Hacia una Matemática sin Contradicciones (página 2)

El capítulo 9 se le dedica a los tres problemas
clásicos de la geometría. Demostrando la
imposibilidad de la duplicación y la cuadratura y
resolviendo la trisección de un ángulo cualquiera,
único problema clásico resoluble con regla y
compás.

Finalmente, se debe recalcar lo que dice E. T. Bell en
"Grandes matemáticos (cap. XXIX)". "Corresponde a
Cantor el gran mérito de haber descubierto, a pesar de
sí mismo y contra sus propios deseos, que "el cuerpo
matemático" está profundamente enfermo y que la
enfermedad con que Zenón la infectó no ha
encontrado aún alivio". Hoy, amigo lector,
podrá usted descubrir el remedio para la enfermedad de
este cuerpo.

Nota Importante: Si usted, amigo lector,
no es un matemático de libros (aquellos que se aferran a,
sólo, lo aprendido en los libros) y no siente temor de
aventurarse por rumbos fascinantes pero desconocidos, entonces,
le encantará este pequeño libro al leerlo, pues,
está escrito para usted; debemos recordar que Albert
Einstein nos dejó su teoría de la relatividad,
gracias a que no sintió temor de transitar por rumbos
desconocidos por todos.

Es el deseo del autor que este pequeño aporte a
la matemática sea para enriquecerla más y no para
generar polémicas; como sucede cada vez que aparece en el
ámbito matemático una nueva visión de
ésta. Aunque sé que, como dijo algún
matemático una vez, dejar los caminos ya trillados y
caminar por rumbos nuevos es bastante difícil para el ser
humano, espero la mejor comprensión por parte del mundo
matemático.

Dimas Herrera.

CAPÍTULO 1

Subsanando el
paraíso de cantor

1.1 Algunas Definiciones de la Teoría de
Conjuntos

Una de las teorías matemáticas más
ricas en aplicaciones es sin lugar a dudas la teoría de
conjuntos debida al gran genio de Georg Cantor
(matemático ruso) y la cual ha sido enriquecida a
través de la historia por otros no menos grandes
matemáticos. Acá nos ocuparemos de dar algunas
definiciones de esta teoría las cuales se
necesitarán para la demostración de la falsedad de
la hipótesis del continuo; el cual es el objetivo primario
de este capítulo.

1.1.1 Definiendo al Conjunto A

Un conjunto A finito o infinito, aún cuando
parece redundante, se denotará por

Esta forma de denotar a dicho conjunto es la más
adecuada para la demostración de los teoremas que
acá veremos (Se supone conocido por el lector todo lo
relativo a teoría de conjuntos).

1.1.2 El Cardinal del Conjunto A

El cardinal de un conjunto A es el número de
elementos que posee dicho conjunto y se denotará por #A.
En este trabajo todos nuestros conjuntos serán no
vacíos.

1.1.3 Conjuntos Iguales

Dos conjuntos A y B son iguales si poseen los mismos
elementos.

1.1.4 Inclusión de Conjuntos. Subconjuntos

1.1.9 Función Biyectiva

Una función es biyectiva cuando es inyectiva y
también sobreyectiva. Cuando una tal función existe
entre dos conjuntos A y B, se dice que entre éstos existe
una relación biunívoca y que, por tanto, ambos
tienen la misma cantidad de elementos.

1.1.10 Potencia de un Conjunto

La potencia de un conjunto A es el número de
subconjuntos de A. Esta viene dada por # P(A) = donde #A es el número
de elementos de A. Observe que no es lo mismo conjunto
potencia que potencia de un conjunto, ya
que el conjunto potencia de A está dado por P(A) (Conjunto
de partes de A).

1.1.11 Equipotencia de Conjuntos

Dos conjuntos A y B se dice que son equipotentes si
tienen igual potencia. Como la potencia de A es y la de B es entonces, al ser = se tiene que #A = #B. Luego, se puede
inferir que dos conjuntos son equipotentes si tienen igual
número de elementos. De las definiciones de
biyectividad y equipotencia de conjuntos, conjuntamente con el
axioma de elección de la teoría de conjuntos, se
infiere que dos conjuntos son equipotentes si, y
sólo si, existe entre ellos al menos una
biyección.

1.2 Falsedad de la Hipótesis del Continuo

A continuación, se presenta una serie de teoremas
sencillos que nos demuestran que la conjetura de Cantor, conocida
como hipótesis del continuo, es falsa.

En dicha hipótesis se asegura que no existe un
cardinal transfinito x tal que # N < x < # R.

Esta hipótesis se dio sobre la base de la
igualdad de los cardinales de N, Z y Q. Igualdad que se
demostró gracias a una supuesta biyección entre N y
Z, y entre N y Q. Sin embargo, acá se demostrará
que dichas biyecciones no pueden existir, a menos que la
teoría de conjuntos sea una falsedad, lo cual no es
así.

La idea de este trabajo no es detallar lo que significa
la hipótesis del continuo; para quien desee detallar esto
existe abundante literatura en el ámbito
matemático. Acá sólo se pretende demostrar,
con los mismos elementos de la teoría de conjuntos, que la
cardinalidad de N, Z y Q son diferentes y que dicha
hipótesis del continuo no es más que la camisa de
fuerza que mantiene atada a la matemática a concepciones
erróneas del infinito.

Nota: Las demostraciones acá se
harán sólo para conjuntos discretos, aún
cuando también valen para conjuntos continuos. Se
usarán subíndices naturales en los conjuntos
infinitos, acá tratados, bajo el supuesto que dichos
naturales nunca se terminan; también, porque siempre se ha
creído que todos los conjuntos infinitos, a
excepción de R, son numerables. Al final de cada
demostración se usará el símbolo ( el cual
nos indica que la demostración concluyó.

Como consecuencia directa de este teorema se tiene el
siguiente

1.2.2 Teorema 1.2 (f(A) = g(A); si f inyectiva, g
inyectiva)

Sean f y g dos funciones cualesquiera con dominio en A y
tales que f(A) = g(A). Si f es inyectiva, g es inyectiva (o
viceversa).

Demostración

1.2.4 Teorema 1.4 (#A < #B; f:A(B, f(A) ( B)

Si A y B son dos conjuntos cualesquiera tales que # A
< # B y f: A ( B es una función cualquiera, entonces f
(A) ( B.

Demostración

1.2.5 Teorema 1.5 (f:A(B sobreyectiva y no inyectiva, # A
> # B)

1.2.7 Teorema 1.7 (# R > # Z)

El cardinal de R es mayor que el de Z

Demostración:

Los 7 teoremas anteriores nos inducen a subsanar el
error que existe en toda la teoría de conjuntos. Pues, no
se puede tener la gran contradicción de ser # Z > # N,
por una parte y, por la otra, # Z = # N. Ahora bien, la misma
teoría posee elementos suficientes que le permiten
limpiarse de toda contradicción. Esto lo veremos en los
siguientes teoremas.

1.2.8 Teorema 1.8 (A( B, # B > # A)

Sean A y B dos conjuntos cualesquiera. Si A es un
subconjunto propio de B, se tiene entonces, # B > #
A.

Demostración

1.2.9 Teorema 1.9 (A( f (A), f (A) = A)

Sea A un conjunto cualquiera y f:A(f(A) una
función cualquiera tal que A( f(A). Entonces, f(A) =
A.

Demostración.

