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Ejercicios para resolver problemas de ecuación lineal (página 2)




Partes: 1, 2, 3

Desde los primeros grados los alumnos reciben la asignatura de Matemática con una frecuencia diaria, pues esta ofrece múltiples posibilidades para contribuir de manera decisiva al desarrollo multilateral de la personalidad. De aquí que la Matemática se considere como asignatura priorizada y sea una de las que mayor atención se le está brindando en estos momentos por el sistema educacional. En la asignatura también se han realizado transformaciones, cada una de las clases deben concebirse por medio de situaciones prácticas, es decir, planteando problemas del contexto social donde se desarrolla el alumno.

A partir de la definición de los Objetivos Formativos Generales y por grados para el nivel de Secundaria Básica es necesario precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada, para lograr su vínculo con la vida y su responsabilidad en el desarrollo del pensamiento lógico de los alumnos, como base y parte esencial de la formación comunista, integral y armónica de su personalidad.

En el nuevo modelo de Secundaria Básica está definido el objetivo formativo 5 y específicamente en el 5.1 del octavo grado el cual plantea: mostrar un mayor nivel de independencia al resolver problemas de las diferentes asignaturas y de la vida cotidiana, a partir de la identificación, formulación y solución de problemas, por medio del empleo de estrategias de aprendizaje, técnicas y aplicación del conocimiento con un determinado nivel de integración de los procedimientos lógicos, comunicativos y valorativos.

Los problemas han estado siempre presente, aunque ha existido cierta tendencia al resolverlo por imitación, sin tomar conciencia de la importancia que tiene para la formación integral de la nueva generación. La escuela cubana es la institución que, de manera especialmente dirigida, debe preparar a sus alumnos para que puedan resolver problemas independientemente, a la vez que los desarrolla de manera general.

En la actualidad la resolución de problemas constituye uno de los campos más importantes de la investigación educativa, destacándose el húngaro George Polya, que caracterizó diferentes etapas en el proceso de resolución de problemas en la que se emplean procedimientos heurísticos.

En la educación media, siempre han existido insuficiencias en la enseñanza de la Matemática, específicamente en la resolución de problemas. A pesar de los distintos perfeccionamientos y ajustes curriculares que se introducen en diferentes planes de estudio, no se ha podido lograr en toda su intención que los alumnos cambien el rol pasivo que en ocasiones manifiestan en su aprendizaje y conllevan a las dificultades que interfieren notablemente el razonamiento en la adquisición, consolidación y desarrollo de habilidades afectando sustancialmente el proceso de enseñanza-aprendizaje. En correspondencia con lo anterior la escuela tiene una importante tarea de propiciar en los alumnos la solución de problemas que es uno de los contenidos más afectados en los alumnos del octavo grado.

Los docentes, para tratar de solucionar esta dificultad, imparten repasos con el predominio de métodos reproductivos, provocando que las principales insuficiencias de los alumnos a la hora de resolver un problema estén dadas en que no se proponen sistemas de ejercicios que fortalezcan el desarrollo de habilidades, lo que evidencia un problema en el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos. A veces lo que el alumno necesita es ejercitar para desarrollar la habilidad y no repetir un sin número de veces ejercicios del mismo tipo.

En la observación del proceso de enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática en la resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales en octavo grado de la ESBU" Pedro de Céspedes del Castillo", se detectaron dificultades en este sentido, entre las que se encuentran:

-Pobre solidez y perdurabilidad de los conocimientos básicos para enfrentar la resolución de problemas matemáticos.

- Se conocen las insuficiencias de los alumnos por elementos del conocimiento, pero su seguimiento de forma diferenciada es insuficiente, se proponen ejercicios en su mayoría reproductivos y muy pocos del tipo productivos y creativos.

- Pobre desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal.

- No se le da una correcta aplicación al Programa Heurístico General para la resolución de problemas.

Todo lo anterior atenta, de una u otra forma, contra el desarrollo de la formación de habilidades en la resolución de problemas matemáticos y producen un desbalance en el aprendizaje de los alumnos en la resolución de problemas. Considerando los elementos didácticos y metodológicos para la formación de habilidades, la autora precisa el siguiente Problema científico: ¿cómo fortalecer el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal en la asignatura Matemática, en los alumnos de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo"?

Se determina como objeto de investigación: el proceso enseñanza-aprendizaje de la asignatura Matemática de octavo grado.

Para solucionar el problema científico, se declara como objetivo: elaborar un sistema de ejercicios para la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables", sustentado en los niveles de desempeño cognitivos, de manera que fortalezca el desarrollo de habilidades referidos a la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, en los alumnos de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo" del municipio Media Luna.

Como campo de acción: el desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal, en el octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo".

Para cumplir el objetivo y solucionar el problema se formulan las siguientes preguntas científicas:

¿Cuál ha sido la evolución histórica del proceso de enseñanza-aprendizaje referido al desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en el nivel de Secundaria Básica?

¿Qué fundamentos teóricos existen relacionados con el proceso de desarrollo de habilidades en la resolución de problemas en el nivel de Secundaria Básica?

¿Cuál es el estado actual del proceso enseñanza-aprendizaje del desarrollo de habilidades en la resolución de problemas en la educación Secundaria Básica?

¿Qué sistema de ejercicios elaborar para la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables", de manera que fortalezca el desarrollo de habilidades referido a la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, en los alumnos de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo"?

¿Cuáles son los resultados que se obtienen al evaluar la efectividad de la propuesta en la práctica educativa de los alumnos de octavo grado?

En correspondencia con las preguntas científicas que orientan la investigación y para alcanzar el objetivo trazado fue necesario desarrollar las siguientes tareas científicas:

( Estudio de la evolución histórica del proceso de enseñanza-aprendizaje del desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en el nivel de Secundaria Básica.

( Determinación de los fundamentos teóricos relacionados con el proceso de desarrollo de habilidades en la resolución de problemas en el nivel de Secundaria Básica.

( Caracterización del estado actual del proceso enseñanza-aprendizaje del desarrollo de habilidades en la resolución de problemas en la educación Secundaria Básica.

( Elaboración de un sistema de ejercicios para la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables", de manera que fortalezca el desarrollo de habilidades referido a la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, en los alumnos de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo".

( Evaluación de la efectividad del sistema de ejercicios propuestos en la práctica educativa de los alumnos de octavo grado.

El planteamiento de las tareas anteriores originó la necesidad de aplicar determinados métodos teóricos y empíricos los cuales fueron:

Del nivel teórico del conocimiento:

Análisis - síntesis: para analizar los diferentes enfoques del tratamiento a la resolución de problemas matemáticos, precisar la información teórica relacionada con el nuevo modelo de Secundaria Básica, así como los componentes metodológicos de Matemática.

Inducción - deducción: para el análisis de los requisitos a tener en cuenta en la dirección y orientación del proceso de formación y desarrollo de habilidades; así como tipos de ejercicios que se les plantea a los alumnos, ambos analizados desde la literatura Matemática y de la práctica escolar.

Histórico - lógico: para realizar el estudio de las principales tendencias y resultados de la investigación existente en relación con el tema y con ellos acercarnos a los antecedentes y determinar la acción a realizar.

Sistémico estructural funcional: se utilizó para determinar el proceso de elaboración de los ejercicios, del informe final y fundamentar el enfoque de sistema de los ejercicios, en el que se puede precisar el grado de jerarquía entre ellos.

Métodos matemáticos-estadísticos

La estadística descriptiva se utilizó en el manejo de toda la información estadística que fue recogida en cifras, porcentajes, tabulaciones, ordenamiento.

Del nivel empírico del conocimiento:

Observación: con el objetivo de verificar el tratamiento metodológico de los profesores que imparten la asignatura, a la resolución de problemas en función de fortalecer en los alumnos la habilidad resolver problemas matemáticos.

Revisión documental: de los materiales docentes con que cuenta el Profesor General Integral para conducir la preparación de sus alumnos en Matemática, del programa de la asignatura, de la dosificación de las video clases, el plan de clases de los Profesores Generales Integrales, los cuadernos de los alumnos, el plan de preparación de la asignatura, las resoluciones, documentos, folletos y orientaciones que fundamentan el modelo actual de Secundaria Básica.

Encuesta: para conocer el criterio de los alumnos con respecto al conocimiento que poseen sobre la resolución de problemas matemáticos.

Prueba pedagógica: para conocer el grado de desarrollo en los alumnos de la habilidad resolver problemas matemáticos.

Para el desarrollo de la investigación se tomó como población 135 alumnos de octavo grado y se escogió como muestra los 45 alumnos del grupo octavo 1 que representa el 33,3% de la matrícula del grado, ésta se seleccionó de forma intencional.

