Resumen
En este artículo se muestra el procedimiento para
hallar la velocidad total de un sistema de varios grados de
libertad de un manipulador.
Palabras claves – Jacobiano Tres grados de
libertad Manipulador
Desarrollo
Rotación y
translación
Para el siguiente manipulador se desea encontrar el
punto de las pinzas teniendo en cuenta los ángulos de
rotación entre
el plano cero y uno y
entre el plano uno y dos.
Para la solución del problema se desarrolla
primero la translación.
Para cada plano se halla las componentes de seno y
coseno.
Estas componentes son los puntos del origen del plano
dos de x y y con respecto a uno.
La ecuación general queda:
Para la rotación utilizamos las siguientes
ecuaciones:
Esta es la ecuación general para hallar el punto
del plano dos con respecto al plano uno.
Velocidades lineal, angular y
jacobiano.
En el siguiente desarrollo teórico, permite
hallar la velocidad lineal y angular de un manipulador con tres
grados de libertad y la relación que existe entre las dos
con el método del Jacobino.
Considérese un manipulador plano con tres
articulaciones de rotación pero, en este caso, con los
ejes del marco de referencia {3} en la misma dirección que
los del {2}. Se desean encontrar la velocidad en el origen del
sistema {3} y el jacobiano del manipulador.
Como es un manipulador de tres grados de libertad se
deben hallar las velocidades angulares y lineales de los tres
sistemas para hallar la velocidad resultante del manipulador por
medio del Jacobiano.
Las ecuaciones empleadas son obtenidas gracias a la
propagación de las velocidades.
Al estar el manipulador sobre el eje Z, entonces se
utilizan las siguientes matrices de rotación para cada
plano.
En el plano tres al tener la misma rotación del
plano dos se utiliza la matriz identidad.
Sabiendo que la velocidad angular del sistema i+1
es:
La velocidad angular del sistema uno es igual a la
rotación del sistema cero respecto a uno por la velocidad
angular del sistema cero la cual es cero en cada una de sus de
sus componentes puesto que el sistema cero es fijo; mas la
derivada con respecto al tiempo de la variable
articular
La velocidad lineal es cero en cada uno de sus
componentes por que no hay translación.
Se halla la velocidad angular y lineal del sistema
dos.
Primero se hace el producto punto de la matriz de
rotación del sistema dos por la velocidad angular del
sistema uno.
Luego este resultado lo sumamos a la derivada con
respecto al tiempo de la variable articular.
Para hallar la velocidad lineal del sistema dos se tiene
en cuenta un punto que
es el vector desde el origen del sistema uno al del sistema dos
expresado en el sistema dos, expresado en sistema uno. Para
hallar la velocidad se considera la expresión resultante
de la velocidad con respecto al sistema i+1 es:
v =velocidad lineal.
Se desarrolla primero el producto cruz entre la
velocidad angular y el vector que expresa la posición del
origen de dos en el sistema uno.
Entonces:
La velocidad angular del sistema tres es igual a la del
sistema dos debido a que no hay ángulo rotación del
sistema tres respecto al dos.
Haciendo el producto cruz:
Se suma la velocidad lineal del sistema dos con el
producto cruz de la matriz de rotación del sistema dos en
tres con el punto
La siguiente expresión expresa la velocidad del
plano tres en el plano cero
Resultados
En el siguiente ejercicio se pondrá
en práctica cada una de las ecuaciones que se
desarrollaron en la parte del desarrollo.
Se desea encontrar la velocidad en el origen y el
Jacobino del manipulador, con ángulos de rotación
de 35ºpara el primer plano y de 54º para el segundo, y
longitudes de cada brazo de 5 y 3.
Solución:
Se plantean las matrices de rotación para cada
plano del manipulador:
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