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Espacio Vectorial

Enviado por Néstor Sanz



Partes: 1, 2

  1. Definición y Propiedades de un espacio vectorial
  2. Vector fijo
  3. Propiedades del Espacio Vectorial
  4. Resta de vectores
  5. Producto de un número por un vector
  6. Combinación lineal
  7. Bases ortogonales y Ortonormales

Definición y Propiedades de un espacio vectorial

Un espacio vectorial (o espacio lineal) es el objeto básico de estudio en la rama de la matemática llamada álgebra lineal. A los elementos de los espacios vectoriales se les llama vectores. Sobre los vectores pueden realizarse dos operaciones: la multiplicación por escalares y la adición (una asociación entre un par de objetos). Estas dos operaciones se tienen que ceñir a un conjunto de axiomas que generalizan las propiedades comunes de las tuplas de números reales así como de los vectores en el espacio euclídeo. Un concepto importante es el de dimensión.

Históricamente, las primeras ideas que condujeron a los espacios vectoriales modernos se remontan al siglo XVII: geometría analítica, matrices y sistemas de ecuaciones lineales. La primera formulación moderna y axiomática se debe a Giuseppe Peano, a finales del siglo XIX. Los siguientes avances en la teoría de espacios vectoriales provienen del análisis funcional, principalmente de los espacios de funciones. Los problemas de Análisis funcional requerían resolver problemas sobre la convergencia. Esto se hizo dotando a los espacios vectoriales de una adecuada topología, permitiendo tener en cuenta cuestiones de proximidad y continuidad. Estos espacios vectoriales topológicos, en particular los espacios de Banach y los espacios de Hilbert tienen una teoría más rica y elaborada.

Vector fijo

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Elementos de un vector

Dirección de un vector

La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella.

Sentido de un vector

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Módulo de un vector

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El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero.

Módulo de un vector a partir de sus componentes

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Módulo a partir de las coordenadas de los puntos

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Coordenadas de un vector

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Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:

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Clases de vectores

Vectores equipolentes

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Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido.

Vectores libres

 

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El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Es decir los vectores libres tienen el mismo módulo, dirección y sentido.

Vectores fijos

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Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen.

Vectores ligados

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Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta.

Vectores opuestos

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Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.

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Vectores unitarios

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Los vectores unitario tienen de módulo, la unidad.

Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.

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Vectores concurrentes

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Los vectores concurrentes tienen el mismo origen.

Vector de posición

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Vectores linealmente dependientes

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Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

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Vectores linealmente independientes

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