución del plan:
Los puntajes alcanzados por los dardos son
números diferentes del 1 al 10.
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10(
Como Benjamín obtuvo 4 puntos con sus dos dardos,
se deduce que los puntos alcanzados por sus dardos fueron ( y (
ya que ésta es la única pareja de números
diferentes de la lista que suman 4.
Como Carla obtuvo 7 puntos, entonces los
puntos obtenidos por sus dardos podrían haber
sido: (1+6) ó (2+5) ó (3+4).
Pero como ninguno de sus dardos podrían alcanzar
las zonas de puntajes 1 y 3, porque estas zonas ya fueron
ocupadas por los dardos de Benjamín, resulta que los
dardos lanzados por Carla solo pueden ser los que llegaron a las
zonas 2 y 5.
Como David obtuvo 10 puntos, con sus dos dardos y
ninguno de sus dardos alcanzó las zonas de puntajes 1, 2,
3 y 5, (porque los dardos de Benjamín y Carla ya ocuparon
estas zonas), solo quedarían dos números diferentes
de la lista que sumen 10.
La única combinación posible sería:
4 + 6 = 10.
Respuesta: David alcanzó el
dardo que llegó a la región que vale 6
puntos.
Primera forma:
Debemos darnos cuenta que si el auto recorriera los 300
km. usando solo cuatro llantas, cada una de estas cuatro llantas
recorrería estos 300 km, y entre las cuatro llantas
habría un recorrido total de: 4 x 300 = 1200
km.
Ahora como por dato, no se usaron cuatro, sino cinco
llantas en este recorrido (intercambiándolas adecuadamente
para que se desgasten igualmente) se deduce que en promedio cada
llanta recorrió:
Respuesta: Cada llanta recorrió
en promedio 240 km.
Segunda forma:
Numerando las 5 llantas por: 1, 2, 3, 4 y 5 y notando
que hay 5 combinaciones posibles de 4
llantas para usarlas en el auto; (1, 2, 3, 4); (1, 2, 3,
5); (1, 2, 4, 5); (1, 3, 4, 5); (2, 3, 4, 5).
Dividiendo entonces los 300 km entre 5:
60 km nos dará la cantidad de kilómetros
recorrido hecho con cada grupo de 4 llantas.
Sería éste un ejemplo:
Notaremos que cada llanta es usada en cuatro de estos
tramos, o sea en: 4 x 60 = 240 km.
7.
Estamos representando la letra O por ( para no
confundirnos con el valor posible "cero".
Al sumar los dígitos de la columna de centenas
(c) se debe llevar algo (1 ó 2) a la columna
de unidades de millar (um) para que, al sumar a la cifra
T pueda obtenerse el número de 2
cifras.
(1 ó 2) + T =
De esta última expresión, como el valor
máximo de T es 9, y por condición S es diferente
de
cero se deduce que: S= 1 . e I = 0 pues las
cifras tienen que ser diferentes.
Además T puede ser 8 ó 9 (()
De la columna de unidades, como S = 1, se obtiene; E=
3
En la columna de decenas:
Reemplazando E = 3 tenemos: (()
Se observa que como siempre es número par, entonces
siempre es impar
y de
(() se deduce que T también debe ser impar y por
((): T = 9
Ahora en (() : y tendría que terminar en 6.
Luego ? debe ser una cifra que multiplicada por 2
termina en 6.
Ó sea ? podría ser: 3 ú 8, pero
como E ya es 3 solo quedaría que ? = 8
En la columna de decenas, se tendría al sumar: 8
+ 8 + 3 = 19
Dejamos 9 (T) y llevamos 1 a la columna de
centenas
En centenas:
Como E = 3
De donde 2D + R = 12
de esta última expresión se deduce que R
es par y el único valor posible de R que
produce
un valor de D adecuado es: R = 2. y por lo tanto D =
5
Respuesta: S =1; I = 0; E = 3; T = 9;
D = 5; ? = 8; R = 2
8.
Primera forma: Por falsa
suposición
Como tanto las bicicletas como los triciclos tienen 2
pedales cada uno, al haber 38 pedales
se deduce que hay: = 19 móviles entre bicicletas y
triciclos.
Ahora, aplicando el procedimiento de falsa
suposición, diríamos:
Si todos los 19 móviles fueran bicicletas,
habrían 19 x 2 = 38 ruedas.
Pero como en verdad hay 45 ruedas, nos faltan 45 –
38 = 7 ruedas, que debemos aumentar
a nuestra suposición:
¿Cómo?
Cambiando una bicicleta (de nuestra suposición)
por un triciclo, la cantidad de móviles no varía
pero el número de ruedas aumentaría en
1.
Luego, para aumentar 7 debemos
cambiar;
bicicletas (de nuestra suposición) por 7
triciclos, quedando la situación así:
7 triciclos (que entraron por 7 bicicletas de nuestra
suposición) y (19-7) = 12 bicicletas.
Comprobación
7 triciclos tienen : 7 x 3 = 21 ruedas
12 triciclos tienen : 12 x 2 = 24 ruedas
Total: 19 móviles con 45 ruedas
Respuesta: Hay 7
triciclos
Segunda Forma: Por ensayo y error
Confeccionaremos un cuadro colocando las diferentes
posibilidades que podría tomar el número de
bicicletas y de triciclos. (recordando siempre que la suma de los
números de bicicletas y de triciclos es 19)
N° | Número de bicicletas | Número de ruedas de las | Número de | Número de ruedas de los | Total de Ruedas | |||||
1 | 19 | 38 | 0 | 0 | 38 + 0 = 38 | |||||
2 | 18 | 36 | 1 | 3 | 36 + 3 = 39 | |||||
3 | 17 | 34 | 2 | 6 | 34 + 6 = 40 | |||||
….. |
Notaremos que al disminuir una bicicleta y aumentar un
triciclo el número total de ruedas aumenta en uno. Luego
para que el número total de ruedas pase de 38 a 45 debemos
llegar al renglón número 8 de nuestro cuadro y
donde el número de bicicletas será: 19 – 7 =
12 y el número de triciclos será 0 + 7 =
7.
