Análisis de las estrategias significativas, que ponen en práctica los alumnos en la etapa de ejecutar el plan (página 2)

De aquí se desprende que algunas investigaciones
hechas sobre la resolución de problemas, giren en torno a:
la dificultad de los problemas, identificar buenos y malos
resolutores de problemas, la instrucción en la
resolución de problemas y más recientemente la
metacognición al resolver problemas.

Otro aspecto del que se han hecho estudios, son los
tipos de problemas, se debe admitir que no existe un consenso
claro en su clasificación por las diferentes postura que
lo abordan, pero aquí consideraremos la siguiente:
"… tipos de actividades en relación con la
resolución de problemas en la enseñanza de las
Matemáticas: 1) Ejercicios de reconocimiento; 2)
Ejercicios algorítmicos o de repetición; 3)
Problemas de traducción simple o compleja; 4) Problemas de
procesos; 5) Problemas sobre situaciones reales; 6) Problemas de
investigación matemática; 7) Problemas de puzles;
8) Historias matemáticas".(Blanco,1993).

En esta revisión de la literatura se puede
deducir que la estrategia de resolver problemas
matemáticos parte de mostrar las bondades de la estrategia
en sí, pero no se dice nada del proceso que el sujeto
experimenta al resolver problemas, la manera de cómo
estructura su pensamiento para responder a situaciones
problemáticas, de qué recursos cognitivos se vale
para ello y por que los usa, y sobre todo, que sucede con la
construcción de conceptos matemáticos, basados en
sus propias concepciones o conocimientos previos.

De ahí que la tarea principal de este trabajo sea
encontrar los procesos lógicos que los alumnos utilizan el
resolver problemas de proporcionalidad. El apoyo teórico
directo será de Piaget y la construcción del
pensamiento lógico matemático. "El conocimiento
lógico-matemático es el que no existe per se en la
realidad (en los objetos). La fuente de este razonamiento
está en el sujeto y éste la construye por
abstracción reflexiva. De hecho se deriva de la
coordinación de las acciones que realiza el sujeto con los
objetos. El ejemplo más típico es el número,
si nosotros vemos tres objetos frente a nosotros en ningún
lado vemos el "tres", éste es más bien producto de
una abstracción de las coordinaciones de acciones que el
sujeto ha realizado, cuando se ha enfrentado a situaciones donde
se encuentren tres objetos." (Hernández,
1997).

Las acciones que los alumnos plasmen en sus estrategias
para resolver los problemas de matemáticas mostraran
características que permitan analizar la lógica que
siguieron. El desarrollo de las diferentes actividades que
realicen los alumnos mostrará los razonamientos de que se
valen para buscar soluciones.

Se partirá de considerar al aprendizaje como una
adaptación del individuo con sus respectivas invariantes
de asimilación y acomodación, así como sus
equilibraciones sucesivas, al estilo de Piaget, para interpretar
las acciones que realicen los sujetos al interactuar con el
objeto de conocimiento que en este caso será mediado por
la resolución de problemas y los objetos de conocimiento a
mostrar serán los conceptos matemáticos.

Para esto, debemos considerar la definición que
Arturo Rodríguez proporciona "Los conceptos
matemáticos constituyen un tipo especial dentro de los
conceptos formales: Son generalizaciones de las relaciones entre
cierta clase de "datos", haciendo abstracción total de los
objetos y fenómenos particulares en que se
presentan."(Rodriguez,1997)

De esta manera analizando los datos que presenten los
alumnos en sus estrategias buscaremos categorizar el conocimiento
de los conceptos matemáticos. Dichos conocimientos
deberán considerarse en un contexto dinámico y
procesual determinado por los diferentes sentidos que se le
puedan asignar.

Con ello explorar la relación que se establece
entre el desarrollo del pensamiento lógico del alumno y el
aprendizaje de contenidos de matemáticas, que hasta el
momento no se ha considerado en una forma importante.

Para buscar la manera de evitar que los aprendizajes de
los alumnos solo respondan a las necesidades administrativas de
la escuela y procurar que los conocimientos sean transferidos a
situaciones diferentes. En otras palabras lo que aprende en la
escuela lo puedan aplicar fuera de ella.

La información teórica en cuanto a la
génesis del conocimiento es amplia y muy
específica, sin embargo en el aula no se ha traducido en
acciones que busquen, por medio del aprendizaje de las
matemáticas desarrollar el pensamiento de las personas y
no llenarlos de conocimientos que en muy poco le servirán
por ser arbitrarios y memorísticos.

