A todos los geómetras
Cuando los matemáticos de los siglos XVII, XVIII y XIX estudiaron la axiomática de la geometría euclidiana y sus implicaciones en la construcción del edificio de esa geometría, terminaron concluyendo que el antiguo Postulado Quinto de Euclides es independiente del resto de los postulados, lo que abrió paso a una nueva geometría, las geometrías no euclidianas. Y para suplir el vacío que dejaba ese Postulado en la vieja postulacional de Euclides, se idearon varios postulados, siendo el de Playfair, el más conocido. Pero, los geómetras de aquellos siglos no vieron una cosa, que el paralelismo es una consecuencia del ángulo recto y que es, sobre este ángulo, que descansa toda la geometría de Euclides y donde ese Postulado Quinto pasa a convertirse en un teorema con todas las de ley.
Entonces, con la conclusión (incompleta) de aquellos matemáticos del XVIII y del XIX que dijeron que el Postulado Quinto no pertenecía a esa axiomática y que era imposible deducirlo como un teorema a partir de los otros postulados, se cerró, con aldaba y candado, la puerta de ese capítulo de la geometría y se creó un dogma con carácter de infalibilidad: "El Postulado Quinto no se puede demostrar". Pero no todo estaba dicho. Vino la ecuación x 0 = 1 y demostró, con absoluta claridad y rigurosidad, que el Postulado Quinto es realmente un teorema, por lo que lo hemos sacado de la lista de los postulados para pasarlo a la lista de los teoremas. Es comprensible que este estudio haya encontrado resistencia, al punto que se han negado a estudiarlo aun cuando lo venimos proponiendo desde el año de 1967.
Ese dogma del siglo XIX estableció que, en las primeras construcciones de la geometría euclidiana estaba, ahí implícito y escondido, el paralelismo y, por lo tanto, implícito también ahí estaba con el paralelismo, el teorema de Pitágoras, el teorema de los cosenos y muchos más de los teoremas de Euclides. Esto es cierto si partimos de que, para levantar ese edificio geométrico, hacemos del paralelismo un postulado; pero, si examinamos con cuidado cómo empiezan a formarse los primeros cimientos de la geometría euclidiana, observamos que es sobre el ángulo recto donde está todo el fundamento de la geometría de Euclides, donde el paralelismo pasa a ser una consecuencia de ese ángulo (ver Mi geometría), cosa fácilmente demostrable, lo primero, y lo segundo, la ecuación x 0 = 1 más tarde así lo verifica. Conclusión: El Postulado Quinto de Euclides es realmente un teorema, abriendo paso hacia un nuevo sendero que lleva a una teoría, la teoría pangeométrica de la hiperesfera, según una interpretación no euclidiana de la ecuación x 0 = 0, hermana gemela de la anterior.
Esta investigación tiene la virtud de llevarnos, con la geometría
y el álgebra clásica más elementales y por un camino distinto, a
las mismas conclusiones que llegaron los descubridores de las
geometrías no euclidianas, a saber, que el antiguo Postulado
Quinto de Euclides es independiente del resto de los postulados
de esa geometría, solo que aquí se hace una interpretación
distinta y se eleva a rango de teorema ese postulado, a la vez
que se formula una nueva teoría.
Esta aventura geométrica, que por largo tiempo recreó
nuestro espíritu, constituye uno de los capítulos más
emocionantes y más queridos de nuestra vida, el cual
pudo ser posible solo por el entusiasmo loco de aquellos
años que nos hacían recorrer, sin aburrimiento, un
mismo camino muchas veces.
Intentaremos poner los primeros rudimentos
para la geometría a desarrollar sobre la superficie de la
hiperesfera con fundamento en las ecuaciones x 0 = 1 y
x 0 = 0. Por tanto, el tema aquí no se agota, por el
contrario, apenas se atisba y se expone la teoría en ciernes
para interesar a los geómetras en esta odisea.
Nota preliminar
En el año de 1966 se obtuvo el teorema que permite saber a qué distancia se cortan las prolongaciones de los lados opuestos de un trapezoide. Y, un año después, en 1967, el mismo teorema condujo a dos resultados reveladores, las ecuaciones gemelas x 0 = 1 y x 0 = 0. Pero han tenido que pasar muchos años para entender y aceptar estos dos resultados tan simples pero en un principio tan desconcertantes. Y el hecho de que se haya podido demostrar el antiguo Postulado Quinto de Euclides no significa una grieta en los fundamentos de las geometrías no euclidianas, solo nos dice que hay otro sendero sobre el que todavía no se ha caminado.
Si algo nos despistó por mucho tiempo en el tratamiento de este estudio fue la naturaleza de la "línea recta". Creímos que era suficiente con tenerla entendida como un término primitivo, al igual que el punto, el plano y otras nociones geométricas más pero, no resultó así. Cuando dimos con la ecuación x 0 = 1 exclamamos: ¡Eureka, esta es la recta euclidiana máxima que existe y no hay otra mayor! Y agregamos: "Esta recta de magnitud 1 indica el límite máximo para el espacio plano de Euclides", pero estábamos apenas a mitad del camino, que era otra la verdad geométrica total: una geodésica era lo que realmente indicaba esa ecuación, que en principio es una recta euclidiana que empieza en el punto E para dirigirse hacia el punto P y continuar así prolongándose indefinidamente hasta regresar a su punto de partida (el punto E). Ver figura 1. Y esta recta, en principio euclidiana, es, finalmente, una geodésica, denominada en este discurso bajo el nombre de recta hiperesférica, cuya distancia entre sus dos puntos más lejanos es CERO, y la distancia entre sus dos puntos más cercanos es UNO, como se puede ver en un capítulo que titulamos "Conclusiones". Y todo esto acontece cuando el teorema geométrico euclidiano x S = R d se convierte en la ecuación
x 0 = 1, y es entonces que ya estamos sobre el modelo pangeométrico de la hiperesfera y, consecuentemente, sobre la recta hiperesférica donde, las nociones de recta y plano ya no son como en la geometría de Euclides. Solo la noción de punto es igual para todas las geometrías. En esta geometría de la hiperesfera hay que seguir por el camino que dictan las ecuaciones y no los sentidos.
Un teorema, dos corolarios
Figura 1
Figura 2
EXPLICACIÓN
X · 0 = 1 Esta ecuación : 1°) Prueba que en el espacio plano euclidiano hay rectas que nunca se cortan por mucho que se les prolongue. 2°) Convierte el antiguo Postulado Quinto de Euclides en teorema. 3°) Nos dice que la recta euclidiana máxima es como una geodésica de magnitud 1 y de magnitud 0 a la vez.
Entonces, solo cuando se da este singular resultado es que las prolongaciones de las rectas EH y FG no se cortan jamás, son rectas ilimitadas, no infinitas. Después se verá, por analógica conclusión universal, que la prolongación de la recta EH (representada en la figura con una X ) termina volviendo a su punto de partida y se convierte en la mayor geodésica del universo ( 1 ), y en la menor también, en un punto, en CERO. Por tanto, en esta geometría, no hay recta infinita, toda recta es ilimitada y todas las rectas se cortan, incluyendo las paralelas cuando trascienden el espacio plano que las contiene.
X · 0 = 0 Esta ecuación prueba, en una primera lectura, que ese Postulado Quinto es independiente de los demás postulados de Euclides (descubrimiento del siglo XVIII) y, en una segunda lectura, nos revela de la necesidad de que las paralelas se corten una vez que trasciendan el espacio que las contiene, lo que lleva a una teoría, la teoría pangeométrica de la hiperesfera.
Esta indeterminación, tan extraña como inesperada, en principio nos desconcertó porque esperábamos un resultado real y preciso. Luego vimos que probaba la independencia del famoso y viejo Postulado Quinto de la axiomática euclidiana y, más tarde, observamos que de los fundamentos mismos de ese cuerpo geométrico emergía un valor que venía a resolver esa ecuación indeterminada y a resolver la figura geométrica que se discutía, y esto nos llevó al modelo que postula esa teoría.
El teorema de las paralelas
x · 0 = 1
La más sencilla y minúscula de las ecuaciones, equis por cero igual uno, es la ecuación de las paralelas, es la fórmula del paralelismo si se prefiere decirlo así, es la demostración del antiguo Postulado Quinto de Euclides, o bien, es perfectamente válido decir que esa expresión indica el límite máximo de una recta euclidiana que termina convirtiéndose en geodésica, de donde resulta que la recta euclidiana es ilimitada pero no infinita.
Quizá el mayor obstáculo con que ha tropezado esta ecuación es el hecho de que la geometría moderna haya dicho, con carácter de dogma, que es imposible la demostración del Postulado Quinto, postulado que se tiene como recíproco de la proposición 1: 17 de los Elementos. Y si este Postulado Quinto se tiene como una equivalencia del paralelismo, entonces la ecuación x · 0 = 1 contradice todo lo que se ha escrito sobre ese postulado y sobre las paralelas.
