Empleo de la modelación por elemento finito (MEF) en la solución de problemas ingenieriles (página 2)

Enviado por Jorge Luis Garcia Jacomino

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Una de las tareas fundamentales del ingeniero consiste en el "cálculo", esto es la predicción cuantitativa del comportamiento de un sistema tecnológico para proceder a su diseño eficiente. Para ello debe hacer uso de conceptos de física y matemática, para formular un modelo matemático del sistema en consideración. Este modelo no es más que un sistema de ecuaciones cuyas incógnitas representan magnitudes de interés tecnológico, que permiten describir el comportamiento del objeto bajo análisis. Consecuentemente, para llevar a cabo la predicción en sí misma, el ingeniero debe resolver cuantitativamente las mencionadas ecuaciones para dedicarse, a continuación, a la interpretación técnica y al análisis de los resultados. Algunos ejemplos de este análisis lo constituye el estudio estructural de automóviles, aviones, puentes, o el análisis del campo de flujo de calor en soldadura, flujo de fluidos, etc. Debido a la gran dificultad para obtener soluciones analíticas a las aludidas ecuaciones, la ingeniería ha recurrido, históricamente, al uso de modelos simplificados basados en resultados experimentales. [4][9].

Estos modelos simplificados constituyen la denominada "ingeniería práctica" y se encuentran reunidos en manuales y códigos de recomendaciones prácticas o reglamentos. Esta metodología general de la ingeniería ha dado buenos resultados y aún se continua realizando. No obstante, es importante denotar que se trata de una metodología que presenta fuertes limitaciones en cuanto a las posibilidades del análisis, hecho que se hace más grave si se consideran las crecientes necesidades de la tecnología moderna. Este cuadro ha ido cambiando con el advenimiento de la computación electrónica y con el desarrollo asociado de métodos computacionales y además porque las exigencias del mercado y los avances de la tecnología, han transformado el concepto de diseño en ingeniería. Hoy las empresas tienen la necesidad de reducir los tiempos de desarrollo de sus productos y además, aumentar la calidad de las herramientas de cálculo; es por ello que de manera progresiva han ido surgiendo y renovándose las técnicas computaciones mediante métodos numéricos entre las cuales se destacan como se mencionó anteriormente, los Métodos de Diferencias Finitas, Elementos de Contorno y Elementos Finitos. [2][9]

El MEF

En su estado actual el MEF debe considerarse como un procedimiento general de discretización de problemas continuos que están expresados por modelos matemáticos bien definidos, es decir en métodos de solución de sistemas de ecuaciones diferenciales que describen procesos en medios continuos.

Este método hace uso de la "discretización" o subdivisión de una región sobre la cual están definidas las ecuaciones en formas geométricas simples denominadas elementos finitos. Las propiedades del material y las relaciones gobernantes en estos elementos se expresan en función de los valores desconocidos (desplazamientos) en las "esquinas" de los elementos o nodos (figura 1) [9].

Figura 1 – Proceso de análisis de un problema físico mediante Elementos Finitos

Las ideas básicas de este método se originaron durante el análisis estructural de la industria aeronáutica en la década del '50. En la década del '60 el método fue generalizado para la solución aproximada de problemas de análisis de tensión, de flujo de fluidos y transferencia de calor. El primer libro sobre elementos finitos fue publicado en 1967 por Zienkiewicz y Cheung. En la década del '70 el método fue extendido al análisis de problemas no lineales de la mecánica del continuo. Hoy en día el método permite resolver prácticamente cualquier situación física que pueda formularse mediante un sistema de ecuaciones diferenciales. [4] [5][7].

En muchos casos se obtiene un modelo adecuado utilizando un número finito de componentes bien definidas. A tales problemas el propio autor [9] los denomina discretos, en otros la subdivisión prosigue indefinidamente y el problema solo puede definirse haciendo uso de la matemática de infinitésimo, ello conduce a ecuaciones diferenciales o expresiones equivalentes con un número infinito de elementos aplicados, los cuales son llamados continuos. Según investigaciones realizadas [9], para vencer la dificultad que presenta la solución de problemas continuos, ingenieros y matemáticos han ido proponiendo a través de los años diversos métodos de discretización.

