Hacia una Matemática sin Contradicciones

Prefacio

En el capítulo primero de su libro "Grandes
Matemáticos", nos dice E. T. Bell que "cuando algo
nuevo se estudia por primera vez, los detalles parecen numerosos
y confusos, y no queda fijada en la mente una impresión
lógica del conjunto. Después de un tiempo
insistamos en el estudio y encontraremos que todo ha ido ocupando
un lugar según su importancia, igual que cuando se revela
una placa fotográfica". Esto es, tal vez, lo que le
podría ocurrir al lector que por primera vez lea este
pequeño trabajo. Sin embargo, sé que al repasar
nuevamente cada capítulo entenderá la gran verdad
que subyace en él.

Según la mayoría de los
matemáticos, ha sido la razón (o la sin
razón) de ser del infinito lo que ha creado la
maraña en la cual ha estado inmersa la matemática.
Pero, aunque es el infinito el que le da razón de ser a
este trabajo, no se entrará en detalles sobre la
naturaleza de este concepto. Si bien la mayor parte de las
contradicciones que se tratará de corregir en esta obra
son debidas al aludido concepto, sólo se tomará
dicha noción como alguna operación que se
efectúa indefinidamente. Esbocemos, pues, muy someramente,
algunas de esas contradicciones que acá se
analizarán.

En el capítulo 1 se presenta una serie de
teoremas que nos demuestran que la hipótesis del continuo
de G. Cantor es una falsedad muy bien disfrazada; sin ninguna
intención por parte de su autor, se supone. Tal vez el no
poder demostrar la falsedad de esta hipótesis fue el hecho
de trabajar cada función con dos conjuntos distintos. Esto
hace sumamente difícil dicha demostración. Sin
embargo, para toda función f: A(B, existe en B un
subconjunto el cual permite demostrar, con suma facilidad, que la
referida hipótesis es falsa; ese subconjunto es el
conjunto f(A).

Una contradicción en la cual parece que nadie se
fija nunca es la generada por la propiedad de ser cerradas las
leyes de composición internas de un grupo. Decimos que si
a dos elementos de un grupo con infinitos elementos, le aplicamos
la ley de composición, para la cual es un grupo, el
resultado siempre es un elemento de dicho grupo.

Esto se puede apreciar en la igualdad

Esta contradicción se corrige en el
capítulo 2, donde se demuestra que los números
irracionales no existen, es decir, todos los reales son
racionales.

Por todos es conocido que el conjunto Z de
números enteros tiene infinitos elementos. Sin embargo,
cuando un natural tiene un número infinito de cifras,
entonces lo tomamos como algo que no pertenece a Z. Es decir, a
los elementos de Z no los aceptamos cuando tienen infinitas
cifras por el sólo hecho de que no los podemos manipular.
En el capítulo 2 se da una prueba de que existen enteros
con infinitas cifras. También en este capítulo se
demuestra que los irracionales son racionales de fracción
generatriz infinita.

En el capítulo 3, se estudian los ceros
residuales, los cuales son generados por la división de un
entero finito entre uno infinito. Estos ceros residuales son los
que siempre hemos llamado infinitésimos. También
acá se prueba la existencia de la menor distancia que
separa a dos reales distintos, r y r", la cual
no es cero sino un cero residual.

A la expresión

En el capítulo 5 se muestra una aplicación
de la razón del continuo en el cálculo de
límites en algunas indeterminaciones; haciendo uso de
algunas propiedades de dicha razón.

En el capítulo 6 se da una forma diferente de
presentar la diferenciación y se muestra cómo
utilizar la razón del continuo correctamente en este
tópico. Asimismo, se exponen algunas de las ventajas que
se obtienen al utilizar dicha razón de continuidad en la
derivación, tanto en funciones de una variable como en
funciones de dos o más variables.

En el capítulo 7 se prueba que algunas
demostraciones que se han aceptado como buenas e ingeniosas son
erróneas. Tal es el caso de la demostración de
irracionalidad del número ( e igualmente la del
número e. También se demuestra en este
capítulo, el cual se ha llamado marcando
(señalando) errores, que el criterio de inyectividad
comúnmente conocido y la definición de continuidad,
así como otros tópicos, son erróneos cuando
se trata de funciones reales.

En el capítulo 8 se presenta lo que se ha
definido como el fin de las geometrías no
euclidianas. Ya que en este capítulo se demuestra
la unicidad de la recta que pasa por dos puntos distintos con
base en los cuatro postulados de incidencia. Postulados
éstos que son el génesis de toda geometría
que trate de puntos y rectas. Además, se presenta en este
capítulo el postulado de las paralelas como un sencillo
teorema de la geometría euclidiana, y se demuestra que el
plano euclidiano es la superficie de una esfera
infinita.