La geometría del universo
El título de este comentario es el mismo con que titulamos nuestro último opúsculo geométrico. Es un estudio fácil, solo que es sumamente extenso y laborioso. Fue largo el camino y muchos los años para recorrerlo, pero nos dejó una gran satisfacción espiritual. Tuvo su comienzo en el año de 1966 cuando, queriendo hallar la relación geométrica que hay entre las prolongaciones de los lados opuestos de un cuadrilátero y los elementos que componen a éste, apareció un teorema, un teoremas que nos llevó a dos corolarios de suma importancia, a saber, las ecuaciones x · 0 = 1 y x · 0 = 0, que más tarde se volverían útiles para fundamentar la teoría formulada, teoría que ya expusimos en los opúsculos titulados La hiperesfera y La geometría del universo.
Por la Física sabemos que el universo está en expansión pero que, después de un proceso inverso, empezará a contraerse hasta quedar reducido a un punto infinitamente pequeño e infinitamente denso (como un agujero negro). Una singularidad la llaman los teóricos de la física moderna. Y es en este punto donde notamos una semejanza entre ese universo de la física teórica y el modelo pangeométrico de la hiperesfera. En efecto, el universo de la física moderna se corresponde con la teoría pangeométrica de la hiperesfera que, extrapolada, dice que el universo se autocontiene, abriéndose y cerrándose sobre sí mismo entre dos singularidades geométricas: la ecuación x · 0 = 1 y la ecuación x · 0 = 0, todo en intervalos cósmicos, cíclicos e indefinidamente, por lo que no hay ni un principio ni un fin. Es importante indicar que para la formulación de esta teoría fue preciso hacer una lectura no euclidiana de la ecuación x · 0 = 0. Temerariamente, y con fundamento cierto de que existe un valor que escondido vaga por entre las primeras y más primitivas relaciones geométricas establecidas desde los tiempos de Tales de Mileto, nos aventuramos y dimos un salto geométrico no euclidiano para interpretar esa ecuación indeterminada porque, ese valor, resulta ser la explicación del problema: la necesidad geométrica de que las rectas paralelas, una vez que trasciendan el espacio que las contiene, terminen cortándose en otro espacio distinto al de la geometría plana euclidiana (como lo predijo el gran Aristóteles de Estagira hace veinticuatro siglos, antes que el mismo Euclides
escribiera su monumental obra de los Elementos). Y con ese salto nació la hiperesfera que es el modelo geométrico propuesto.
A lo largo de este estudio, en vez del anterior x · 0 = R · d utilizado en anteriores opúsculos, debe leerse x · 0 = 1 como la expresión más clara, concisa y precisa.
Y la ecuación x · 0 = 0 indica que el espacio plano de Euclides debe trascender, por imperiosa necesidad, para entrar en otra dimensión. Y, cuando esto sucede, estamos ya sobre el espacio del modelo pangeométrico de la hiperesfera donde, el espacio plano todo de Euclides es apenas una porción microscópica dentro de la inimaginable inmensidad espacial de este nuevo modelo.
El modelo de la hiperesfera se ha llamado así por lo siguiente: 1. Porque va más allá de la geometría plana de Euclides aunque, en principio, la contiene.
2. Porque, en su comienzo, guarda gran semejanza con la geometría hiperbólica: la silla de montar de Lobachvesky. 3. Porque tiene similitud con la geometría plana de Riemman en el tanto de que todas las rectas se cortan y son ilimitadas (no hay recta infinita).
En principio empezamos concibiendo nuestro modelo como una esfera de dimensiones inimaginablemente grandes en la que, su radio, crece indefinidamente hasta trascender su propio espacio, hasta colapsar. Sucede entonces que la superficie de esa esfera se abre tanto que también llega a colapsar y, en lo que antes era una superficie esférica ahora es una superficie sin curvatura, se convirtió esa región esferoide en un espacio euclidiano bidimensional donde, la tangente, que antes tocaba en un punto la circunferencia ahora ésta se confunde con la tangente y ya son una sola recta. ("En geometría moderna se tiene que una línea recta puede pensarse como una circunferencia con centro al infinito." ELEMENTOS DE GEOMETRÍA SUPERIOR. Edwin E. Moise de la Universidad de Harvard). También podemos pensar el modelo de esta otra manera: imaginad dos rectas euclidianas paralelas que se prolongan indefinidamente hasta trascender su propio espacio. ¿ Qué sucede ? Exactamente lo mismo que lo anterior, solo que a la inversa. Al trascender las paralelas el espacio que las contiene, entran en otra dimensión espacial para luego regresar a su espacio primitivo y terminar cortándose, vuelven al espacio de donde salieron. Es un modelo en el que se pasa, en intervalos, de un espacio a otro para terminar regresando al primero; donde un espacio es la continuación del anterior en ciclos sucecivos, de donde conjeturamos que el universo todo puede autocontenerse, abrirse y cerrarse sobre sí mismo, trascender y convertirse en un universo ya plano, ya cóncavo o ya convexo … indefinidamente, en ciclos y a intervalos tan grandes que el hombre no puede imaginar, y donde el espacio y el tiempo ni siquiera se postulan porque constituyen, uno y otro, un mismo término primitivo. Creemos en que la interpretación no euclidiana de la ecuación x · 0 = 0 conduzca en verdad a ese universo. Solo se necesita la colaboración de físicos y geómetras para que tracen y estructuren el sistema geométrico que, con el desarrollo matemático correspondiente, tiendan el puente con la hiperesfera, que es el paso que falta para unir, en un solo universo, el microcosmos con el macrocosmos.
El doctor Howard Eves, de la Universidad de Maine, en su tratado sobre las geometrías, consigna ahí un capítulo que guarda absoluta similitud con el teorema x · S = R · d cuando se reduce a la ecuación x · 0 = 0, ecuación que solo se resuelve si se introduce en la figura geométrica un valor imposible, y esto solo sucede cuando las paralelas se cortan. En el fondo es exactamente lo mismo que dice Howard, solo que éste lo dice con otro lenguaje matemático. Oigámosle (SIC): "Hemos visto, en la geometría euclidiana plana, la conveniencia de introducir ciertos puntos ideales los llamados puntos en el infinito. Por este artificio, muchos teoremas que primeramente tenían excepciones se vuelven universalmente verdaderos. Una situación semejante, pero más complicada, existe en la geometría lobachevsquiana plana. Mientras que en la geometría plana tenemos solo dos tipos de pares de rectas, es decir, aquellas que se cortan y aquellas que son paralelas, en la geometría lobachevsquiana tenemos tres tipos de pares de rectas, las que se cortan, las que son paralelas y las que son hiperparalelas. Para proscribir los casos de excepción en ciertos teoremas de la geometría plana de Lobachevsky, tenemos que tratar de introducir una clase de puntos ficticios en que diremos que los pares de rectas paralelas se cortan, y otra clase de puntos ficticios en que diremos que los pares de rectas hiperparalelas se cortan. Estas dos clases de puntos ficticios se conocen como puntos ideales y puntos ultraideales, respectivamente." (Estudio de las Geometrías, tomo 1, página 344, primera edición en español, año 1969).
La interpretación no euclidiana de la ecuación x · 0 = 0 nos parece más real y más sencilla que los puntos ideales y ultraideales del hiperparalelismo de Lobachevsky.
Tenemos la sospecha de haber abierto en la geometría otra ventana. Quisimos mirar a través de ella pero … oscuridad total en el horizonte. Nos sentimos encarcelados y anclados a nuestro pequeño mundo geométrico de cuatro dimensiones … mundo cóncavo en el que vivimos y nos movemos. La cáscara del huevo ha picado y se ha abierto para que abandonemos la vieja casa. Antes de lanzarnos por la ventana soltamos un búho por la escotilla, mas no regresó, lo que significa que más allá hay tierra firme. Y en vez de arrojarnos al vacío optamos bajar por la escalerilla. Prendimos la linterna y clavamos las primeras estacas para levantar el edificio pangeométrico de la hiperesfera. Afanados y laboriosos estábamos en esta tarea cuando empezó a extinguirse lentamente la luz de nuestra lámpara hasta quedar a oscuras, que la batería, ya vieja y débil, no dio para más. Pero ya vendrán otros con más conocimientos, mejores herramientas y con linternas nuevas y más potentes, que alumbrará ese horizonte todavía en sombras, que esta aventura apenas empieza y bien sabéis que no acaba.