La actualidad radica en que responde al Programa Ramal 4 del MINED: "El cambio educativo en la Educación Básica: un reto de la revolución educacional", teniendo como prioridad "El estudio del proceso enseñanza-aprendizaje y sus resultados en las nuevas condiciones", desde la asignatura priorizada Matemática.

La novedad del trabajo radica en un sistema de ejercicios que fortalezca el desarrollo de habilidades referidas a la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, en los alumnos de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo". El sistema de ejercicios se estructura teniendo en cuenta los niveles de asimilación del conocimiento.

El material docente presenta la siguiente estructura: en la Introducción se plasma la fundamentación del problema y el diseño tanto teórico como metodológico de la investigación. En el Desarrollo se abordan los fundamentos teóricos del proceso aprendizaje de la Matemática, se caracteriza el estado actual del problema, se propone un sistema de ejercicios para fortalecer el desarrollo de la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal, en el alumno de octavo grado, de la ESBU" Pedro de Céspedes del Castillo", así como la valoración de los resultados. En las Conclusiones se plasman los aspectos conclusivos más importantes. En las Recomendaciones las sugerencias del proceso de investigación. La Bibliografía contiene todo el material bibliográfico. Un cuerpo de Anexos con los instrumentos utilizados en la recolección de la información.

DESARROLLO

Fundamentación del Proceso enseñanza-aprendizaje de la Matemática en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal

En este trabajo los elementos que se abordan constituyen el sustento teórico de la investigación, obtenidos como resultado del trabajo realizado con la literatura científica consultada, los puntos de vista asumidos por la autora y las principales inferencias realizadas en el plano teórico. Se establecen consideraciones teóricas acerca del estudio de las habilidades y en especial la habilidad resolver problemas matemáticos.

Algunos aspectos históricos que caracterizan el proceso de desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en el nivel de Secundaria Básica

La resolución de problemas es consustancial a la propia existencia del hombre como ser social. Sócrates, matemático de la antigüedad es considerado como el precursor de la enseñanza por medio de la solución de problemas.

La Didáctica de la Matemática que se enseña en Cuba, en los Institutos Superiores Pedagógicos se caracteriza por un marcado saber constructivista, esto está dado por el hecho de que al abordar el tratamiento de cada una de las llamadas situaciones típicas (tratamiento metodológico de los conceptos y sus definiciones, tratamiento de los teoremas y sus demostraciones, tratamiento de las construcciones geométricas y tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto); se utiliza el llamado Programa Heurístico General, que contempla en la fase de "trabajo con el problema" la "búsqueda de la idea de solución", esto es, propiciar que los alumnos participen activamente en la búsqueda del conocimiento matemático, realizando su propia construcción.

Desde la década de los setenta ha sido una tendencia en la enseñanza de la Matemática la de fortalecer la habilidad para plantear y resolver problemas, antecedido de un fuerte movimiento de innovación surgido en los años 60 con la introducción de la Matemática moderna que ubicó en un primer plano el estudio de estructuras algebraicas abstractas, acentuando los aspectos lógicos sobre los aspectos prácticos, los ejercicios formales en detrimento de los problemas prácticos, que produjo un crecimiento en el estudio de las nociones algebraicas.

El objeto de la actividad matemática en esta etapa estuvo más encaminado a la comprensión de las estructuras matemáticas, el rigor en la fundamentación de proposiciones y, en menor medida, a la resolución de problemas, lo que tuvo sus antecedentes en los auges del formalismo que presenta a la Matemática como un cuerpo estructurado de conocimientos. Hasta hace algunos años, la resolución de problemas se realizaba de manera rutinaria y era el maestro quien desempeñaba un papel protagónico, llegando incluso a realizar él la presentación y resolución del problema para mostrar su dominio del tema.

La resolución de problemas ha constituido, desde el surgimiento de la escuela, un recurso pedagógico para acercar a los objetivos que intervienen en el proceso docente educativo a su entorno social. El avance de la ciencia y la técnica en el mundo actual demanda de la escuela la tarea de "enseñar a pensar" a los alumnos, pues resulta imposible acumular todos los conocimientos que se derivan del desarrollo científico técnico en las diferentes esferas de la vida. El éxito de la enseñanza, por tanto, dependerá no sólo de la apropiación de un sistema de conocimientos, sino del nivel de desarrollo de capacidades, habilidades y hábitos que alcancen los alumnos.

La resolución de problemas resulta ser una de las problemáticas que en estos últimos tiempos está siendo abordada con gran interés y preocupación por la investigación educativa. Hablar de problemas implica considerar aquellas situaciones que demandan reflexión, búsqueda, investigación y donde para responder hay que pensar en las soluciones y definir una estrategia de resolución que no conduce precisamente a una respuesta rápida e inmediata.

La aparición del enfoque de resolución de problemas como preocupación didáctica surge como consecuencia de considerar el aprendizaje como una construcción social que incluye conjeturas, pruebas y refutaciones con base en un proceso creativo y generativo. La enseñanza desde esta perspectiva pretende poner el acento en actividades que plantean situaciones problémicas cuya resolución requiere analizar, descubrir, reflexionar, argumentar y comunicar ideas.

En los documentos normativos del Ministerio de Educación y específicamente en las Orientaciones Metodológicas de la Matemática y el Programa Director de la Matemática, vigente desde el curso escolar 1997-1998, se insiste en el desarrollo de la habilidad resolver problemas. Además es preocupación de maestros y profesores, pues históricamente, en diferentes evaluaciones realizadas, es una de las habilidades que presenta mayor dificultad. La resolución de problemas matemáticos es una de las capacidades importantes que deben trabajarse en la escuela como parte de la situación típica de la enseñanza de la Matemática.

La formulación y resolución de problemas matemáticos ha estado presente siempre en los contenidos de la asignatura, en años anteriores se trabajaba por parte del profesor, pero en su mayoría no le daban un uso correcto al Programa Heurístico General para la resolución de problemas, trabajaba algunos de los ejercicios que aparecían en los textos y muy pocos motivaban a los alumnos para la resolución independiente de los mismos, se les daba solución en muchos casos por parte del profesor.

Con la Tercera Revolución Educacional, se introducen nuevos cambios en los programas, en los cuales los problemas que aparecen están relacionados en su mayoría con la vida práctica, muchos de ellos se trabajan en forma de ítems y se les evalúa a los alumnos en los operativos de este modo, trayendo consigo pobre desarrollo de habilidades.

En la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo", la resolución de problemas ha sido tradicionalmente uno de los contenidos más afectados, demostrado en los últimos tiempos en las comprobaciones de conocimientos, operativos provinciales de evaluación de la calidad, visitas a clases y evaluaciones sistemáticas. En el Octavo Grado, en la Unidad 2 "Igualdades que contienen variables", en la resolución de problemas que conducen a una ecuación lineal, los alumnos se detienen en la comprensión del texto, pues no poseen los conocimientos básicos de traducción del lenguaje común al algebraico, no establecen las relaciones entre los elementos que se dan y lo que se busca. El tratamiento de este contenido no se realiza por parte del Profesor General Integral como está establecido, es decir, no se aplica el Programa Heurístico General para la resolución de problemas, los profesores no tienen en cuenta principios ni reglas heurísticas para motivar a los alumnos a la resolución de problemas.

A partir del curso 08-09 se hace énfasis en el enfoque metodológico de la asignatura, es decir, la enseñanza basada en problemas. Al inicio de cada sistema de clases se debe dar a los alumnos una colección de ejercicios o problemas (ejercicios para los cuales el alumno no conoce ninguna vía de solución) que concretan las aspiraciones recogidas en los objetivos, los cuales los alumnos deben ir resolviendo en el transcurso de las clases.

En las indicaciones metodológicas para la atención a los elementos del conocimiento más afectados en la Matemática, en la educación Secundaria Básica a partir del citado curso se precisa dentro de estos elementos, que requieren de una marcada atención y que se encuentran vinculados con el tema de investigación, los siguientes:

  • Traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa.

  • Cálculo del valor numérico de expresiones.

  • Resolución de ecuaciones lineales de las formas aMonografias.comx +b =c, aMonografias.comx+bMonografias.comx +c=d y otras que se reducen a la forma a Monografias.comx =b.

  • Resolución de problemas que conducen a ecuaciones lineales o de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables.

En los lineamientos de trabajo de la asignatura se establece:

  • Hacer que los alumnos aprendan a identificar, formular y resolver problemas dados en contextos diferentes.

Caracterización de los referentes teóricos que sustenta el proceso de desarrollo de habilidades en la resolución de problemas matemáticos en el nivel de Secundaria Básica

El tratamiento de ejercicios de aplicación y de ejercicios con texto (Identificación, formulación y resolución, es decir, resolución de problemas), tiene sus fundamentos filosóficos, psicológicos y pedagógicos en la Didáctica de la Matemática como didáctica pedagógica y por consiguiente tiene su fundamento filosófico en el Materialismo Dialéctico e Histórico y particularmente en la Teoría del conocimiento, específicamente en la dialéctica de lo objetivo y lo subjetivo a la verdad.