9. Sea x el número de paltas que
llevó la vendedora.
Lo primero que debemos darnos cuenta es que, para que al
vender la mitad de x, más media palta y no se corte
ninguna palta, x debe ser un número impar.
Por ejemplo: si tengo 13 paltas y vendo la mitad (seis y
media palta) más media palta se habrían vendido 7
paltas y quedarían 6 paltas, no habiendo sido necesario
partir ninguna palta.
Puedes hacer las pruebas necesarias para comprobar
ésto y hasta es probable que encuentres la respuesta a
este problema por "ensayo y error" debido a que los datos son
pequeños.
También debe saberse, que cuando vendo la mitad
de alguna cantidad me queda la otra mitad de dicha cantidad. Por
ejemplo:
Si tengo x y vendo me quedará x
Como por dato nos dicen que al final a la
vendedora le quedó 1 palta, entonces nos conviene emplear
el método de regresión.
Primera Forma: Aplicando "Pensamiento
Regresivo"
En este procedimiento, hallaré lo que me va
quedando después de cada operación (ojo: lo que me
va quedando, no lo que se ha vendido).
Ahora:
El problema se ha transformado en el
siguiente:
En hallar un número de tal forma que si le quito
la mitad menos un medio y luego otra vez le quito la mitad menos
un medio me da cómo resultado 1.
Y para hallar este número es que emplearemos el
método de "Pensamiento Regresivo" empezando en 1 y
aplicándole las operaciones inversas correspondientes
hasta llegar al número inicial
Aplicando el pensamiento regresivo,
obtenemos:
Respuesta: La vendedora había
llevado al mercado 7 paltas
Segunda Forma: Una forma más
especializada, cuando se repite un mismo proceso en cada etapa es
deducir una "fórmula de regresión"
así:
Si llamamos A, a lo que se tiene antes de la etapa y D a
lo que quedaría después de dicha etapa, se
tendría:
Si vendo la mitad de A más palta, quedará la
otra mitad de A menos palta, o sea:
D = A –
Y despejando A de esta ecuación
obtenemos que:
A = 2D + 1 Fórmula de
regresión
Esta fórmula servirá para
determinar lo que había antes de una etapa (A) conociendo
lo que quedó después de ésta etapa
(D)
Para nuestro problema:
Al final de la 2º venta quedó
según dato: 1 palta (D)
Luego antes de la 2º venta
había (aplicando la fórmula): A = 2(1) + 1 = 3
paltas
Ahora:
Al final de la 1º venta quedó según
hemos hallado en el paso anterior: 3 paltas (ahora esto
sería el nuevo valor de D)
Luego: antes de la 1º venta había (aplicando
la fórmula): A = 2(3) + 1 = 7 paltas
10.
Primera Forma:
El precio del televisor, incluido el IGV es: S/. 1
666
Si V es el "valor de venta" y el IGV es: 19% de
V,
entonces el precio del televisor incluyendo
el IGV, es decir el valor facturado, es:
V + 19% V = S/. 1 666
119% V = 1 666
Pues V = 100% de V
Usando nociones de proporcionalidad (regla de tres
simple directa) diríamos:
Como la relación proporcional es directa
despejamos x de la siguiente manera:
Respuesta: El valor del I.G.V. de este
televisor es: 266 soles.
Segunda Forma: Cuando hay proporcionalidad entre
los datos y el resultado, se puede aplicar el método de
suposición de la siguiente forma:
Hemos escogido 100, por que es
más fácil calcular porcentajes de
100.
Sea el valor de venta del televisor: V = S/. 100 (valor
supuesto)
Ahora por dato el I.G.V. será el 19% de 100 que
es: S/. 19
Luego: El valor total facturado sería: 100 + 19 =
S/. 119
Ahora aplicando nociones de proporcionalidad (regla de
tres simple directa) tenemos que:
De donde despejando x = (valor de venta verdadero)
Y el I.G.V. sería: 1666 – 1400 = S/.
266
RAZONAMIENTO
LÓGICO:
11. Las afirmaciones hechas por Arturo y Bertha
son "CONDICIONALES":
Esto significa que si el antecedente p es verdadero,
para que el condicional (si p entonces q) sea verdadero, el
consecuente, q, también debe ser verdadero.
Y si el antecedente p es falso, el condicional (p ? q)
siempre es verdadero, sin importar si el consecuente "q" es
verdadero o falso.
Ahora: según dato, son verdaderas las dos
afirmaciones siguientes:
Arturo dijo: " si me ponen quince, entonces le
pondrán quince a Bertha (Verdadero)
Bertha dijo: "Si me ponen quince, entonces le
pondrán quince a Diana (Verdadero)
1º Posibilidad: Si a Arturo le pusieron 15,
sería verdadero el antecedente de la afirmación de
Arturo; luego también debe ser verdadero el consecuente:
"le pondrán 15 a Bertha".
Y si a Bertha le ponen 15, sería verdadero el
antecedente de la afirmación de Bertha; luego
también debe ser verdadero el consecuente: "le
pondrán 15 a Diana".
Si se cumple esta posibilidad, entonces a los tres le
habrían puesto 15, lo que contradice el dato de que
sólo a dos le pusieron 15.
Luego: ¡Esta posibilidad no se cumple!.
2º Posibilidad: Si a Arturo no le pusieron
15, sería falso el antecedente de la afirmación de
Arturo; luego el consecuente ("le pondrán 15 a Bertha")
puede ser verdadero o falso, y la afirmación de Arturo
seguirá siendo verdadera.
Y si a Bertha le ponen 15, sería verdadero el
antecedente de la afirmación de Bertha; luego el
consecuente ("le pondrán 15 a Diana") también debe
ser verdadero.
Luego: Le pusieron 15 a Bertha y a
Diana
Respuesta: Las dos que recibieron 15
fueron Bertha y Diana
12. Por dato, los asientos están
numerados así:
y Bernardo está en el asiento Nº
3
La 1º afirmación de José: "Bernardo
está al lado de Carlos", por dato es falsa, luego su
negación "Bernardo no está al lado de Carlos"
será verdadera y por lo tanto Carlos debe ocupar el
asiento Nº 1.