Este trabajo nos llevó a la misma conclusión de los geómetras de finales del siglo XVIII, esto es, que el postulado de las paralelas es independiente del resto de los postulados de Euclides. En efecto, el teorema x · S = R · d reducido a la ecuación x · 0 = 0, nos reveló que las rectas paralelas euclidianas no satisfacen ese sistema geométrico, fundamento de ese edificio. Solo que nosotros hemos hecho una interpretación distinta: sacamos el postulado de las paralelas de la lista de los postulados de Euclides y lo pasamos a la lista de los teoremas, en virtud de la ecuación x · 0 = 1 que nos demostró, con absoluta claridad y rigurosidad, que las rectas paralelas, mientras no trasciendan el espacio que las contiene, no se cortan por mucho que se les prolongue, lo que convierte el antiguo Postulado Quinto de Euclides en un auténtico teorema. Luego hicimos de la ecuación x · 0 = 0 una lectura no euclidiana y formulamos la teoría pangeométrica de la hiperesfera.
RECAPITULANDO
Cuando, después de este extenso trabajo dentro de la geometría más elemental de Euclides, llegamos a las ecuaciones x · 0 = 1 y x · 0 = 0 provenientes de un mismo teorema y de una misma figura geométrica, resultó que esas ecuaciones se volvieron extrañas dentro del sistema geométrico euclidiano. La primera porque convierte el antiguo Postulado Quinto de Euclides en teorema y esto es un anatema en la geometría. Y la segunda porque parece revelar incompatibilidad e inconsistencia dentro de ese mismo sistema.
Había entonces que encontrar un valor que evitara llegar a la ecuación indeterminada x · 0 = 0 para poder solucionar satisfactoriamente la ecuación y, a la vez, que ese mismo valor resolviera también el problema geométrico planteado. Y fue entonces cuando emergió el valor imposible, solucionando la ecuación y resolviendo el problema en la figura geométrica. Decimos que emergió porque ese valor ya preexistía, estaba desde el principio en los cimientos mismos de la geometría del viejo Euclides. Ahora vemos que la inconsistencia que descubrieron los geómetras de finales del siglo XVIII y principios del XIX, es la misma (aparente) inconsistencia que alcanzamos con el resultado geométrico x · 0 = 0, solo que nosotros hacemos una segunda lectura de ese resultado, otra interpretación, que es la que nos lleva por otro sendero muy distinto hasta llegar más allá de la geometría clásica de los griegos, que es llegar a las orillas de otro universo geométrico, el universo pangeométrico de la hiperesfera y formular una teoría, aún en ciernes, y que tiene su fundamento en esas ecuaciones, teoría que ya hemos expuesto en entregas a lo largo de seis opúsculos.
Para tener una idea del modelo que se propone, imaginemos una boya que apenas se mira lejos en el océano. Pues bien, la parte seca de ese cuerpo que flota y que con dificultad se observa en la distancia, corresponde exactamente al espacio bidimensional de Euclides, espacio este que cubre solo el 0,01% de la superficie total de la boya, y el resto, el 99,99% de esa superficie, está bajo las aguas. Entonces solo conocemos de la boya (la hiperesfera) una porción infinitamente pequeña, que es la que corresponde al espacio plano euclidiano. Más allá de este espacio de Euclides está el espacio hiperesférico con su recta hiperesférica y que junto con la porción euclidiana conforman la totalidad de la hiperesfera, solo que no sabemos de su forma. De la hiperesfera parece inferirse el modelo geométrico perfecto del universo, de un universo que se autocontiene, se abre y se cierra sobre sí mismo entre aquellas dos singulares ecuaciones.
La ecuación x · 0 = 1
Vamos a demostrar que, en el espacio plano euclidiano, hay por lo menos un momento en que dos rectas nunca se cortan por mucho que se les prolongue. Como en la figura EFGH es perfectamente posible hacer a = c y e = n sin que se cause daño, tenemos
ELEMENTOS
CONOCIDOS
EF = a
FG = b
GH = c = a
EH = d
EG = e
FH = n = e
ELEMENTO
DESCONOCIDO
EP = x
Sustituidos estos valores en el teorema x · S = R · d obtenemos la ecuación x · 0 = R · d donde R · d ? 0, luego x · 0 = 1. Este resultado,
que es un límite, indica que no existe el punto P y, en consecuencia, las prolongaciones de las rectas EH y FG nunca se cortan por mucho que se les prolongue, lo que se quería demostrar. Esto hace que el antiguo Postulado Quinto de Euclides pueda ya pasar tranquilo a la lista de los teoremas de esa geometría.
La ecuación x · 0 = 0
Por la demostración anterior ya sabemos que hay rectas que nunca se cortan, por tanto, ya podemos construir un trapecio. Construyamos el trapecio EFGH:
Figura 3
Entonces vamos a demostrar que, para resolver el trapecio por el teorema x · S = R · d es necesario que las rectas paralelas se corten en algún punto. Hemos convertido la figura EFGH en un trapecio donde, sus paralelas, son las rectas EF y GH. Sabemos que para toda figura EFGH, el valor de x se determina por el teorema x · S = R · d, donde x puede tomar todos los valores que permita esa figura, incluyendo cero e infinito. Sin embargo, existe un valor real para x en esa figura, que el teorema no puede resolver, que es cuando R = S = 0, que hace que la ecuación de ese teorema quede reducida a la expresión indeterminada x · 0 = 0, siendo imposible determinar el valor real de x por medio de esa ecuación.
HACEMOS
c = 3 a
d = b
n = e
ELEMENTOS
CONOCIDOS
EF = a
FG = b
GH = c = 3 a
EH = d = b
EG = e
FH = n = e
P = punto de intersección
ELEMENTO
DESCONOCIDO
EP = x
Para saber el valor de x en el anterior trapecio, llevamos los elementos conocidos al teorema x · S = R · d y tenemos que
Pero como en esta figura EFGH las rectas EF y GH no se cortan, se da entonces, por Pitágoras, la relación
Sustituyendo S y R en la ecuación del teorema x · S = R · d, tenemos
Un resultado indeterminado que hace imposible saber el valor real de x. Este resultado es en extremo importante porque indica que, para que la ecuación x · S = R · d se satisfaga siempre, sin excepción, es necesario que las rectas EF y GH se corten en algún punto, de lo contrario, la ecuación se reducirá invariablemente, a la forma indeterminada x · 0 = 0. En efecto, el teorema x · S = R · d resuelve el trapecio sí, y solo sí, asignamos un valor imposible (imaginario) a uno de los elementos de la figura. Por
El siguiente ejemplo, con un radical imaginario, ilustra mejor la necesidad del valor imposible para poder resolver satisfactoriamente el trapecio.
Entonces, como es necesario asignar un valor imposible a uno de los elementos de la figura para poder resolver satisfactoriamente el trapecio por el teorema (que es universal), es necesario también , por imperiosa consecuencia, que dentro de ese mismo contexto, las rectas paralelas EF y GH se corten en algún punto. Esta condición, obligada, revela que, para que el sistema geométrico que conduce al teorema x · S = R · d se satisfaga en todos los casos, sin excepción alguna, es decir, para que todo ese sistema geométrico sea absolutamente consistente, es necesario que las rectas EF y GH se corten siempre, lo que se quería demostrar.
Esta era la hipótesis de Aristóteles (hipótesis que ahora es una verdad geométrica) quien se adelantó en 23 siglos a las geometrías no euclidianas. Esta proposición del sabio de Estagira, en su tiempo quizá fue considerada más como una creación de la fantasía que como un conocimiento verdadero.
En conclusión podemos decir que el teorema x · S = R · d , reducido a la forma de x · 0 = 0, tiene la virtud de revelar la naturaleza del fundamento mismo de la geometría.
Ahora, si queremos hacer una lectura euclidiana de la ecuación x · 0 = 0, tenemos que decir que el teorema lleva, para el caso del trapecio que es un caso particular de la figura EFGH, un elemento innecesario, de por demás, que vuelve redundante la ecuación y la reduce a la forma indeterminada ya conocida, en razón de que el trapecio se resuelve satisfactoriamente con solo conocer cuatro de sus seis elementos. Por esto la fórmula de Arturo (Dios hace geometría, página 67), que incluye solo cuatro elementos del trapecio, sí resuelve el problema y determina el valor de x sin necesidad de recurrir a la clásica relación geométrica de Tales, PE/EF = PH/GH.
Como dentro de todo este contexto la ecuación x · 0 = 0 indica paralelismo, la misma entonces no puede, en este caso, leerse literalmente como un indeterminado sino que debe interpretarse como un resultado geométrico de un caso particular de la figura EFGH.
Pensamos que por medio de algún cálculo en el campo de la Matemática se pueda, de alguna manera, manejar y hacer aplicable el valor imposible (imaginario) que lleva implícito la ecuación x · 0 = 0 y convertirlo en un valor matemático que pueda tender un puente entre el conocimiento existente y el conocimiento que nos vaya a ofrecer la geometría de la hiperesfera. Es la tarea del siglo XXI para los matemáticos, para los teóricos de la Física y, sobre todo, para los geómetras de lo espacios abstractos.