El punto de partida será el planteamiento de
preguntas que den dirección a la investigación,
tales como:

• 1. ¿Es posible identificar un proceso
  lógico en el alumno o el nivel operatorio que utiliza
  al resolver un problema de matemáticas?

• 2. ¿Existe una relación entre las
  estructuras cognitivas del pensamiento de los alumnos y los
  contenidos de matemáticas?

• 3. ¿Los conceptos, relaciones y procesos
  matemáticos pueden ser aprendidos significativamente
  por los alumnos?

• 4. ¿Las propiedades matemáticas
  tienen relación con la formación de estructuras
  mentales de los alumnos?

La resolución de problemas matemáticos ha
sido planteada por los teóricos de diferentes
perspectivas. Polya propone cuatro pasos: comprender el problema,
concebir un plan, ejecución del plan y el examen de lo
realizado.

Esto muestra un enfoque instruccional que requiere ser
puesto en práctica, aunque no necesariamente en el orden
establecido para que la estrategia mejore los aprendizajes de los
alumnos en el área de matemáticas.

En los trabajos de Schoenfeld se destacan cuatro
aspectos que intervienen en la solución de problemas los
recursos (entendidos como conocimientos previos, o bien, el
dominio del conocimiento), las heurísticas (estrategias
cognitivas), el control (estrategias metacognitivas) y el sistema
de creencias. (Schoenfeld,1985).

Aunque se marcan algunas diferencias en ambas postura
con respecto a la estrategia de resolución de problemas,
coinciden en dar mayor énfasis al recurso didáctico
para lograr los aprendizajes de los contenidos de
matemática.

Pero no mencionan qué sucede cuando un alumno
entiende de manera diferente los problemas y esto le ocasiona
llegar a resultados erróneos, en este sentido hay una
aproximación en uno de los aspectos de Scheonfeld cuando
se refiere a la metacognición y Polya al último de
los pasos la revisión de lo realizado.

Sin embargo no hay claridad en la relación de
esta estrategia didáctica y los aprendizajes que realizan
los alumnos que afecten sustancialmente sus estructuras
mentales.

Por otro lado, el uso de la resolución de
problemas se utiliza para comprobar el eficiente uso de
algoritmos previamente aprendidos, donde el planteamiento de la
estrategia solo sirve como medio para comprobar si algunos
algoritmos han sido correctamente memorizados.

Pero la postura que nos ocupa está encaminada a
la parte cognitiva de los alumnos, a la manera de cómo se
mueven sus estructuras mentales en los aprendizajes; cómo
organizan sus pensamientos para resolver una situación
problémica en matemáticas y cómo muestran
sus estrategias para buscar resultados.

Para establecer un vínculo entre la
resolución de problemas matemáticos como estrategia
didáctica y la postura psicogenética de Jean
Piaget, nos apoyaremos en los aportes de Gerard Vergnaud
:

"…el funcionamiento cognitivo de un sujeto o
de un grupo de sujetos en situación reposa sobre el
repertorio de esquemas disponibles, anteriormente formados, de
cada uno de los sujetos considerados individualmente. Al mismo
tiempo los niños descubren nuevos aspectos, y
eventualmente nuevos esquemas, en situación. Como las
conductas en situación se basan en el repertorio inicial
de los esquemas disponibles, no se puede teorizar
válidamente sobre el funcionamiento cognitivo sin tener en
cuenta el desarrollo cognitivo." (Vergnaud, 1981)

Desde esta perspectiva, la resolución de
problemas en matemáticas, aparte de promover aprendizajes
específicos, indaga sobre el desarrollo genético de
los alumnos para partir de sus conocimientos previos y promover
conocimientos basados en estructuras más complejas y
desarrolladas de los sujetos que aprenden.

Los conocimientos previos no son los que el alumno
memorizó de clases anteriores, sino los que verdaderamente
responde a su particular forma de entender el contexto que le
rodea, los que surgen de adaptaciones anteriores producto de la
asimilación y la acomodación propuesta por
Piaget

Esas adaptaciones forman sus esquemas mentales, desde
este punto de vista la resolución de problemas en
matemáticas debe considerar estructurar las actividades
didácticas que permitan desequilibrios y equilibraciones
sucesivas en los alumnos. "El esquema, la totalidad
dinámica organizadora de la acción del sujeto para
una clase de situaciones
específicas…"(Vergnaud, 1981).

