Los tres problemas clásicos de la geometría (página 2)

Demostración (se exceptúa la
forma

Sea x un número real cualquiera constructible con
re-com. Como las potencias pares tanto geométricas como
algebraicas coinciden, entonces se tiene que

Así, la raíz n-ésima
geométrica de x (si no es exacta) será un poco
mayor que la raíz n-ésima algebraica (en
términos numéricos) de dicho número si n es
impar. Esto, que acá se denominará el caos
geométrico-algebraico, fue lo que hizo imposible
a los matemáticos del pasado que lograran la
solución de los tres problemas clásicos de la
geometría.

El Método para
la Potenciación Geométrica

A continuación, veremos el método para
elevar a la potencia n a cualquier segmento que
determinemos sobre los ejes coordenados (X, Y) con una unidad
fijada de antemano. Dicho método, como se dijo
anteriormente, pertenece a Rodolfo Nieves
(Tinaco-Cojedes).

En la figura 9.1 se tienen los dos ejes coordenados (X,
Y). En ellos se ha determinado la unidad y se ha tomado al azar
un punto x sobre el eje X.

Veamos por qué.

Pero, ¿qué es lo novedoso de este
cuadrilátero? (o mejor deberíamos llamarlo
ene-látero). Lo novedoso de dicho método es que
refuerza lo estudiado en el capítulo 2 sobre la
racionalidad de todos los números reales. Puesto que los
teoremas sobre extensiones algebraicas de campos nos dicen que un
número tomado al azar del eje X no puede ser elevado a una
potencia impar mayor que tres.

De tal manera que todos los teoremas de la referida
teoría, que se fundamentan en la existencia de
irracionales, deben ser revisados minuciosamente para ver
qué se aprovecha de ellos y qué se
desecha.

Trisección de
un Ángulo Cualquiera

La trisección de un ángulo cualquiera
(división de un ángulo en tres ángulos
iguales), la duplicación de un cubo (obtención de
un cubo de volumen doble a uno dado) y la cuadratura de un
círculo (obtención de un círculo de
área igual a la de un cuadrado dado) es lo que se conoce
como los tres problemas clásicos de la
geometría, los cuales deben ser resueltos con
sólo la regla (sin marcas) y el compás. En esta
sección veremos la trisección de un ángulo
arbitrario.

9.3.1 Deducción del Método para la
Trisección de un Ángulo

Lo deducido para ( y (" sucede para cualesquiera que
sean dichos ángulos. Para terminar de deducir el
método utilicemos las figuras 9.3.a y
9.3.b.

De todo lo anterior se tiene que el eneágono (o
nonágono) regular sí es constructible con re-com.
Ahora bien, ¿significa esto que el príncipe de las
matemáticas, F. Gauss, se equivocó en su teorema de
constructibilidad? De ninguna manera, Gauss nunca demostró
que su teorema fuese condición necesaria, sólo que
era condición suficiente.

9.3.2 Método para la Trisección de un
Ángulo

-Con centro en C y la misma abertura de compás OA
trácese un arco que corte en D a la bisectriz.

-Con centro en D y abertura de compás igual MB (o
MA) córtese el arco anteriormente trazado en E y
F.

-Por E y F pasan las dos trisectrices de dicho
ángulo.

9.3.3 Comprobación del Teorema 9.1 en la
Trisección General

Se comprobará ahora el teorema 9.1 en la
trisección general.

Para concluir la prueba de que nuestro método es
correcto y que EF = MB, usemos la razón de continuidad
para dar una demostración algebraica de que las
diferencias entre EF y MB valen siempre cero. Veamos.

Sobre la
Duplicación y la Cuadratura

Se mostrará acá la verdadera causa por la
cual es imposible la duplicación del cubo y la cuadratura
del círculo con sólo la regla y el compás,
sin apelar a los teoremas de la teoría de
Galois; los cuales ya vimos que deben ser
revisados.

9.4.1 Imposibilidad de la Duplicación

Primero, obsérvese que cualquier número
real dado sobre el eje X, donde ya está estipulada la
unidad, lo podemos elevar a la potencia 6, es decir, dado
n (R y su posición en el eje X, obtenemos n6 en
el n-látero de Nieves (Sección
9.2).

9.4.2 Imposibilidad de la Cuadratura

Por otra parte, el valor obtenido, geométrico, no
coincidiría con el valor algebraico (teorema 9.1), porque
cada término elevado a una potencia impar en la serie
anterior es, algebraicamente, menor que su valor
geométrico; se tendría así una
contradicción. En consecuencia, no es posible realizar con
re-com la cuadratura de un círculo.

La Exacta
Construcción del Nonágono Regular

Con el método de la trisección de un
ángulo arbitrario aplicada al ángulo de 120º
podemos construir, de una manera muy sencilla, el nonágono
regular. Pero, cómo es que los matemáticos del
pasado no descubrieron este hecho. La respuesta es: Dios
sabe lo que hace y cuándo debe hacerlo. Si
alguien en el siglo XIX hubiese descubierto esto, sin conocer la
naturaleza del número real (razón de continuidad de
R) y con los teoremas de extensiones algebraicas de cuerpos en
todo su apogeo, el griterío de los beocios (como
diría Gauss) hubiese sido ensordecedor; y las
matemáticas habrían sufrido una grave crisis.
Además, Todo el que descubría algún
método para trisecar, se desengañaba al aplicar
trigonometría y efectuar sus cálculos. Sabe Dios
cuál de los tan numerosos métodos para trisecar
aparecidos durante todo este tiempo será también,
geométricamente, exacto.

9.5.1 Método para Construir el Nonágono
Regular

Sea dada la circunferencia de centro O (figura
9.6).

– Trace el diámetro AB y prolónguese por
A.

– Con centro en B y abertura de compás OB,
determine los puntos 3 y 6, sobre la circunferencia.

– Trace el segmento 63 y determine el punto M sobre
AB.

– Lleve, a partir de M, el radio OB y determine
C.

– Centre en C con la misma abertura de compás y
trace un arco que corte al rayo BA en D.

– Con centro en D y abertura M6, determine E sobre el
arco anterior (DE = M6).

– Al trazar BE se determina el punto 8, sobre la
circunferencia. La distancia A8 es el lado del nonágono
regular. Con abertura A8, centre en A = 9 y determine 1. Luego
centre en 3 y determine 2 y 4. Por último, centre en 6 y
determine 5 y 7. Una los puntos numerados y obtenga el
nonágono.

El Porqué de
la Trisección

El lector se podría preguntar ¿por
qué la trisección de un ángulo sí es
posible realizarla con re-com? Si ya se vio que la
duplicación y la cuadratura no son posibles, ésta
tampoco debería ser posible. La respuesta es que en la
trisección de un ángulo no se determinan,
directamente, longitudes de segmentos sino tres ángulos de
igual medida sin especificar cuáles medidas. Es decir,
sólo se determinan tres porciones de plano
iguales sin puntualizar cuánto mide cada porción.
Por todo esto, la trisección sí es posible
obtenerla con re-com, puesto que al hacerlo no se viola el
teorema 9.1. No obstante, al aplicar el método anterior de
la trisección con cualquier programa computacional,
éste nos dirá que el método en
cuestión es falso, porque dicho programa estará
basado en geometría y álgebra y detectará
las diferencias profetizadas por el teorema 9.1.

Autor:

Dimas Herrera