La hiperesfera
Sea una esfera y un plano euclidiano que tienen un punto en común (como una bola sobre una mesa). Entonces el espacio de la hiperesfera es el que pasa entre el plano esferoide y el plano de Euclides sin cortarlos pero tocando a ambos en un punto. Veamos las variaciones, primero con la circunferencia, después con la esfera.
1. Imaginad una circunferencia, su radio, y una tangente que hace punto tangencial con el extremo exterior de ese radio.
2. Si hacemos crecer el radio, la circunferencia se va abriendo. Si lo hacemos crecer de manera indefinida hasta que alcance su máxima longitud, hasta que trascienda su propio espacio, el radio colapsa, haciendo abrir tanto a la circunferencia que ésta colapsa también, de donde resulta que la circunferencia y la tangente se hacen una sola recta euclidiana. Esta recta se convierte entonces en la recta euclidiana máxima porque tiene toda la extensión longitudinal de la tangente. Entonces, el valor de esta recta euclidiana máxima es de 1. De magnitud UNO.
Y sucede lo siguiente:
( C = circunferencia )
( R = radio de la circunferencia )
3. Imaginad ahora una esfera, su radio, y un plano euclidiano que hace punto tangencial con el extremo exterior de ese radio.
( S = superficie de la esfera )
( R = radio de la esfera )
El espacio hiperesférico NO ES el plano euclidiano y NO ES el plano de la esfera. Es un espacio intermedio entre el plano de Euclides y el plano de la esfera. ¿ Será esta dimensión espacial la misma de la silla de montar de Lobachevsky ? Pensamos que, en parte, tal vez pueda ser la misma, solo que esta proposición geométrica se orientó por otro sendero según las ecuaciones x · 0 = 1 y x · 0 = 0.
El cero es el límite, o el punto medio, de la totalidad de una recta que se prolonga indefinidamente en ambos sentidos. En "El infinito en las rectas paralelas" , página 15, se demuestra de la existencia de rectas paralelas que tienden al infinito pero con signo negativo. Es muy probable que la dimensión espacial de la hiperesfera nos ponga en un universo geométrico de, por lo menos, seis dimensiones.
Cuando el radio de la esfera colapsa sucede que esa superficie esférica se convierte en un plano euclidiano y el radio de esa esfera pasa a ser un segmento de la inimaginable recta hiperesférica del otro universo geométrico que se acaba de engendrar porque, la esfera primera, desaparece para dar paso a otra, y esta otra dará paso a otra más y así en ciclos sucecivos indefinidamente.
Conclusiones
De acuerdo con las ecuaciones x · 0 = 
1 y x · 0 = 
1, donde x
es la extensión máxima de una recta euclidiana en uno y otro sentido (negativo y positivo) , tenemos que decir entonces que la extensión total de la recta hiperesférica es CERO, porque sumadas ambas, se cancelan, de la misma manera que en la Física teórica se dice que la energía total del universo es cero (HISTORIA DEL TIEMPO, de Stephen W. Hawking). Por tanto, no existe periferia del universo. ¡No tiene orilla!
De donde resulta:
La distancia más larga entre dos puntos de la recta hiperesférica = 0
La distancia más corta entre dos puntos de la recta hiperesférica = 1
La distancia más corta entre dos puntos de la recta euclidiana = 0
La distancia más larga entre dos puntos de la recta duclidiana = 1
Por significativo, copiamos de ese mismo libro de Hawking, lo siguiente (SIC):
"La idea de que se podría ir en línea recta alrededor del universo y acabar donde se empezó es buena para la ciencia ficción, pero no tiene demasiada relevancia práctica, pues puede verse que el universo colapsaría de nuevo a tamaño cero antes de que se pudiera completar una vuelta entera".
Dijimos que la hiperesfera es como una boya que en el océano se divisa y de la que apenas alcanzamos a mirar solo la parte seca que emerge de las aguas, que del resto de ella no sabemos de su forma ni de su tamaño. Hemos dicho que esta parte seca corresponde al espacio plano de Euclides pero, también, puede corresponder a una parte del espacio plano en la geometría de Lobachevsky: la silla de montar, sea en el anverso como en el reverso.
Para comprender mejor el estudio y el modelo de la hiperesfera conviene recordar las definiciones que establecimos en "Mi geometría", a saber:
Indefinido para cuando decimos: Toda recta se puede prolongar en forma
Indefinida.
Ilimitado para cuando decimos: Toda recta es ilimitada pero no infinita.
Colapsar para cuando decimos: La circunferencia se abrió
tanto, hasta que colapsó, perdió su curvatura y se
convirtió en una recta euclidiana. Lo mismo sucede para
una región esférica, que se abre tanto hasta que
colapsa y se convierte en una superficie de curvatura cero.
Trascender para cuando decimos: Una recta euclidiana, que se
prolonga Indefinidamente, llega a trascender su propio
espacio (colapsa) y entra en otro espacio diferente, pasa a otra
dimensión espacial.
Verbigracia: pasar de un espacio sin curvatura y continuar en otro
con curvatura. Trascender con el sentido de traspasar un límite,
traspasar un espacio.
Con estas cuatro nociones ya no hay necesidad de pensar en la infinitud, que las rectas y los espacios trascienden para, en un continuo, transformarse en otras rectas y en otros espacios y, más tarde, volver a las rectas y a los espacios anteriores.
Por el teorema estudiado sabemos que la recta euclidiana tiene una magnitud positiva y una magnitud negativa y un punto CERO (ver Figura 3 donde, el punto E, es el punto CERO de la recta CC", y a partir de este punto es que tendrá, en un sentido, un signo positivo, y en el otro, un signo negativo). También nos demostró el teorema, de una manera clara, sencilla y dentro de la mayor rigurosidad, por medio de la ecuación x · 0 = 1, que en el espacio plano euclidiano hay rectas que, por mucho que se les prolongue, no se cortan, lo que vino a demostrar que el antiguo Postulado Quinto de Euclides es realmente un teorema. Hasta aquí, hasta esta ecuación, todo bien, todo claro, todo sencillo. Pero, a partir de la ecuación x · 0 = 0, empieza la geometría de los espacios abstractos según una interpretación no euclidiana de esta ecuación.
Por las ecuaciones x · 0 = 
y x · 0 = 
sabemos de la magnitud positiva o la magnitud negativa de la recta euclidiana. Sabemos también que la recta euclidiana máxima es igual a 
y es igual a (valores absolutos). Y que la recta euclidiana mínima es igual a 0 (un punto). Una recta euclidiana normal (como la que se traza para dibujar las figuras geométricas) siempre será mayor que cero y menor que uno.
La ecuación x · 0 = 0, con su valor imposible, nos señaló la necesidad de trascendencia del espacio plano de Euclides para poder resolver satisfactoriamente la ecuación y la figura geométrica que se discutía.
Cuando el radio crece hasta colapsar, la circunferencia se convierte en una recta; y cuando decrece hasta el colapso, se convierte en un punto.
La recta hiperesférica está latente entre toda curva y la tangente que la toca, y su distancia más corta es igual a la recta euclidiana máxima, esto es, igual a 1, y su distancia más larga también es igual a 1.
La recta hiperesférica es una geodésica.
Y aunque la boya no tiene la forma exacta de una esfera (puesto que contiene espacios planos euclidianos), no obstante la recta hiperesférica que le da una vuelta completa es igual a 1, vale decir, es igual a la recta euclidiana máxima que vale 1 también, y como es una recta que vuelve a su punto de partida, llega otra vez a CERO y se convierte en un punto.
Pensemos otra vez en aquella circunferencia cuyo radio crece indefinidamente hasta trascender su propio espacio, hasta colapsar, haciendo que la circunferencia se convierta en una recta euclidiana máxima, esto es, se convierta en una recta hiperesférica, o, lo que es igual, en una geodésica y donde ese radio pasa a ser, primero, una circunferencia, circunferencia que más tarde colapsará y se convertirá en otra geodésica, y así sucesiva e indefinidamente, de manera que, toda recta euclidiana es el radio de una circunferencia (siempre mayor que cero y menor que uno), y la recta hiperesférica es una geodésica (igual a UNO o igual a CERO).
¿Qué sucede con los dos puntos más cercanos de una circunferencia cuando ésta se abre hasta el colapso ? Sucede que esos dos puntos, antes tan cercanos, se vuelven los dos puntos más lejanos de una recta, la recta euclidiana máxima, la geodésica, de magnitud 1 y de magnitud 0.
La siguiente consideración apenas la enunciamos. Se trata de la recta hiperesférica que está entre una curva y una recta euclidiana y que pasa por un punto tangencial denominado P. Así:
Figura 4
La naturaleza de la recta hiperesférica es distinta de la recta euclidiana. La recta hiperesférica es trascendente y contiene a la recta euclidiana, trasciende el espacio euclidiano y el espacio esférico para volver a su punto de origen, por eso ella es una geodésica.