La 2º afirmación de José "Ana
está entre Bernardo y Carlos" es falsa, lo que significa
que en verdad: Ana no está entre Bernardo y Carlos y por
lo tanto Ana ocupará el asiento Nº 4.
Por último, el único asiento que queda
vacío: el Nº 2 será ocupado por
Diana.
Respuesta: Diana está sentada
en el asiento Nº 2
13. Cuando se quiere determinar la
correspondencia "uno a uno" entre los elementos de un
conjunto de n objetos (personas, animales; etc.) con "n"
características de esos objetos, es conveniente usar
una TABLA DE DECISIONES como la mostrada abajo.
Las casillas serán llenadas por "SI" o por "NO"
según sea correcta o no la relación existente entre
el nombre de la persona de la fila con la característica
de la columna donde se encuentra la casilla.
Aplicaremos esto, a nuestro problema:
De la afirmación: "Ana y la saxofonista practican
después del colegio", se deduce que Ana no es la
saxofonista (De la oración se deduce que la saxofonista es
otra persona).
Igualmente, de la afirmación: "Emma y la
flautista…" se deduce que Emma no es flautista; y como nos
dicen que Ana está en 4º grado y la flautista esta en
5º grado, se deduce que Ana no puede ser
flautista.
Luego, la tabla quedaría así:
Si Ana no toca la flauta ni el saxofón, lo
único que queda es que toque los tambores, por lo que
colocaremos "si" en la casilla correspondiente:
Ahora, si ya se determinó que Ana toca los
tambores, las demás personas NO pueden tocar los tambores,
por lo que las demás casillas debajo del SI deben ser
llenadas con NO.
De esta última tabla se deduce que como Emma no
toca la flauta ni los tambores, debe tocar el saxofón y
por último Lidia tocará la flauta.
Respuesta: Ana toca los
tambores
14. La condición principal que debe
cumplirse es que: De las dos afirmaciones que hizo cada
persona, una debe ser verdadera y la otra debe ser
falsa.
Para darnos cuenta de la verdad (V) o falsedad (F) de
las afirmaciones tomaremos lo que dijo una persona y probaremos
los dos casos posibles: que una de sus afirmaciones es (V) y que
la otra es (F); y luego de debemos verificar como correcto, el
caso que no produce contradicción.
1º caso: Supongamos que la 1ª
afirmación de Karim es falsa y la segunda es
verdadera:
Karim: Liliana fue primera (F) y Ursula fue
segunda (V).
Como es verdadero que Ursula fue segunda, Karim ya no
puede ser segunda. Cuando Liliana dijo que Karim fue segunda,
ésta afirmación será la falsa de
Liliana
Liliana: Tania fue última (V) y Karim fue
segunda (F)
Como es verdadero que Tania fue última, entonces
lo que dijo Ursula: "Tania fue tercera" será la
afirmación falsa de Ursula.
Ursula: Liliana fue segunda (V) y Tania fue
tercera (F).
Pero en este caso la afirmación de Ursula:
"Liliana fue segunda", tendría que ser verdadera y esto
contradice nuestro resultado de que Ursula fue
segunda.
Luego este 1er caso conduce a contradicción y por
lo tanto no se cumplirá.
2º caso: Se cumplirá entonces
que:
Karim: Liliana fue primera (V) y Ursula fue
segunda (F).
Como es verdadero que Liliana fue primera, entonces
cuando Ursula dijo que "Liliana fue segunda", ésta era la
Falsa de sus afirmaciones y la otra afirmación de Ursula
debe ser verdadera.
Ursula: Liliana fue segunda (F) y Tania fue
tercera (V)
Como es verdadero que Tania fue tercera, y Liliana dijo
que "Tania fue última" esta era la falsa de sus
afirmaciones y la otra tiene que ser verdadera.
Liliana: Tania fue última (F) y Karim fue
segunda (V).
Como no hay contradicción, éste caso
sería el correcto y el orden sería:
1º) Liliana
2º) Karim
3º) Tania
4º) Ursula
Respuesta: Liliana, Karim, Tania y
Ursula.
15. Del dato "La señora Arévalo
llegó quinta, justo después de su esposo" se
deduce la siguiente disposición:
Como por dato la Sra. Gutiérrez, llegó
antes que el Sr. Arévalo, pero por condición la
Sra. Gutiérrez llegó después de su esposo se
deduce que la Sra. Gutiérrez llegó en el segundo o
tercer lugar.
Además el Sr. Castillo no puede ocupar el 6º
puesto, porque por lo menos debe superar a su esposa y como el
Sr. Castillo fue superado por una dama que no puede ser ni su
esposa, ni la Sra. Arévalo, se deduce que el Sr. Castillo
fue superado por la Sra. Gutiérrez, quedando ésta
entonces en el segundo lugar.
Luego la situación final será:
Respuesta: El Señor y la Sra. Castillo
quedaron en el 3º y 6º puesto
respectivamente.
16. La condición principal que debe
cumplirse es que de las cuatro afirmaciones: tres deben ser
falsas (F) y sólo una debe ser verdadera
(V).
Entonces se pueden presentar los siguientes 4 casos
según cual de los 4 afirmaciones es la
verdadera:
Señor Carpintero : "Yo soy el lechero"
Señor Ingeniero : "Yo soy el
carpintero"
Señor Mayordomo : "Yo no soy el
lechero
Señor Lechero : "Yo no soy el
mayordomo"
Si se cumpliera el 1º caso:
Por la 1º afirmación que es Verdadera, el
Sr. Carpintero sería lechero
Y por la 3º afirmación, que es falsa, el Sr.
Mayordomo sería lechero (habría
contradicción)
Si se cumpliera el 2º caso:
Por la 2º afirmación que es verdadera, el
Sr. Ingeniero es carpintero;
Por la 3º afirmación que es falsa, el Sr.
Mayordomo es lechero
Por la 4º afirmación que es falsa, el Sr.