Por ejemplo en el campo de la mecánica de los sólidos, McHenry, Hrenikoff y Newmark demostraron al comienzo de la década del 40 que pueden obtenerse soluciones razonablemente buenas de un problema continuo sustituyendo pequeñas porciones del continuo por una distribución de barras elásticas simples, más tarde Argyris, Turner y otros demostraron que se pueden sustituir las propiedades del continuo de un modo mas directo y no menos intuitivo, suponiendo que las pequeñas porciones del mismo "elementos", se comportan de una cierta forma simplificada.[3][7][9]

Aplicaciones

La simulación mediante MEF se ha utilizado en el sector de la salud, en específico en la acción del fluido (sangre) en las arterias coronarías, remodelación y crecimiento del tejido de los vasos sanguíneos, aspectos fisiológicos y clínicos en sentido general; funcionamiento del corazón al insertar marcapasos etc. Otras de sus múltiples aplicaciones la podemos encontrar en la ingeniería civil, como por ejemplo comportamiento de suelos, cimentaciones, estructuras de hormigón etc. De igual forma en la industria mecánica en diversos sectores, siendo este programa de mucha utilidad para la verificación de cálculos en diseño automotriz, deformaciones en tanques, recipientes a presión, tuberías, vigas, grúas, en la aviación etc. [10], como lo muestran las figuras siguientes:

En el sector de la salud:

Figura 2: Contornos de presión en la pared internas de las arterias.

En la ingeniería civíl:

Figura 3: Deformaciones en suelos

Figura 4: Deformación en tanques de hormigón.
Respuesta sísmica por vibración

Figura 5: Modelado de dique portuario para análisis de capacidad.

En la industria mecánica:

Figura 6: Diseño del Telescopio de Canarias y verificación modelada de las condiciones de apoyo de un tanque metálico colapsado en la Argentina [8]

Figura 7: Simulación de una soldadura multipasada de tuberías para observar la estructura que se formará en la ZIT.

En lo específico se pueden emplear en la simulación de uniones soldadas de alta importancia, para el control de las deformaciones y tensiones que pueden generar nuevas grietas. Uno de los primeros reportes que se encuentra en la literatura especializada relacionado con este tema son los de K. Masubuchi y N.T. Ich, quienes ya por la década del 70 utilizan por primera vez un paquete empleado en el Massachussets Institute of Technology, Cambridge, (MIT) de cálculos estructurales de Ingeniería Civil, la asimilan y emplean para el caso del análisis de la contracción transversal provocado por la soldadura y llegan a la conclusión del "tremendo potencial que puede ofrecer a la industria de la soldadura el método de los elementos finitos". [3][4]

Otros autores han planteado que: El diseño de una estructura que permita lograr su más alto nivel de funcionamiento con la menor oportunidad de falla puede ser facilitado por el pronóstico modelado con basamento matemático del comportamiento de la soldadura en una variedad de circunstancias…" [4 ]

Aplicación del MEF en la soldadura

Es amplia la atención que se ha prestado al estudio de la magnitud y distribución de los esfuerzos residuales en las construcciones soldadas. La relación entre fenómenos como los cambios complejos de temperatura (que provocan esfuerzos térmicos transientes) y las deformaciones plásticas, obligan a trabajar bajo una cierta metodología, como es la planteada por K. Masubuchi y constatada por J. Goldak [ 4 ]

Análisis del flujo de calor
Análisis de los desplazamientos provocados por los esfuerzos residuales
Determinación de las deformaciones.
Análisis de los esfuerzos térmicos residuales.