El conocimiento es un proceso que se realiza en los marcos de la relación mutua entre el sujeto y el objeto. Por eso, depende no sólo de las propiedades, relaciones y regularidades del objeto, sino también de la actividad del sujeto, de su experiencia individual, así como de los medios materiales que se dispone. El proceso del conocimiento en la Matemática se basa en conocimientos ya existentes, obtenidos por el alumno a lo largo de su desarrollo.

La propuesta de la autora en la presente investigación se apoya en este enfoque dialéctico-materialista al tener en cuenta que el alumno como sujeto del conocimiento no puede desarrollar la habilidad de resolver problemas matemáticos que conducen a ecuaciones lineales como se requiere, lo que constituye objeto de su conocimiento sino dispone de medios intelectuales para ello, pues no depende solamente de él como sujeto, estos medios se los ofrece el docente a través de muchas vías como estrategias metodológicas que contribuye a que aplique correctamente la estructura interna de la habilidad resolver problemas matemáticos, la modelación de este material docente está concebida con ese objetivo, necesidad del sujeto cognoscente: el alumno de octavo grado de la ESBU "Pedro de Céspedes del Castillo".

Durante las diferentes épocas del desarrollo de la sociedad, han imperado distintas tendencias sobre cuáles deben ser las características del proceso enseñanza-aprendizaje. Esto siempre ha respondido al desarrollo alcanzado por la sociedad, al régimen social existente y al nivel que han logrado las ciencias en las que se sustentan este proceso. Lo anteriormente expuesto se fundamenta en que todo responde al tipo de hombre que se desea formar en dependencia de lo que la sociedad le exige a la escuela, pues el proceso de educación es un fenómeno social y para analizar el fenómeno educativo debe tenerse en cuenta la formación económica social, la base filosófica, los fundamentos ecológicos y las corrientes y teorías pedagógicas.

Existen dos criterios filosóficos fundamentales respecto a la cognoscibilidad del mundo y los diferentes fenómenos y procesos que en él se desarrollan. Desde el punto de vista de los agnósticos, en el mundo, o bien no todo es cognoscible o, al menos, no se sabe, qué se puede conocer o cuándo. Desde el punto de vista dialéctico, el mundo es cognoscible, es por ello que se afirma que todo problema matemático tiene solución a pesar de que en determinado momento histórico pueden no estar dadas las condiciones necesarias para encontrar su solución.

Es necesario que el profesor dirija la Matemática de modo que los alumnos comprendan y puedan llevar a cabo los procesos que permitan "encontrar", "reconocer" y "resolver" problemas, que se les acceda encontrar inconvenientes que les hagan comprender la necesidad de buscar otra vía y enfrentar problemas que no tengan solución según las condiciones planteadas. Todo ello hace evidente la dialéctica de la Matemática.

En la dialéctica de lo general y lo particular; los alumnos deben comprender que los conocimientos matemáticos son adquiridos mediante un tipo y forma de abstracción peculiar, de la cual resulta que situaciones muy diferentes pueden expresarse por una misma estructura matemática o ser resuelta mediante su aplicación. Además los alumnos deben comprender que para adquirir nuevos conocimientos matemáticos es típico investigar lo particular para descubrir lo general, pero también se puede aplicar lo general para investigar lo particular.

Desde el punto de vista pedagógico se aspira a desarrollar en los alumnos una actitud de aceptación hacia las matemáticas, al lograr una mayor motivación por la misma por medio del planteo de situaciones problemáticas, tanto de carácter intramatemático como de la vida que le muestre una utilidad inmediata de lo que está aprendiendo en la escuela. Para el logro de tal objetivo el docente debe contar con una caracterización lo más precisa posible de lo que es un problema matemático.

La Matemática tiene su origen en los fenómenos de la realidad objetiva y mediante abstracciones, idealizaciones, generalizaciones u otros procedimientos específicos, conduce a conceptos, proposiciones, estructuras, sistemas de ideas, que a menudo están muy lejos de su origen en la realidad. La dialéctica de la Matemática se expresa en la aplicación de la Matemática a la solución de problemas. En tales casos no siempre es fácil encontrar la vía de solución sin fracasos y errores. Con frecuencia la vía seleccionada no conduce a la solución, por diferentes razones (las inferencias no son correctas, se usan condiciones no dadas en el problema, se deja de considerar alguna condición dada), entonces es necesario retornar al punto de partida, hasta que una vez hallada la idea de solución, ésta se desarrolla en forma segura dentro del marco del formalismo matemático.

Por medio de las clases de Matemática se puede ejercer una influencia en la educación político moral mediante el trabajo con ejercicios y problemas relacionados con la vida que se resuelven con medios matemáticos, es necesario discutir sobre su contenido, valorar la situación planteada a lo que ella pueda inferirse y en lo posible acompañarla de datos adicionales que aporten elementos para la toma de posiciones por los alumnos.

La pedagogía marxista-leninista plantea que los procesos de instrucción y educación transcurren regularmente y que, en principio, están en condiciones de descubrir sus leyes. Una de las cuales plantea que el desarrollo de la personalidad depende de las condiciones sociales. Para poder comprender correctamente los procesos pedagógicos como procesos sociales, y de ellos derivar conclusiones para la propia actividad pedagógica; se necesitan amplios conocimientos prácticos del marxismo-leninismo, por lo que es necesario que los docentes se preparen pedagógicamente, teniendo en cuenta el objeto de la clase, los aspectos psicológicos y la vía dialéctica del conocimiento de la realidad objetiva.

El profesor necesita conocimientos sólidos y bien fundamentados, de Economía Política y del Comunismo Científico, para lograr que los alumnos adquieran conocimientos político-ideológicos. Sobre esta base el educador selecciona el material numérico para la clase de Matemática y contribuye a que los alumnos comprendan cada vez mejor las relaciones cuantitativas de su medio y que obtengan las primeras nociones sobre las leyes económicas y de otro tipo, de los procesos sociales. Esto permite apreciar claramente que todo pedagogo en el sistema social socialista solo puede cumplir su tarea cuando profundiza y amplia constantemente sus conocimientos.

La Metodología de la Enseñanza de la Matemática se ocupa del contenido, las regularidades y la estructuración que se deducen de ellos, de todos los procesos pedagógicos como la enseñanza y el aprendizaje para la asimilación de conocimientos y el desarrollo de capacidades y habilidades matemáticas que sirven a la asimilación del saber y el poder matemáticos. Los conocimientos que la metodología de la Enseñanza de la Matemática imparte, deben verse, por una parte, como especificación y concreción de los contenidos de Pedagogía, esto es válido específicamente para la Didáctica. Esta metodología muestra cómo se pueden cumplir en la clase los principios didácticos generales, como: la unidad de la instrucción y la educación, la unidad de lo científico y lo partidista, la unión de la escuela con la vida y la sistematización de la enseñaza.

Ésta enseña cómo debe guiarse el proceso de abstracción para que se puedan comprender los conceptos matemáticos desde el punto de vista del contenido, un profesor de Matemática debe tener amplios conocimientos, pero esto no es suficiente para ser un buen profesor, debe amar al niño, conocer sus capacidades y condiciones si les quiere transmitir saber y poder matemáticos.

En la enseñanza de la Matemática se utilizan como habilidades específicas, las siguientes: (interpretar, describir, identificar, calcular, fundamentar, demostrar, graficar, esbozar, decodificar, algoritmizar, definir, clasificar, comparar, estimar, modelar, resolver ecuaciones, formular problemas, resolver problemas).

El desarrollo de las habilidades marcan además los niveles de desempeño declarados por el Sistema de Evaluación de la Calidad de la Educación (ICCP, 2003). En Matemática en el primer nivel se encuentran los alumnos que son capaces de resolver ejercicios formales eminentemente reproductivos, en este nivel están presentes aquellos contenidos y habilidades que conforman la comprensión Matemática. En el segundo nivel se encuentran los alumnos que son capaces de aplicar los conocimientos a situaciones problémicas o problemas rutinarios, que tienen una vía de solución conocida, al menos para la mayoría de los alumnos, que sin llegar a ser propiamente reproductivos tampoco son productivos. Este nivel constituye un primer paso para el desarrollo de las habilidades y con estas las capacidades para resolver problemas. El tercer nivel contempla a los alumnos que son capaces de resolver problemas propiamente dichos donde la vía general no es conocida para la mayoría. Los alumnos son capaces de reconocer estructuras matemáticas más complejas (MSc. Silvia Puig, 2004)

Para fortalecer el desarrollo del pensamiento del alumno son importantes las actividades mentales de la enseñanza de la Matemática: analizar, sintetizar, comparar, clasificar, generalizar, particularizar, abstraer y concretar. En la solución de problemas, estas actividades tienen que realizarse de una forma clara. La habilidad para resolver problemas matemáticos es la construcción y dominio, por el alumno, de los modos de actuar y métodos de solución de problemas utilizando los conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos, en calidad de instrumentos y las estrategias de trabajo heurístico para la sistematización de esos instrumentos en una o varias vías de solución.