Lechero es mayordomo
Luego, quedaría que el Sr. Carpintero es
Ingeniero (Y esto es COMPATIBLE).
Luego: Sr. Carpintero : Ingeniero
Sr. Ingeniero : Carpintero
Sr. Mayordomo : Lechero
Sr. Lechero : Mayordomo
Si se cumpliera el 3º caso:
Por la 4ª afirmación que es falsa, el Sr.
Lechero es mayordomo
Por la 2ª afirmación que es falsa el Sr.
Ingeniero no es carpintero y como tampoco puede ser Ingeniero ni
mayordomo, se deduce que es: lechero.
Por la 1ª afirmación que es falsa, el Sr.
Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser mayordomo, ni
carpintero, entonces debe ser ingeniero.
Por último quedaría que el Sr. Mayordomo
sería el carpintero (que es COMPATIBLE).
Luego: Sr. Carpintero : Ingeniero
Sr. Ingeniero : Lechero
Sr. Mayordomo : Carpintero
Sr. Lechero : Mayordomo
Si se cumpliera el 4º caso:
Por la 3º afirmación que es falsa, el Sr.
Mayordomo es lechero,
Por la 2º afirmación que es falsa el Sr.
Ingeniero no es carpintero, y como tampoco puede ser ingeniero ni
lechero, luego el Sr. Ingeniero sería:
mayordomo.
Por la 1º afirmación que es falsa, el Sr.
Carpintero no es lechero; y como tampoco puede ser carpintero, ni
mayordomo, tendrá que ser ingeniero.
Entonces quedaría que el Sr. Lechero es
carpintero (COMPATIBLE con la 4º afirmación que es
verdadera).
Sr. Carpintero : Ingeniero
Sr. Ingeniero : Mayordomo
Sr. Mayordomo : Lechero
Sr. Lechero : Carpintero
Como podemos notar, hay tres casos posibles que
cumplen las condiciones, (2º, 3º y 4º casos) pero
en los tres casos, el Ingeniero es el Sr. Carpintero.
Respuesta: El ingeniero es el Sr.
Carpintero.
17. Como todas las afirmaciones son verdaderas,
se deduce:
1º) El castillo de Alicia es más bajo que el
de Susana.
2º) El castillo de Susana es más alto que el
de Katy:
3º) El castillo de Eva es más bajo que el de
Alicia:
4º) El castillo de Eva no es el más bajo de
todos.
Uniendo el primer y tercer diagrama, tenemos
que:
Del 2º diagrama se sabe que K está debajo de
S, pero para que E no sea el más bajo de todos, K debe
estar debajo de E.
Luego, la situación final
sería:
Respuesta: El orden de los nombres de los que
construyeron los castillos de menor a mayor altura son: Katy;
Eva; Alicia y Susana.
18. Colocando (V) en los días que
Ernesto dice la verdad y (F) en los días en que
miente, se tendrá el siguiente cuadro:
Dom | Lunes | Martes | Miércoles | Jueves | Viernes | Sábado |
F | V | F | V | F | V | F |
Un día, Ernesto dijo: "Mañana yo
diré la verdad"
Casos posibles que se puedan presentar:
i. Si el día en que hizo la
afirmación, Ernesto dice la verdad entonces al
día siguiente también debe decir la verdad, o
sea tendrá que haber dos días seguidos en los
cuales Ernesto dice la verdad, pero como observamos en el
cuadro, ésta situación no se presenta; por lo
tanto ese día Ernesto mentía.
ii. Ya que el día en que hizo la
afirmación Ernesto miente; y como lo que dijo:
"Mañana yo diré la verdad" debe ser falso,
entonces se deduce que el día de mañana
también mentirá.
Por lo tanto, Ernesto hizo la afirmación en un
día en que miente y tal que al siguiente día
también miente.
Observando el cuadro, notamos que esto sólo pudo
ocurrir en el día: Sábado.
Respuesta: Cuando Ernesto dijo eso era
día SÁBADO.
19. Familiarización:
El texto hay que comprenderlo estrictamente, es decir
primero se nos dice que los tres dados son idénticos, en
segundo lugar se nos dice que al lanzar su dado se observa tres
colores. Si hacemos la experiencia física concluiremos que
cuando observamos un dado podemos, como máximo, ver tres
caras:
Notaremos que los lados opuestos de un dado no se pueden
ver a la vez.
Diseño del plan
Nos conviene hacer un diagrama para organizar los
colores en el dado, podemos hacernos un dado físico, pero
también podemos utilizar un dibujo del dado en el plano,
para esto usemos el desarrollo de un cubo.
Ejecución del plan:
Si desdoblamos el dado y llamamos 1, 2, 3, 4, 5, 6 a las
caras, tendremos la malla:
Empecemos considerando las 3 caras que vió David:
Azul; Blanco y Amarillo, y digamos que están en la
posición: Azul (5); Blanco (2) y Amarillo (3).
Como Félix vio las caras: Blanco; Verde y
Anaranjado se deduce que el Verde y Anaranjado son las caras (1)
y (4) ó (4) y (1), pero como Gustavo vio las caras
Anaranjado, Azul y Rojo, se deduce que el Anaranjado debe ocupar
la cara (1); y la Verde debe ser la cara (4), y por lo tanto la
cara (6) debe ser del color que queda, o sea Rojo.
La cara 6 opuesta a la cara Blanca (2) es la cara de
color Rojo.
Respuesta: El color de la cara
opuesta a la de Blanco es Rojo
20. Considerando un calendario de 31
días como se muestra más abajo (todavía
no sabemos que día corresponde a cada columna, pero
son días consecutivos en orden).
1° | 2° | 3° | 4° | 5° | 6° | 7° |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
29 | 30 | 31 |
Si Estornudo y Gruñón sólo
barrieron cuatro veces en el mes, significa que el día en
que barrieron debe estar en la 4º, 5º, 6º ó
7º columna del calendario mostrado.
Como Estornudo barre los lunes y Gruñón
barre los viernes, para que el lunes y el viernes encajen en las
columnas de la 4º a la 7º, solo podría cumplirse
cuando la 4º columna es VIERNES, la 5º sería
sábado, la 6º sería domingo y la 7º
sería LUNES.
