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Las Cónicas (página 2)

Enviado por Rosita Vasquez



Partes: 1, 2

Recíprocamente, completando el cuadrado en y, se puede demostrar que una ecuación como la anterior representa a una parábola cuyo eje es paralelo al eje X.

Ecuación de la tangente a una parábola

Como la ecuación de la parábola es de segundo grado, consideremos los tres casos siguientes:

  • Tangente en un punto de contacto dado

  • Tangente con una pendiente dada

  • Tangente trazada desde un punto exterior

  • Tangente en un punto de contacto dado

Vamos a determinar la ecuación de la tangente a la parábola

Por la condición de tangencia, el discriminante de sta última ecuación debe anularse, y por lo tanto se obtiene

La ecuación anterior nos permite deducir el siguiente resultado:

  • Tangente con una pendiente dada

Consideremos el problema general de determinar la ecuación de la tangente de pendiente m a la parábola anterior.

  • Tangente trazada desde un punto exterior

Para estudiar este caso resolveremos el siguiente problema.

Ejemplo

Hallar las ecuaciones de las tangentes trazadas desde el punto (2,-4) a la parábola .

en donde el parámetro m es la pendiente de la tangente buscada.

Reordenando la ecuación tenemos

EJEMPLOS DE PARÁBOLA

  • Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parábola

  • La trayectoria de proyectiles tienen una forma parabólica

  • En la forma de antenas, telescopios, detectores de radar se muestra una parábola.

La elipse

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que la suma de sus distancias as dos puntos fijos de un plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se denominan focos de la elipse. Tal como puede observarse en la figura, sean F Y F" los focos de una elipse. La rexta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal.

El eje focal corta a la elipse en dos puntos, V y V", que se denominan vértices. La porción del eje comprendida entre los vértices, es decir el segmento VV", se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio que une los focos, se denomina centro. La recta r"que pasa por C y es perpendicular ala eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r" corta a la elipse en dos puntos, A y A", y el segmento AA"se denomina eje menor. Un segmento como BB" que une los puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. Una cuerda que pasa por uno de los focos se denomina cuerda focal. Una cuerda focal tal como LL", perpendicular al eje focal r, se llama lado recto. Como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD", se denomina diámetro.

Ecuaciones de la elipse

Tal como puede observarse en la figura 3.1, consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.

siendo a una constante positiva mayor que c.

Para simplificar la ecuación anterior, pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. De este modo se obtiene

Por ser a y -a las intersecciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V"son (a,0) y (-a,0), respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2ª.

Las intersecciones con el eje Y son b y –b.

Por lo tanto, las coordenadas de los extremos A y A"del eje meno son (0,b) y (0,-b), respectivamente, y la longitud del eje menor es igual a 2b.

Así pues, la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Despejando y en la ecuación de la elipse se obtiene

de manera que se obtienen los alores reales de x, únicamente para valores de y comprendidos en el intervalo.

Consideremos ahora el caso en que el centro de la elipse está en el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y. Las coordenadas de los focos son entonces (0,c) y (0,-c). En este caso la ecuación de la elipse es

Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse, respectivamente. Si se trasladan los jes coordenados de manera que el nuevo origen O"coincida con el entro (h,k) de laelipse, la ecuación de la elipse referida a los nuevos ejes X" e Y"vendrá dada por

Consideremos la ecuación de la elipse en la forma

Obviamente los coeficientes A y C deben tener el mismo signo.

Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma anterior y reduzcámosla a la forma ordinaria completando cuadrados. Se obtiene

Propiedades de la elipse

  • La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

EJEMPLOS DE ELIPSE

  • Orbita de los planetas alrededor del Sol

  • Cometas y Satélites como la orbita de la luna, describen una elipse

La hipérbola

Una hipérbola (del griego ?pe?ß???) es una sección cónica, una curva abierta de dos ramas obtenida al cortar un cono recto por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo menor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.

Una hipérbola es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de modo que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia comprendida entre los focos.

Tal como puede observarse en la figura, los focos se designan por F y F". La recta r que pasa por los focos recibe el nombre de eje focal. El eje focal corta la hipérbola en dos puntos, V y V", denominados vértices. La porción del eje focal comprendido entre los vértices VV", se llama eje transverso. El punto medio C se denomina centro. La recta r" que pasa por C y es perpendicular al eje focal r recibe el nombre de eje normal. El eje normal r" no corta a la hipérbola. La porción del eje normal, el segmento AA" que tiene C por punto medio, se denomina eje conjugado. E segmento que une dos puntos distintos cualesquiera de la hipérbola se llama cuerda. Una cuerda que pasa por un foco, tal como EE", recibe el nombre de cuerda focal. Una cuerda focal como LL", perpendicular a l eje focal r, se denomina lado recto. Evidentemente la hipérbola tiene dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD", se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la hipérbola, los segmentos FP y F"P que unen los focos con el punto P se denominan radios vectores de P.

