Además si det A00 es no nulo,
entonces la solución del sistema es única y por lo
tanto habría un único punto que no poseerá
recta polar. Este punto se denomina centro de la
cónica. No todas las cónicas tienen centro.El
centro de la cónica tiene la particularidad de ser su
centro de simetría.
Si C es una elipse o una
hipérbola entonces det A00 ? 0 y el sistema es
compatible determinado lo que indica que estas cónicas
tienen centro y que éste es
único.Ejemplo:
En la elipse del ejemplo anterior el centro
será el punto (2,2) única solución del
sistema de ecuaciones
Sin embargo si la cónica es una
parábola, todos sus puntos tienen polar. La
parábola es por tanto una cónica sin
centro.
Polo Dada una recta r diremos
que un punto P es un polo de r respecto a una
cónica C si r es la polar de P
respecto a C
Diámetro Llamaremos
diámetro de una cónica C a
cualquier recta sin polo.
Las figuras siguientes muestran
diámetros en una elipse y una parábola
Diremos que dos diámetros son
conjugados si no son asíntotas (en el caso de
la hipérbola) y uno de ellos coincide con el lugar
geométrico de los puntos medios de las cuerdas
determinadas por la cónica en las rectas paralelas al
otro.
Ecuación
reducida
Partiendo de la ecuación general de
una cónica se puede llegar a su ecuación reducida
aplicándole consecutivamente un giro y una
traslación de forma adecuada.
Clasificaremos en tres tipos las ecuaciones
reducidas de las cónicas:
Elipse, hipérbola, pares de
rectas no paralelas:
Parábola
Pares de rectas paralelas o
coincidentes
Ejemplo:
Consideremos la ecuación
cuadrática
La matriz de la cónica que define la
ecuación anterior será
Veamos que tipo de cónica es
calculando sus invariantes
Esto nos indica que es una
parábola.
La ecuación reducida de esta
parábola será
Las cónicas como lugares
geométricos
Si F es un punto fijo del plano y D
una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano
cuyas distancias al punto F y a la recta D están en
proporción constante es una cónica no
degenerada (elipse, hipérbola,
parábola).
Al punto F se le denomina foco de la
cónica y a la recta D directriz asociada al foco
F.
Ecuación focal
Si C es una cónica
propia (no degenerada), en un sistema de referencia determinado,
su ecuación será
Esta ecuación se conoce como
ecuación focal de la cónica y a'x+b'y+d'=0
es la ecuación de Euler para la
directriz.
Más adelante veremos como se puede
obtener la ecuación focal partiendo de la ecuación
reducida de la cónica.
La cantidad e se denomina
excentricidad de la cónica y es un invariante
puesto que, como se comprueba fácilmente,
En términos de distancia, la
ecuación focal queda como
Es decir, en una cónica no
degenerada el cociente entre las distancias de cualquiera de sus
puntos al foco y a la directriz es constante (dada por la
excentricidad).
Se puede comprobar que en una cónica
la directriz asociada a un foco F es precisamente su recta
polar. El foco de la cónica es pues cualquier punto del
plano para el que la razón de la distancia de un punto
cualquiera P de la cónica a F y la distancia de P a la
polar de F es constante
Cónicas no
degeneradas
Cónicas con centro
Como hemos visto las cónicas propias
(o no degeneradas) con centro son la elipse, dentro de la cual se
incluye la circunferencia como caso particular (cuando a11=
a22), y la hipérbola. Antes de estudiar cada
una de ellas por separado veamos algunas de las
características conjuntas que presentan.
Para estas cónicas se definen los
ejes de la cónica como un par de diámetros
conjugados perpendiculares que son además ejes de
simetría de la cónica. Además sólo
existe un par de ejes salvo en el caso de la circunferencia
en el que hay infinitos.
A continuación vemos como se pueden
calcular los ejes.
Consideremos la cónica de
ecuación
Su matriz asociada es
El centro de la hipérbola es la
solución del sistema
es decir el punto (2/9,-10/9).
Para calcular los ejes de la
hipérbola hallamos en primer lugar los autovalores de A00
o lo que es lo mismo las raíces del polinomio
característico de A00 es decir necesitamos resolver la
ecuación en l det(A00-?I)=0, que en este caso
queda
Finalmente escribimos la ecuación
reducida de la hipérbola:
La elipse y la
circunferencia
Un ejemplo real
La órbita del asteroide
Eros
La primera ley de Kepler
establece que los planetas describen órbitas
elípticas con el sol situado en uno de sus focos. Dicha
ley también es de aplicación a otros
pequeños cuerpos del sistema solar llamados planetas
menores o asteroides.En la animación se muestra, en azul,
la órbita prácticamente circular de la Tierra
(excentricidad 0.017) y, en rojo, la órbita
elíptica (excentricidad 0.223) descrita por el
asteroide numerado 433 conocido con el nombre de
"Eros". La órbita de Eros está
contenida en un plano que forma un ángulo de casi 11
grados con el que contiene a la órbita de la Tierra,
también llamado plano de la
eclíptica. Lo que se observa en la
animación es la proyección de la elipse descrita
por el cometa sobre este último plano. Las esferas
azul, roja y amarilla indican sólamente la posición
de la Tierra, el asteroide y el Sol, sin ser representativas del
tamaño de estos objetos. De hecho, ninguno de ellos
sería visible en la animación en el caso de que se
representarán a escala.El internauta interesado en los
objetos que, como Eros, describen órbitas
próximas a la de la Tierra puede consultar el sistema
NEODyS, donde también encontrará multitud de
enlaces a otras páginas relacionadas con el
tema.