En el gráfico, hh" es la recta hiperesférica imaginada que pasa por el punto P sin cortar a la recta euclidiana LL", pasa por los ángulos LPC y L"PC" y es tangente del arco CPC". Esta recta hiperesférica es la misma recta que llegará a confundirse (hacerse una) con la curva CPC" cuando esta curva colapse (trascienda) y, consecuentemente, se confundirá también con la recta tangente LL" , de donde la curva, la tangente y la hiperesférica, se convierten en una sola recta, sin embargo, son realmente tres rectas diferentes que pasan por los mismos puntos sin cortarse. Ya se verá, más adelante, que por dos puntos distintos pasa más de una recta. Pero, no es una sola la recta hiperesférica que pasa por el punto P sin cortar a LL" , son todas las rectas que pasan P y por entre los ángulos LPC y L"PC´ . Las rectas r que están dentro del círculo y pasan por P, sí cortan a a la recta euclidiana LL". Entonces, la recta hiperesférica hh" es una recta que pasa por P sin cortar a la recta euclidiana LL" y sin cortar a la curva CPC", y como son innumerables las rectas que pasan por esos ángulos, innumerables son también las tangentes que pasan por el punto P. COROLARIO: Por un punto de una curva pasa más de una tangente. Y esto equivale, en el fondo, a las hipótesis de Saccheri con los cuadriláteros que llevan su nombre pero que, lamentablemente, él no pudo interpretar bien sus conclusiones geométricas.
Comentario: Gerolamo Saccheri, quien con sus hipótesis del ángulo agudo y del ángulo obtuso obtuvo (sin percatarse) los primeros teoremas de la geometría no euclidiana, llegó, por otro sendero, al mismo lugar geométrico nuestro. No sabemos si alcanzó la ecuación x · 0 = 0 (bajo otra forma, por supuesto) pero, es claro, que los resultados de su investigación convergen, potencialmente, con esta ecuación que nos dice de la necesidad de que las rectas paralelas se corten una vez que trasciendan el espacio que las contiene. Como a nosotros, en un principio, lo confundió la naturaleza de la recta. Más tarde, Lambert, Legendre, Gauss, Lobachevsky y Bolyai, entre otros, desarrollarían mejor esa geometría que empezó Saccheri.
El postulado de Lobachevsky
En las siguientes dos páginas transcribimos, del libro
Estudio de las Geometrías, de Howartd Eves, Tomo I,
páginas 330 y 331, los fundamentos de la geometría
plana lobachevsquiana. Puede verse que, en el fondo,
trata del mismo principio que consigna la figura 4,
solo que, en Lobachevsky, los rayos PX y PY
equivalen al arco CPC´ de nuestra proposición. Y en
ambas geometrías se dan tres tipos de pares de rectas:
las rectas que se cortan, las que son paralelas y las
hiperparalelas (las rectas hiperesféricas que pasan por
el punto punto P de nuestra geometría).
Geometría no Euclidiana
En lugar del postulado de las paralelas de Euclides hacemos la siguiente suposición:
7.2.1 El postulado de las paralelas Lobachevsquiano. Si P es un punto que no está en la recta AB (fig. 7.2a) y si Q es el pie de la perpendicular desde P hasta AB, hay desde P dos rayos, PX, PY, que no coinciden en la misma recta y no cortan AB, y tales que cualquier rayo PZ desde P y que quede dentro del ?XPY que contiene PQ, cortará a AB.1
Procedemos ahora con el desarrollo.
7.2.2 Teorema. En la figura 7.2a, cualquier recta que pase por P y que no quede dentro de ?XPY que contiene PQ, no cortará a la recta AB. Pues si dicha recta cortará a la AB, entonces el rayo PX o el PY tendría que cortar a la recta AB.
7.2.4 Teorema. Si Q es el pie de la perpendicular desde el punto P a la recta AB y si PX y PY son paralelas a la recta AB que pasan por P, entonces los ángulos XPQ y YPQ son ángulos agudos iguales.
7.2.5 Corolario. Hay una infinidad de hiperparalelas a la recta AB que pasan por un punto P que no está en AB.
7.2.6 Definición. El ángulo XPQ (o el YPQ) de la figura 7.2b se llama ángulo de paralelismo en P para la recta AB.
Consideraciones sobre la hiperesfera.
No debe olvidarse que esta proposición geométrica que, aunque real, parece imaginaria porque nuestros sentidos han incubado y transmitido desde la aparición del hombre sobre la tierra, una noción de recta solo como la de Euclides (noción que se da, incluso, en los animales), lo que dificulta imaginar y pensar una geometría como la que estamos proponiendo. En efecto, a veces se nos hace difícil (casi imposible) pensar que, por dos puntos distintos del plano euclidiano puedan pasar muchas rectas diferentes y entonces decimos que se trata de la misma recta. No es cierto. Sabemos de rectas distintas que pasan por los mismos puntos, como se verá más adelante. Tal cosa sucede con la recta hiperesférica cuando pasa por todos los mismos puntos de LL". No se puede decir que es la misma recta. Por conveniencia, comprensión y facilidad, hemos dicho, a lo largo de este estudio, que la circunferencia, al colapsar, se confunde con la tangente y se hacen una sola recta porque así nos lo dictan los sentidos. En esta geometría lo más importante es el momento, el intervalo, la trascendencia o el colapso de la recta o del plano. Es el instante en que una región de la superficie de una esfera trasciende y se convierte en un espacio plano euclidiano ( o a la inversa). Este suceso origina otro y este a su vez otro más y así en sucesivo. Es el racimo de esferas (universos geométricos) que van desapareciendo y reapareciendo. Entonces, en estos gráficos, no esperemos representar (delinear) las rectas hiperesféricas que pasan por P, solo las podemos imaginar.
Figura 5
Inscríbase un círculo en un rectángulo, como el dibujado en la figura 5. LL´ y MM´ son las rectas paralelas de ese rectángulo. Estas rectas son también segmentos de las rectas hiperesféricas que pasan por LPL´ y por MP´M´, unas y otras, más tarde, se cortarán entre sí por ser de naturaleza hiperesférica y tener que regresar a su punto de partida, a su estado anterior. El espacio de Lobachevsky es asíntoto (por su recta asíntota); el nuestro es trascendente, que trasciende y colapsa para luego volver a empezar. El primero es abierto y tiende a la infinitud; el segundo, es un espacio que vuelve sobre sí mismo, sugiriendo aquella boya que dejamos en el océano.
Entonces se dan cinco clases de rectas según su naturaleza. Son las siguientes que enunciamos ( E ) :
E 1. Las que, estando dentro del círculo, pasan por P y cortan la tangente LL´.
E 2. Las que, estando fuera del círculo, pasan por P y no cortan la
tangente LL´ (a semejanza de las rectas hiperparalelas de Lobachevsky)*
E 3. Las que, pasando por P y por todos los puntos de la tangente LL´ no
cortan a ésta.**
E 4. Las paralelas clásicas, en el gráfico, las rectas LL´ y MM´.
E 5. Y las rectas hiperesféricas , que pasando por LL´ unas y por MM´ las
otras, se tienen que cortar en algún punto para, después, volver a su
punto de partida (el modelo de la hiperesfera).
( * ) En la geometría de la hiperesfera no puede existir una recta fuera del
círculo que pase por P y corte la tangente LL´.
( ** ) Es imposible, en el gráfico (Figura 5), trazar otras rectas que pasen por
tangente LL´ y por P, que nuestros sentidos solo una recta pueden
dibujar y visualizar entre L y L´ pero, como luego se demostrará, son
muchas las rectas paralelas diferentes que pueden pasar entre dos
puntos, en este caso, entre los puntos L y L´.
Escolio.
En cierto modo, los enunciados 2 y 5 son concomitantes en el tanto de que las rectas que se describen en el enunciado 2 son rectas que esperan nada más que la circunferencia colapse para convertirse en rectas hiperesféricas completas. Y si volvemos a lo dicho por Hawking , pensamos que, en teoría, sí existe la recta que le de una vuelta completa a la boya (el universo), es la recta hiperesférica que tiene una magnitud de 1.
El eterno retorno
Mientras el gran matemático francés, Henri Poincaré, afirmaba que el infinito no existía en ninguna parte, el inigualable filósofo Friedrich Nietzsche anunciaba una doctrina según la cual se da un eterno retorno en todo cuanto existe en el universo. Por muchos años intentó Nietzsche, en vano, fundamentar científicamente su doctrina. En aquel entonces, quizá, nadie había pensado en un modelo geométrico como el de la hiperesfera, el cual le hubiera venido a Nietzsche como anillo al dedo para justificar su filosofía del retorno, que en la pangeometría se da una circularidad indefinida que corresponde con un universo en el que no hay principio ni fin. Y es que, en este trabajo de geometría, ciertamente se han dado, por lo menos, cuatro cosas: El antiguo Postulado Quinto de Euclides se convierte en teorema; el infinito no existe; se abre otra ventana en la geometría; y todo vuelve a su punto de partida. Pero hay algo más sorprendente todavía: la Física cuántica, en su esencia, converge o termina en el mismo punto, en el mismo lugar cuántico de la geometría cuando las dimensiones de ésta se reducen hasta colapsar, es decir, cuando quedan reducidas a un punto para volver luego en una circularidad geométrica que trasciende hasta la dimensión cósmica más inimaginable, colapsa, y regresa al punto de partida, una y otra vez, como en el espacio de la hiperesfera, ¡ el modelo perfecto del universo ¡ Lo más grande, como lo más pequeño, terminan convirtiéndose en el mismo término primitivo de todo cuanto existe.
