La definición de las grandes Cónicas

Definición

Las cónicas son curvas planas obtenidas mediante la intersección de un cono con un plano. El ángulo que forman el plano y el eje del cono, comparado con el ángulo que forman el eje y la generatriz del cono determina las distintas clases de cónicas. Además son sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

ESQUEMA DE LAS CÓNICAS

Parábola

DEFINICION

Una parábola es un conjunto P de todos los puntos en el plano R2 que equidistan de una recta fija, llamada directriz; y de un punto fijo, denominado foco que pertenece a la recta.

Una parábola es una curva con dos brazos abiertos cada vez más, simétrica con respecto a la recta que pasa por el foco y perpendicular a la directriz. Esta recta se llama eje de simetría y el punto donde esta recta intersecta a la parábola se llama vértice.

ELEMENTOS DE UNA PARABOLA

Al igual que en las ecuaciones estudiadas anteriormente, la parábola cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, mismos que se definen a continuación:

VÉRTICE (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal.

EJE FOCAL (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos ramas y pasa por el vértice.

FOCO (F): Punto fijo no perteneciente a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de las ramas de la misma y a una distancia p del vértice.

DIRECTRIZ (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de las ramas de la parábola.

DISTANCIA FOCAL (p): Magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz.

CUERDA: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.

CUERDA FOCAL: Cuerda que pasa por el foco.

LADO RECTO (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.

Trazado de una parábola

Existen numerosos métodos para el trazado de la parábola conocidos sus elementos principales. Sólo se explicará el trazado de la cónica usando su definición como lugar geométrico por la sencillez del procedimiento.

Como los puntos equidistan de la directriz y del foco, se trazan paralelas a la directriz a una distancia cualquiera y arcos con centro el foco y radio la mencionada distancia hasta que corten a las rectas (Fig. 19). Estos puntos (P1, P2) pertenecerán a la parábola por equidistar del foco y de la directriz. Una vez dibujados los puntos, estos se unen entre si a mano alzada o bien mediante plantillas de curvas.

Aplicaciones en el contexto real

La parábola tiene múltiple aplicaciones científicas. Por ejemplo, cuando se lanza un proyectil, como una piedra o una pelota, su trayectoria es una parábola si no se consideran factores de menos importancia, como resistencia del aire y giros del proyectil sobre sí mismo; esta variación puede llegar a ser apreciable en los casos en el que el proyectil inicie su movimiento con gran velocidad; por ejemplo, un obús de cañón. En la construcción de Algunos puentes se emplean arcos parabólicos; las curvas que forman los cables que sostienen ciertos puentes suspendidos son aproximadamente una parábola, siempre que la carga sobre el puente sea uniforme.

Ecuaciones de la parábola

• ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL ORIGEN:

• 1. de vértice en el origen y eje X, y2 = 4px

Teniendo en cuenta que:

P= (x, y) es un punto de la parábola

F= (p, 0) es el foco, p0

V= (0, 0) es el vértice

La ecuación de la directriz es x=- p

Por definición de parábola tendríamos:

• 2. Parábola de vértice en el origen y eje Y, x2= 4py

Lado focal: |MN|=|4P|

• ECUACION DE LA PARABOLA CON VERTICE EN EL PUNTO V(h, k):

• ECUACION GENERAL DE LA PARABOLA:

Para hallar la ecuación general de la parábola, cuando el eje focal es paralelo al eje x, se desarrolla el binomio y el producto de su ecuación ordinaria.

EJEMPLOS: