Elementos finitos (Métodos de solución Ecuaciones diferenciales)

Partes: 1, 2

Objetivos

• Resolver ecuaciones diferenciales que modelan un fenómeno físico, teniendo en cuenta que son de gran ayuda para comprender el real comportamiento, en nuestro caso especifico para el análisis de componentes de maquinaria y fenómenos térmicos.

Método de colocación

Dada la ecuación diferencial de la forma

Donde los respectivos valores de A, B, C son los siguientes.

A=1

B=2

C=3

D=1

Por consiguiente igualando la ecuación diferencial anterior a R, donde R representa el valor del residuo, ya que la solución de la ecuación diferencial es una solución aproximada se tiene lo siguiente.

A continuación se determina una función de prueba

Remplazando las derivadas de la función de prueba en la ecuación diferencial tenemos lo siguiente.

El método de colocación indica que

Donde el punto de colocación se selecciona dentro del siguiente intervalo

Método de mínimos cuadrados

Con el residuo hallado en el numeral anterior se procede a determinar W.

Sustituyendo en la ecuación anterior se tiene lo siguiente.

Método de Garlekin

Método de elementos finitos

Donde los respectivos valores de A, B, C son los siguientes.

A=1

B=2

C=3

Por consiguiente se obtendrá la formulación variacional de esta ecuación diferencial, para tal motivo se utiliza la expresión del residuo o error R.

Por consiguiente

Donde w es una función de peso definida, el intervalo a considerar es (0,1), el cual lo dividiremos en n subintervalos del mismo tamaño h, por tal motivo I se puede expresar de la siguiente manera.

Para resolver la anterior ecuación, se procede a resolver cada una de las integrales correspondientes de dicha ecuación, por consiguiente tenemos que:

La función de peso W se expresa de la siguiente forma

Por consiguiente la función y se define como:

Resolviendo para cada una de estas integrales

Evaluando los límites de integración tenemos que

Ahora se calcula la segunda integral de la siguiente forma.

Evaluando los límites de integración tenemos que:

Resolviendo para cada componente de la matriz tenemos lo siguiente.

• Componente 1-1

• Componente 1-2

• Componente 2-1

• Componente 2-2

A continuación calculamos la tercera integral

• Componente 1-1

• Componente 1-2

• Componente 2-1

• Componente 2-2

Ahora calculamos la cuarta y última integral:

• Componente 1-1