El teorema anterior nos asegura que nunca
existirá una sobreyección de A hacia B si A es un
subconjunto propio de B. Por lo tanto, tampoco podrá
existir una biyección ni de A hacia B, ni de B hacia A. En
consecuencia, la mal llamada biyección entre N y Z no es
tal.

1.2.11 Teorema 1.11 (#N > #N*)

El cardinal de N es mayor que el de N*.

Demostración

1.2.12 La Aparente Biyección Entre N y Z

Sea la función entre N y Z definida de la
siguiente manera

Esta función así definida es la pretendida
biyección entre N y Z con la cual se asegura que estos
conjuntos tienen igual cardinalidad. Ahora bien, el teorema 1.9
nos asegura que entre N y Z no puede existir ninguna
biyección. Como esta función es inyectiva, entonces
dicha función no es sobreyectiva.

Analicemos la no sobreyectividad para el caso n impar en
la tabla que sigue:

Otra forma de disponer la tabla anterior es la
siguiente:

1.3 Propiedad de Dilatación o Contracción de
los Puntos

Sabemos que el punto carece de existencia real, es
decir, así como el universo nace de la nada,
también la Geometría nace de la nada. Por esta
razón, los puntos poseen unas propiedades que no se pueden
notar cuando las ponen en práctica. A estas propiedades se
les llamará propiedad de
contracción y propiedad de
dilatación y consisten en que, los infinitos
puntos que están en un segmento cualquiera, pueden entrar
todos (en sentido figurado) en otro segmento de mayor o menor
longitud, dilatándose o contrayéndose
respectivamente. Sin embargo, es un error afirmar que dos
segmentos cualesquiera poseen la misma cantidad de puntos,
tomados dichos puntos como entes con existencia real, si dichos
segmentos posen longitudes distintas. Veamos la
demostración de esto.

Veamos ahora el serio problema en el cual nos meten las
propiedades de contracción y dilatación de los
puntos.

1.3.2 La Unidad a Diferentes Escalas

Como ambos representan a la unidad (en diferentes
escalas), cometemos el error de decir que ambos contienen la
misma cantidad de puntos, es decir, que como conjuntos de puntos
son equipotentes. Pero el teorema anterior nos dice que ello no
es así. De manera que algo anda mal en nuestra forma de
ver la realidad.

La pregunta es ¿qué es lo que realmente
sucede? La respuesta es "la propiedad que tienen los puntos
geométricos de dilatarse y contraerse".

1.3.2.1 Biyección
Geométrica

Es la biyección galileana (en honor a Galileo
quien fue el primero en observar esto) que existe entre los
conjuntos de puntos geométricos.

1.3.2.2 Biyección Algebraica

Es la biyección cantoriana (en honor a Cantor,
padre de la teoría de conjuntos) que existe entre
conjuntos cuyos elementos tienen (o se les asigna) una existencia
real. Ejemplo de ellos son las biyecciones entre conjuntos
numéricos.

Para concluir este capítulo se debe decir que el
gran geómetra Euclides de Alejandría sí tuvo
razón al postular que "El todo es mayor que cualquiera de
sus partes". Y ha sido la teoría de Cantor la que nos ha
permitido deducir este hecho.

CAPÍTULO 2

La racionalidad de
los irracionales

2.1 Lo Contradictorio del Número
Irracional

Esto permite encontrar algunas contradicciones dentro de
nuestra matemática.

Antes de ver estas contradicciones, veamos los
siguientes teoremas donde se admite que el lector conoce todo lo
referente a la teoría de grupos.

2.1.1 Teorema 2.1 (Composición de
infinitos elementos de un grupo)

"La composición de un número infinito de
elementos de un grupo (G, *), que posee infinitos elementos, es
otro elemento de dicho grupo".

Demostración:

2.1.2 Teorema 2.2 (Suma de infinitos
racionales)

La suma anterior la puede comprobar el lector con la
fórmula para sumar los infinitos términos de una
serie geométrica cuando el valor absoluto de la
razón es menor que uno.

Ahora, veamos dos expresiones que, por los teoremas
anteriores, son contradictorias entre sí.

2.1.3 Dos Expresiones Contradictorias

La expresión 1) se contradice con el teorema 2.1,
ya que el conjunto Q es un grupo infinito para la suma. Por otra
parte, la expresión 2) es algebraicamente igual que la 1),
puesto que son sumas de infinitos elementos de Q. En
consecuencia, no puede ser que una es irracional, incumpliendo
con el teorema 2.1, y la otra racional, cumpliendo con dicho
teorema. De manera que algo en nuestra matemática no anda
bien, y corregir esto es el propósito de este trabajo (ver
la racionalidad de m,a1a2…an… en el
apartado 2.4.5).

2.2 La Presencia de Enteros Infinitos en Z

Veremos ahora que en el conjunto Z de enteros existen
números que poseen una cantidad infinita de cifras sin que
por ello dejen de ser enteros. En efecto, como el conjunto Z
dotado de la adición es un grupo infinito, entonces, al
sumar una cantidad infinita de elementos distintos de Z nos
aparecerá un elemento de Z que posee un número
infinito de cifras. Que existen estos enteros con infinitas
cifras lo podemos ver en el siguiente teorema.

2.2.1 Teorema 2.3 (existencia de enteros infinitos)

"Existen enteros que poseen un número infinito de
cifras".

Demostración:

Supongamos por un momento que el último de los
enteros positivos (o último natural) tiene una cantidad
finita n de cifras.

Se tendrá entonces que la expresión dada a
continuación es un entero

999…(n nueves).
(1)

Sumando en (1) el entero 1 se tiene

1000…(n+1 cifras).
(2)

La expresión (2) tiene n+1 cifras por
tener n ceros más la cifra 1.

Entonces, la expresión (2) no es un entero porque
tiene n+1 cifras.

Pero esto contradice la definición del grupo (Z,
+), pues, a un entero finito le hemos sumado un entero finito y
se obtuvo un número no entero. Como esta
contradicción provino de suponer que el último
entero positivo tiene una cantidad n finita de cifras,
se concluye que esto es falso y, por tanto, existen enteros con
infinitas cifras. (

A los enteros que tienen una cantidad infinita de cifras
se les llamará enteros infinitos y se les
denotará acá por a(i), b(i),
etc., y, ¡ojo!, pertenecen a Z.

2.2.2 ¡Un Racional Irracional!

Sabemos que Euclides demostró que los
números primos son infinitos. Esto quiere decir que
existen primos con infinitas cifras. Veamos la siguiente
razón de dos enteros a la cual llamamos,
erróneamente, irracional.

En consecuencia, se tiene que la razón de dos
números de Z, la cual es racional por definición,
es a la vez irracional, es decir, tenemos lo que se ha titulado
¡un racional irracional!

Ahora bien, sabemos que todas las semisumas que van
apareciendo en cada nueva operación son números
reales distintos.

2.2.5 Enteros Infinitos Consecutivos

Veamos ahora cómo se obtienen enteros infinitos
que difieran en una unidad. Sabemos que si se tiene

3 < 4.

Entonces colocando la misma cifra x a la derecha de cada
número se tiene

3x < 4x (por ejemplo, 37 <
47)

Cuando se hayan colocado una cantidad infinita de cifras
a la derecha de cada número se tendrá que sigue
siendo

3xyz… = a(i) <
4xyz… = b(i)

Ahora coloquémosle cifras a los mismos
números 3 y 4 pero por la izquierda. Se tendrá
entonces

3 < 4.

x3 < x4 (por ejemplo 23 <
24)

xyz3 < xyz4 (por ejemplo 9723 <
9724)

Obsérvese que siempre se tiene la cantidad de la
derecha mayor en una unidad que la de la izquierda.