Por ello el planteamiento de problemas
matemáticos deben ser abordados para que los alumnos
aprendan matemáticas y para que construyan sus propios
conocimientos vinculando nueva información con la que ya
han estructurado previamente. "En la resolución de
problemas aritméticos llamados elementales, los
niños encuentran numerosas dificultades conceptuales. En
términos de esquemas es como se debe analizar la
elección de buenas operaciones y buenos datos para
resolver un problema en el cual existen varias posibilidades de
elección".(Vergnaud, 1981)

Esta unidad organizadora que utiliza el sujeto que
aprende, es lo que mantiene nuestra atención; cómo
se enfrenta el alumno ante un problema de matemáticas,
qué tipo de estrategias o herramientas cognoscitivas
utiliza, para determinar con qué esquemas observa un
problema y entender por qué actúa con esa
lógica, que puede llegar a resultados verdaderos o
no.

"Esta unidad de organización en el sujeto
cognoscente Piaget la ha denominado esquemas. Estos son
precisamente los ladrillos de toda la construcción del
sistema intelectual o cognitivo, regulan las interacciones del
sujeto con la realidad y a su vez sirven como marcos asimiladores
mediante los cuales la nueva información (producto de las
interacciones S-O) es incorporada." (Hernández,
1997)

Con todo esto se busca utilizar la estrategia de
resolución de problemas para el aprendizaje de los
contenidos matemáticos, y conocer el proceso lógico
del alumno para plantear situaciones que promuevan su desarrollo
cognitivo asimilando y acomodando información conceptual
de la disciplina a sus saberes.

Así aprenderá los contenidos y
además desarrollará su pensamiento lógico.
Es preciso mencionar que el trabajo de investigación
apenas comienza, y que se requiere de mayor información
para apoyar estas ideas en el terreno teórico y
también su contrastación de la realidad
práctica.

Conclusión

Es importante considerar los procesos de razonamiento de
los alumnos, además de conocer las características
del objeto de conocimiento para que en el transcurso diario de la
clase, el proceso enseñanza aprendizaje resulte una
verdadera experiencia de aprendizaje que oriente con nuevos
conocimientos a los sujetos que aprenden, pero que a la vez,
encuentren la oportunidad de desarrollar su pensamiento para que
sea cada vez más crítico, reflexivo y busque la
participación para transformar su entorno y continuar
transformándose así mismo, bajo principios claros
de armonía con el contexto que le rodea.

Por ello es imprescindible conocer cómo razona el
alumno para partir de su postura y provocar razonamientos
más profundos, que le permitan construir de manera
sólida y duradera sus conocimientos

Indagar sobre la naturalidad del aprendizaje obliga a
reorientar la enseñanza que busque propiciar el desarrollo
libre de las personas y no la obediencia ciega al conocimiento
que se muestra por la arbitrariedad con que se enseña y
aprende dentro de las aulas.

Aprendizajes que poco o nada sirven al individuo para su
desarrollo porque solo cumplen con propósitos muy
limitados y en la mayoría de los casos, dentro de la
escuela, fuera de ella, ya no tienen utilidad real.

Bibliografía

AUSUBEL-NOVAK-HANESIAN .Psicología
Educativa: Un punto de vista cognoscitivo .2° Ed.TRILLAS
México (1983)

Blanco, L.J. (1993). Una
clasificación de problemas matemáticos.
Épsilon n. 25.Sevilla. 49-60.

Castorina, José A. Las
epistemologías constructivistas ante el desafío de
los saberes disciplinares. UBA – CONICET.
(1998)

Hernández, Rojas Gerardo.
Módulo Fundamentos del Desarrollo de la Tecnología
Educativa (Bases Psicopedagógicas). Coordinador: Frida
Díaz Barriga Arceo. México: Editado por ILCE- OEA
1997.

Piaget Jean, La epistemología
genética, A. Redondo, Barcelona 1970

Pólya, G. (1954). Mathematics and
plausible reasoning (Volume 1, Induction and analogy in
mathematics; Volume 2, Patterns of plausible inference).
Princeton: Princeton University Press.

Rodríguez, A. Concreción
presentada en el Congreso de Córdoba
Diciembre-97

Schoenfeld, A. (1985a). Mathematical
problem solving. New York: Academic Press.

Vergnaud, G. (1993). Teoria dos campos
conceituais. In Nasser, L. (Ed.) Anais do 1º
Seminário Internacional de Educação
Matemática do Rio de Janeiro.

p. 1-26.

Vergnaud, G. (1996c). Algunas ideas
fundamentales de Piaget en torno a la didáctica.
Perspectivas, 26(10): 195-207.

Autor:

Jorge Romero
Balanzar[1]

[1] Estudiante de la Maestría en
Ciencias de la Educación con especialidad en desarrollo
de habilidades intelectuales. Centro de Estudios de Postgrado
“Lev S. Vigotsky”, Sede Cópala; Guerrero