Ecuaciones de la hipérbola

Tal como puede observarse en la figura 5-1, consideremos la hipérbola de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X.

Si el centro de la hipérbola no está en el origen, pero sus ejes son paralelos a los ejes coordenados se obtiene el siguiente resultado:

Asíntotas de la hipérbola

Si un punto de la hipérbola se mueve a lo largo de la curva, de manera que su abscisa x aumente ilimitadamente, el radical del segundo miembro de la ecuación anterior se aprxima cada vez más a la unidad y la ecuación tiende a la forma

Los resultados anteriores pueden resumirse del modo siguiente:

Como estas rectas son perpendiculares, resulta que las asíntotas de la hipérbola equilátera son perpendiculares entre sí. Por este motivo la hipérbola equilátera se denomina también hipérbola rectangular.

Una forma particularmente útil de la hipérbola equilátera es

en donde k es una constante cualquiera diferente de cero.

Si dos hipérbolas son tales que el eje transverso de cada una es idéntico al eje conjugado de la otra, se dice que son hipérbolas conjugadas.

Puesto que la ecuación de la hipérbola es

En la figura 5-2 se han representado un par de hipérbolas conjugadas, junto con sus respectivas asíntotas.

Propiedades de la hipérbola

EJEMPLOS DE HIPÉRBOLA

  • Un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie

  • La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.

Problemas resueltos

Ejercicio 1:

Identifica la siguiente cónica, halla sus focos y su excentricidad:

Ejercicio 2 :

Identifica esta cónica y halla sus elementos

Ejercicio 3 :

Dada la siguiente cónica, identifícala, obtén sus elementos característicos

Ejercicio 4:

Describe la siguiente cónica, obtén sus elementos

Ejercicios propuestos

1. Encontrar la ecuación de la parábola que satisface las condiciones dadas: 

a. F(3, 0), V(2, 0) 

b. F(0, 0), V(-1, 0) 

c. F(2, 3), directriz: x = 6 

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parábola pasa por el punto (2, 2) 

f. Eje focal vertical, y la parábola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7) 

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuación corresponden a parábolas. Localizar el vértice, el foco, la ecuación de la directriz, ecuación del eje focal, y la ecuación de la tangente en el vértice. 

3. Demuestre que la ecuación de la tangente a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: px = 2c(y + q). 

4.  a. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: y2 = 4cx en el punto (p, q) de la curva, viene dada por:

.

b. Demuestre que la ecuación de la normal a la parábola: x2 = 4cy en el punto (p, q) de la curva, viene dada por: 

5.   a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto cualqui- era de la parábola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y. 

6. Determine el punto máximo (mínimo) de las siguientes parábolas: 

7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlas determinando además los vértices y los focos: 

8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuación de la elipse que satisface las condiciones dadas. Trace su gráfica

9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vértices de cada elipse. Trace la gráfica correspondiente. 

10. Demuestre que una ecuación de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A ¹ 0, C ¹ 0, F ¹ 0 donde A y C son del mismo signo: 

a. Es la ecuación de una elipse con centro en (0, 0) si A ¹ C 

b. Es la ecuación de un círculo con centro en (0, 0) si A = C 

Aplicaciones en la vida diaria

Resumimos a continuación las diferentes aplicaciones que las secciones cónicas tienen en la vida real:

  • Los cables de los puentes colgantes tienen forma parabólica (forman la envolvente de una parábola). Se creía hace tiempo que las cuerdas o cadenas que se suspenden agarradas únicamente por sus extremos también formaban parábolas (hoy sabemos que la curva que describen es un coseno hiperbólico).

  • Las trayectorias de los proyectiles tienen forma parabólica. Los chorros de agua que salen de un surtidor tienen también forma parabólica. Si salen varios chorros de un mismo punto a la misma velocidad inicial pero diferentes inclinaciones, la envolvente de esta familia de parábolas es otra parábola (llamada en balística parábola de seguridad, pues por encima de ella no es posible que pase ningún punto de las parábolas de la familia). El mayor alcance que se puede obtener es aquél en que el ángulo de inclinación inicial es de 45 grados.

