Definición
Analítica
En coordenadas cartesianas, las cónicas se
expresan en forma algebraica mediante ecuaciones
cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:
En la que, en función de los valores de los
parámetros, se tendrá:
La
Elipse
La elipse es la sección producida en una
superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz y que forme
con el mismo un ángulo mayor que el que forman eje y
generatriz.
También podemos decir que la elipse es el lugar
geométrico de los puntos del plano tales que la suma de
las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante
positiva (ver figura). La Elipse es una curva cerrada.
5.1. Elementos de la elipse:
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Eje focal
Es la recta que pasa por los focos.
Eje secundario
Es la mediatriz del segmento FF'.
Centro
Es el punto de intersección de los
ejes.
Ejes de simetría
Son las rectas que contienen al eje mayor o al eje
menor.
Centro de Simetría
Coincide con el centro de la elipse, que es el punto de
intersección de los ejes de simetría.
Relación entre la distancia focal y los
semiejes
5.2. Excentricidad (e)
La excentricidad de la elipse es igual al cociente entre
su semidistancia focal y su semieje mayor.
5.3. Ecuación Reducida de la
Elipse
Tomamos como centro de la elipse el centro de
coordenadas y los ejes de la elipse como ejes de coordenadas. Las
coordenadas de los focos son: F'(-c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la elipse cumple:
Esta expresión da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
5.4. Ecuación reducida de la elipse con los
focos en el eje OY
Si el eje principal está en el de ordenadas se
obtendrá la siguiente ecuación:
Las coordenadas de los focos son:
Ecuación de la Elipse
Donde A y B tienen el mismo signo.
Ecuación de la Elipse de Eje
Vertical
Donde A y B tienen el mismo signo.
La
Circunferencia
También podemos llamar circunferencia al lugar
geométrico de los puntos del plano que equidistan de un
punto fijo llamado centro (ver figura). La circunferencia es un
caso particular de elipse.
Ecuación de la
Circunferencia
La ecuación anterior elevamos al cuadrado
obtenemos la ecuación:
Si desarrollamos:
y realizamos estos cambios:
Obtenemos otra forma de escribir la
ecuación:
Donde el centro es:
y el radio cumple la relación:
Ecuación Reducida de la
Circunferencia
Intersección de una Cónica y una
Recta
Para hallar los puntos comunes a una cónica y una
recta resolveremos el sistema formado por las ecuaciones de
ambas.
En general se obtiene una ecuación de segundo
grado, que dependiendo del signo del discriminante,
?=b2-4ac, las siguientes soluciones
serán:
La
Parábola
La parábola es la sección producida
en una superficie cónica de revolución por un plano
oblicuo al eje, siendo paralelo a la generatriz.
La parábola es una curva abierta que se
prolonga hasta el infinito.
También podemos decir que la parábola es
el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan
de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada
directriz.
7.1. Elementos de la Parábola
Foco
Es el punto fijo F.
Directriz
Es la recta fija d.
Parámetro
Es la distancia del foco a la directriz, se designa por
la letra p.
Eje
Es la recta perpendicular a la directriz que pasa por el
foco.
Vértice
Es el punto de intersección de la parábola
con su eje.
Radio vector
Es un segmento que une un punto cualquiera de la
parábola con el foco.
7.2. Ecuación Reducida de la Parábola
de Eje Horizontal
El eje de la parábola coincide con el de abscisas
y el vértice con el origen de coordenadas.
7.3. Ecuación Reducida de la Parábola
de Eje Vertical
El eje de la parábola coincide con el de
ordenadas y el vértice con el origen de
coordenadas.
7.4. Ecuación de la Parábola con Eje
Horizontal
Parábola con eje paralelo a OX y vértice
distinto al origen.
7.5. Ecuación de la Parábola con Eje
Vertical
Parábola con eje paralelo a OY, y vértice
distinto al origen.
La
Hipérbola
La hipérbola es la sección
producida en una superficie cónica de revolución
por un plano oblicuo al eje, formando con él un
ángulo menor al que forman eje y generatriz, por lo que
incide en las dos hojas de la superficie
cónica.
a > ß
La hipérbola es una curva abierta que se
prolonga indefinidamente y consta de dos ramas
separadas.
También podemos decir que la Hipérbola es
el lugar geométrico de los puntos del plano cuya
diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es
constante (ver figura).
8.1. Elementos de la Hipérbola:
8.2. Excentricidad
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las
ramas de la hipérbola.
8.3. Ecuación Reducida de la
Hipérbola
Se llama ecuación reducida a la ecuación
de la hipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes
coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el
origen de coordenadas.
8.4. Ecuación reducida de la hipérbola
con los focos en el eje OY
8.5. Ecuación de la
Hipérbola
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo
a OX, y centro distinto al origen.
Donde A y B tienen signos opuestos.
8.6. Ecuación de la Hipérbola de eje
Vertical
Ecuación de la hipérbola con eje paralelo
a OY, y centro distinto al origen.
Donde A y B tienen signos opuestos.
8.7. Ecuación de la hipérbola
equilátera
Aplicaciones
Las curvas cónicas son importantes en
astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan
según la ley de gravitación universal, sus
trayectorias describen secciones cónicas si su centro de
masa se considera en reposo. Si están relativamente
próximas describirán elipses, si se alejan
demasiado describirán hipérbolas o
parábolas.
También son importantes en aerodinámica y en su
aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por
medios mecánicos con gran exactitud, logrando superficies,
formas y curvas perfectas.
Autor:
Matemática Castro
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