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Secciones Conicas

Enviado por MatematicaCastro



Partes: 1, 2

  1. Historia
  2. Definición
  3. Tipos
  4. Definición Analítica
  5. La Elipse
  6. La Circunferencia
  7. La Parábola
  8. La Hipérbola
  9. Aplicaciones

Historia

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.

"...la peste se llevo una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."

"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos ..."

Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva.

Todo este estudio de estas formulaciones se encuentran en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus más completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo que su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros primeros se conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad, pero, gracias a la traducción al árabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos al latin en los siglos XVI y XVII por Johanms B aptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.

Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algunos conocidos por matemáticos anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos.

En cuanto a la elaboración de Las Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el contenido de su primera obra.

El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto. Resumiremos los ocho libros a continuación:

  • El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas.

  • El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas.

  • El libro III: (el preferido de Apolonio).

  • El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos.

  • El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica.

  • El libro VI: trata sobre cónicas semejante.

  • El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados.

  • El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo dado debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la matemática antigua".

Definición

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos: elipses, parábolas e hipérbolas.

En el gráfico siguiente se muestra dicha intersección:

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Tipos

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (a) y la inclinación del plano respecto del eje del cono (ß), pueden obtenerse diferentes secciones cónicas, a saber:

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