La habilidad para resolver problemas matemáticos, en especial, no se puede formar a partir de la repetición de acciones ya elaboradas previamente sin atender a cómo se han asimilado y el nivel de significación que éstas tienen para los alumnos atendiendo a sus experiencias, su disposición hacia la actividad; de ahí la necesidad de enfocar como parte de la formación de esta habilidad la etapa en que transcurre la estructuración del sistema de conocimientos (conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos) a partir de situaciones - problemas.

El planteamiento de problemas se comprende como un medio para estimular en el alumno la interpretación de una determinada situación, al analizar las condiciones que se dan para luego discernir las vías de solución, partiendo de los conceptos, teoremas y procedimientos que son los instrumentos de que dispone y los modos de sistematizarlos en función de un objetivo (estrategias) según la interpretación realizada.

Considerar los instrumentos y las estrategias en el concepto de la habilidad para resolver problemas matemáticos y no considerar uno como parte del otro obedece a que los alumnos pueden dominar un modo de actuar ante un problema y no disponer de los instrumentos necesarios y viceversa, tener la información y no poder estructurarla a través de una estrategia para cumplir el objetivo.

A partir de un análisis realizado en la bibliografía especializada sobre la temática, resolución de problemas, se aprecian divergencias en los criterios psicológicos acerca de la naturaleza de la misma. Su definición es un problema abierto para la psicología, por lo que se manifiestan diferentes posiciones con sus lógicas consecuentes. S.L. Rubinstein señaló que la psiquis desempeña una doble función: refleja y reguladora. En esta última caracterizó dos formas funcionales: la regulación inductora y la ejecutora.

Mediante la regulación inductora se puede responder al por qué y al para qué de la actuación del sujeto, es la que determina lo que se realiza, y pertenecen predominantemente, a esta formación de regulación todos los fenómenos psíquicos que movilizan, conducen y sostienen la actuación del sujeto o son expresión de todo esto: motivaciones, vivencias afectivas, voluntad. Mediante la regulación ejecutora se puede responder al cómo y con qué de la actuación del sujeto, en dependencia de las condiciones en que se desarrolla. Pertenecen predominantemente a esta regulación todos los fenómenos psíquicos que posibiliten tomar en consideración las condiciones en que transcurre la actuación del sujeto: cognición, hábitos, habilidades, capacidades.

Entre las formaciones psicológicas que ejercen una función predominantemente ejecutora están las habilidades.

La mayoría de psicólogos y pedagogos dedicados al estudio de las habilidades admiten la falta de precisión existente a la hora de dar una definición conceptual de las mismas, de ahí que cada autor asuma las habilidades desde ángulos diferentes.

El Dr. Carlos Álvarez de Zayas define la habilidad como: "... la acción o sistema de operaciones que responde a un objetivo". (1999)

Para N. V. Savin la habilidad es: "... la capacidad del hombre para realizar cualquier operación (actividad) sobre la base de la experiencia anteriormente recibida."

La autora asume la definición dada por el Dr. Carlos Álvarez de Zayas. Por determinar que es la más acertada y que se ajusta a la habilidad resolver problemas matemáticos. Además de tener los atributos anteriormente señalados, se puede descomponer en operaciones, estas constituyen la estructura de la habilidad y estarán vinculadas con las condiciones. Las habilidades se integran en elementos de mayor sistematicidad que se corresponderán en el plano psicológico y didáctico con la actividad.

En la habilidad se refleja el modo de relacionarse el hombre con el objeto de estudio o de trabajo, es la acción que consiste en una serie de operaciones que tienen un objetivo general. Una unidad de operaciones internas y externas que no son estereotípicas, y que se modifican constantemente en el funcionamiento, adquieren nuevos matices y rasgos cualitativos y peculiares. Cada habilidad está medida por el pensamiento creador.

Algunas de las bases psicológicas para estimular la función desarrolladora del proceso de enseñanza-aprendizaje de la formulación y resolución de problemas matemáticos, se encuentran en la teoría psicológica de la actividad, desarrollada por L. S. Vigotski, S. L. Rubinstein y A. N. Leontiev. Este último planteó que la interacción entre el sujeto y el objeto, gracias a la cual se origina el reflejo psíquico que media y regula esta interacción, se da en forma de actividad.

En la psicología se acepta la premisa general de que el conocimiento es posible gracias a la actividad. Teniendo en cuenta la importancia que tiene la resolución de problemas para el desarrollo psicológico y cognoscitivo del estudiante, los problemas deben tener un carácter desarrollador, o sea, no deben orientarse al nivel de desarrollo actual del alumno sino a un estadío superior. El resolutor debe partir de lo conocido (lo dado) hacia lo desconocido (lo buscado). Cada problema resuelto pasa a formar parte del conocimiento del alumno, lo que servirá para resolver nuevos problemas dirigidos a un nivel superior de desarrollo psíquico y cognitivo; de esta forma la actividad planificada de resolver problemas matemáticos conduce al desarrollo de procesos mentales y estos a su vez facilitan la resolución de dicha tarea docente. En esto se manifiesta la teoría de Vigotski sobre la "Zona de desarrollo Próximo" (ZDP), que expresa la relación interna entre enseñanza y desarrollo.

Vigotski define la Zona de Desarrollo Próximo(ZDP) como la distancia que existe entre la capacidad individual de un alumno (lo que puede hacer por sí solo) y la capacidad que tiene para ejecutar algo con ayuda (lo que hace con ayuda de otros más capaces), la distancia entre el nivel real del desarrollo, determinado por la resolución de problemas de manera individual, y el nivel de desarrollo potencial determinado mediante la solución de problemas con la guía de un adulto o en colaboración con compañeros más capaces.

En la habilidad resolver problemas matemáticos que conducen a una ecuación lineal, se manifiesta este principio vigotskiano, cuando el alumno para resolver un problema, debe tener habilidades en la resolución de ecuaciones lineales, el cálculo con números racionales, la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa, pero no logra por sí solo traducir la situación práctica al lenguaje algebraico y con ayuda de los diferentes impulsos y estrategias de trabajo que puede utilizar el profesor, el alumno debe llegar a plantear una ecuación que solucione el problema planteado.

Si el alumno adquiere habilidades en la resolución de problemas matemáticos que conducen a ecuaciones lineales estará en condiciones de enfrentarse con una buena preparación para la solución de problemas que conducen al planteamiento y resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales en el próximo epígrafe de la misma unidad y en grados posteriores a nuevos contenidos que tienen como base el mismo.

El desarrollo debe estimarse esencialmente a partir de la capacidad de actuar en y desde la cultura, el desarrollo debe ser visto como expresión de los procesos de apropiación e intervención activa en los hechos de la cultura.

Se trata de que el alumno pueda actuar, con conciencia, desde la cultura y en la cultura. Un alumno muestra desarrollo deseable cuando es capaz de trazarse finalidades transformativas en diversos contextos culturales, que van desde las escolares a las extraescolares; puede ejecutar acciones efectivas de transformación y regular su actividad, emplearlas no solo a él, sino al grupo. La Zona de Desarrollo Próximo da la posibilidad a los maestros de comprender el proceso de desarrollo, predecirlo y conducirlo. Ellos pueden orientarse no tanto por lo que el alumno puede hacer de manera autónoma o autorregulada sino por lo que puede hacer bajo su dirección, por la ayuda que puede asimilar y transferir a la solución de otras tareas. Estas deben ser cada vez más elevadas y apoyarse en las funciones que están madurando.

Desde este punto de vista psicológico la posición que asume la autora es el enfoque histórico-cultural de Vigotski, según el cual una educación desarrolladora es la que conduce al desarrollo, va delante de él, guiándolo, orientando, estimulando. Es también aquella que tiene en cuenta el desarrollo actual para ampliar continuamente los límites de la zona de desarrollo próximo y los progresivos niveles de desarrollo del sujeto. Es la que promueve y potencia aprendizajes desarrolladores.