Cuando se hayan colocado la misma cantidad infinita de
cifras a la izquierda de cada uno de estos números,
tendremos dos enteros infinitos que difieren en una unidad, es
decir, el de la izquierda será a(i) y el de la
derecha será a(i) + 1. Teniéndose que
siempre será

2.3 Fracciones Racionales Infinitas

Una vez que ya se sabe de la existencia de los enteros
infinitos, se puede demostrar que números como por ejemplo, poseen una
fracción racional infinita; que el logaritmo de un
racional cualquiera es racional; etc. Veamos.

2.3.1 Sobre la Fracción Infinita de

Con estas cinco operaciones de semisumas se está
listo para generalizar a n operaciones. Para ello veamos que el
denominador siempre es 2n. Al observar los coeficientes en (A),
(B), (C), (D) y (E) se tiene que la suma de ellos es siempre
igual al denominador. Esto se puede probar de la siguiente
manera.

Llamemos a(n) al coeficiente del 1 y
b(n) al coeficiente del 2.

Ahora bien, obsérvese que (7) lo podemos
escribir

Nota: Decir que n tiende a infinito es decir
que se convierte en un natural con infinitas cifras. Pero son
muchos los naturales con infinitas cifras. De manera que la
operación termina una vez que se tenga un natural infinito
cualquiera.

2.3.2 El Logaritmo Natural Como Fracción
Infinita

Ahora veremos la forma de obtener el logaritmo natural
de un número mayor que uno como fracción racional
infinita.

Si a es un número entre 0 y 1 se puede
escribir de forma (p / q) y aplicar lo ya visto. Para logaritmos
en otras bases se procede de forma análoga.

2.3.3 El Número e Como un Racional

El número e, base de los logaritmos
naturales, se puede obtener como una fracción infinita de
la siguiente manera.

Continuando de esta manera, cuando n es
suficientemente grande, se obtiene a e como una
fracción racional infinita. (

Ahora bien, cuando n es suficientemente grande,
a e lo llamamos, erróneamente,
irracional.

Ya el lector estará suficientemente claro que los
llamados números irracionales no son otra cosa que
números racionales de fracción generatriz infinita,
es decir, fracción generatriz formada por enteros con
infinitas cifras. Sin embargo, la definición de racional
nos dice que un número es racional si es la razón
de dos números de Z, sin importar el tamaño de
éstos. Pero los irracionales hasta ahora vistos son
razones de dos números de Z. Por lo tanto, amigo lector,
¿sigue pensando que nuestra matemática anda
bien?

2.4 Teoremas Que Determinan la Inexistencia de
Irracionales

Se presentarán ahora dos teoremas que son
contradictorios si se sigue aceptando que los mal llamados
irracionales existen.

2.4.1 Teorema 2.4 (Semisumas de a y b que
tienden a a)

2.4.2 Teorema 2.5 (infinitas semisumas mixtas)

Definiremos semisuma mixta a la semisuma de un racional
y un irracional y es sumamente sencillo probar que

"Toda semisuma mixta es siempre irracional".

Demostración:

Ahora, veamos que los dos teoremas anteriores son
contradictorios. Para ello, hagamos b irracional
y a racional en el teorema 2.4. Dicho teorema nos
asegura que el límite es a (racional). Pero el
teorema 2.5 nos dice que este límite no puede ser racional
porque ninguna semisuma mixta es racional. Para comprobar que
este límite no puede ser racional, analicemos las
infinitas semisumas en sentido inverso y veamos que si la
última semisuma en el infinito fuese racional se
tendría

Así, los dos teoremas son contradictorios si los
irracionales existen.

2.4.3 En el Proceso de Semisumas en [a,
b] no Quedan Huecos

Al efectuar el proceso de semisumas en [a,
b], alguien podría inferir que en dicho intervalo
quedan números reales a los cuales no se les puede llegar
con el proceso en cuestión. Demostraremos acá que
cualquiera que sea el real r([a, b],
éste se consigue con el proceso de semisumas.

2.4.4 Teorema 2.6 (1er teorema de la Inexistencia de
Irracionales)

Hemos visto una serie de contradicciones acarreadas por
la existencia de los números irracionales. Sin embargo, ya
estamos preparados para demostrar que dichos números no
existen y, por lo tanto, todos los reales son racionales.
Enunciemos entonces el primer teorema concluyente de la
inexistencia de dichos números.

"En el intervalo [1, 2] no existe ningún
número irracional".

Observe el lector que el teorema se ha enunciado para el
intervalo [1, 2]. Esto es debido a que todo irracional es de la
forma

Por (8) y nuestra hipótesis temporal, se tiene
que i es irracional y a la vez racional, lo cual es un
absurdo. Como esto provino de suponer que en el intervalo [1, 2]
existe un irracional, se concluye que esto es falso y, en
consecuencia, los irracionales no existen. (

2.4.5 Teorema 2.7 (2do teorema de la inexistencia de
irracionales)

Lo que nos demuestra que los mal llamados irracionales
no son más que números racionales de
fracción generatriz infinita (numerador y denominador
infinitos).

2.4.6 Comprobando los Teoremas 2.6 y 2.7

2.4.7 La raíz enésima en el Infinito

Cuando extraemos raíz n de un
número cuya raíz enésima no es exacta, se
tiene que éste nos da un número de decimales muy
grande y solemos decir que nunca terminamos de encontrar
decimales en dicha operación. Esto es falso, pues, si
pudiésemos trabajar infinitamente la operación,
encontraríamos que el residuo es un cero residual. Por lo
que en lo transfinito este cero residual se convierte en cero
absoluto y, por tanto, la cantidad sería exacta, es decir,
la operación termina en lo transfinito.

Un ejemplo sería

Todo lo anterior nos indica que los conjuntos Q y R,
como siempre lo afirmó Kronecker
(matemático alemán), son equivalentes, es decir, Q
= R.

("El buen Dios dio al hombre los
números Naturales; el resto ha sido obra suya".
L. Kronecker)

CAPÍTULO 3

Los ceros
residuales

3.1 Los Símbolos ( y (

El símbolo ( (lemniscata) se usa para indicar que
alguna operación continúa indefinidamente o que
algún conjunto es infinito. Acá se usará
para indicar que un número es entero infinito de la forma
a(i), b(i), etc., mientras que en los conjuntos
N y Z se usará ( para denotar el valor del último
natural. Estos conjuntos se denotarán por

3.2 Orden en los Enteros Infinitos

Los enteros infinitos de la forma n( se ordenarán
de la siguiente manera:

3.3 El Cero Absoluto y los Ceros Residuales

Sabemos que el cero absoluto, que acá estamos
denotando por 0 o por 0(abs), es el neutro para la
adición en N, Z y R.

Entonces, podemos definir cero residual como:
la cantidad que tiene como parte entera cero, infinitos ceros
después de la coma y un residuo no nulo en el
infinito. Y como toda cantidad que tenga cero como parte
entera y luego infinitos ceros después de la coma es para
nosotros un cero, al no ser el cero absoluto, lo llamaremos cero
residual; éstos no son otra cosa que los
infinitésimos con los cuales siempre se ha operado en el
cálculo.

De esta manera, es un cero residual cualquier
número finito dividido entre un entero
infinito.