Luego, el calendario quedaría
así:
Viernes | Sábado | Domingo | Lunes | |||
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 |
22 | 23 | 24 | 25 | 26 | 27 | 28 |
29 | 30 | 31 |
Y aquí notamos que el primer día de la
semana sería Martes y según dato los Martes barre
Dormilón.
Respuesta: El primer día de
este mes barrió Dormilón.
MODELACIÓN
ALGEBRAICA:
21. Llamaremos "g" al precio de un
gato.
Por dato:
Un conejo vale el doble de lo que vale un gato ó
sea: 2g
Un perro vale el doble de lo que vale un conejo ó
sea: 2(2g) = 4g
Luego los totales de cada persona se pueden colocar en
función de lo que vale un gato o sea en función de
g
Cuenta de Sergio: Compró: (3 gatos + 5
conejos + 7 perros), lo que equivale a:
3g + 5 (2g) + 7 (4g) = 41 g = 41 gatos.
Cuenta de Rosa: Compró (5gatos + 7 conejos
+ 3 perros), lo que equivale a:
5g + 7(2g) + 3(4g) = 31 g = 31gatos.
Pero por dato:
la cuenta de Rosa (31 gatos) es 400 soles menos que la
cuenta de Sergio (41 gatos)
de donde deducimos que los 400 soles equivalen al valor
de (41 – 31): 10 gatos
y por lo tanto cada gato vale: soles
Respuesta: Un gato vale 40
soles.
Primera forma:
Sea "x" la longitud de la vela más
larga.
Como dura 7 horas en gastarse, se deduce que en 1 hora
se gasta
Después de estar prendida durante 4 horas se
gastará:;
y le quedará una longitud de:
Análogamente si "y" es la longitud de la
vela más corta:
Como dura 10 horas en gastarse, se deduce que un 1 hora
se gasta:
Después de estar prendida durante 4 horas se
gastará:
y le quedará una longitud de:
Pero, por dato, las longitudes que quedaron
después de las 4 horas son iguales:
Luego, igualando las longitudes que quedaron:
De donde: ó
Respuesta: La razón entre el largo
original de la vela más corta "y" y de la vela más
larga "x" es:
Segunda forma:
Como no nos piden las longitudes reales de las velas
sino la relación entre estas longitudes, podemos aplicar
"suposición y proporcionalidad", así:
Como la primera vela duró 7 horas y la segunda
vela duró 10 horas, después de estar prendidas 4
horas las longitudes que quedan de ambas velas son iguales y
ésta longitud debe consumirse en 3 horas para el
caso de la primera y en 6 horas para el caso de la
segunda
Supongamos que después de estar prendidas 4
horas, las longitudes que quedan de ambas velas son iguales a: 6
cm (que es el MCM de 3 y 6).
Del diagrama se observa que los 6 cm que
quedarían de la 1º vela se consumirían en 3
horas
o sea y
como por dato ésta vela duró en total 7 horas, su
longitud sería:
Igualmente los 6 cm que quedarían de la 2º
vela se consumirían en 6 horas o sea
cm por hora y como ésta vela duró en total
10 horas, su longitud sería
Luego: La vela más larga mediría 14
cm y la más corta mediría 10 cm.
Por nociones de proporcionalidad sabemos que las
proporciones se mantienen
( La relación entre el largo de la vela
más corta y el de la vela más larga es de:
23. Primera forma:
Sean "x" niños e "y" niñas en la familia
Quiroz.
Cuando se considera un niño, éste
tendrá "(x-1)" hermanos e "y" hermanas.
Pero por dato estas cantidades son iguales: x – 1
= y (1)
Cuando se considera una niña, ésta
tendrá: "x" hermanos e "(y – 1)" hermanas
y por dato el número de sus hermanos es doble que
el de sus hermanas:
x = 2 (y – 1) (2)
Reemplazando (2) en (1) 2 (y – 1) – 1 =
y
2y – 2 – 1 = y
De donde: y = 3 n
Y en (1): xx = 3 + 1 = 4 n
Luego, en la familia Quiroz hay: x = 4 niños, e y
= 3 niñas
Lo que da un total de: 4 + 3 = 7 hijos.
Respuesta: El número de hijos
de la Familia Quiroz es 7.
Segunda forma:
Como cada niño tiene igual número de
hermanos que de hermanas, se deduce que el número de
niños es 1 más que el número de
niñas, ó lo que es lo mismo: la diferencia entre
los niños y las niñas es 1.
Ahora, cuando se considera una niña, (o sea se
excluye esta niña del análisis) la diferencia entre
sus hermanos y hermanas aumentará en 1 y será ahora
2 y como por dato en este caso los hermanos son el doble que las
hermanas, tenemos que buscar dos números, uno el doble del
otro, y tal que su diferencia sea 2.
Los números naturales más pequeños,
tal que uno sea el doble del otro son 2 y 1; pero en éste
caso la diferencia sería 1; luego para que la diferencia
sea 2, hay que multiplicar a éstos números (2 y 1)
por 2 y darían: 2 x 2 = 4 y 1 x 2 = 2.
Los números adecuados serían entonces: 4 y
2.
ó sea una niña tendrá 4 hermanos y
2 hermanas.
Entonces contándose esa niña
habrán: 4 niños y 3 niñas, lo que da un
total de: 4 + 3 = 7 hijos en la Familia Quiroz.
24. Primera forma:
Sea "x" el número de personas e "y" el
número de sillas.
Por dato: Los personas ocupan: sillas.
Como la cantidad de personas sentadas debe ser igual al
número de sillas ocupadas:
De donde: (1)
Pero las sillas desocupadas son:
y por dato estas deben ser 6.
Luego: de donde y = 24 m
Y en la relación (1) reemplazando "y" por 24, se
obtiene de donde
Respuesta: En el salón hay 27
personas
Segunda forma:
Como se ocuparon las del número de sillas, entonces quedaron
sin ocupar: del
número de sillas, y según dato esta cantidad
equivale a 6.