  • La forma de los telescopios, detectores de radar y reflectores luminosos son parabólicas. En los faros de los coches se coloca la fuente de luz en el foco de la parábola, de modo que los rayos, al reflejarse en la lámpara, salen formando rayos paralelos. La nave espacial PLUTO de la NASA incorpora también un reflector parabólico. Recordar también el conocido efecto de quemar un hoja de papel concentrando los rayos solares mediante un espejo parabólico.

  • Un telescopio de espejo líquido es un telescopio reflectante (es decir, que usa la propiedad reflectante de la parábola) cuyo espejo principal está hecho de mercurio líquido. Un famoso ejemplo lo constituye el telescopio HUBBLE situado en el espacio exterior. El problema es cómo puede un líquido formar un espejo parabólico y por qué se quiere así. La respuesta es que si se tiene un contenedor giratorio de líquido, la superficie del mismo formará un paraboloide perfecto, incluso si la superficie interior del contenedor tiene imperfecciones. De este modo, no es necesario el pulido de los lentes y además los espejos pueden hacerse más grandes que los sólidos. Al utilizar mercurio líquido se consigue que los espejos sean más baratos que los tradicionales (sólo hace falta una capa muy fina de mercurio pues este es muy pesado).

  • Las órbitas de los planetas alrededor del sol son elípticas (el sol se encuentra en uno de los focos). La excentricidad de la órbita de la Tierra alrededor del Sol es aproximadamente 0,0167. La de mayor excentricidad es la órbita de Plutón, 0,2481, que incluso es pequeña. Los cometas y los satélites también describen órbitas elípticas. En el extremo contrario está el cometa HALLEY cuya excentricidad es de 0,9675, muy próxima a 1.

  • En diseño artístico es común encuadrar retratos y fotografías en un marco con forma elíptica. La mayoría de los dispositivos usados para recortar figuras elípticas están basadas en las ecuaciones de la elipse como comentamos anteriormente.

  • Una revolucionaria técnica médica introducida a mediados de la década pasada para el tratamiento de los cálculos renales utiliza propiedades reflexivas de las cónicas. La idea principal consiste en usar ondas sonoras intensas generadas fuera del cuerpo del paciente para pulverizar las piedras y convertirlas en arena que pueda ser fácilmente eliminada por el organismo. La clave está en enfocar las ondas para que no afecten al cuerpo, sólo al cálculo. Para ello se usa una cámara semielipsoidal. En uno de sus focos se crea una poderosa chispa que evapora agua. La parte que golpea el reflector converge en el otro foco, donde se encuentra la piedra, con toda su intensidad, provocando su destrucción. La mejor cura para un cálculo es un poco de cálculo. Este tratamiento se aplica en la actualidad en más del 80% de piedras en el riñón y la uretra. Además el tiempo de recuperación es de 3 días en comparación con las dos semanas con la cirugía convencional, así como la tasa de mortalidad es del 0,01% frente al 2% del método tradicional.

Conclusiones

  • Esta monografía acerca de las cónicas, nos ayudó mucho a aclarar ciertas dudas que teníamos sobre este tema.

  • En este trabajo hemos podido ampliar nuestros conocimientos acerca de las secciones cónicas, conocer mejor las cónicas, como por ejemplo Elipse (Son figuras geométricas cerradas, formadas por segmentos de recta); Hipérbola, Lugar geométrico de todos los puntos para las cuales la diferencia de las distancias a dos puntos fijos, llamados focos es constante. Una parábola es una línea que se puede ajustar, en un espacio bidimensional y en relación a sistema de coordenadas ortonormales, con la relación y=a.x²+b, o la aplicación de una transformación que represente un giro, a dicha relación.

  • Otro punto de vital importancia es que nos hemos podido dar cuenta de que las cónicas no son un simple tema de teoría en matemáticas, sino que también tienen mucha relación con nuestras vidas ya que en todas partes siempre vamos a encontrar algún tipo de sección cónica.

  • Hemos tenido la oportunidad de saber qué son y para qué nos sirven estas secciones cónicas de las que nos habla tanto el tema, incluso hemos llegado a conocer que algunos de estos usos resultaron muy importantes, desde un uso cualquiera en situaciones comunes n casa o en la calle, hasta su utilización en los avances tecnológicos.

  • También hemos podido Identificar y establecer la relación existente entre el Álgebra y la Geometría como consecuencia de la asociación de ecuaciones y figuras geométricas.

 

 

Autor:

Rosita

Partes: 1, 2


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