La elipse como lugar
geométrico:
La elipse es el lugar geométrico de
los puntos del plano para los que la suma de las distancia a dos
puntos fijos, llamados focos, es constante.
Supongamos que los focos son F1=(c,0) y
F2=(-c,0) y llamemos 2a a la suma de las distancias,
entonces los puntos (x,y) de la elipse
verifican
simplificando esta ecuación se llega
a
Esta es la ecuación reducida de la
elipse en la que los ejes coordenados son los ejes de
simetría de la elipse y el origen de coordenadas es su
centro.
Encontremos la ecuación focal de la
elipse
Agrupando términos en la
última expresión
En esta ecuación focal tenemos que
el foco es el punto (c,0) y la directriz es la recta paralela al
eje X: x=a2/c. La excentricidad es e=c/a que es
estrictamente menor que 1 puesto que c=(a2-b2)1/2<
a.
Una cónica propia es una elipse si
la excentricidad es menor que 1: e< 1. Cuando
e=0 la elipse es una circunferencia: la excentricidad en
la elipse mide, por tanto, lo que ésta se aleja de la
circularidad. En la circunferencia los dos focos se confunden y
son a su vez el centro de la cónica. En la
animación siguiente se ve como varía la elipse al
ir disminuyendo su excentricidad.
La
hipérbola
Un ejemplo real
La órbita del cometa C/2002
E2 Snyder-Murakami
Los cometas son pequeños cuerpos del
sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo.
Estos objetos describen órbitas altamente elípticas
e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace
que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animación
se representa en rojo la evolución del cometa
C/2002 E2 Snyder-Murakami a lo largo de su
órbita hiperbólica (excentricidad 1,000468)
en un lapso temporal que abarca desde el año 1998 hasta
2006. En azul está representada la
órbita de la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del
recorrido del cometa. La órbita de C/2002
E2 está contenida en un plano
prácticamente perpendicular al que contiene a la
órbita de la Tierra, también llamado plano
de la eclíptica Para la animación se ha
elegido una vista que proyecta todos los objetos sobre el plano
de la órbita del cometa, lo que hace que la órbita
de la Tierra se vea de perfil.El punto amarillo indica
la posición que ocupa el Sol como foco tanto de la
órbita casi circular de la Tierra como de la
hipérbola descrita por el cometa
Snyder-Murakami. Las esferas azul y roja indican
sólamente la posición de la Tierra y del cometa,
sin ser representativas del tamaño de estos objetos. De
hecho, ni la Tierra ni el cometa serían visibles en la
animación en el caso de que se representasen a
escala.
La hipérbola como lugar
geométrico
La hipérbola es el lugar
geométrico de los puntos del plano para los que la
diferencia entre las distancias a dos puntos fijos, llamados
focos, es constante
Operando en esta ecuación se
obtiene
De igual forma a como se hizo para la
elipse, se consigue la ecuación focal de la
hipérbola
Luego las cónicas no degeneradas de
excentricidad mayor que 1 son hipérbolas.
Cónicas sin centro
La
parábola
Un ejemplo real
La órbita del cometa C/2002
B2 LINEAR
Los cometas son pequeños cuerpos del
sistema solar compuestos fundamentalmente por hielo y polvo.
Estos objetos describen órbitas altamente elípticas
e incluso parabólicas o hiperbólicas, lo que hace
que en raras ocasiones se acerquen al Sol. En la animación
se representa en rojo la evolución del cometa
C/2002 B2 LINEAR a lo largo de su
órbita parabólica (excentricidad 1,000) en
un lapso temporal que abarca desde el año 1999 hasta 2004.
En azul está representada la órbita de
la Tierra, lo que da una idea de la amplitud del recorrido del
cometa. La órbita de C/2002 B2 LINEAR
está contenida en un plano que forma un ángulo de
casi 153 grados con el que contiene a la órbita de la
Tierra, también llamado plano de la
eclíptica . Lo que se observa en la
animación es la proyección de la parábola
descrita por el cometa sobre este último
plano.El punto amarillo indica la posición que ocupa el
Sol como foco tanto de la órbita casi circular
de la Tierra como de la parábola descrita por
C/2002 B2 LINEAR. Las esferas azul y roja
indican sólamente la posición de la Tierra y del
cometa, sin ser representativas del tamaño de estos
objetos. De hecho, ni la Tierra ni el cometa serían
visibles en la animación en el caso de que se
representasen a escala.
La parábola como lugar
geométrico
La parábola es el lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo (el foco) y una recta dada (la directriz).
Operando en esta ecuación llegamos
a
Para este caso la ecuación focal
queda
La excentricidad en la parábola es
1.
Dedicamos este trabajo a cada una de
nuestras familias y demás personas que de una u otra
manera siempre están con nosotros y nos apoyan en lo que
decidimos y optamos por hacer.
Autor:
Josselyn Becerra Zuzunaga
Deyve Briones Cachique
Leandra Cadenas Villanueva
Isaac Herrera Garnique
Julio Huayhua Rodríguez
Joao Julca Romero
Gustavo Morales Flores
Daniela Muñoz Chuquitaype
Pamela Panana Oviedo
Curso: Matemática.
Profesor: Raúl Castro Vidal.E. A.
P.: Tecnología Médica.
Área: Terapia
Ocupacional.
Ciclo: 2010 – I
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN
MARCOS
FACULTAD DE MEDICINA
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