Para el caso específico de la simulación de la soldadura mediante es MEF [4] se utilizan diferentes etapas básicas de cálculo como son:

ETAPA 1: Selección del tipo de elemento:

Está en función de la tipología del problema y de la precisión deseada. Después de seleccionado el elemento, quedan definidas las funciones de forma, según el tipo de elemento seleccionado. Los tipos de elementos que se utilizan frecuentemente se muestran en la figura siguiente:

Figura 8: Formas que pueden tener los elementos.

Donde:

a- elemento lineal de dos nodos.

b- elemento lineal de 3 nodos.

c- elemento triangular de 3 nodos.

d- elemento triangular de 6 nodos.

e- elemento cuadrilátero lagrangiano de 4 nodos.

f- elemento cuadrilátero lagrangiano de 8 nodos.

g- elemento cuadrilátero lagrangiano de 9 nodos.

h- elemento hexagonal serendipedo de 8 nodos.

i- elemento hexagonal serendipedo de 20 nodos.

ETAPA 2. Discretización de la geometría en los elementos finitos.

En esta se define la topología de la malla y coordenadas de los nodos que se escoge según la geometría del problema y de la precisión que se desee obtener.

ETAPA 3. Entrada de datos.

Se introducen las propiedades de los materiales, variables esenciales como espesor, cantidad de calor aportado, a partir del proceso utilizado, en el cual intervienen, el voltaje, la corriente, la velocidad de soldadura, entre otros factores, las condiciones iniciales, tiempo de análisis y otros según sea necesario, también en esta etapa se introduce la restricción de los grados de libertad, según sea la restricción externa del modelo utilizado, esto no es más que, por ejemplo para el caso de la soldadura, definir el grado de embridamiento impuesto a las juntas, valorando cuando existe la posibilidad de variar la rigidez externa, los diferentes estados tensionales y deformaciones con el fin de escoger la opción mas favorable, también cuando el modelo es simétrico y se decide solo modelar una sección de la misma, con esta opción se representa además continuidad de material.

ETAPA 4. Cálculo de la matriz de rigidez de los elementos.

Se calcula la matríz de rigidez de cada uno de los elementos que conforman el mallado del modelo. Para problemas transientes se calculará además la matríz de masa y la aportación que se realiza a la matriz de rigidez debido a las condiciones de contorno, como puede ser la convección.

ETAPA 5. Cálculo del vector de temperaturas nodales.

Se obtiene el vector de temperaturas nodales equivalentes a para cada elemento. Su complejidad depende del elemento utilizado y también de las cargas externas consideradas. Para problemas transientes se consideran las aportaciones de las condiciones iniciales y de la matriz de rigidez por el esquema de integración del tiempo, lo cual para cada elemento se irá actualizando.

ETAPA 6. Solución del sistema de ecuaciones globales.

Después de tener las matrices de rigidez y los vectores de temperaturas nodales de cada elemento sigue la etapa de ensamblaje de dichas matrices y vectores y la solución del sistema de ecuaciones resultantes, para obtener las temperaturas nodales.

ETAPA 7. Cálculo de los gradientes:

Consiste en calcular los gradientes de temperaturas en los nodos de los diferentes elementos a partir de los valores de temperaturas nodales y a partir de estos y del sistema de rigidez obtener los desplazamientos y tensiones. Como se muestra a continuación de forma resumida:

Otros ejemplos de algunas aplicaciones de simulación mediante MEF en la soldadura [10]

Figura 9: Obtención de la transferencia de calor con respecto al tiempo en la soldadura de tubos. (Representación de una sección)

Figura 10: Obtención de tensiones en una unión en T por soldadura.

