Solucionario Módulo II Problemas Matemáticos (página 3)

Podemos "inducir" entonces que cuando se tiene un
cuadriculado de 20 x 20 cuadraditos, el número total de
cuadrados que se puedan contar será:

202 + 192 + …….+ 32 + 22 +
12

y ésta suma, por fórmula de la suma de los
primeros cuadrados perfectos es:

Respuesta: En un cuadrado de 20 x 20
se podrán contar 2870 cuadrados

Como por dato los tres rectángulos son
congruentes, el área de cada uno de los tres
rectángulos es la tercera parte del área del
rectángulo ABCD.

Luego: El Área de un rectángulo
pequeño será:

Pero de acuerdo a la disposición de los tres
rectángulos pequeños se observa que el largo de
cada uno es el doble de su ancho.

Si llamamos x al ancho de cada rectángulo
pequeño, su largo será 2x

Y el área del rectángulo pequeño
será:

(2x) • (x) = 450cm2.

De donde: 2×2 = 450

y: x2 = 225

Aunque hay dos valores de "x" que elevados al cuadrado
dan 225 y son:

y

Pero como "x" representa el ancho de cada
rectángulo pequeño, debe tener un valor
positivo.

Y por lo tanto será: ? x = 15 cm m

Luego, El perímetro (p) del rectángulo
ABCD será:

p = 2x + (x + 2x) + (x + x) + (2x + x)

p = 10 x

reemplazando el valor de x = 15, se obtiene:

p = 10 x 15 = 150 cm.

Respuesta: El perímetro del
rectángulo ABCD es 150 cm.

• 45. En un cuadrado, las medidas de sus 4 lados
  son iguales.

Luego, como (4x – 15) metros es la medida de uno
de los lados del cuadrado y (20 – 3x) es

la medida de otro de sus lados, estos valores deben ser
iguales.

4x – 15 = 20 – 3x

Trasponiendo términos: 7x = 35

Dividiendo entre 7: x = 5 metros m

Luego, el lado del cuadrado medirá:

4x – 15 = 4(5) – 15 = 5 metros.

Y su área será: A = (5 m)2 = 25
m2.

Respuesta: El área del terreno
en metros cuadrados es 25.

Recordar que un cuadrante de un
meridiano terrestre es la cuarta parte de la longitud de todo el
meridiano. Por lo tanto la medida del cuadrante será el
arco de la circunferencia terrestre que corresponde a un
ángulo de 90°

Como el metro es la "diez millonésima parte de la
medida del cuadrante de un meridiano terrestre" se deduce que la
medida del cuadrante es: diez millones de metros, y por lo tanto
la circunferencia de la tierra (suponiéndola una esfera)
tendría una longitud igual a 4 veces la del
cuadrante.

Luego, Longitud de la circunferencia de la tierra
= 4 x 10 000 000 = 40 000 000 metros.

Pero por fórmula, esta longitud es igual a 2(
multiplicado por el radio de la tierra.

2( × rTierra = 40 000 000 metros
×2(

y despejando: rTierra =

Efectuando: rTierra = 6 366 182,83 metros

Y dividiéndolo entre 1 000 para obtener esta
medida en Kilómetros

rTierra =6 366 Kilómetros
(aproximadamente)

Respuesta: El radio de la Tierra mide
aproximadamente 6366 Kilómetros.

• 47. Sea el segmento AB:

Como tiene una longitud de 12
centímetros

Y por dato:

y:

Ubicando en el segmento los puntos C, E y D de acuerdo a
las medidas encontradas:

Obtenemos el orden de los puntos, que sería: A;
C; E; D y B.

Respuesta: De izquierda a derecha el
orden de los 5 puntos es: A; C; E; D y B.

• 48. Si llamamos P al punto de
  intersección de las diagonales del cuadrado ABCD,
  P también sería el centro del
  círculo.

Entonces podemos observar en la figura, las siguientes
formas geométricas:

• a. CIRCULO de centro P.

• b. CUADRADO ABCD porque por las condiciones, se
  sabe que los 4 lados tienen igual longitud y sus 4
  ángulos interiores son rectos.

• c. RECTÁNGULO ABCD, ya que todo
  cuadrado, también es rectángulo.

• d. TRIÁNGULO RECTÁNGULO: Hay
  varios, por ejemplo el triángulo ABC, con
  ángulo recto en B. (pues y son perpendiculares).

• e. TRIÁNGULO ISOSCELES: Hay varios, por
  ejemplo, el triángulo APB, ya que AP tiene la misma
  medida que BP (son mitades de las diagonales de un mismo
  cuadrado).

Pero, la forma geométrica que no se observa en la
figura es el TRIÁNGULO EQUILÁTERO, porque no hay
ningún triángulo con tres lados de la misma
longitud. Además ningún triángulo tiene
ángulos de 60° como deberían ser cada uno de
los tres ángulos de un triángulo
equilátero.

Respuesta: La figura que no aparece en
la figura es el TRIÁNGULO
EQUILÁTERO.

INVESTIGACIÓN Nº 1 : BILLAR DE
PAPEL

Investigación N° 1

Después de realizar la experiencia para distintos
tableros de m x n casillas cuadradas, obtener los valores pedidos
para cada caso:

Caso (4) Tablero de 4 x
6

Número de Toques en los lados:
5

Número de casilleros que cruza:
12

Caso (5) Tablero de 6 x
9

Número de Toques en los lados:
5

Número de casilleros que cruza:
18

Caso (6) Tablero de 10 x
15

Número de Toques en los lados:
5

Número de casilleros que cruza:
30

Después de realizar las experiencias anteriores
llevamos los resultados al siguiente cuadro:

Podemos luego darnos cuenta que el número de
toques en los lados y el número de casilleros que cruza la
bola, depende de m y n; y también del "mayor factor
común" ó Máximo Común Divisor de m y
n.

El cuadro de valores podríamos escribirlo
así:

Luego:

(b) La fórmula sería:

(c) Si en un tablero de m x n la bola toca 8
veces los lados,

entonces: 8
…………………………
(1)

y si la bola cruza 30 cuadrados,

entonces: = 30
……………………….
(2)

si m y n tuvieran como Máximo Factor
Común: D, entonces, se podría escribir
que:

m = D x p

n = D x q

Siendo p y q números enteros que son primos entre
si (ó sea números que tienen como único
divisor común a la unidad).

Luego, en (1):

De donde: p + q = 8

en (2):

de donde:

Probando las dos posibilidades:

( i ) Si p = 5 y q = 3, entonces:

y m y n serían y

Solución: El tablero es de 10 x 6
casillas

( ii ) Si p = 7 y q = 1, entonces:

(no hay
solución entera)

Respuesta: Las dimensiones del tablero
serían: 10 x 6.

INVESTIGACIÓN N° 2: EL
TUNEL

Teniendo en cuenta que cuando cruzan dos personas que
caminan a diferente velocidad deben viajar a la velocidad de la
persona más lenta se tiene la siguiente
secuencia:

Autor:

Carlos Alberto Yampufe Requejo