¿ Y si pudiéramos viajar al punto más lejano del universo ?
En el punto más lejano del universo existe otro planeta idéntico al nuestro. En el punto más lejano a Plutón existe otro idéntico a éste. En el punto más lejano a nuestro sistema solar existe otro idéntico. Y en el punto más lejano a nuestra galaxia existe otra, idéntica también. Más que universos paralelos lo que existen son universos antípodos. Nos empequeñece saber que más allá, en el punto más lejano , o más cercano , del universo, hay otro yo escribiendo exactamente lo mismo, con la misma caligrafía y ortografía, con las mismas comas, con los mismos puntos. Mas no podéis visitar clon tan lejano ( o cercano) en el espacio y en el tiempo porque, aunque vencieres las fuerza inimaginables de los hoyos negros montado en una cápsula espacial que te lleve al futuro o le regrese al pasado, resulta que, en el lugar que te hallares , estarás siempre sin accesibilidad a él aunque estés en el punto más lejano ( 1 ) como en el más cercano ( 0 ). Y si por un hado portentoso lo lograras, habréis trascendido las dimensiones del espacio y el tiempo, que yendo hacia el futuro alcanzaríais el pasado, contemplaríais la Creación y regresaríais colapsado al punto de partida después de pasar por las estrellas más remotas describiendo una geodésica, regresaríais al mismo lugar de donde salió, el punto CERO. ¡Entonces habréis recorrido la recta hiperesférica ¡
Si extrapolamos esta geometría de la hiperesfera para llevarla hasta la teoría de la relatividad de Einstein que predice que "si pudiéramos viajar a una velocidad mayor que la luz alcanzaríamos nuestro pasado y veríamos nuestro nacimiento con nuestros propios ojos", entonces se probará la verdad geométrica de la magnitud UNO y magnitud CERO de la recta hiperesférica, cobrando toda veracidad las palabras de Einstein cuando dijo que la geometría tiene una significación física. Y, ya para terminar estas consideraciones, cito otra vez a Stephen Hawking que dice: "Puedo demostrar que, en general, un horizonte finitamente generado contendrá un rayo de luz que se cierre sobre sí mismo, es decir, un rayo que regrese una y otra vez al mismo punto". EL UNIVERSO EN UNA CÁSCARA DE NUEZ. Tercera edición, junio 2002, página 143.
La figura EFGH
Figura 6
Elementos
Conocidos
EF = a
FG = b
GH = c
EH = d
EG = e
FH = n
Elemento
Desconocido
EP = x
ILUSTRACIÓN FINAL
Sea la figura EFGH cuyos elementos conocidos son a = 2, b = 3, c = 6, d = 5
Todas las demás rectas de la figura EFGH resultan también paralelas entre sí porque pasan por los mismos puntos sin cortarse, convirtiendo la figura EFGH en la siguiente recta:
Figura 7
EF = 2 (a)
FG = 3 ( b)
GH = 6 ( c )
EH = 5 ( d )
EG = ? ( e )
FH = 3 ( n )
Y el cuadrilátero EFGH se convirtió en una recta, en la recta GH, recta que pasa por los puntos E y F. Y las figuras geométricas que se formaron, el trapecio y la recta, provenientes de la misma figura original EFGH que no ha variado sus valores en sus elementos a, b, c, d, son expresadas por la siguiente ecuación
soluciones que satisfacen la ecuación de octavo grado y satisfacen también las figuras del trapecio y de la recta. Esto significa que por los puntos E y F pasan las rectas FG, GH, EH, EG, FH, todas rectas paralelas entre sí porque, pasando por los mismos puntos, no se cortan.
Últimas observaciones
Un estudioso de las geometrías, con un doctorado en esta especialidad, nos comentaba, refiriéndose a la ecuación x · 0 = 0 lo siguiente (SIC): "Cuando se toman a = c, e = n para hacer S = 0, la figura EFGH es un rectángulo y basta aplicar el teorema de Pitágoras para concluir que b = d y en consecuencia R = 0, con lo que R · d = 0." Y aquí se deslizó un ligero error, escribió el profesor de geometría.
Este es un comentario equivocado. Veamos el porqué.
1. La demostración nuestra, en ningún momento, presupone la existencia de paralelismo, por el contrario, la ignora, y tanto es así que, pensando en que la figura EFGH es un trapezoide, entonces supone que, las rectas b y d prolongadas lo suficiente, más tarde o más temprano se cortarán en un punto P. Y no es sino hasta después que se descubre, por la ecuación x · 0 = 1, que el punto P no existe y, en consecuencia, esas rectas no se cortan por mucho que se les prolongue y es cuando nos percatamos de la existencia de las paralelas y, por lo tanto, de la existencia también del rectángulo, antes no. Fue después del teorema x · S = R · d para toda figura EFGH, que se descubre que si S = 0 entonces hay paralelismo en la figura.
2. Ciertamente para esa demostración , debe excluirse previamente, todo concepto de paralelismo y, por lo tanto, no saber del rectángulo, como bien se demostró en Mi geometría páginas 19, 20 y 21. Pero todavía más. Incluso puede hacerse la demostración a partir de un trapecio y suponer que las prolongaciones de sus lados paralelos más tarde o más temprano se cortarán en un punto P. Esta suposición es absolutamente válida. Pero luego el teorema x · S = R · d se reduce a la forma x · 0 = 1 y nos vuelve a decir que no existe el punto P y, en consecuencia, los lados paralelos de ese trapecio nunca se cortan.
3. El teorema de Pitágoras bien puede demostrarse con la teoría del área, sin usar el concepto de semejanza que lleva incluido el paralelismo (ver, Elementos de Geometría Superior, de Edwin E. Moise, de la Universidad de Harvard). Ya se vio en Mi geometría que es perfectamente posible levantar el edificio geométrico de Euclides sin el auxilio de la paralela, que es suficiente el ángulo recto.
4. Ahora, del mismo libro anterior de Moise, volvemos a copiar textualmente: "Cero no tiene recíproco. Esto es, no existe un número x tal que x · 0 = 1. Demostración. Si tuviéramos x · 0 = 1 para alguna x , se seguiría que 0 = 1. Esto es imposible porque 0 ? 1. Este teorema da la razón de por qué la división entre cero es imposible. Si la división entre cero significara algo, querría decir multiplicación por el recíproco de cero. Como esto no existe, tampoco existe la operación de dividir entre cero".
5. ANÉCDOTA. Allá por los años de 1961 o 1962, estando yo en cuarto o quinto año de colegio, el profesor Manuel Enrique Castellón Monge, que venía con una maestría de Argentina donde realizó estudios superiores en esta materia y que, por esos años, era el asesor de matemática del Ministerio de Educación Pública, me mandó a llamar a su oficina para decirme y explicarme que la división por cero no existía. Quién hubiera imaginado que unos años después estaba este fraile ante este desafío.
6. Este trabajo geométrico prueba que existe una cantidad, una medida o una dimensión, que multiplicada por cero, es igual a UNO, de magnitud 1.
7. Se ha dicho, que de demostrarse ese Postulado Quinto, se demostraría que la geometría euclidiana es falsa. Pero esto no es cierto. El hecho de sacar un postulado del conjunto postulacional de un sistema geométrico y pasarlo al conjunto de los teoremas, no significa el derrumbamiento del sistema sino un nuevo conocimiento.