3.3.1 La Respuesta a Berkeley

Cuando el Filósofo y clérigo
Irlandés G. Berkeley conoció los trabajos de Newton
y Leibniz sobre cálculo diferencial, comentaba que no
entendía cómo los grandes matemáticos de
entonces aceptaban el famoso cociente

donde el numerador y el denominador se convertían
en cero y luego aparecían nuevamente como distintos de
cero; esto para Berkeley era un absurdo. Sin embargo, nadie pudo
explicarle este hecho el cual se aceptó como uno de los
más significantes y misteriosos de la matemática.
Si Berkeley viviera hoy, tendría que exclamar:
¡Ahora lo entiendo!

La razón por la cual el cociente

puede tener su numerador y denominador iguales a cero y
a la vez diferentes de cero es la existencia de los ceros
residuales, los cuales son distintos al cero absoluto. En el
capítulo 6 se verá con más detalles todo lo
referente a este cociente, con lo que quedará clarificado
el misterio que le quitó el sueño a
Berkeley.

3.3.2 Infinitos Ceros Residuales

Aún cuando ya se visualiza que los ceros
residuales deben ser infinitos, se dará una sencilla
demostración de este hecho.

Entonces, por (1) y (3), podemos inferir que existen
infinitos ceros residuales. De manera que debe existir un cero
residual el cual será el último de todos ellos sin
ser el cero absoluto. Esto lo veremos en el siguiente
teorema.

3.3.3 Teorema 3.1 (el último cero residual)

Demostración:

Observación: El por qué no
se debe multiplicar por 2 en la igualdad (10) se aclarará
en el capítulo 5. Por otra parte, el que al último
cero residual se le anule al multiplicarlo por un real positivo
menor que 1 es lo que da origen a las indeterminaciones (ver
capítulo 4).

Sin embargo, lo llamaremos cero absoluto. Lo que nos
dice que, tal vez, Santo Tomás de Aquino tenía
razón; sólo Dios es absoluto.

3.4 Operaciones con los Ceros Residuales

Con los ceros residuales, por ser estos números
reales, se pueden efectuar las operaciones usuales de R;
adición, multiplicación, multiplicación por
un real finito, división, potenciación y
extracción de raíces.

3.4.1 Adición de Ceros Residuales

La adición de un número finito o infinito
de ceros residuales es otro cero residual.

3.4.2 Multiplicación de Ceros Residuales

La multiplicación de un número finito de
ceros residuales puede ser otro cero residual o el cero
absoluto.

3.4.4 División, Potenciación y
Radicación de Ceros Residuales

De manera que la potencia de base un cero residual
siempre es cero.

En igualdades como A = B, podemos
elevar al último cero residual y seguimos teniendo la
igualdad. Es decir

3.5 Los Enteros infinitos ka(i) y Sus Factores
Primos

En una suma al infinito como la siguiente

.

Ahora bien, con la suma anterior podemos comprobar que
los enteros infinitos son divisibles por un número real
cualquiera finito; es decir, ellos contienen a todos los
números primos finitos como factores. Veamos algunos
ejemplos.

3.6 Existencia de la Razón de Continuidad en
R

Veamos la prueba de que el conjunto R posee un
número real que representa a la menor distancia que puede
separar a dos números reales distintos, r y
r".

Ilustremos esto con dos esferitas (canicas) distintas,
Ea y Eb (figura 3.1)

Dichas esferas como conjuntos de puntos son
disjuntos.

En consecuencia, el enunciado de dicho axioma,
así como la definición de puntos consecutivos,
deberán ser de la siguiente manera:

Puntos consecutivos: Aquellos que
están separados por una distancia igual a la razón
de continuidad de los números reales. Es decir, los puntos
A y B son consecutivos si, y sólo si, están en
contacto.

Axioma de continuidad: "Entre dos puntos
distintos no consecutivos A y B, siempre existe
otro punto C distinto a ambos".

3.6.1 La Respuesta a Peirce

Lo anterior nos permite responder adecuadamente a la
pregunta del matemático Charles Sanders Peirce
(USA / 1836 – 1914) sobre qué se hace el punto A en
la circunferencia C donde se ha hecho un corte precisamente en
dicho punto A (figura 3.2).

En la figura 3.2 se tiene la circunferencia C con el
corte en A y la circunferencia Cc donde se ha hecho la
separación en el corte. El punto A ha quedado en el
segmento que sirve de corte, y en los extremos del corte
están los puntos B y C los cuales estaban en contacto con
A; uno a cada lado. Por los tres puntos A, B y C, siempre pasa un
plano. Luego, el punto A está en dicho plano (recuerde, un
punto es nada).

CAPÍTULO 4

El misterio del
continuo

4.1 Aclarando el Misterio del Continuo

Al no darle cabida en la matemática a los enteros
infinitos y, por consiguiente, a los ceros residuales, hace
imposible darle una respuesta matemática a la siguiente
paradoja:

Como esta contradicción provino de suponer que
después de r está otro número real
distinto, se concluye que no existe tal número y, por lo
tanto, el conjunto R consta de un único
elemento.

Ningún matemático en el mundo ha sido
capaz de dar una respuesta matemática a esta paradoja, por
tanto, se debe aceptar que estas son las cosas del continuo que
no tienen explicación. Sin embargo, al darle cabida en
nuestra matemática a los enteros infinitos y, por ende, a
los ceros residuales, sí se le puede dar una respuesta
satisfactoria a dicha paradoja. Puesto que para que exista la
continuidad de los números reales, tiene que suceder,
forzosamente, que inmediatamente después de un
número real r existe otro real r"
distinto de r, al cual se le llamará el
siguiente o consecutivo de r, tal que r"
– r = rc, siendo rc el menor número real no
nulo que se llamará razón de
continuidad (sección 3.6).

4.1.1 El Cero Absoluto no es Razón de
Continuidad.

Otro hecho que se acepta sin demostración
convincente, al no conocer la existencia de los ceros residuales,
es el siguiente: al sumarle una cantidad infinita de ceros a un
número real cualquiera, r, da como resultado el
número real que sigue. Se demostrará acá que
esto es falso.

Como la contradicción anterior provino de aceptar
que la razón de continuidad es consecuencia de sumar
infinitos ceros, se concluye que el cero absoluto, sumado una
cantidad infinita de veces, no es razón de
continuidad.(

4.1.2 Los Números Transfinitos en las Fracciones
Reales

Antes de dar las propiedades que debe cumplir un
número para ser la razón de continuidad, recordemos
(apartado 2.4.5) que los transfinitos colaboran con el conjunto Z
para formar a los números reales. Esto se hará
formando todas las fracciones del intervalo (0, 1] que tienen
como numerador a la unidad y como denominador un natural; estas
son

Así, hemos comprobado, nuevamente, que los
enteros transfinitos forman fracciones reales.

4.1.3 La Razón del Continuo (rc)

A estas alturas, ya el lector sabrá cual es el
número real al cual se le pueda llamar razón de
continuidad. Acá vamos a enunciar las propiedades que debe
cumplir dicho número para ser candidato a razón del
continuo.

Nos queda por descifrar el porqué la razón
del continuo se forma con potencia de base 2 y no con potencia de
base otro natural diferente de 2. La razón es la
siguiente:

Si [a, b] es un intervalo de longitud
la unidad, sólo las semisumas de a y b
caen dentro del intervalo, sea cual sea éste. Pero al
aplicar tercios, cuartos, quintos, etc., de sumas de a y
b, éstas no caen en el intervalo (a,
b) si éste es diferente al intervalo [0, 1]. Esto
se puede probar de la siguiente manera.