Han surgido diferentes concepciones del proceso de enseñanza-aprendizaje desarrollador. Sus posiciones generales respecto a las relaciones entre la enseñanza, el aprendizaje y el desarrollo son afines, y responden a expectativas sociales y necesidades educativas comunes. Tienen como base común:

a) un enfoque dialéctico y humanista del proceso de enseñanza-aprendizaje, considerando la unidad de lo afectivo y lo cognitivo y de lo instructivo y lo educativo,

b) el papel otorgado al desarrollo de la conciencia y la autoconciencia en la formación de la personalidad,

c) el esclarecimiento de los momentos funcionales de la actividad (orientación, ejecución y control) que determinan y expresan diferentes formas del funcionamiento y de la estimulación del desarrollo.

La actividad es un proceso mediante el cual el sujeto interactúa con el medio que lo rodea incluyendo a otros sujetos, incidiendo en él, transformando y en el mismo tiempo recibiendo sus influencias en mayor o menor medida también transforman al propio sujeto, es entendida esta como "aquellos procesos mediante los cuales el individuo, respondiendo a sus necesidades, se relaciona con la realidad, adoptando determinada actitud hacia las mismas" [1]. La actividad humana y su estructura presentan en unidad las dos formas funcionales de regulación: inductora y ejecutora. Es importante recalcar que el carácter regulador de la psiquis no es solo inductor ni exclusivamente ejecutor. Ambas formas funcionales de regulación, se manifiestan como una unidad, ellas se interpenetran, se influyen recíprocamente, pero no se pueden reducir la una a la otra y no se deben dejar de reconocer sus especificidades.

Enfoque del proceso enseñanza-aprendizaje en la resolución de problemas matemáticos

Los ejercicios en la Enseñanza de la Matemática

Ejercicios: Actividad intelectual o trabajo aplicado a las clases que se imparten. [2]

Existen diferentes criterios del concepto ejercicio, la mayoría de los autores lo definen como una exigencia para la realización de acciones, solución de situaciones, deducción de relaciones, cálculo, entre otras. Sergio Ballester Pedroso plantea, que entre los ejercicios se consideran ejercicios portadores de información, aquellos que una vez resueltos dejan mostrado un nuevo conocimiento de utilidad para la solución de otros ejercicios.

Horst M?ller entiende como ejercicio en la Enseñanza de la Matemática una exigencia para actuar que se caracteriza por:

  • 1. El objetivo de las acciones;

  • 2. El contenido de las acciones;

  • 3. Las condiciones para las acciones.

El objetivo de todas las acciones en la resolución de un ejercicio es, en cada caso transformar, una situación inicial en una situación final.

El contenido de las acciones en la resolución de un ejercicio está caracterizado por:

  • Objeto de las acciones, que puede estar dados por los elementos de la materia Matemática; la correspondencia entre situaciones extramatemáticas y elementos de la materia matemáticos y los procedimientos heurísticos

  • Tipos de acciones: identificar, realizar, comparar, clasificar, fundamentar, aplicar.

Las condiciones, las exigencias que el ejercicio plantea al alumno, expresada por el grado de dificultad del ejercicio.

Teniendo en cuenta lo antes planteado la autora considera que los ejercicios son un medio de repetición constante, orientados y dirigidos de determinada actividad con el objetivo de asimilar conscientemente los conocimientos, habilidades y hábitos, es decir, ejercicios es aquella tarea en la que el educando conoce los procedimientos para realizarla y el enunciado de la misma le brinda la vía para resolverlo.

Los ejercicios que existen en la enseñanza de la Matemática se pueden clasificar bajo distintos aspectos. Como concepto superior seleccionaremos el siguiente:

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Ejercicios de aplicación: Son problemas que surgen en la práctica, pero para su solución se aplican procedimientos matemáticos.

A los ejercicios de aplicación y con textos se les denomina problemas en el sentido más restringido.

Los ejercicios de aplicación y con textos, se resuelven en todos los grados de la educación, los objetivos del tratamiento de este tipo de ejercicios se recoge en las exigencias de los programas de la enseñanza, en los que se plantea que mediante la solución de estos ejercicios:

  • Deben ser fijados conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos.

  • Formarse y fijarse convicciones y normas de conducta.

  • Cumplirse los objetivos planteados a la escuela con respecto a la educación y formación politécnica.

  • Desarrollar las capacidades de los alumnos para aplicar la Matemática aprendida.

Los ejercicios de aplicación y con textos tienen una gran significación para la educación ideológica en la enseñanza de la Matemática, estas potencialidades educativas están en los ejercicios de la vida económica, política y social.

Para la solución de este tipo de ejercicios la escuela cubana sigue el modelo de las ideas de Polya y que Campistrous y Celia Rizo hacen referencia.

Las dificultades que presentan los alumnos en la asignatura, en su mayoría, se relacionan con el pobre dominio que poseen en la resolución de problemas matemáticos, influenciado esto en la insuficiente aplicación por parte de los profesores del Programa Heurístico General para la resolución de problemas, pues para lograr que el alumno resuelva los mismos es necesario hacer uso de diferentes impulsos. La enseñanza de la Matemática en la escuela Secundaria Básica tiene entre otras funciones, el desarrollo en los alumnos de un pensamiento lógico a partir de la solución de problemas, de modo tal que le permita analizar y comprender el medio social en que se desenvuelve.

La Didáctica de la Matemática que se utiliza en Cuba está fundamentada en las teorías constructivistas, sin embargo, al estructurar la enseñanza por medio de las funciones didácticas, se tiene en cuenta un aspecto no considerado por esas posiciones en su total dimensión: las condiciones histórico-culturales en las que se desarrolla el proceso de enseñanza-aprendizaje, esto es, tener en cuenta el desarrollo alcanzado por los alumnos, sus potencialidades, la necesidad de una adecuada motivación y orientación hacia el objetivo que se persigue.

En las tendencias contemporáneas de la enseñanza de la Matemática, las epistemologías constructivistas sustentan la enseñanza por resolución de problemas que pone énfasis en los procesos del pensamiento que tienen como eje principal la actividad del alumno colocándolo en la situación de participar en el descubrimiento del nuevo conocimiento como afirma Miguel de Guzmán (1992), en el método de enseñanza por resolución de problemas se trata de armonizar adecuadamente la componente heurística (atención a los procesos de pensamiento) y los contenidos específicos del pensamiento matemático, sin embargo, en este sentido critica la falta de modelos adecuados que orienten al profesor en la integración de los contenidos y procesos en un todo armonioso en la dirección del aprendizaje.

Son muchas las definiciones que se han dado de problema matemático, tanto desde el punto de vista psicológico como pedagógico.

Para Parra (1990)[3], un problema lo es en la medida en que el sujeto al que se le plantea (o que se plantea él mismo) dispone de los elementos para comprender la situación que el problema describe y no dispone de un sistema de respuestas totalmente constituido que le permita responder de manera inmediata.

El Dr. S. Ballester Pedroso lo define como "un ejercicio que refleja determinadas situaciones a través de elementos y relaciones del dominio de las ciencias o la práctica, en el lenguaje común y exige de medios matemáticos para la solución. Se caracteriza por tener una situación inicial conocida (datos, elementos dados), mientras que su vía de solución también desconocida se obtiene con ayuda de procedimientos heurísticos". (Ballester et. 1992, p. 407).

"Un problema tiene ese carácter, ante todo, porque nos presenta puntos desconocidos en los que es necesario poner lo que falta" [4]

"Un problema matemático con texto puede considerarse como una exposición en el lenguaje cotidiano, de determinado hecho, proceso u objeto, del cual nos dan directamente ciertas características y se nos pide hallar otras, que no son directamente ofrecidas en el enunciado" [5]

"Se denomina problema a toda situación en la que hay un planteamiento inicial y una exigencia que obliga a trasformarlo. La vía para pasar de la situación o planteamiento inicial a la nueva situación exigida tiene que ser desconocida y la persona debe querer hacer la transformación" [6]

"Un ejercicio es un problema si y solo si la vía de solución es desconocida por la persona" [7]

El Dr. Luis Campistrous y la Dra. Celia Rizo en su libro Didáctica y resolución de problemas ratifican que cuando la vía de solución es conocida, el ejercicio deja de ser un problema.

La autora asume el concepto de problema matemático dado por el Dr. S. Ballester por considerar que es un ejercicio que refleja determinadas situaciones de la vida práctica y que para solucionarlo requiere de medios matemáticos.

El carácter de problema de un ejercicio está en dependencia del estudiante a que se encuentra dirigido. En un sentido didáctico, se requiere que:

? El estudiante tenga disposición interna, interés, motivos para enfrentar el ejercicio.

? Los medios necesarios y suficientes para la solución, y los recursos intelectuales que permiten solucionar el ejercicio, estén en el entorno entre lo conocido y lo posible por conocer de forma independiente, o con una ayuda comprensible.

La importancia de los problemas está dada por las funciones que éstos desempeñan en la Enseñanza de la Matemática. Los problemas como caso particular de ejercicios cumplen las siguientes funciones: instructiva, educativa, desarrolladora y de control.