8. El teorema x · S = R · d para la figura EFGH demuestra, con toda claridad y rigor, que es correcto el procedimiento que lleva a la ecuación x · 0 = 1
9. Veamos. Ignorando, de previo, toda idea de paralelismo, construimos sobre EH dos triángulos obtusángulos exactamente iguales, con sus ángulos obtusos en E y H. Entonces la figura EFGH toma la forma siguiente
Figura 8
10. Trazamos una recta entre los puntos F y G, con lo que se nos forme el siguiente cuadrilátero EFGH
Figura 9
FG = b
11. Como todavía nada sabemos de paralelismo ni de rectas paralelas, podemos entonces prolongar, en ambos sentidos, las rectas EH y FG hasta que se corten en un punto P, así
Figura 10
12. Como hemos supuesto que las prolongaciones de las rectas EH y FG más tarde o más temprano se cortan en un punto P, podemos entonces, por el teorema x · S = R · d que es para toda figura EFGH, conocer la distancia que hay entre el punto P y el punto E y que en la figura se ha designado esa distancia con una x. Y el teorema nos lleva a la ecuación x · 0 = 1 que nos dice que no existe el punto P, lo que significa que las rectas EH y FG no se cortan por mucho que se les prolongue (no se olvide que el edificio geométrico de Euclides se puede levantar sin necesidad de postular las paralelas, que es suficiente el ángulo recto para las primeras construcciones de la geometría euclidiana donde, el paralelismo, resulta una consecuencia de ese ángulo, lo que ya explica la redundancia del teorema cuando, en la figura EFGH, la suma de sus dos ángulos adyacentes es igual a dos rectos (recíproco del Postulado Quinto de Euclides). La geometría euclidiana descansa sobre el ángulo recto. El paralelismo, su corolario (ver Mi geometría). Es por esto que el ángulo recto y las paralelas se vuelven lugares geométricos recíprocos y lugares que también están en sus antípodas. Este teorema no lleva implícito el paralelismo, pero tiene la virtud de demostrarlo. El ángulo recto sí está ahí incluido por ser el cimiento de esa geometría.
13. Puede verse que nuestra construcción geométrica es, en el fondo, parecida a la del geómetra Gerolamo Saccheri (1667-1733), solo que éste construyó, sobre EH, dos triángulos rectángulos iguales, con sus ángulos rectos en E y en H para, con la recta FG, hacer los cuadriláteros que llevan su nombre y formular luego sus tres hipótesis con los ángulos que se forman en F y en G.
Nuestra proposición es más sencilla: solo supone que las rectas EH y FG, prolongadas lo suficiente, más tarde o más temprano se cortarán en un punto P. Luego la ecuación x · 0 = 1 nos dice que tal suposición es falsa, que hay rectas euclidianas que, mientras no trasciendan el espacio que las contiene, no se cortan jamás.
14. Finalmente, ambas investigaciones llegan a la misma conclusión: el Postulado Quinto de Euclides no satisface ese sistema geométrico. Entonces los matemáticos de los siglos XVIII y XIX lo declaran independiente del resto de los postulados euclidianos y nacen así las geometrías no euclidianas. Nosotros, con fundamento en la ecuación x · 0 = 1, lo excluimos de esa postulacional para incluirlo en la lista de los teoremas geométricos del viejo Euclides.
15. Y aun cuando el paralelismo pasare escondido por entre el teorema x · S = R · d sin poder advertirse y evitarse, aún así, la ecuación x · 0 = 1 es absolutamente cierta y válida y, en consecuencia, demuestra, de manera clara y rigurosa que, en el espacio plano de Euclides hay rectas que no se cortan por mucho que se les prolongue, y esta es la garantía de paralelismo en ese espacio y, por reciprocidad con la Proposición 1: 17 de los Elementos, esa ecuación pasa a demostrar el antiguo Postulado Quinto y lo convierte en un auténtico teorema.
16. Lo anterior no significa que los fundamentos de las geometrías no euclidianas estén equivocados cuando dicen que el Postulado Quinto es independiente de la axiomática euclidiana, independencia que también demuestra la ecuación x · 0 = 0.
Figura 11
17. La condición sine qua non del plano hiperesférico es que todas las rectas que están fuera del círculo y que pasan por P y por P´ se tienen que cortar entre sí. Puede verse que esas rectas no forman ángulo recto en P ni en P´. ¿ Cuáles son las rectas que no se cortan en ese plano ? Las rectas LL´ y MM´ que estando fuera del círculo y pasando por P y por P´ forman ángulos rectos en esos puntos y entonces no pueden cortarse (Teorema 9.1 de Mi geometría). Y esto equivale al recíproco de la Proposición 1: 17 de los Elementos y constituye la excepción en ese plano y por eso se dice que el Postulado Quinto es independiente de la postulacional euclidiana.
El teorema x · S = R · d
Figura 12
El teorema x · S = R · d
Sea EFGH un trapezoide al que se le han prolongado los lados EH y FG lo suficiente como para cortarse en el punto P. La distancia PE que se originó al prolongarse esos lados, es una distancia desconocida, la cual se ha designado con una x en la figura. Esta x será el objeto cardinal de este estudio. La otra distancia desconocida es PF, designada en la figura con una "y" y que provisionalmente se convertirá en un elemento auxiliar de lo que vamos a demostrar. Los elementos conocidos del trapezoide son EF = a, FG = b, GH = c, EH = d, EG = e y FH = n. Vamos a expresar x en función de los lados y diagonales de ese trapezoide, esto es, x en función de a, b, c, d, e y n. Para ello, aplicaremos el teorema de los cosenos en los triángulos PHF, EHF, PGE, EGF, HPG, EPF, PHG, EHG, PGH y FGH, luego combinamos las ecuaciones hasta que desaparezca los cosenos indicados por las expresiones algebraicas para, finalmente, eliminar "y" de las ecuaciones y quedarnos con la ecuación que solo contiene a "x" y a los lados y diagonales del trapezoide EFGH. Y esta ecuación final será el teorema x · S = R · d.
El procedimiento algebraico es sumamente sencillo, solo que laborioso. Veamos:
Exprésese x en función de a, b, c, d, e, n
Figura 13
24. Sumando las ecuaciones en 17 y 20 tenemos:
Desarrollando esta ecuación y despejando y, tenemos:
25.
Continuamos aplicando el teorema de cosenos
34. Tomemos el miembro derecho de la ecuación en 28 y lo sumamos con el miembro derecho de la ecuación 31, y todo lo igualamos a la suma del miembro derecho de la ecuación 32 con el miembro derecho de la ecuación en 33.
De otro modo, sumamos los miembros derechos de las ecuaciones 28 y 31 y los igualamos a la suma de los miembros derechos de las ecuaciones 32 y 33, porque es lo mismo, puesto que:
Sustituyendo estas cuatro expresiones como se indica en 34, reuniendo términos, simplificando lo posible, y despejando y tenemos:
35.
En esta ecuación sustituimos y por su valor en 25 y tenemos:
36.
Desarrollando esta ecuación se tiene:
37.
Lo que se quería demostrar.
Ejemplos numéricos
La primera figura sombreada EFGH es, en principio, un cuadrilátero cualquiera dibujado sobre un plano euclidiano. Conviene identificarla como la figura EFGH únicamente, independientemente de su forma, porque puede tomar formas muy distintas a la original, como por ejemplo, un triángulo, una recta, etcétera. Está formada por seis elementos EF (a), FG (b), GH (c), EH (d), FH (n).
Toda figura EFGH se resuelve cuando se conocen cinco de sus seis elementos. Conocidos cinco elementos, existen dos soluciones para el sexto elemento que se desea averiguar.
Para toda figura EFGH se establece la siguiente ecuación:
Se utilizará esta ecuación como una herramienta auxiliar para resolver los ejemplos numéricos que expondremos, pues para la solución de toda figura EFGH, con la inclusión del elemento X, es necesario establecer dos ecuaciones: Esta ecuación auxiliar y la ecuación del teorema X · S = R · d.
Ejemplo 1.
Ejemplo 2.
Determinar valores para X cuando en la figura EFGH los elementos conocidos valen: a=3, b=2, c=5, d=4
Ejemplo 3.
Determinar valores para X cuando en la figura EFGH los elementos conocidos valen: a=13, b=14, c=20, d=7.
Historia
Esta historia geométrica, que a lo largo de mi vida ha ocupado ininterrumpidamente casi la totalidad de mi existencia, precisa dejarla escrita no solo para mis descendientes cercanos o lejanos que quieran leerla sino también para mis hermanos espirituales en esta disciplina de la que nunca se queda satisfecho porque, en la inmensidad oceánica de la geometría, siempre se divisan otros horizontes de más lejanía. Y digo que en forma ininterrumpida porque, ya en la casa o en la oficina, en la gayola o en la bohemia de la taberna, en la montaña, en el mar, en la playa, o en las etílicas agonías, no dejaron de acompañarme mis queridos cuadernos donde hacer la geometría, inefable ciencia de los espacios abstractos que estuvo a punto de quemar el poco fósforo que me quedaba en la mollera, sin olvidar las interminables madrugadas en consulta con la almohada. Y, hasta hoy, jamás he podido borrar del pensamiento la abstracción de esos espacios que tan alto vuelan en la inimaginable fantasía del geómetra aficionado.