Todo lo anterior nos revela el porqué la base de
la razón de continuidad es el número 2 y no otro
natural. Sin embargo, esto no quiere decir que si dividimos al
intervalo dado en n partes iguales, luego a estas
n partes las dividimos nuevamente en n partes
iguales, y así sucesivamente, no encontraremos a dicha
razón de continuidad.

Es decir, nunca sabremos dónde el proceso se
termina.

De esta manera queda aclarado el misterio del
continuo.

4.2 La Definición Correcta de Q (= R)

Ya sabemos que los números transfinitos forman
fracciones reales. Ahora bien, no todos los transfinitos nos
permiten formar a dichas fracciones. En consecuencia, debemos
deducir cuáles son los transfinitos que nos permiten este
hecho.

4.2.1 El Conjunto T0

4.2.2 Construyendo Números Reales

La construcción de los reales se hará en
la misma forma que los racionales, por clases de equivalencias,
pues ya se vio que Q = R.

4.2.3 Deducción del Cardinal de R

En este momento estamos listos para calcular el cardinal
de R en función de (0. Esto se logra de la siguiente
manera:

Primero se determina la cantidad de números
reales que existen en el intervalo (0,1].

Nótese que en el conjunto [0,1] hay fracciones
que el humano no puede simplificar pero ellas se simplifican por
sí mismas. Éstas se denominarán
auto-simplificables. Por lo tanto, toda
fracción es
el resultado de la auto-simplificación de una
fracción transfinita.

Ahora contamos los intervalos de longitud unidad que
existen desde 0 hasta (0 excluyendo de cada uno de ellos el
extremo final.

Estos son

Sin embargo, aunque este gran genio de las
matemáticas haya tenido este pequeño error, fue el
único de entonces que percibió con claridad lo
relacionado con el continuo. Y si acá se ha logrado
determinar toda la verdad, ha sido gracias a su
genialidad.

4.3 Validando la Clausura

Pero como estos números son infinitamente grandes
y sólo existen en la abstracción matemática.
Entonces, al no poder el humano efectuar una suma que exceda a
dichos números, se da por sentado que la clausura siempre
es válida en N, Z y R.

4.3.1 El Paso al Límite con ( y (

En las operaciones en las cuales se necesite tomar
límite al infinito, es necesario tener presente las
siguientes consideraciones:

4.4 La División Por Cero y las
Indeterminaciones

4.4.1 La División por Cero

En lo adelante se denotará el cero absoluto como
0 y los residuales por 0(res).

Así, se entenderá que la división
por cero es un número transfinito y no tiene existencia
como real.

4.4.2 La Indeterminación

4.4.6 La Indeterminación (0

Para deducir por qué la expresión (0 es
una indeterminación se procede de la siguiente
manera:

Sea k un real positivo cualquiera diferente a
la unidad. Entonces

4.4.7 La Indeterminación 00

El lector podrá comprobar que si el cero de la
base es absoluto y el exponente residual, dicha expresión
es indeterminación. Si es al contrario, dicha
expresión es 1. Como en general no sabemos cuándo
estos ceros son absolutos o residuales, entonces 00 es siempre
una indeterminación.

4.4.8 La Indeterminación 1(

Para comprobar que la expresión 1( es
indeterminación, suponemos a la unidad como cualquier real
no nulo elevado al exponente cero. Entonces se tiene

4.4.9 La Indeterminación ( -(

4.4.10 Transformación de Indeterminaciones

CAPÍTULO 5

La razón del
continuo en la teoría de límites

5.1 Propiedades de la Razón del Continuo

Veremos ahora cuán útil es la referida
razón en la teoría de límites. Para ello,
primero deduciremos algunas de las propiedades más
importantes de dicha razón de continuidad.

5.1.1 Múltiplos y Divisores de rc

Todo múltiplo de rc es otro cero residual de
mayor magnitud que éste; donde se ha llamado magnitud de
un cero residual al grado de cercanía al cero absoluto, es
decir, mientras más cerca esté del cero absoluto,
menor será su magnitud. En efecto, sea n
cualquier natural mayor que la unidad.

Entonces se tiene

Lo anterior se ha deducido para múltiplos
positivos. Esto se debe a que lo que sucede para los positivos
también sucede para los negativos.

5.1.3 Igualdades que Contienen a rc

De lo anterior se tiene que:

I1) "La ley de cancelación por rc,
al igual que por 0, no es aplicable". Esto quiere decir que no
debemos multiplicar a una igualdad por el inverso de rc si dicha
razón está en ambos miembros como
factor.

Otra contradicción que surge al operar con rc es
la siguiente:

Si en la igualdad k rc = 0, con k ( 0,
se multiplica por ,
se obtiene rc = 0, lo cual es falso. Esto se debe a que rc es el
último cero residual y, por tanto, opera como el cero
absoluto sin serlo. Y al ser multiplicado por cualquier real cuyo
valor absoluto sea menor que la unidad se convierte en cero. Una
vez anulado, es imposible revertir la
operación.

Por lo anterior se tiene:

Con los mismos a, b, n, m anteriores y
suponiendo que

De las dos operaciones anteriores se tiene la siguiente
propiedad:

I5) "En cocientes de numerador y denominador con
más de un término cada uno y alguno de estos
términos con rc como factor, no se debe multiplicar a
ambos (numerador y denominador) por rc".

5.1.4 Desigualdades que Contienen a rc

5.1.5 La Cancelación por 1/rc

Ya se vio que la ley de cancelación no es
aplicable con rc. Ahora veremos que con el inverso de dicha
razón sí es aplicable dicha ley.

Sea b un número real. Sea a
real no infinito y tal que

5.1.6 La Multiplicación por (1 /
rc)

Una igualdad cualquiera se puede multiplicar por el
inverso de rc. Para ver que esto es correcto, sean A y
B dos reales no nulos cualesquiera tal que

5.1.9 Los Valores de Sin(rc), Cos(rc) y Tan(rc)

Ahora, aplicando la identidad trigonométrica
fundamental, se obtiene que

5.1.11

5.1.12 Sumatoria de n partes de
rc

Si se desea sumar n partes de rc,
primero se deben juntar todas las n partes y luego
aplicar, si es necesario, lo visto en 4.2.2. Veamos.

De (2) y (3) se tiene que, en (1), se debe primero sumar
todas las partes y luego anular, si es necesario (ver
también Nota 2 de 5.2.12).

5.1.13 Teorema 5.1 (del cociente de funciones que se
anulan)

Demostración:

Se demostrará, en primer lugar, que para toda
función real f(x) continua en un punto
c, si f(c) = 0, entonces f(c + rc) es
también 0 (o un cero residual infinitamente cercano a
0).

En efecto, sea

Ahora, sean f y g funciones reales
continuas en c, tales que se anulan en c
y

5.2 Aplicación de rc al Cálculo de
Límites de Indeterminaciones

Una vez conocidas las propiedades de rc, y
apoyados en el teorema 5.1, así como en las equivalencias
de las indeterminaciones, se pueden calcular los límites
de algunas de estas indeterminaciones en forma muy sencilla, sin
necesidad de recurrir al teorema de L"hopital; para el cual se
necesita de la derivación.