La función instructiva, permite formar en el alumno un sistema de conocimientos, capacidades, habilidades y hábitos matemáticos que se corresponden con su etapa de desarrollo. A través de los problemas deben ser fijados conceptos, teoremas y procedimientos matemáticos.

La función desarrolladora, está encaminada a fomentar el pensamiento de los alumnos, (en particular, la formación en ellos del pensamiento teórico y científico) y dotarlos de métodos efectivos de la actividad intelectual.

La función educativa, orientada a la formación de la concepción científica del mundo en los alumnos, al desarrollo de intereses cognoscitivos, de hábitos de trabajo escolar y a la formación de ideas, convicciones y cualidades morales. Para cumplir con esta función el profesor debe actualizar los ejercicios con datos que muestren la realidad, extraídos de la prensa, discursos, y otras fuentes; en estos casos el material debe ser comprensible para los alumnos en un tiempo adecuado; ser actual, objetivo e interesante para el alumno.

La función de control, comprueba en qué medida se cumplen los objetivos planteados para el tratamiento de problemas en la asignatura, su capacidad para el trabajo independiente, es decir, se comprueba la instrucción y la educación de los alumnos.

La Línea Directriz: planteo, formulación y resolución de problemas.

El concepto de línea directriz se formula en los Programas de Matemática escolar cubana a partir de la década del 70, con el perfeccionamiento de los planes de estudio y programas de Educación General Media.

La línea directriz planteo, formulación y resolución de problemas retoma aspectos positivos de la directriz "Matematizar problemas extramatemáticos" y le incorpora nuevos elementos en correspondencia con un enfoque sociocultural, que pretende dar realce a la búsqueda de problemas y su formulación como una fase previa a su resolución. Los problemas se presentan como punto de partida ante los nuevos conocimientos y no sólo como ejercicios de particular importancia para la fijación de estos.

Esta línea directriz puede identificarse a través:

1. Los objetivos y contenidos por unidades.

El Octavo Grado constituye la etapa de la Secundaria Básica donde los pioneros comienzan el estudio de nuevos contenidos matemáticos.

Tanto los datos como el modelo matemático de resolución de los problemas a tratar en el grado deben circunscribirse al procesamiento aritmético con números racionales hasta el nivel del tanto por ciento, la resolución de ecuaciones lineales que se reducen a la forma aMonografias.comx =b (a?0) y de sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables y el trabajo con relaciones de posición de magnitudes en figuras planas fundamentales.

2. Las indicaciones metodológicas que precisan el enfoque de la asignatura.

  • Los daños económicos y sociales provocados por el bloqueo y otros hechos revelados en la "Demanda del pueblo de Cuba al Gobierno de los Estados Unidos por daños humanos".

  • Datos de los principales indicadores económicos y sociales internacionales.

  • Datos sobre el ahorro de energía.

3. Una labor sistemática en la traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa, el entrelazamiento con la habilidad esbozar y el planteamiento y formulación de problemas.

La traducción del lenguaje común al algebraico y viceversa precede al estudio de las igualdades que contienen variables.

La recopilación de datos económicos y sociales (sobre los resultados de la obra de la Revolución, las agresiones imperialistas y la biodiversidad de su entorno natural y social).

En el Octavo Grado los esbozos de figuras planas comienzan a jugar un papel más significativo para la comprensión de problemas que conducen a la resolución de ecuaciones de la forma aMonografias.comx =b con a, b que pertenecen a los racionales (a?0), o sistemas de ecuaciones en los que se apliquen propiedades de las figuras planas.

Pautas a seguir en la resolución de problemas.

Para resolver problemas no existen fórmulas mágicas; no hay un conjunto de procedimientos o métodos que aplicándolos lleven necesariamente a la resolución de este (aún en el caso de que tenga solución). Pero de ahí no hay que sacar en consecuencia una apreciación ampliamente difundida en la sociedad: la única manera de resolver un problema será por "ideas luminosas", que se tienen o no se tienen.

Es evidente que hay personas que tienen más capacidad para resolver problemas que otras de su misma edad y formación parecida. Que suelen ser las que aplican (generalmente de una manera inconsciente) toda una serie de métodos y mecanismos que suelen resultar especialmente indicados para abordar los problemas. Son los, procesos que se llaman "heurísticos": operaciones mentales que se manifiestan típicamente útiles para resolver problemas.

Es ya clásica, y bien conocida, la formulación que hizo Polya (1945) de las cuatro etapas esenciales para la resolución de un problema, que constituyen el punto de arranque de todos los estudios posteriores.

Hay que pensar que no basta con conocer técnicas de resolución de problemas: se pueden conocer muchos métodos pero no cuál aplicar en un caso concreto. Por lo tanto hay que enseñar también a los alumnos a utilizar los instrumentos que conozca, con lo que nos encontramos en un nivel meta cognitivo, que es donde parece que se sitúa la diferencia entre quienes resuelven bien problemas y los demás.

Algunas de las estrategias más frecuentes que se suelen utilizar en la resolución de problemas. Según S. Fernández (1992) serían:

- Empezar por lo fácil, resolver un problema semejante más sencillo. - Descomponer el problema en pequeños problemas (simplificar). - Resolver problemas análogos (analogía). - Hacer esquemas, tablas, dibujos (representación). - Utilizar un método de expresión adecuado: verbal, algebraico, gráfico, numérico (codificar, expresión, comunicación). - Reformular el problema. - Suponer que no (reducción al absurdo). - Empezar por el final (dar el problema por resuelto).

En los resultados de algunas investigaciones en el país se concluye que las dificultades para la solución independiente de problemas están relacionadas con algunas deficiencias que aún subsisten en la estructuración de la enseñanza, y en particular en la enseñanza de la resolución de problemas. En tales investigaciones se destacan los trabajos del psicólogo Alberto Labarrere, el pedagogo Carlos M. Álvarez de Zayas y en la Metodología de la Enseñanza de la Matemática de Luis Campistrous y Celia Rizo.

Según Luis Campistrous y Celia Rizo en su libro "Aprende a resolver problemas aritméticos" el procedimiento de resolución de problemas comprende las fases que responde a preguntas establecidas y sistematiza las técnicas a emplear. Este procedimiento puede verse íntimamente relacionado con los tres momentos fundamentales de la actividad (orientación, ejecución y control).

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A. Labarrere plantea:" para que la enseñanza de la solución de problemas permita a la vez asimilar conocimientos, formar hábitos y habilidades y desarrollar el pensamiento del alumno, es necesario concebirla y estructurarla de una forma determinada, especialmente planificada, con objetivos de desarrollo claramente formulados."

La organización de este proceso docente lo fundamenta a partir del modelo en que la humanidad se ha desarrollado, es decir, " el hombre se enfrenta a un problema y se percata que el nivel de conocimientos que poseía le es insuficiente para resolverlo y, mediante complejos procesos de la actividad práctica y mental, enriquece el conocimiento de su objeto de trabajo a la vez que soluciona el problema ", concluyendo con la idea de que los objetivos que el profesor plantea a los estudiantes implican la resolución del problema.

En las ya mencionadas investigaciones realizadas por los doctores Luis Campistrous y Celia Rizo sobre el aprendizaje de la resolución de problemas destacan algunas barreras que existen, para la resolución de problemas, que se deben tener en cuenta:

a) la excesiva actuación del maestro,

b) el alumno no logra formas de actuación generalizadas,

c) los problemas se utilizan en función del desarrollo de las habilidades y no como objeto de enseñanza en sí mismo,

d) no se enseñan técnicas de trabajo,

e) los parámetros de dificultad para los problemas son pocos precisos y no se trabajan los significados prácticos.

La importancia de la enseñanza de la Matemática para la formación multilateral de los educandos es universalmente reconocida. Los contenidos básicos de esta asignatura son indispensables para lograr un aprendizaje significativo, sólido y aplicable tanto a la vida cotidiana como en el desempeño profesoral. La escuela tiene que priorizar y garantizar que los alumnos adquieran gradual y sistemáticamente una formación matemática adecuada. A ello deben contribuir los docentes de todas las asignaturas, no se trata simplemente de realizar cálculos, resolver ecuaciones o de aplicar aquí o allá algún algoritmo aprendido en las clases de Matemática.

La prioridad consiste sobre todo en los esfuerzos mancomunados de los integrantes del colectivo pedagógico para que los alumnos con creciente independencia y creatividad aprendan a razonar lógicamente y expresarse de forma coherente, operar con conceptos, proposiciones y procedimientos; reconocer figuras geométricas y aplicar sus propiedades; trabajar con fórmulas y estimar cantidades de magnitud; en fin, buscar de manera heurística soluciones a los problemas.

