Jacobiano del manipulador
Resumen
En este artículo se muestra el procedimiento para hallar la velocidad total de un sistema de varios grados de libertad de un manipulador.
Palabras claves - Jacobiano Tres grados de libertad Manipulador
Desarrollo
-
Rotación y translación
Para el siguiente manipulador se desea encontrar el
punto de las pinzas teniendo en cuenta los ángulos de
rotación 
entre
el plano cero y uno y
entre el plano uno y dos.
Para la solución del problema se desarrolla primero la translación.
Para cada plano se halla las componentes de seno y coseno.
Estas componentes son los puntos del origen del plano dos de x y y con respecto a uno.
La ecuación general queda:
Para la rotación utilizamos las siguientes ecuaciones:
Esta es la ecuación general para hallar el punto del plano dos con respecto al plano uno.
-
Velocidades lineal, angular y jacobiano.
En el siguiente desarrollo teórico, permite hallar la velocidad lineal y angular de un manipulador con tres grados de libertad y la relación que existe entre las dos con el método del Jacobino.
Considérese un manipulador plano con tres articulaciones de rotación pero, en este caso, con los ejes del marco de referencia {3} en la misma dirección que los del {2}. Se desean encontrar la velocidad en el origen del sistema {3} y el jacobiano del manipulador.
Como es un manipulador de tres grados de libertad se deben hallar las velocidades angulares y lineales de los tres sistemas para hallar la velocidad resultante del manipulador por medio del Jacobiano.
Las ecuaciones empleadas son obtenidas gracias a la propagación de las velocidades.
Al estar el manipulador sobre el eje Z, entonces se utilizan las siguientes matrices de rotación para cada plano.
En el plano tres al tener la misma rotación del plano dos se utiliza la matriz identidad.
Sabiendo que la velocidad angular del sistema i+1 es:
La velocidad angular del sistema uno es igual a la rotación del sistema cero respecto a uno por la velocidad angular del sistema cero la cual es cero en cada una de sus de sus componentes puesto que el sistema cero es fijo; mas la derivada con respecto al tiempo de la variable articular
La velocidad lineal es cero en cada uno de sus componentes por que no hay translación.
Se halla la velocidad angular y lineal del sistema dos.
Primero se hace el producto punto de la matriz de rotación del sistema dos por la velocidad angular del sistema uno.
Luego este resultado lo sumamos a la derivada con respecto al tiempo de la variable articular.
Para hallar la velocidad lineal del sistema dos se tiene
en cuenta un punto 
que
es el vector desde el origen del sistema uno al del sistema dos
expresado en el sistema dos, expresado en sistema uno. Para
hallar la velocidad se considera la expresión resultante
de la velocidad con respecto al sistema i+1 es:
v =velocidad lineal.
Se desarrolla primero el producto cruz entre la velocidad angular y el vector que expresa la posición del origen de dos en el sistema uno.
Entonces:
La velocidad angular del sistema tres es igual a la del sistema dos debido a que no hay ángulo rotación del sistema tres respecto al dos.
Haciendo el producto cruz:
Se suma la velocidad lineal del sistema dos con el
producto cruz de la matriz de rotación del sistema dos en
tres con el punto 
La siguiente expresión expresa la velocidad del plano tres en el plano cero
Resultados
En el siguiente ejercicio se pondrá en práctica cada una de las ecuaciones que se desarrollaron en la parte del desarrollo.
Se desea encontrar la velocidad en el origen y el Jacobino del manipulador, con ángulos de rotación de 35ºpara el primer plano y de 54º para el segundo, y longitudes de cada brazo de 5 y 3.
Solución:
Se plantean las matrices de rotación para cada plano del manipulador:
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