Tangente de parábolas
Las tangentes en las parábolas presentan
una propiedad que facilita su trazado. Dado un punto "x" de la parábola, trazamos la distancia al eje de simetría de la curva, definiendo el punto "o". Trasladamos la medida ov sobre el eje hacia abajo, determinando el punto "t". Trazamos la recta que pasa por "x" y por "t", siendo esta la tangente en el punto "x".
La tangente en el vértice de la parábola (v)
es paralela a la directriz.
EMPALMES ENTRE PARABOLAS:
Para producir un empalme entre parábolas o entre sectores de las mismas las curvas
deben tener en el punto de unión la misma tangente.
Como la tangente en el vértice de la parábola
(v) es paralela a la directriz podemos empalmar dos medias parábolas por su vértice.
A partir de estos datos, si queremos empalmar una parábola en el punto "x" con otra con curvatura en sentido opuesto realizamos la siguiente construcción :
Por el punto "x" trazamos una perpendicular al eje de la parábola que llamamos P. Por un punto cualquiera "m" de la tangente en "x" trazamos una paralela al eje.
Este será el eje de la parábola de empalme y su altura será la mitad de la distancia de "m" a la línea P. Con estos datos solo queda construir la parábola de empalme. Recordemos que si las dos curvas tienen igual o similar curvatura en el punto de unión, la continuidad entre las mismas será mas evidente.
TANGENTES A LA PARABOLA DESDE UN PUNTO INTERIOR:
Sea el punto Q. Se traza la circunferencia de radio QF y centro en Q, la cual corta a la recta directriz que en la parábola hace de circunferencia focal de radio infinito, en los puntos 1 y 2.
Las mediatrices de los segmentos 1F y 2F son las tangentes t1 y t2. Los puntos de tangencia T1 y T2 se obtienen trazando por 1 y 2 los radios vectores que son paralelos al eje.
TANGENTES A LA PARABOLA PARALELAS A UNA DIRECCION DADA:
La tangente ha de ser paralela a la dirección D.
Para ello por el foco se traza la perpendicular a D, la cual corta en 1 a la recta directriz. El punto de tangencia es T, en la paralela por M al eje de la curva.
Elipse
DEFINICIÓN:
Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre dos puntos.
Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición de una elipse excluye el caso en que el punto móvil este sobre el segmento que une a los focos.
ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
1. Designamos por F y F' los focos de una elipse.
2. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta.
3. El eje focal corta a la elipse en dos puntos V y V', llamados vértices. La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento VV', se llama eje mayor.
4. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro.
5. La recta l' que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el termino eje normal para designarla.
6. El eje normal l' corta a la elipse en dos puntos, A y A', y el segmento AA' se llama eje menor.
7. Un segmento tal como BB', que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular una cuerda que pasa por uno de los focos tal como EE', se llama cuerda focal.
8. Una cuerda focal, tal como LL ', perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C tal como DD', se llama un diámetro.
9. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F'P que une los focos con el punto P se llama radios vectores de P.
Ecuaciones de la elipse
1. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es:
La ecuación de la elipse de centro en el punto (h , k) y eje focal paralelo al eje X, es:
2. La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje Y, distancia focal igual 2c y cantidad constante igual a 2a es :
La ecuación de la elipse de centro en el punto (h, k) y eje focal paralelo al eje Y es:
Propiedades de la elipse
Una elipse debe tener las siguientes propiedades:
La distancia de A a cualquier punto de la elipse y después a B debe ser constante.
La perpendicular de la elipse en cualquier punto es bisectriz del ángulo subentendido por AB en dicho punto. (A y B son los focos de la elipse)
Como las propagaciones son reversibles se reflejarán en la barrera, convergerán y pasarán a A, se reflejarán en la barrera, convergerán y pasarán por B y así sucesivamente.
Entre las principales aplicaciones de las elipses están la primera Ley de Kepler, que habla sobre el movimiento de los planetas, ya que éstos siguen órbitas elípticas, en uno de cuyos focos se encuentra el Sol y la famosa Ley de la gravitación universal, descubierta por Newton debido a sus amplios conocimientos sobre la geometría de las elipses.
La elipse tiene propiedades de reflexión semejantes a las de la parábola: si unimos cualquier punto P, de la elipse con sus focos, el ángulo que forman los radios focales con la tangente en ese punto son iguales. Esta propiedad se utiliza en la construcción de espejos (de luz y sonido), pues la emisión, de luz o sonido, desde uno de los focos se refleja en el otro foco.
Hipérbola
Una hipérbola es una sección cónica, una curva abierta
de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de
simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del
eje de revolución.
Entonces se dice que la hipérbola es el lugar geométrico
de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus
distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es igual a la distancia entre
los vértices, la cual es una constante positiva.