La solución de problemas puede aportar mucho al desarrollo del pensamiento de los alumnos, ya que es una compleja actividad mental que obliga a pensar y por consiguiente a la activación de diferentes operaciones del pensamiento, como el análisis-síntesis, la comparación y generalizaciones, en esto radica la función desarrolladora de la solución de problemas.

En la aplicación, el tratamiento de problemas se puede organizar en atención a diferentes modelos. La escuela cubana tiene tradición en la aplicación del modelo que se basa en las ideas de Polya, estructuradas como un programa heurístico general para la resolución de problemas, que consta de de las siguientes etapas: orientación hacia el problema, trabajo en el problema, solución del problema y evaluación de la solución y la vía (Jungk, 1981, p. 111).

Las acciones principales que corresponden a cada etapa, son:

Orientación hacia el problema. Esta etapa comprende la motivación del problema, el planteamiento del problema y comprensión del enunciado del problema. El alumno comprende el enunciado del problema cuando es capaz de reproducirlo con sus propias palabras y analizar cuáles son sus componentes esenciales. El profesor debe dirigir sus acciones a que el alumno comprenda el mismo, para lo cual es necesario responder una serie de preguntas:

? ¿De qué trata el problema?, ¿qué datos se dan?, ¿qué se busca?

? ¿Determinan los datos la solución del problema?, ¿son suficientes?, ¿sobran?

? ¿Podría proponerse el problema de otra manera?, ¿puede hacerse un esbozo o gráfico que esclarezca la situación?

Trabajo en el problema. En esta etapa se precisa el problema, se analizan los medios, se busca una idea de solución. El encontrar una idea de solución (o vía de solución) es un proceso de análisis para el cual se pueden sugerir algunas actividades como:

? Formular las relaciones entre los datos y la incógnita.

? Tratar de relacionar el problema con otro conocido y cuya solución sea más simple o inmediata.

? Transformar o introducir una nueva incógnita, acercándola a los datos.

? Transformar los datos, obtener (o deducir) nuevos elementos más próximos a la incógnita.

? Recordar la solución de ejercicios análogos.

? Analizar si se han tenido en cuenta todos los datos.

? Generalizar el problema, si es posible.

? Analizar casos particulares.

? Resolver problemas parciales (considerar solo una parte de las condiciones).

? Hacer gráficos que ilustren las relaciones encontradas.

Solución del problema. En esta etapa se ejecuta el plan de solución obtenido en la fase anterior y se representa la solución del problema. Este es un proceso de síntesis y se debe fundamentar la corrección de cada paso, realizar los cálculos necesarios, resolver ecuaciones, simplificar, transformar expresiones, etcétera.

Evaluación de la solución y la vía. Esta etapa comprende la comprobación de la solución, la determinación del número de soluciones, se señalan casos especiales, posibilidad de transferir la vía de solución a otros ejercicios.

Estas ideas constituyen una sucesión de indicaciones que ayudan a reflexionar, a buscar los medios matemáticos y la idea de solución. Este modelo, complementado por las técnicas propuestas por el Dr. Campistrous, debe orientar la estructuración metodológica de la aplicación por el docente y las acciones de los estudiantes cuando se enfrentan a la solución de problemas. La dirección de la resolución de problemas en correspondencia con este modelo, contribuye a la formación y el desarrollo de hábitos y habilidades y crea condiciones para la solución independiente de problemas por los alumnos.

Entre las etapas por las que transcurre el proceso de solución de problemas y las fases previstas para su tratamiento metodológico hay muy pocas diferencias, y estas radican fundamentalmente en las acciones que debe realizar el profesor para propiciar la actividad del alumno en la solución de problemas, o sea, que se tiene en cuenta su accionar para la motivación de la actividad, así como el empleo de medios y procedimientos heurísticos para propiciar la actividad del alumno, e inducirlos al uso de estos elementos como herramientas para la resolución de problemas.

Pensar en la habilidad para resolver problemas matemáticos en los términos explicados precisa el proceso por el que transita el alumno en la búsqueda de conceptos, teoremas y procedimientos, en la concreción de estrategias de trabajo utilizando relaciones, inferencias, conclusiones, en el lenguaje matemático correspondiente. Esta habilidad, en su carácter general, sistematiza también las habilidades docentes, lógicas o intelectuales; que guían el proceso de búsqueda y planteamiento de la solución. Así se destacan habilidades como identificar, observar, describir, denotar, separar, modelar, calcular, fundamentar y valorar, que están presentes en la comprensión y búsqueda de vías de solución, en su descripción y finalmente en la valoración de los resultados.

La Didáctica de la Matemática es considerada como una de las fuerzas productivas directa, de ahí la importancia de alcanzar una buena formación Matemática en niños y jóvenes, esta como disciplina científica se atiene a las leyes generales de la instrucción y la educación, las cuales forman parte del fundamento de todas las ciencias pedagógicas; pero como disciplina particular ha de resolver un conjunto importante de problemas teóricos y prácticos. Para ello en su cuerpo teórico debe formular sus principios, describir el proceso de enseñanza-aprendizaje en su interpretación específica para las clases de Matemática y derivar inferencias acerca de cómo dirigir de manera efectiva este proceso para alcanzar en los alumnos la educación que la sociedad exige.

La enseñanza de la Matemática junto a su propósito instructivo no puede subestimar su contribución a la educación de los alumnos y a la estimulación de su desarrollo intelectual. La unidad de estas tres intenciones significa conducción didáctica, que tenga en cuenta el diagnóstico sistemático, la asequibilidad de la enseñanza, el aprendizaje activo y el trabajo cooperativo y creador. La asequibilidad se basa en la simplificación didáctica para que el aprendizaje se produzca de lo sencillo a lo complejo, de lo próximo a lo distante, de lo conocido a lo desconocido, de lo fácil a lo difícil, de lo concreto a lo abstracto.

Las exigencias que se plantean deberán situarse en la zona de desarrollo próximo, por tanto el exigir poco, como el exigir mucho constituyen infracciones del principio de unidad de lo instructivo, lo educativo y lo desarrollador. Al desarrollar el contenido no sólo se persigue la adquisición de ciertos conocimientos y habilidades, sino que se dirige el aprendizaje de manera consciente al desarrollo armónico de la personalidad, en la que junto a los procesos cognoscitivos (sensopercepción, representación, memoria, pensamiento) desempeñan un papel fundamental los procesos afectivos (emociones y sentimientos) y los procesos volitivos (tendencias planes proyectos). Para que lo aprendido permanezca en la memoria por largo tiempo, debe adquirir un significado y un sentido personal para el que aprende.

La enseñanza de la Matemática en la escuela Secundaria Básica tiene entre otras funciones, el desarrollo en los alumnos de un pensamiento lógico a partir de la solución de problemas, de modo tal que le permita analizar y comprender el medio social en que se desenvuelve.

En la asignatura se asume la concepción de aprendizaje de la Matemática como un proceso activo, reflexivo, regulado por medio del cual el sujeto que aprende se apropia de forma gradual, de una cultura acerca de los conceptos, proposiciones y procedimientos de esta ciencia, bajo condiciones de orientación e interacción social que le permitan apropiarse, además de las formas de pensar y actuar del contexto histórico social en que se desarrolla.

El proceso de enseñanza - aprendizaje de la Matemática es desarrollador, si en cada uno de los alumnos:

? Se logra la adquisición de los conocimientos, las habilidades y las capacidades matemáticas requeridas para realizar aprendizajes durante toda su vida.

? Se potencia el tránsito progresivo de la dependencia a la independencia y a la autorregulación.

? Se promueve el desarrollo integral de la personalidad.

La resolución de problemas matemáticos que conducen a ecuaciones lineales

Entre las funciones de la enseñanza de la Matemática en la escuela socialista está la de contribuir al desarrollo de aquellas capacidades intelectuales, formas de trabajo y razonamiento, así como hábitos de trabajo intelectual que son esenciales para las actividades matemáticas; desarrollar sistemáticamente el poder de los estudiantes, sobre todo en lo que se refiere a la adquisición y aplicación independiente; a los conocimientos de sus capacidades y habilidades en la solución de problemas matemáticos y extramatemáticos.

El tratamiento de este contenido comienza de forma implícita desde el primer grado. En el primer ciclo (propedéutico) los escolares se van familiarizando con las variables en forma elemental y a partir del trabajo con conjuntos; los alumnos deben adquirir sólidos conocimientos en el cálculo con los números naturales y desarrollar sus habilidades y capacidades, tanto en el trabajo con variables, como en la solución de los ejercicios de aplicación y los problemas. Además, mediante reflexiones lógicas y sobre la base del dominio de los ejercicios de cálculo, aprenden a resolver ecuaciones sencillas como: 5+x =10; donde el dominio parcial de los números naturales, constituye el dominio básico de las variables.

