Las Cónicas

Introducción

Gérard Desargues (Lyon, 1591
–Lyon, 1661). Matemático y arquitecto
francés. Profesor de matemáticas en París.
Fue el iniciador de le geometría proyectiva.
Estableció la teoría de la involución sobre
una recta, de la que se deduce el teorema que lleva su nombre
para un haz puntual de cónias y formuló el teorema
sobre los triángulos homológicos que también
llevan su nombre. Introdujo la idea de el punto en el infinito de
una recta que hace posible identificar en términos
proyectivos un cilindro con un cono de vértice en el
infinito.

La
parábola

La parábola, la elipse y la
hipérbola se denominan secciones cónicas o
simplemente cónicas.

La parábola (del griego
pa?aß???) es la sección cónica resultante de
cortar un cono recto con un plano paralelo a su
generatriz.

Una parábola es el lugar
geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal
manera que su distancia a una recta fija, situada en el plano, es
siempre igual a su distancia en el punto fijo del plano que no
pertenece a la recta.

El punto fijo se denomina foco y la recta
fija directriz de la parábola. Tal como puede observarse
en la figura designemos por F y l el foco y la
directriz de una parábola, respectivamente. La recta
A que pasa por F y es perpendicular a
l se le denomina eje de la parábola. Sea
A el punto de intersección del eje y la
directriz. El punto V, punto medio del segmento
AF está, por definición, sobre la
parábola. Este punto se llama vértice de la
parábola. El segmento de recta, tal como BB', que
une dos puntos cualesquiera diferentes de la parábola se
llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por el foco como
CC", se denomina cuerda focal. La cuerda focal
LL" perpendicular al eje se llama lado recto. Si
P es un punto cualquiera de la parábola, la recta
FP que une el foco F con el punto se llama
radio focal de P o radio vector.

• ECUACIÓN DE LA
  PARÁBOLA

La ecuación de una parábola
adopta su forma más simple cuando su vértice
está en el origen y su eje coincide con uno los ejes
coordenados.

Tal como puede observarse en la figura 2.1,
consideremos la parábola cuyo vértice está
en el origen y cuyo eje coincide con el eje X. Sean
(p,O) sus coordenadas. Por definición de parábola
la ecuación de la directriz l es x=
-p.

Sea P (x,y) un punto cualquiera de la
parábola. Tracemos por P el segmento PA perpendicular a l.
Entonces, por la definición de parábola el punto P
debe satisfacer la condición

Evidentemente la parábola
considerada pasa por el origen y n tiene otra intersección
con los ejes coordenados. La única simetría que
posee es con respecto al eje X. Despejando y de la
ecuación tenemos

Por lo tanto para valores reales y
diferentes de cero, p y x deben ser del mismo
signo.

Fig. 2-1

Si p>0, deben excluirse todos
los valores negativos de x, y toda la curva se encuentra
a la derecha del eje Y. Como no se excluye ningún
valor positivo de x, y como y puede tomar todos
los valores reales se obtiene una curva abierta que se extiende
indefinidamente hacia la derecha del eje Y y a la arriba
y abajo del eje X. En este casos se dice que la
parábola se abre hacia la derecha.

Análogamente, si p<0, todos los
valores positivos de x deben excluirse en la ecuación y la
curva aparece a la izquierda del eje y tal como puede observarse
en la figura 2.1. En este caso se dice que la parábola se
abre hacia la izquierda.

Si el vértice de la parábola
está en el origen y su eje coincide con el eje Y, se
demuestra que la ecuación de la parábola
es

Tal como puede observarse en la figura 2-2,
si p>0, la parábola se abre hacia arriba.

Si p<0, la parábola se abre hacia
abajo tal como se observa en la figura 2-3.

Tal como puede observarse en la figura 2-4,
consideremos la parábola cuyo vértice es el puto
(h,k) y cuyo eje es el paralelo al eje x.

Si los ejes coordenados se trasladan de
modo que el nuevo origen 0" coincide con el vértice (h,k),
la ecuación de la parábola con respecto alos nuevos
ejes X" e Y" vendrá dada por