EJEMPLO:
Dados dos puntos F y F" llamados focos, y una distancia K, llamada constante de la hipérbola (K:
ELEMENTOS DE UNA HIPERBOLA
La tangente a una hipérbola en cualquier punto
de la curva es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores
de ese punto.PROPIEDAD FOCAL DE LA HIPERBOLA
Ecuaciones en coordinadas polares
ECUACIONES
PARAMETRICAS:
ECUACIONES DE LA HIPERBOLA
1. Hipérbola con focos
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el
origen y cuyos focos están en los puntos
F (-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:
Demostración: Si P(x, y) es un punto que
pertenece a la hipérbola considerada, se tiene de acuerdo a la
definición i. que:
Equivalentemente, usando la fórmula
de distancia, se puede escribir:
Elevando ambos miembros al cuadrado en la última
igualdad y simplificando se obtiene:
Elevando nuevamente ambos miembros al cuadrado en la última
igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:
2. Hipérbola con focos en
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el
origen y cuyos focos están en los puntos
F" (0, -c) y F(0, c) viene dada por:
La demostración es similar a la anterior.
3. Caso General
Si en vez de considerar el centro de la hipérbola
en el punto (0, 0), como se hizo en los dos casos anteriores, se considera
el punto C (h, k), las ecuaciones de la hipérbola correspondiente,
se transformarán utilizando las ecuaciones de traslación en:
Según que el eje focal sea una recta paralela al
eje x o al eje y respectivamente.
Observaciones:
i. En la figura, se ha trazado la hipérbola
centrada en el origen y focos en los puntos F1(c, 0) y F2 (-c, 0). Los
puntos V1 y V2 son los vértices de la hipérbola y sus coordenadas
son V1(a, 0) y V2 (-a, 0). Los puntos M, N, P y Q tienen coordenadas:
M (a, b), N (-a, b), P (-a, -b) y Q(a, -b).
El rectángulo MNPQ recibe el nombre de rectángulo
auxiliar de la hipérbola.
ii. La gráfica de la hipérbola es simétrica
con respecto al eje x y con respecto al eje y. iii. Las rectas que
pasan, la primera por M y P y la segunda por N y Q, se llaman asíntotas
oblicuas de la hipérbola y sus ecuaciones vienen dadas respectivamente
por:
Una forma "nemotécnica" de obtener las
ecuaciones de las los asíntotas de la hipérbola es la siguiente:
En la ecuación de la hipérbola, sustituir el 1 (uno) del segundo
miembro por un 0 (cero).
Así, en el caso particular de la hipérbola
Hacemos:
iv. En el caso particular, cuando a = b, las ecuaciones
de la hipérbola se transforman en:
En ambos, la hipérbola se llama: Hipérbola
Equilátera y tienen como asíntotas las rectas
Asíntotas de la hipérbola
Las asíntotas de la hipérbola son dos rectas
a las que la curva se acerca indefinidamente sin llegar a tocarlas.
Si en la ecuación de la hipérbola se despeja
y, resulta:
Al hacer x suficientemente grande, el denominador aumenta
indefinidamente, mientras que el numerador siempre va a permanecer estático
(invariable). Así la diferencia se hace tan pequeña como se
quiera al crecer x.
Por tanto, la hipérbola se aproxima indefinidamente
a las rectas
Estas rectas se llaman ASÍNTOTAS DE LA HIPÉRBOLA.
OBSERVACIONES:
Es largo el proceso para poder conocer las asíntotas
de una hipérbola.
Sencillamente se eleva al cuadrado las dos ecuaciones de
las asíntotas,
De esta manera obtienes:
Conclusión
Para calcular las asíntotas sencillamente se iguala
a cero el primer miembro de la ecuación reducida de la hipérbola
y se despeja y.
Propiedades de la hipérbola
Muchas propiedades de la hipérbola están asociadas
con sus tangentes. Como la ecuación de una hipérbola es de segundo
grado, sus tangentes pueden obtenerse empleando la condición para tangencia.
TEOREMAS:
En cada punto P de la hipérbola, la recta tangente
forma ángulos iguales con los segmentos PF1 y PF2 que unen el punto
con los focos.
EJEMPLO:
Hallar la ecuación canónica de la hipérbola
con vértices en (3,-5) y (3,1) y asíntotas
Además calcule los focos, la excentricidad y trace
la gráfica.
SOLUCION:
Por ser el centro el punto medio de los vértices
sus coordenadas son (3,-2). Además, la hipérbola tiene eje transversal
vertical y 
Por otro lado, por el teorema de las asíntotas.
Por tanto, la ecuación canónica es
El valor de está dado por
Los focos están en
La gráfica se muestra en la figura:
Bibliografía
– http://www.scribd.com/doc/6508733/PARABOLA
– http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Analitica/mat3u5.pdf
– http://www.supercable.es/~anmole/intersecciones/Temaconicas.pdf
– Geometría Analítica; Autor: Charles H. Lehmann
– Cálculo: varias variables; Autor: George Brinton
Thomas
– Matemáticas básicas; Autores: Alamar Penadés
y Roig Salas
– Física conceptual; Autor: Paul G. Hewitt
– Precálculo; Autor: Carlos Prado Pérez
– Diccionario de matemáticas; Autor: Cristopher Clapham
– Geometría Analítica; Autor: Ana Rosa Lira
Contreras
– Matemáticas, 1 Bachillerato; Autor: Carlos González
García
Autor:
Bedoya Arteaga, Mayra
Borja Dávila, Katherin
Caballero Calampa, Angélica
Cano Sánchez, Luis Enrique
Chumbiray Tapia, Meyling
Sánchez Alvarado, Maricielo
Sánchez Huamash, Claudia
Valencia Pérez, Estefanía
Yaringaño Guerra, Nataly
Zevallos Figueroa, Víctor
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