En el segundo ciclo se exige desarrollar habilidades en la solución de ecuaciones lineales y su aplicación a la solución de problemas sencillos, se amplían y profundizan los conocimientos en el trabajo con las ecuaciones, se consolidan las habilidades de cálculo en la solución de ecuaciones.

En el nivel secundario tiene por objetivo desarrollar habilidades en la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas y los sistemas de dos ecuaciones lineales con dos variables de manera que puedan resolver con seguridad y aplicarlas a la solución de problemas.

Un aspecto esencial y básico para la formulación y resolución de problemas lo constituye la traducción de situaciones de la vida y del lenguaje común al algebraico y viceversa. Para adentrarse en el tecnicismo algebraico es necesario tener bien claro los conceptos: variable, término o monomio, expresión algebraica y ecuación, los cuales se sistematizan en el octavo grado.

Numerosos problemas se resuelven empleando ecuaciones lineales, para ello se debe tener en cuenta lo siguiente:

  • Leer detenidamente el texto a traducir.

  • Señalar el significado de la variable.

  • Traducir del lenguaje común al algebraico las relaciones que se plantean en el texto del problema.

  • Plantear la ecuación.

  • Resolver la ecuación.

  • Comprobar que la solución de la ecuación satisface las condiciones que aparecen en el texto del problema.

  • Redactar la respuesta de la pregunta del problema.

La concepción actual de la Matemática en la Secundaria Básica

Dentro de las transformaciones que se han realizado en la Matemática, los contenidos se agrupan en dos dimensiones fundamentales:

1. El enfoque general de la asignatura.

2. Los métodos y procedimientos para la dirección del proceso docente educativo.

La presentación y tratamiento de estas dimensiones en los contenidos a partir del planteamiento y solución de problemas prácticos de carácter político-ideológico, económico-laboral y científico-ambiental, significa que los problemas se tratarán como una situación del medio natural o social en que se desenvuelve el alumno, del que conoce cierta información y descubre interrogantes no resueltas que necesita explicar o responder, para lo cual, requiere un pensamiento heurístico y ampliar sus conocimientos y habilidades matemáticas.

Por la reorganización del sistema de conocimientos y habilidades en el programa actual de la Matemática que fue experimentado durante dos años y generalizado en el curso escolar 2002 - 2003, se estructuró atendiendo a los tres bloques de contenido fundamentales para el nivel: aritmética, álgebra y geometría, en ese orden, y se entrelazan en él las líneas directrices Dominios Numéricos, Trabajo con variables, Geometría y Correspondencias y funciones que se formaliza en el noveno grado. A partir de la definición de los Objetivos Formativos Generales y por grados para el nivel de Secundaria Básica es necesario precisar el papel de la Matemática como asignatura priorizada y como base y parte esencial de la formación comunista, integral y armónica de la personalidad de los alumnos.

La tarea principal de la enseñanza de la Matemática consiste en transmitir a las nuevas generaciones los conceptos, proposiciones y procedimientos básicos de esta ciencia, de modo que los alumnos aprecien el valor y la utilidad de esta información, puedan comunicar sus razonamientos matemáticos al acometer tareas en colectivo y adquieran capacidades que les permitan aplicar la Matemática en la identificación, planteo y resolución de problemas de diversa naturaleza, relacionados con su entorno y otras disciplinas del currículo. Su enseñanza con esta concepción científica y desarrolladora, tiene que promover un aprendizaje interactivo, reflexivo y cooperativo en todos los alumnos, sin que pierda su sentido.

La enseñanza de la Matemática trabaja las llamadas situaciones típicas.

Situación típica: Se entiende por la clase de todas aquellas situaciones reales en la enseñanza de una o varias asignaturas, que poseen semejanza con respecto a determinados parámetros esenciales, específicamente, con respecto a la estructura de los objetivos y a la estructura objetivo-materia, por eso estas situaciones permiten un proceder semejante en la aplicación de una determinada estrategia de conducción y de los procedimientos metodológicos organizativos. Son situaciones semejantes entre sí.

Las situaciones típicas representan una parte principal en la enseñanza de la Matemática, por lo que se da especial tratamiento a las siguientes:

1. Tratamiento de teoremas y sus demostraciones.

2. Tratamiento de conceptos y definiciones.

3. Tratamiento de ejercicios de aplicación y de problemas.

En gran medida, se recomienda la utilización de la vía inductiva para el tratamiento de las situaciones típicas (además de mostrar la deductiva), y entonces, a partir de casos particulares se llega al caso general por el propio alumno. La función del profesor consiste en ofrecer los llamados impulsos heurísticos, consistentes en preguntas o sugerencias que orienten el trabajo de búsqueda y construcción del conocimiento, y más ampliamente, garantizar la instrucción heurística de los estudiantes, lo cual puede entenderse como el enseñar a utilizar las diferentes reglas, estrategias y procedimientos heurísticos necesarios para el quehacer matemático.

La clase de ejercitación.

En el proceso de enseñanza-aprendizaje se debe destacar los mecanismos mediante los cuales el alumno puede apropiarse del contenido, en esto es importante la determinación del sistema de procedimientos para el estudio de un contenido en particular. Es necesario que el alumno conozca las operaciones que debe realizar para poder ejecutar cualquier acción orientada por el profesor. Es precisamente en este plano ejecutor donde con mayor énfasis se revela la actividad cognoscitiva independiente de los alumnos.

Cuando los alumnos ante una tarea o ejercicio son capaces de plantearse las operaciones que deben resolver, cuando pueden seleccionar las vías y medios para la solución de los mismos, cuando pueden comprobar los resultados obtenidos, es decir, cuando ponen en juego todas las posibilidades para su solución, se dice que han desarrollado habilidades en la solución de ese tipo de ejercicio, pues de forma racional pudieron llegar a la solución correcta del mismo.

En el proceso de enseñanza la consolidación desempeña un importante papel. El objetivo fundamental de la misma es profundizar en el contenido estudiado, así como en la formación de habilidades.

Existen diferentes tipos de consolidación (la ejercitación, profundización, repaso, sistematización y aplicación). La ejercitación juega un papel fundamental en el desarrollo de habilidades, pues permite proveer a los estudiantes de métodos de trabajo independiente para que por sí mismos, de forma consciente, sean capaces de apropiarse de la información y proceder en dependencia de la situación en que se encuentren.

En la didáctica el concepto de ejercitación se refiere a la repetición de acciones con el objetivo de desarrollar habilidades, las mismas necesitan ser ejercitadas por el hombre para lograr su formación, perfeccionamiento y desarrollo.

La observación del trabajo cotidiano de varios profesores muestra que la ejercitación se identifica por completo con la repetición, ya que se ejercita aquello que se estudia en determinada clase y todavía no está totalmente asimilado, sin embargo se repite el conocimiento que los alumnos asimilaron pero que no han ejercitado, o aquellos conocimientos que por su gran complejidad resulta necesario repetir, analizando que la repetición sirve para asimilar el conocimiento y desarrollar habilidades.

La ejercitación acompaña al proceso de enseñanza en todas y cada una de sus fases. El ejercicio se presenta, por ejemplo, al comienzo de una clase al contestar una pregunta de interpretación como una ejercitación diaria; en reproducir los conocimientos adquiridos anteriormente.

Un aspecto a destacar en la ejercitación, es la selección y gradación de los ejercicios, de modo que primero se resuelvan los más simples y luego los más complejos.

En dependencia de la calidad de la apropiación de conocimientos, algunos de estos conocimientos se convierten en habilidades y hábitos, otros se transforman sólo en habilidades, otros se quedan en el nivel de conocimiento y otro grupo puede borrarse de la memoria. Aquí los profesores juegan un rol fundamental pues está en sus manos desarrollar la actividad cognoscitiva independiente de los alumnos, y esto lo pueden lograr por medio de adecuados métodos de trabajo que posibiliten el desarrollo cognitivo de los alumnos.

Ha quedado evidenciada la importancia que se le concede a la ejercitación en la formación, perfeccionamiento y desarrollo de habilidades.

Objetivos generales de la asignatura relacionados con la resolución de problemas.

1. Fundamentar su patriotismo revolucionario y su antimperialismo con análisis cuantitativos y valoraciones, en los que se demuestre la obra socialista de la Revolución, el carácter agresivo del imperialismo hacia Cuba, el mundo, y los retos contemporáneos al desarrollo económico y social de los países subdesarrollados.

2. Adoptar decisiones responsables en su vida personal, familiar y social aplicando procesos de razonamientos inductivos, deductivos y por analogía que le permitan arribar a conclusiones y argumentaciones sobre la base de emplear, con seguridad, estimaciones y cálculos exactos, relaciones de proporcionalidad, tanto por ciento y el trabajo con magnitudes.

Partes: 1, 2, 3


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