Conclusiones

1. De la revisión bibliográfica, se hizo evidente que actualmente en el mundo, se trabaja de manera intensa la modelación aplicando técnicas de elementos finitos como complemento del diseño y reparación en diferentes ramas, como es la salud, la ingeniería naval y aeronáutica, civil y mecánica entre otras.
2. Los métodos de simulación como es el MEF, superan a los cálculos analíticos realizados por el hombre, desde el punto de que se pueden obtener resultados con la modelación computacional más confiables y cercanos a la práctica.
3. Se debe tener conocimiento básico de los programas MEF, así como las Etapas Básicas del proceso de cálculo, para explotarlos debidamente y no realizar representaciones erróneas del modelo físico a simular.
4. Cada día se trabaja más en el mundo actual, la simulación mediante MEF para tener mayor seguridad antes de efectuar una fabricación o reparación sobre un objeto real, que puede ser costoso y de alta responsabilidad.
5. Se pueden obtener con mayor seguridad uniones soldadas de mayor confianza al analizar debidamente las temperaturas, deformaciones y tensiones obtenidas. Una adecuada definición y estudio de dichos procesos mediante la simulación se traduce en ejecuciones que aseguran un correcto comportamiento mecánico de las uniones.
6. El empleo de la simulación numérica en el diseño de procedimientos de soldadura, puede constituir una eficaz herramienta que complemente a la experimentación y permita comprender mejor los fenómenos que tienen lugar.

Bibliografía

[1]- Claudio de Mora Castro E., El Uso de la Simulación como herramienta para la capacitación .2003. http://www.techknowlogia.org
[2]- Fellipa Carlos A., Introduction to the Finite Element Methods. Department of Aerospace Engineering Sciences and Center for Space Structures and Controls. University of Colorado , Boulder, Colorado 80309-0429, USA, 2001
[3]- García Rodríguez, Yenei, Burgos, J.; Obtención de campos de temperaturas en juntas soldadas mediante el empleo de MEF. Revista de la Facultad de Ingeniería. Universidad Central de Venezuela.. Editorial Papiro, Venezuela, VOL 18-Nº 2, 2003. (a) http://www. revelo.com.ve/programa/indice/ria-php?id=12045&rev=fiucv.
[4]- García R. Yenei., Obtención de campos térmicos mediante MEF en juntas soldadas por proceso SMAW. Tesis presentada en opción al grado de Master en Ciencias. Centro de Investigaciones de Soldadura. UCLV.2003.(b)
[5]- Goicolea José Ma., Ruigómez, Gabaldón F., García J.C., Algunas Aplicaciones no Lineales de los Elementos Finitos en Ingeniería Civil, Mecánica y Bioingeniería. Depto. Mecánica Medios Continuos y Teoría Estructuras E.T.S. Ingenieros de Caminos, UPM. España, abril de 2003. http://www.mecanica.upm.es
[6]- Gómez Lina. Modelamiento y simulación del efecto de la entrada de calor en la penetración de la junta soldada. Escuela de Ingeniería Mecanica y Eléctrica. Universidad Nacional de Colombia. Medellín.2003 http://www.salvador.edu.ar
[7]- Hennart, Jean-Pierre. Introducción al Método de los Elementos Finitos para la solución numérica de ecuaciones diferenciales. Centro de Investigación y Estudios avanzados del IPN.México.1997. http://biblioteca.utm.mx/principal_lib.php?ultimas=1&total=8613
[8]- Jaca, C., Rossana; Godoy Luis, Colapso de un tanque metálico en construcción bajo la acción del viento. Modelación. Departamento de Construcciones, Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Comahue. Buenos Aires, Argentina.2004.
[9]- http://civil.uprm.edu/revistadesastres/Vol3num1/JacaGodoy%20C%2023_9_03.pdf#search='SIMULACION%20DE%20SOLDADURA'
[10]- O.C. Zienkiewicz, R.L. Taylor, El Método de los Elementos Finitos, Formulación Básica y Problemas Lineales, CIMNE, 4ta Edición, Volumen I, 2000.
[11]- Yancey Robert, Ph D. Shushi Khurana, Including Weld Process Modeling in Structural and Durability Modeling. Product of development Conference. MSC Software. California. EWI, The Materials Joinints Expert. 2004 . http://MSC.software.welding process/virtual2004v[pd]