Esto no quiere decir que todos los límites de
cocientes que originan alguna indeterminación se pueden
calcular aplicando el teorema 5.1. Algunas veces dicho teorema,
lejos de simplificar el cálculo, lo complicará. En
este caso, será el método de L"hopital el
más apropiado para resolver el problema en
cuestión. Sin embargo, en aquellos casos donde se puedan
aplicar ambos métodos es, la mayoría de las veces,
preferible el del teorema 5.1.

5.2.1 Ejercicio 1 con Indeterminación

5.2.3 Ejercicio 3 con Indeterminación (.0

5.2.4 Ejercicio 4 con Indeterminación (.0

Calcular

5.2.6 Ejercicio 6 con Indeterminación 00

Calcular

5.2.9 Ejercicio 9 con Indeterminación ( – (

Calcular

5.2.10 Ejercicio 10 con Indeterminación ( –
(

Calcular

5.2.12 Ejercicio 12 con Indeterminación 0/0 y

Calcular

Nota 1: No a todas las funciones dentro del
radical será sencillo hallarle la sustitución
adecuada. En esos casos es mejor aplicar L"hopital. Por otra
parte, el hecho de no tomar el siguiente de 0 en el ejercicio 11
es debido a que con dicho número sigue existiendo la
indeterminación, pues, la raíz de 9 + rc es el
mismo 3 y quedaría la indeterminación 0 / rc. Como
el número que quita la indeterminación es la
contraimagen del siguiente de 3, se usó dicho
número. De la misma manera se hizo en el ejercicio 12.
Finalmente, si en estos últimos ejercicios
hubiésemos probado el real anterior a 3 (3 – rc) y
anterior a 4 (4 – rc), hubiésemos obtenido igual
resultado (compruébelo).

Nota 2: Al resolver le ecuación 3x + 1 =
16 + 8rc, nos dio como resultado x = (8/3)rc. Este resultado
debemos tomarlo tal cual como nos da, es decir, sin descomponerlo
en la suma 2rc + (2/3)rc = 2rc, porque debemos multiplicarlo por
3. Esto nos indica que números como arc, a >
1, los podemos dividir por un b < a y
mantenerlos como (a/b)rc si necesitamos operar
con ellos. Por ejemplo, si tenemos 8rc y lo dividimos en tres
partes iguales, tendremos (8/3)rc. Al sumarle (10/3)rc, se
obtendrá 6rc. Es decir, sólo debemos descomponerlos
en c + (d/b)rc cuando necesitemos
representarlos en los ejes cartesianos o cuando haya finalizado
la operación.

CAPÍTULO 6

La razón del
continuo en la derivación

6.1 La Razón de Continuidad en las
Funciones Reales

La derivada de una función real, f(x),
si existe, es otra función real que se obtiene de hallar
la razón entre el incremento de la función
f(x) y el incremento de x cada vez que ésta es
incrementada en la mínima cantidad.

Donde f"(x) es la derivada de la función
f en el punto x. Para la demostración de este
hecho se hará uso de las propiedades de rc vistas
en el capítulo anterior.

Sabemos que la derivada es la razón entre el
incremento de f y el mínimo incremento de x. El
mínimo incremento de x es

6.1.2 La Derivada de f(x) a Ambos Lados de
x

La derivada, si existe, de f en un punto dado
de su dominio, que no sean los extremos, se calcula tanto con el
real posterior como con el anterior a x.

6.2 Algunas Fórmulas para Derivadas

Se mostrará ahora cómo calcular las
derivadas de las funciones que son el resultado de las
operaciones entre funciones elementales, tales como las
funciones: suma, producto, recíproca, cociente y
compuesta. Esto se hará apoyado en las propiedades de
rc ya vistas, sin necesidad de hacer un estudio
detallado de la teoría de límites; como sucede en
el cálculo tradicional de una variable. Esto alivia al
cálculo diferencial de la carga excesiva de
rigor.

6.2.1 La Derivada de una Suma

Sean f y g dos funciones derivables en
un intervalo (a, b). Entonces, la derivada de
la suma (f + g)(x) en (a, b)
viene dada por

6.2.2 La Derivada de un Producto

Sean f y g dos funciones derivables en
un intervalo (a, b). Entonces, la derivada de
la función producto (f(g)(x) en
(a, b) viene dada por

6.2.3 La Derivada de un Recíproco

6.2.4 La Derivada de un Cociente

6.2.5 La Derivada de una Función Compuesta

6.3 Derivadas de Algunas Funciones Elementales

Ahora se está listo para calcular la derivada de
algunas funciones elementales. Esto se hará apoyado en las
propiedades de rc y en la sección anterior.

6.3.1 Derivada de una Constante

Para la derivada de la potencia de exponente racional se
necesita la derivada de un logaritmo junto con la derivada de una
compuesta.

6.3.4 Derivada del Logaritmo de Base A

6.3.6 Derivada de sin(x) y cos(x)

6.3.7 Uso Correcto de rc en la
Derivación

Si en (1) anulamos antes de simplificar, entonces,
f"(x) = 2x. Lo que es incorrecto. En consecuencia, se
deben usar correctamente las fórmulas para derivar
(recordar 5.1.12).

6.4 Máximos y Mínimos

6.4.2 Máximos y Mínimos si f"(x) no
Existe

Cuando f"(x) no existe, es por dos
razones:

6.4.3 Funciones no Constantes que se Anulan en Infinitos
Puntos

6.5 El Teorema de L"hopital

En el capítulo anterior se vio cómo
calcular algunas indeterminaciones aplicando el teorema 5.1. Sin
embargo, en algunas de estas indeterminaciones puede suceder que
dicho teorema, lejos de simplificar, complique y, en ese caso, se
debe utilizar el teorema de L"hopital. Ahora bien, para la
demostración de dicho teorema, en la forma tradicional del
cálculo diferencial, se necesita conocer el teorema de
Rolle y el del valor medio de Cauchy. No obstante, acá se
demostrará dicho teorema apoyados en el teorema 5.1 y en
la propiedad de la imagen de f(x + rc) de las funciones
derivables.

6.5.1 Teorema de L"hopital para la Indeterminación

6.5.2 Teorema de L"hopital para la Indeterminación

Sean f y g dos funciones derivables en
un punto c de su dominio común y tales
que

Al aplicar límite en (3) se obtiene, por ser F y
G derivables en c

6.6 Sobre Derivadas de Orden Superior

Ya sabemos cómo obtener la derivada f"
de f. A esta derivada se le llama derivada de f
de primer orden. Ahora bien, puede suceder que f" sea
también función de x y derivable en algún
intervalo (a, b). En consecuencia,
[f"(x)]" existe y se le llama segunda derivada o
derivada de orden 2. Siendo esto así, veamos algunas
consecuencias.

6.6.1 Cociente de Cocientes con rc

6.6.2 f""(x) Cuando f"(x) es Cero

Este hecho nos permite utilizar la segunda derivada de
f, si existe, para estudiar sus puntos
críticos.

Nota: Para saber cuál es la
notación apropiada para f"(x0) en la determinación
de la ecuación de la recta tangente a la curva dada en el
punto x0, se procede de la siguiente manera, sabiendo que rc es
incremento positivo. La ecuación de la recta tangente en
x0 es:

6.6.3 Los Puntos Críticos de f y la
Derivada f""

De igual forma se prueba la condición de
mínimo.

Al igual que en el caso unidimensional, la existencia de
las parciales (A) y (B) implica la continuidad en cada variable
separadamente.