Luego,
De donde, el número de sillas es: 4 x 6 =
24
Ahora: Según dato fueron ocupadas las
del número
de sillas o sea: de 24 = 18 sillas
Y estas sillas fueron ocupadas por de las
personas.
Luego: del número de personas = 18
De donde Nº personas =
25. Primera forma: "Forma
algebraica"
Sea x el número de páginas del
libro.
El 1º día Ruth leyó:
páginas. Quedaron por leer:
páginas
El 2º día Ruth leyó:
Quedaron por leer: páginas
El 3º día Ruth leyó:
Quedaron por leer: páginas
El 4º día Ruth leyó:
Quedaron por leer:
Y este último número de páginas que
quedó por leer después del 4° día debe
ser igual a cero.
Igualando:
Notaremos que para despejar x, del número de la
derecha (0) se le debe sumar 5 y luego multiplicar por 2, y luego
hacer lo mismo con el resultado y así sucesivamente,
dando:
páginas
Este procedimiento es muy complicado y sería muy
engorroso aplicarlo si se tiene más etapas.
Respuesta: 150
páginas
Segunda forma: Por "Pensamiento
regresivo"
Como después del 4º día quedaron 0
páginas por leer (dato final) y en cada etapa ocurre lo
mismo "lee la mitad de las páginas que quedan + 5" se
puede encontrar una "FÓRMULA DE REGRESIÓN"
(fórmula para regresar) de la siguiente manera.
Sea A la cantidad de páginas que había
antes de empezar un día y D la cantidad de páginas
que quedaron después de ese día:
Despejando A:
A = (D + 5) x 2 "Fórmula de
regresión"
Esta fórmula nos servirá para
"regresar".
Conociendo el dato D que quedó después de
una etapa, se obtiene lo que había antes de dicha etapa
(A)
Para los datos del problema:
Como hemos calculado, antes de empezar el primer
día habían: 150 páginas.
Respuesta: El libro tenía 150
páginas
26. Podemos notar que en cada factor, el
resultado es un número predecible:
En general:
Reemplazando en la expresión dada el resultado de
cada factor:
x
….x x
x x….x
x
Como el segundo miembro es un producto de fracciones, se
pueden simplificar los factores comunes del numerador y del
denominador.
Notaremos que el denominador de una fracción
cualquiera es igual al numerador de la fracción siguiente,
por lo tanto, se simplificarán.
Simplificando los denominadores con los numeradores de
las siguientes fracciones quedará:
Respuesta: El producto como una
fracción simplificada es
27. Digamos que cuando la novela se
dividió en 3 volúmenes con igual número
de páginas, en cada volumen hubieron "x"
páginas.
El Libro tenía en total 3x
páginas.
En el 1º volumen están las páginas
desde la página: 1 hasta la página: x
En el 2º volumen están las páginas
desde la página: (x+1) hasta la página:
2x
En el 3º volumen están las páginas
desde la página: (2x+1) hasta la página:
3x
Pero por dato la suma de los números que
están en la 1º página de cada volumen es 1
353.
ó sea: 1+ (x+1) + (2x+1) = 1 353
de donde: 3x = 1 350
y: x = 450
Respuesta: Cada volumen tiene 450
páginas
28. Primera forma:
Representaremos un apretón como un
segmento.
Para dos personas: hay 1 apretón = 1
Para tres personas: hay 3 apretones = 2 + 1
Para cuatro personas: hay 6 apretones = 3 + 2 +
1
Para cinco personas: hay 10 apretones = 4 + 3 + 2 +
1
Luego podemos "inducir" que:
Para 20 personas, el número de apretones
será: 19 + 18 + 17 +…+ 3 + 2 + 1
y esta suma se puede hallar aplicando la Ley asociativa,
así:
Respuesta: En dicha reunión
hubieron 190 apretones de mano.
Segunda forma:
Como cada una de las 20 personas le da la mano a las
otras 19, se producirán teóricamente (20×19)
apretones, pero como cada uno de estos apretones se han contado 2
veces cada uno (por ejemplo el apretón entre A y B, se
contó cuando se contaron los apretones de A y cuando se
contaron los apretones de B ).
Luego, también el número real de
apretones fue:
Este procedimiento se puede generalizar para "n"
personas.
El número de apretones de mano (ó de
abrazos, etc.) entre n personas es:
COMBINATORIA,
INCERTIDUMBRE:
29. Los números de 4 cifras que son
capicúas (o palíndromos) son de la
forma:
Donde a y b son cifras que pueden valer
como máximo hasta 9.
Primera forma:
Los números capicúas de 4 cifras son:
1001; 1111; …. , 9889; 9999
Los capicúas de 4 cifras que comienzan y terminan
en 1 son {1001; 1111;…, 1991}: 10
números.
Igualmente, los capicúas de 4 cifras que
comienzan y terminan en 2 son: {2002; 2112;…2992}: 10
números.
Análogamente, también habrán 10
números capicúas de 4 cifras que acaban y terminan
en 3 y 10 que acaban y terminan en 4, etc., hasta 10 que acaban y
terminan en 9, lo que dará un total de 9 veces 10 = 9 x 10
= 90 números capicúas de 4 cifras.
Respuesta: Hay 90 números de 4
dígitos que son capicúas ó
palindromos.
Segunda forma:
Notaremos que en los números de la forma
la parte
"independiente" (o sea que puede variar libremente) es y que la parte no puede variar
independientemente pues los valores de ó dependen de los valores de "a" y "b"
únicamente.
Luego: Podemos afirmar que habrán tantos
capicúas de la forma como números de 2 cifras podamos formar
libremente.
ó sea que la respuesta a nuestro problema viene
dada por la cantidad de números de 2 cifras que se pueden
escribir en base diez.
{10; 11; 12,…. ; 98; 99}
Son 99 – 9 = 90 números.
Tercera forma: (Usando combinatorias)
Podemos considerar que escribir un número de la
forma es un
proceso de 2 etapas:
1º Etapa: Escoger "a":
Nótese que "a" no puede ser cero (por que si lo
fuera el número sería sólo de tres
cifras).