La culpa de esta historia la tiene Juan Frutos Verdesia, amigo viejo, escritor cuando quiere y sofista impenitente a tiempo completo y quien, una vez, mientras pasábamos por el frente del Hospital San Juan de Dios allá por el año de 1961 conversando sobre las cosas de la ciencia y las cosas de la vida, de repente me dice: "Juan, sabías que es imposible demostrar que las rectas paralelas no se cortan". ¡Fatal fue para mí escuchar esas palabras! Aquí empezó mi vía crucis: ¡El gran desafío! Antes quiero decir que Frutos y yo teníamos la mala -o buena- costumbre de escaparnos del colegio para meternos en el Cementerio General de San José que estaba a poca distancia del Liceo del Sur y, con el pretexto de estudiar en la mansión de los muertos donde reinan la paz, la tranquilidad y el silencio, la verdad es que nos dedicábamos a otra cosa, a recorrer, una a una, las frías tumbas para leer los enigmáticos epitafios que los deudos mandaban a escribir sobre ellas, ocasión que aprovechábamos para perdernos en filosofías sobre la muerte y la vida. Pues bien. Decía que fue en ese año que aquellas palabras de Juan, en ese tiempo compañero de aula durante todos los años colegiales, entraron directas en lo más profundo y recóndito de mi cerebro donde quedaron indeleblemente grabadas por siempre nada más que para desafiar mis pequeñas y elementales concepciones geométricas de aquel entonces, robarme toda la juventud, no dejarme dormir hasta tarde y privar después a mi esposa e hijos de todo recreo y diversión. Y me entregué a la geometría en cuerpo y alma. Y en el año de 1966 me encontré con un teorema euclidiano sencillo, que más tarde, en 1967, me llevaría a dos importantes corolarios: las ecuaciones x · 0 = 1 y x · 0 = 0.
Era una tarde de verano del mes de noviembre de ese año y ya casi oscurecía cuando emocionado e intempestivamente salí corriendo de la sala de la casa de mis tías para tomar aire de la brisa fresca que corría por los alrededores de la antigua plaza de Escazú frente al templo parroquial. Un instinto de conservación me pedía oxigenar el cerebro y estirar el cuerpo petrificado casi de estar sentado en un solo lugar por mucho tiempo ante el viejo escritorio de caoba que mi tía Lola había atraído de la casa de los Calderón Guardia donde ella fue nana y ama de llaves. Más de sesenta cuadernos y una montaña de hojas grandes sueltas se habían llenado y apilado sobre ese escritorio haciendo geometría. Fue ahí donde apareció, por vez primera, la cenicienta, en aquel entonces la ininteligible ecuación x · 0 = 0, que arrojara aquella álgebra clásica y elemental con que se resuelven los problemas más sencillos de la geometría euclidiana. Ese resultado geométrico, tan extraño como inesperado, me subió la adrenalina en ese momento tanto que, aun cuando hecho piedra que estaba sobre una silla, no impidió que fuerte saltara el corazón. Fue cuando tuve que levantarme y recorrer el perímetro de la plaza dos o tres veces. ¡Cómo sacude nuestro sistema nervioso ciertos acontecimientos!
¿ Y cómo fue que apareció esa extraña y minúscula ecuación que me quitó el sueño por tantos años ? Su aparición se debió a un singular resultado proveniente de la ley de los cosenos y que se utiliza para resolver determinadas figuras geométricas, que antes solo me divertía con algunas curiosidades del triángulo, unidad menor y capital de la geometría.
En los años de 1964 y 1965 fue cuando más triángulos dibujé y más ecuaciones resolví para, finalmente, entregarme al estudio del antiguo Postulado Quinto de Euclides. Pero, volviendo al teorema que todo lo originó, verdad de Dios que no tiene chiste, es su corolario, la ecuación x ·0 = 0, lo que verdaderamente me asombró y me hizo consultar con los entendidos por largo tiempo. Y de la gran cantidad de profesores con quien consulté, apenas fueron como dos o tres lo que me dieron alguna tímida respuesta, nada convincente por cierto. Y lo mismo sucedió con todos los doctorados de la Escuela de Matemática de la Universidad de Costa Rica de los primeros años de los setentas. Sí le prestaron alguna atención, aunque poca y de manera muy ligera, los profesores Bernardo Montero, Joseph Várilly Boile y Teodora Tsijli Angelaki, que recuerde, esta última, siendo directora de la Escuela, me invitó a exponer el teorema en el Tercer Congreso Nacional de Matemática que organizó la Universidad en 1990.
Allá por los de 1971 y 1972 tuve la suerte de encontrarme , en los predios del templo parroquial de la Iglesia de San Miguel Arcángel en Escazú, con el noble joven Arturo Jiménez Jiménez, brillante y talentoso estudiante de ingeniería de la Universidad de Costa Rica. Desde entonces hicimos una gran amistad por aquellos años y nos seguimos viendo por algún tiempo los domingos por la tarde después de misa. Ahí nos deshacíamos en filosofías de muchachos que era un gusto y, por supuesto, no podía faltar el tema que más me interesaba y a quien pronto interesé. Este caballero sí le metió el diente al problema geométrico que le presenté, tanto como que descubrió una fórmula matemática equivalente al teorema que aquí se estudia. Y está el insólito caso de mi paño de lágrimas de los tiempos de colegio, el de mi estimado y viejo amigo José Andrés Masís Bermúdez, matemático excepcional, con una maestría en Física y gran conocedor de las geometrías y quien, habiendo estudiado esa proposición geométrica sentenció: "El teorema es consistente". Sobre este buen hombre, José Andrés, conviene que diga también que llegaba a mi casa los días sábados por la tarde a darme de lecciones de Química -materia en la que yo andaba mal-, cosa que hacía muy bien porque no solo era un excelente estudiante sino que también era un buen pedagogo y me hizo salir bien en la prueba de bachillerato. En aquellos tiempos fue un caminante de largos recorridos. En dos ocasiones, cuando teníamos 15 y 16 años, fuimos a las montañas que están al sur de Santa Ana, empezando nuestra caminata desde el centro de Escazú.
Para proseguir con la historia geométrica debe referir que tengo una carta de 1989 del doctor José María Sierra Carrizo, de la Universidad de La Laguna, Tenerife, España, donde éste hace un pequeño comentario filosófico sobre el teorema, solo que, lamentablemente, no discute la ecuación x · 0 = 0, siendo su especialidad la geometría. Y guardo dos cartas de Alemania, de las universidades de Berlín y Gotinga donde, una de ellas, muestra interés por la teoría que tiene su fundamento en el teorema objeto de este estudio, por lo que esa universidad quería que le enviase la teoría pero traducida al alemán, o al inglés, o bien al francés. Pero si en Costa Rica la institución encargada de las investigaciones científicas nunca quiso estudiar ese teorema, mucho menos que lo iba a traducir. Y esta es la historia de la cenicienta, el t eorema que nació con el santo de espaldas.
Si a lo largo de esta geometría que nos regaló esos dos importantes corolarios se asomara por ventura, algún conocimiento que, aunque pequeño, tenga alguna utilidad teórica, quedaríamos espiritualmente satisfechos con tal de que no nos suceda lo que al navegante Cristóbal Colón o lo que al sacerdote católico, geómetra y profesor de matemática en la Universidad de Pavía, Gerolamo Saccheri (siglo XVII). El primero creyó haber
desembarcado en las Islas Orientales de Asia cuando en realidad tenía los pies sobre la isla de Guanahaní en América, no percatándose que descubría un nuevo continente. El segundo, Saccheri, descubrió los primeros teoremas de una nueva geometría sin darse cuenta de ello, razón por la que no se le acreditó el descubrimiento de las geometrías no euclidianas. Nosotros, muy distantes de este italiano, pero al fin y al cabo geómetras aficionados que nos sabemos pequeños y limitados, no podemos pretender lo que no se nos ha dado pero, por lo menos, sí mostrar que puede existir otro sendero sobre el que todavía no se ha caminado.
Haciendo esta geometría, pasaron los minutos,
pasaron las horas, los días y los años, hasta apilarse
todos como los granos de arena que se depositan a
la orilla del río. Ahí, sobre la rivera, este montículo
de polvo húmedo espera ahora, manso y en silencio,
al geómetra navegante que lo llevará al otro lado del
océano en las calendas griegas.
FIN
Si geométricamente el universo es como la hiperesfera,
como creemos, entonces no tiene principio ni fin, tamaño ni forma definidos,
y su comportamiento en ciclos cósmicos lo retornará a su punto
de partida para después volver a empezar. Y si el gigante de la física
teórica, Stephen Hawking, ha manifestado la imposibilidad de conocer
su origen por estar más allá de la ciencia, nosotros menos que
vamos a saber cosa cierta de él, solo nos atrevemos a conjeturar que,
de alguna manera, podría estar comprendido por las ecuaciones x ·
0 = 1 y x · 0 = 0, las dos singularidades del espacio hiperesférico
que, cerrándose y abriéndose en universos intermitentes,
penden en inefable racimo de la mano de Dios.
Autor:
Juan Antonio Céspedes Guzmán
Escazú, Costa Rica
 Página anterior | Volver al principio del trabajo | Página siguiente  |