6.7.2 Igualdad de las Derivadas Mixtas

Se mostrará ahora lo sencillo que es demostrar el
teorema sobre "la igualdad de las parciales mixtas".

6.7.3 Diferenciabilidad Total Implica Continuidad

6.8 La Derivación Compleja con rc

Con la razón de continuidad también es
sencillo derivar funciones de variable compleja. La
aplicación es idéntica al caso unidimensional,
sólo que acá se usa también una razón
compleja para la variable y en la obtención de
las ecuaciones de Cauchy-Rieman.

6.8.1 La Derivada de f(z)

6.8.2 Ecuaciones de Cauchy-Rieman

6.9 Analogías Entre dx y
rc

Se concluye este capítulo haciendo una
comparación entre el rc deducido en este trabajo
y el dx utilizado tradicionalmente en nuestro
cálculo diferencial.

Observe el lector la secuencia seguida en el
cálculo tradicional:

Por todo lo anterior, ¿cuál es la
diferencia entre el cálculo diferencial tradicional y el
cálculo diferencial presentado en este trabajo, si se
tiene que dx = rc? Ninguna; pero en esta nueva
forma de presentar el cálculo diferencial de una sola
variable existen muchas ventajas con respecto a la
tradicional.

CAPÍTULO 7

Marcando
errores

7.1 Demostraciones Erróneas

En esta sección se presentarán algunas
demostraciones erróneas. Estos errores han pasado
desapercibidos durante todo este tiempo. La causa de ello es que
los matemáticos no son (casi nunca) dados a analizar
aquellos detalles que aparentemente son demasiado sencillos,
prefiriendo analizar los detalles que les parecen más
complejos. En el presente estudio a estas demostraciones se
darán a conocer los simples detalles donde hubo el error
de cada una.

7.1.1 La Demostración de Irracionalidad de (
es Errónea

De tal manera que la expresión (2 an fn(x)
sen((x) no permanece entre 0 y 1 en todo el intervalo [0,1] si
a ( 4n. Por consiguiente, no es aplicable la propiedad
de las integrales referidas anteriormente y, por ende, la
demostración es errónea.

El error en la demostración anterior ya se
había perpetrado al demostrarse que

7.1.2 La Demostración de Irracionalidad de
e es Errónea

Otra demostración acá cuestionada es la de
la irracionalidad del número e. Veamos por
qué dicha demostración es
errónea.

La demostración es como sigue:

De todo lo anterior se desprende que la
demostración en cuestión es
errónea.

7.2 Correcciones a la Teoría de Funciones

Una teoría como la de funciones reales con tan
variadas aplicaciones en la vida diaria no debe contener
absurdos. Por tanto, se presenta en esta sección una forma
de corregir algunos inconvenientes que se presentan en dicha
teoría a consecuencia de la razón del
continuo.

Por todo lo anterior, el criterio de inyectividad que
acá se alude es aplicable sólo cuando el dominio no
es un conjunto de números reales. Cuando dicho dominio sea
R o un subconjunto de éste se debe aplicar el criterio de
la derivada el cual veremos enseguida.

7.2.2 El Criterio de Inyectividad de la Derivada

7.2.3 Un Criterio de Inyectividad y Sobreyectividad a la
Vez

Ya vimos que para toda función f, si
(f"(c)(< 1, entonces f no es
inyectiva en los alrededores de c. Sin embargo, en este
criterio se necesita calcular la derivada de f y
resolver una inecuación (o un sistema de inecuaciones) que
en algunos casos resultará muy laborioso. Veremos ahora un
criterio que nos permite inferir la inyectividad y la
sobreyectividad a la vez sin necesidad de efectuar
cálculos complicados; tan sólo se necesita darle
dos valores distintos a la variable x y obtener dos
valores de f(x). Este criterio, que acá se
denominará "IN-SO", se fundamenta en los teoremas del
capítulo 1.

Criterio de Inyectividad y Sobreyectividad
"IN-SO"

7.2.4 La Sobreyectividad Implica Continuidad en el
Rango

Cuando se estudia la continuidad de una función
f en un intervalo [a, b], se dice que
si ésta es continua en [a, b] todos los
valores comprendidos entre f(a) y
f(b) son imágenes de algún
x((a, b) . Veamos acá que esto es
erróneo cuando f es inyectiva y no sobreyectiva,
revisando el ejemplo dado en el apartado anterior.

El rango para dicho intervalo es [0; 2,4] y, por el
criterio IN-SO, f es inyectiva y no sobreyectiva en [1;
1,5]. Esto nos indica que en [0; 2,4] existen reales que no son
imagen de ningún real del intervalo [1; 1,5]. En
consecuencia, en el gráfico de f perteneciente a
este intervalo deberían existir vacíos
(discontinuidades) ocasionadas por la discontinuidad en el rango.
Por todo lo anterior, la sobreyectividad es la que implica la
continuidad, y por tanto, un trazado continuo en la
gráfica; no así la inyectividad sin
sobreyectividad. Sin embargo, el humano nunca apreciará
los vacíos o discontinuidades que deberían existir
en el gráfico de una función, cuando ésta es
inyectiva y no sobreyectiva (in-no-so) en algún intervalo.
Esto, por la propiedad de dilatación de los puntos a la
cual nos referimos en el capítulo 1.

7.2.5 La Sobreyectividad y la Continuidad Uniforme

Si llamamos función continua en [a,
b] a cualquier función que esté definida
en dicho intervalo sin importarnos si es in-no-so o so-no-in,
entonces, podemos demostrar que cuando f es inyectiva y
no sobreyectiva (in-no-so) se da lo que se ha llamado continuidad
no uniforme. Es decir, si (f"(x)(>1 para todo x en
algún intervalo (a, b), entonces
f no es uniformemente continua en dicho intervalo. Esto
lo veremos en el siguiente teorema.

Teorema sobre la continuidad
uniforme:

Nótese que, por el teorema anterior, la
función sen(x) es uniformemente continua en todo R, ya que
[sen(x)]" = cos(x) y (cos(x)(( 1 para todo x de R. Igual sucede
con la función cos(x).

7.2.6 ¿Porqué es Correcto el Cálculo
Integral?

Según la definición de integrabilidad, una
función f es integrable en [a,
b] si es continua en todo el intervalo. Esto exige que
la gráfica de f no tenga huecos o interrupciones.
Siendo esto así, ¿por qué la integrabilidad
funciona bien si en [a, b] f puede
estar bien definida y, sin embargo, tener huecos o vacíos
en el trazado de su gráfica, según lo visto en el
apartado 7.2.4? La respuesta a esta interrogante es:

1) La cantidad finita o infinita de huecos o
vacíos que ocasionan la discontinuidad en el rango no son
notados por el ojo humano porque cada real es un punto, y
éstos no tienen dimensión.

2) En todo el trazado de la gráfica están
representados todos los puntos del dominio, y si la longitud del
trazado es mayor que la longitud del intervalo en
cuestión, es porque cada punto tiene la propiedad
de dilatación a la cual ya nos referimos en el
capítulo 1.

3) Lo que exige la integrabilidad es que f
esté definida en todo el intervalo a integrar; en
consecuencia, no se necesita que f sea uniformemente
continua para su integración en un intervalo donde
esté bien definida. Por consiguiente, f
será siempre integrable siendo inyectiva y no sobreyectiva
o viceversa.

