Cónicas y aplicaciones

La circunferencia, la elipse, la
parábola o la hipérbola son curvas planas de todos
conocidas.

Estas curvas aparecían ya en la
geometría griega y fueron denominadas secciones
cónicas, ya que los griegos de la época de
Platón consideraban que tales curvas procedían de
la intersección de un cono con un plano.

Cuando los matemáticos de los siglos
XVI y XVII estudiaron los trabajos griegos, empezaron a comprobar
la falta de generalidad de los métodos de
demostración lo que llevo a sustituir la visión
puramente geométrica de las secciones cónicas por
otra que incorporaba las nociones de coordenadas y distancia.
Esto llevo a la definición de estas curvas como lugares
geométricos de puntos que verificaban ciertas propiedades
en términos de distancia. (Las cónicas como lugares
geométricos).Finalmente se estableció una
teoría algebraica general que engloba todas estas curvas y
las describe como curvas cuadráticas. Es esta
teoría la que presentamos a
continuación.

Curvas
cuadráticas

Definición:

Una cónica es el lugar
geométrico de los puntos del plano (x,y) que
satisfacen una ecuación completa de segundo
grado:

La ecuación de una cónica se
puede escribir en forma matricial
como    

donde

Ejemplo:

En el siguiente gráfico vemos la
cónica que representa la ecuación cuadrática
anterior

En este caso la matriz de la cónica
y las matrices adjuntas correspondientes son

Las figuras que representan las ecuaciones
cuadráticas pueden ser, además de elipses,
hipérbolas y parábolas, pares de rectas tanto
secantes como paralelas y estas últimas pueden ser
distintas o coincidentes. También puede darse el caso de
que la ecuación sea verificada por un único punto o
por ninguno. Alguna de estas últimas también se
pueden obtener como secciones cónicas como se ve en las
imágenes siguientes:

A continuación estudiamos como se
puede determinar que tipo de curva que define una ecuación
cuadrática dada. 

Clasificación
de las cónicas

Existen ciertas cantidades asociadas a la
matriz de la cónica que son invariantes respecto a los
movimientos del plano (giros y traslaciones).

Tabla de
Clasificación

Elementos notables de
las cónicas

Centro:

Si el punto P está en la
cónica C entonces la recta polar de P
respecto a C es precisamente la recta tangente a
la cónica en dicho punto P.

Ejemplo:

Consideremos la cónica de
ecuación

Que matricialmente se escribe
como

Utilizando la tabla de clasificación
vemos que se trata de una elipse real puesto que

La polar del punto (1,2) será la
recta 

Observamos que el punto (1,2) pertenece a
la cónica y por lo tanto la polar coincide con la recta
tangente en dicho punto.

La polar del punto (1,1) es la
recta

La polar del punto (3/2, 9/4) es la
recta

Es posible que un punto P=(x0,y0)
no tenga polar respecto a una cónica C.
Las coordenadas de los puntos que no tienen polar deben verificar
el sistema de ecuaciones

Que impone que los coeficientes de
x e y en la recta polar sean nulos (es decir
que no exista dicha recta).

Para que este sistema tenga alguna
solución se ha de verificar