Luego: "a" puede ser: 1; 2; 3; 4; 5 ; 6;
7; 8 ó 9 ( 9 valores
2º Etapa: Escoger "b":
"b" puede ser: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8 ó
9 ( 10 valores
Aplicando el principio de la
multiplicación:
Tendremos que hay: 9 x 10 = 90 combinaciones posibles
Nótese, que cada una de las 90 combinaciones
producirá
un número capicúa de la forma que se formará
agregando a la derecha los valores correspondientes de "b"
y "a".
Luego: Habrán 90 números capicúas
de 4 cifras.
30. Sean a, b y c la cantidad de lápices
que recibe cada amigo A, B y C respectivamente.
Por condiciones: a, b y c deben ser
números naturales mayores que 0 y como máximo
alguno de ellos puede valer hasta 4, porque si alguno de los
amigos recibiera 5 lápices de todas maneras uno de los
otros dos recibiría 0 lápices.
Para responder a este problema, realizaremos una LISTA
SISTEMÁTICA.
Empezaremos colocando 4 lápices para a y
los valores de b los variaremos desde el mayor hasta el
menor posible y por diferencia obtendremos c.
Luego colocaremos a a 3 lápices y haremos
lo mismo con b, …
La lista que se obtiene nos dará todas las
posibilidades de repartir 6 lápices entre A, B y
C.
a | b | c |
4 3 3 2 2 2 1 1 1 1 | 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 | 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 |
Recuerden que a + b + c = 6
Contando: hay 10 maneras diferentes en que A, B y C
pueden tener un total de 6 lápices y donde cada uno de los
tres tiene al menos un lápiz.
Respuesta: Hay 10 formas
diferentes.
31. Los puntajes que aparecen en las caras de
un dado son: 1, 2, 3, 4, 5 y 6 (6 valores).
Luego, las combinaciones posibles de puntajes que se
pueden obtener al lanzar dos dados son: 6 x 6 = 36
casos.
Estas formas son:
De estas casos las que tienen como suma de puntos igual
a 5 son:
(1; 4); (2; 3); (3; 2) y (4; 1) (son 4 casos(
Como sabemos la probabilidad de un evento es.
Luego: La probabilidad de obtener 5 como suma de
puntos al arrojar 2 dados es:
Ahora, las combinaciones que producen 9 como suma
de puntos son:
(3; 6); (4; 5); (5; 4); (6; 3) (también 4
casos(
y la probabilidad de obtener 9 como suma de puntos al
tener 2 dados es:
Luego: Hay igual probabilidad de obtener 5 que 9, como
suma de puntos al arrojar 2 dados.
Respuesta: Al arrojar dos dados, es igualmente
probable obtener 5 que 9 como suma de puntos.
32. Consideraremos que a la fiesta
asistieron:
X mujeres solteras e
Y hombres casados con sus Y esposas
respectivamente.
Luego, la probabilidad de que una mujer, seleccionada al
azar, sea soltera es:
Y como por dato esta probabilidad es
se tendrá que cumplir que:
Despejando, multiplicando en aspa, tenemos:
5x = 2x + 2y
ó 3x = 2y
Las mujeres solteras (x), son proporcionales a:
2
De donde: ? Las mujeres casadas (y), son proporcionales
a: 3
Los hombres casados (y), son proporcionales a:
3
Luego la fracción de las personas que son hombres
casados viene dada por:
Nótese que la fracción "f" no
variará si escogemos cualquier grupo de tres
números que sean entre sí como 2; 3 y 3 como por
ejemplo: 2k; 3k y 3k.
Respuesta: Los
de las personas en la fiesta son hombres
casados.
33. Para viajar de A a C, hay dos posibilidades
que son excluyentes: pasar por (A – B – C)
ó pasar por (A – D – C).
En la 1º posibilidad:
(pasando por B)
Para viajar de A a B hay dos caminos y para viajar de B
a C hay tres caminos, luego: el número de formas
diferentes de viajar de A a C por el principio de la
multiplicación en combinatoria es:
2 x 3 = 6 formas
En la 2º posibilidad:
(pasando por D)
Análogamente, el número de formas
diferentes de viajar de A a C es:
3 x 4 = 12 formas.
Luego, el número total de formas diferentes en
que se puede viajar de A a C sería, sumando:
6 + 12 = 18 formas.
Respuesta: Se puede viajar de A a C,
de 18 formas diferentes.
34. El caso más desfavorable que se
podría presentar para que no haya dos personas con el
mismo mes de nacimiento es que al escoger a las personas,
éstas tengan, todos, meses diferentes de nacimiento,
pero esto podría ocurrir como máximo hasta 12
(ya que hay 12 meses diferentes), por lo que la 13º
persona tendría obligatoriamente un mes de nacimiento
repetido (igual a alguno de las 12 personas
anteriores).
Igualmente podríamos decir que el caso más
desfavorable que podría presentarse para que no hayan 7
personas que tengan el mismo mes de nacimiento es que hayan 6 x
12 = 72 personas, donde en cada mes del año, hayan nacido
6 de estas personas o sea con 72 personas tendríamos
exactamente 6 personas que cumplen años en cada uno de los
12 meses.
Luego, si consideramos una persona más (73
personas en total), ésta obligatoriamente producirá
un grupo de 7 personas con igual mes de nacimiento.
Respuesta: El grupo deberá
tener como mínimo 73 personas.
35. Por dato en el saco hay 6 fichas
azules.
Digamos también que el número de fichas
verdes es "x".
El total de fichas en el saco será: (6 +
x)
Por fórmula:
La probabilidad de extraer al azar una ficha azul del
saco es
Al reemplazar los valores se tendrá:
Pero por dato esta probabilidad es
Luego:
Despejando "x" multiplicando en aspa se
tiene:
24 = 6 + x
De donde: x = 18
Respuesta: El número de fichas
verdes en el saco es 18.
36. De acuerdo a las condiciones, el ( no puede
contener a P; ni Q; ni R porque están en su misma
fila, ni tampoco puede contener a S, porque están en
la misma diagonal.
Respuesta: En la casilla sombreada
debe colocarse el símbolo Q.
37. Primera forma:
Si hay 25 tarjetas numeradas del 1 al 25, el
número total de casos posibles que se pueden presentar al
tomar una tarjeta al azar es 25.
Para que la tarjeta contenga un múltiplo de 2
ó de 5, los casos favorables posibles son: 2; 4; 5; 6; 8;
10; 12; 14; 15; 16; 18; 20; 22; 24; 25 en total: 15
casos.
Luego, la probabilidad de que al tomar una tarjeta al
azar se obtenga un múltiplo de 2 ó de 5
es:
Respuesta: La probabilidad de que el número
sobre la tarjeta de Sara sea un múltiplo de 2 ó de
5 es:
Segunda forma: Sea el espacio muestral: ( = {1;
2; 3,…;24; 25} que tiene 25 elementos
Sea A el conjunto de múltiplos de 2 del 1 al
25
A = (2; 4;……; 22; 24 (
( ( ( (
2×1 2×2 2×11 2×12
El número de elementos de A es: 12.
Si B es el conjunto de múltiplos de 5 del 1 al
25.
B = (5; 10; 15; 20; 25 (
El número de elementos de B es: 5
Luego la intersección de A y B será:
y tiene dos
elementos.
Anotaremos estos resultados en el siguiente diagrama de
Venn:
La probabilidad de que al escoger una tarjeta al azar,
sea múltiplo de 2 ó de 5, se puede expresar
así:
Y como los eventos A y B no son excluyentes
38. El caso más desfavorable que se
podría presentar, en el cual no se tenga certeza de
que haya 10 bolitas del mismo color, será cuando
saquemos:
9 rojas + 9 verdes + 9 amarillas + 10 =
37 bolitas
Pero la siguiente bolita que saquemos (ó sea la
38º) será: roja o verde o amarilla y
completará con certeza 10 bolitas del mismo
color.
Respuesta: Debemos sacar 38 bolitas del saco para
tener la certeza de que habrán 10 bolitas del mismo
color.
IMAGINACIÓN
GEOMÉTRICA:
39. Cada una de las 10 zonas sombreadas de la
bandera, son triángulos:
Nosotros sabemos que el área de un
triángulo es igual a la mitad de la base por su altura
correspondiente.
Primera forma:
Luego, la suma de estas 6 áreas sombreadas
será:
También podemos observar que los 4
triángulos sombreados que tienen sus bases en los anchos
de la bandera tienen igual área, porque sus bases son
iguales y sus
alturas también son iguales..
Luego, la suma de éstas 4 áreas sombreadas
será:
Luego, El área total de la región
sombreada será: 450 + 300 = 750 cm2.
Respuesta: El área de la
región sombreada es: 750 cm2
Segunda forma:
Podemos notar (haciendo los cálculos) que los 10
triángulos sombreados tienen igual área:
Los triángulos cuya base están en los
"largos" de la bandera (arriba y abajo), tienen como base:
y como altura:
El área de cada uno de estos triángulos
será entonces:
Igualmente los triángulos cuya base están
en los anchos (a la izquierda y a la derecha) tienen como base:
y como altura:
El área de cada uno de estos triángulos
será:
Luego, entonces todos los 10 triángulos
sombreados tienen igual área.
y como son 10 triángulos, el área
sombreada total será: 10 x 75 = 750 cm2.
40. Como BCD es un triángulo
equilátero, sus tres lados tendrán la misma
medida.
DC = DB = BC = 68 m.
Como ABDE es un rectángulo, sus lados opuestos
serán paralelos y congruentes.
Luego:
y también
y como por dato: El perímetro del polígono
ABCDE es 456 m, se tendrá que
AB + BC + CD + ED + EA = 456
Reemplazando los valores hallados previamente
AB + 68 + 68 + AB + 68 = 456
Despejando, obtenemos que:
Respuesta: La longitud de AB es 126
m.
41. Dividiremos la figura en sectores;
colocando letras a los puntos clave como indica la
figura:
Se puede considerar que el área encerrada por el
cuadrilátero abcda es:
por diferencia igual al área del cuadrado (ghci)
– [las áreas de las zonas (1); (2); (3); (4) y
(5)]
A sombreada = AT – [A1 + A2 + A3
+A4 + A5] …… ( a )
Aplicando Las
fórmulas:
Como gich es un rectángulo su
área es: base por altura.
AT = 10 x 10 = 100
Para el área de A1: Como agb es un
triángulo rectángulo en g, su área
será:
Para el área de A2: Como bhc es un
triángulo rectángulo en h su área
será:
Para el área de A3: Como el área
dec es triángulo rectángulo en e, su área
será:
Para el área de A4 : Como el aief es un
rectángulo se área será:
Para el área de A5: Como afd es un
triángulo rectángulo en f, su área
será:
Reemplazando en ( a ):
A sombreada = 100 – 10 – 30
– 21 – 15 – 1,5 = 100 – 77,5 = 22,5
unidades cuadradas.
Respuesta: El área cuadrada
encerrada por el cuadrilátero es: 22,5 u2.
42. Como por dato el triángulo ABC tiene
un área de 50 cm2, y como por dato también la
base de
éste triángulo es 12,5 cm, aplicando la
fórmula del área del triángulo, se puede
determinar la longitud de la altura BC.
De donde:
12,5 cm
Ahora como el área del triángulo ABD
(sombreado) es la mitad del área del triángulo
ya que tiene la
misma base, pero su altura es la mitad, se tendría
que:
Área del triángulo
Faltaría calcular el área sombreada de la
zona circular, que es igual a:
Por fórmula:
Luego, el área circular sombreada es
aproximadamente:
( El área total sombreada es: 25 + 18,84 =
43,84 cm2.
Respuesta: El área de la zona
sombreada es 43,84 cm2 (aproximadamente).
43. Haciendo un análisis inductivo,
contaremos cuántos cuadrados en total se pueden ver en
un cuadriculado de 2 x 2; luego en uno de 3 x 3; y en el de 4
x 4:
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