Las tres razones anteriores permiten que el hombre pueda
aplicar el cálculo integral a cualquier curva real sin
ningún inconveniente, aplicando las reglas ya establecidas
de continuidad, y obteniendo sus resultados correctos.

7.3 Dilatación y Contracción de los Puntos en
Funciones Reales

En la sección anterior se vio que la
dilatación y contracción de los puntos originan
algunos inconvenientes en el cálculo con funciones reales.
Acá se explicará con más detalles estos
inconvenientes y cómo ellos mismos se superan sin que nos
demos cuenta de nada.

7.3.1 Ubicación de los f(x) en el Eje
Y

La propiedad de contracción o dilatación
de los puntos nos ocasiona algunas dificultades cuando operamos
con dos o más reales infinitamente próximos. Veamos
esto con un ejemplo.

Lo anterior tiene su lógica, pues, cada vez que
los puntos de un intervalo menor se corresponden con los puntos
de un intervalo mayor (o viceversa), éstos se ven
obligados a dilatarse (contraerse) y, por tanto, esto
también le sucede a los números que dichos puntos
representan.

Todo esto nos muestra las series de dificultades que
aparecen al operar con las imágenes de dos reales que
estén infinitamente próximos. Dificultades que los
mismos números superan sin que nos percatemos de nada,
gracias a la propiedad ya mencionada.

7.3.2 ¿Porqué la Biyectividad en Funciones
Reales?

Ya vimos que cuando una función es in-no-so,
existen números reales en el rango que no son
imágenes de ningún real del dominio. Por lo tanto,
no debería existir la función inversa para una tal
función. Sin embargo, cuando para cada real
f(x)(f(A), f(x) tiene una sola
contraimagen, existe la función inversa f –1 en
todo f([a, b]), ya que cualquiera que
sea el número real k que esté entre
f(a) y f(b), y para el cual
no existe x([a, b] tal que f(x) =
k, no es tomado en cuenta al aplicar la función
inversa a cada uno de los reales de
f([a,b]). Ahora bien, cuando el
intervalo [f(a),f(b)] es
trasladado al eje X, también en este eje existe k
([f(a), f(b)]. En
consecuencia, f -1 tendrá que darle una imagen a
k. Por lo tanto, f -1(k) será
igual a f -1(c), siendo c y k
dos reales que están infinitamente cerca. Así, si
f es in-no-so en [a, b], entonces,
f -1 será so-no-in en el rango
[f(a), f(b)].

Lo anterior nos indica que la biyectividad en el
continuo no es una biyectividad tal como en el caso de conjuntos
discretos. Pues, ha quedado claro que no puede existir una
función, diferente a la función afín, para
la cual exista una biyección algebraica, es decir, una
biyección donde cada elemento del codominio se corresponda
con uno, y sólo uno, del dominio. Sin embargo, existen
dichas biyecciones, o por lo menos así lo notan nuestros
sentidos, gracias a la dilatación o contracción de
los puntos.

7.4 El Teorema del Valor Intermedio y su
Demostración

El teorema del valor intermedio nos asegura que si
f es continua en [a, b] y d
es un número que está entre f(a)
y f(b), entonces, existe x([a,
b] tal que f(x) = d. Esto es verdad,
gracias a la dilatación o contracción de los
puntos, pero las demostraciones de dicho teorema son
erróneas. Veamos por qué.

7.4.1 Primera Demostración Errónea

Una de las demostraciones que dan algunos autores es la
siguiente:

Esta es la belleza intrínseca que poseen los
reales; belleza que es debida a la propiedad de
contracción y dilatación de los puntos unido a la
razón del continuo.

7.4.2 Segunda Demostración Errónea

Otros autores demuestran al teorema en cuestión
de la siguiente manera:

De lo anterior se tiene que al tratar de demostrar el
teorema del valor intermedio utilizando a Bolzano, el cual es una
consecuencia del valor intermedio, le tendemos una trampa a la
matemática igual que al demostrar la irracionalidad de
e.

7.4.3 ¿Por qué es Verdadero el Teorema del
Valor Intermedio?

Ya hemos visto que las demostraciones del teorema del
valor intermedio son erróneas. Sin embargo, dicho teorema
es verdadero. Y esta verdad es gracias a la dilatación o
contracción de los puntos y a la propiedad de la
razón del continuo de actuar como el cero absoluto en los
casos en que existe dilatación o contracción.
Expliquemos esto bien, razonadamente.

7.4.4 Cómo Demostrar el Teorema

Veamos cómo demostrar el teorema del valor
intermedio.

De esta manera, la dilatación o
contracción de los puntos, así como la propiedad de
rc de comportarse como el cero absoluto cuando es
necesario, permite la existencia de la biyectividad en aquellas
funciones reales diferentes a la función afín
f(x) = ±x + c.

Todo lo anterior nos indica que la teoría de
funciones se comporta de una forma bastante distinta en los
conjuntos continuos que en los conjuntos discretos. Puesto que en
estos conjuntos discretos, la condición suficiente y
necesaria para que exista biyectividad es que ellos tengan igual
cardinalidad, mientras que en los continuos no ocurre así;
como se ha puesto de manifiesto en este
capítulo.

7.4.5 Funciones Discretas y Continuas

Para internalizar mejor lo que sucede con las funciones
entre conjuntos discretos y entre el continuo, las cuales
acá llamaremos funciones discretas y
continuas respectivamente,

De todo lo anterior se tiene que cuando nos quitamos el
velo de nuestros ojos y perdemos el pánico que le tenemos
al infinito, dándole símbolos a nuestro
último natural, así como a nuestro último
real, descubrimos el gran misterio que se oculta en los
números reales. Tal vez esta fue la gran dificultad con la
cual tropezó Cantor al tratar de demostrar la inexistente
verdad de su hipótesis del continuo.

Así, queda claro que el trazado de
gráficas de funciones reales es ininterrumpido gracias a
la propiedad ya aludida de los puntos. También queda
suficientemente claro que todo proceso continuo no es más
que la refinación extrema de un proceso
discreto.

7.4.6 A manera de Conclusión

Todo lo visto hasta ahora nos obliga a concluir lo
siguiente:

1) El conjunto R a pesar de ser ordenado, contiene
dentro de él al caos (operaciones con reales infinitamente
próximos. Números distintos que se ubican en la
misma posición).

2) Del caos que producen los reales infinitamente cerca
se deriva un ordenamiento maravilloso

3) Un proceso continuo no es más que la
refinación al extremo de un proceso discreto. He
allí la teoría de los fractales, donde algunos
procesos que comienzan siendo discretos se convierten en
continuos al hacerlos indefinidamente.

4) Ahora sabemos que si dos objetos están en
contacto, entonces están separados por la mínima
distancia (rc), y no por una distancia igual a cero; como se
pensaba antes.

5) Tal vez conocer la razón del continuo sirva de
soporte en el estudio de algunas otras teorías
matemáticas.

6) Estudiar el cálculo usando la razón de
continuidad no perjudica dicha teoría sino, todo lo
contrario, la embellece y la agiliza.

7) Si alguien se preguntara ¿cómo es
posible que exista la razón de continuidad siendo R
compacto? La respuesta sería: la razón de
continuidad, rc, es para R como la unidad imaginaria,
i, es para C. Es decir, dicha razón de
continuidad existe sólo en la imaginación del
matemático; así como la unidad imaginaria. Y la
razón lógica de la existencia de rc e
i es que el punto geométrico, génesis del
universo, existe sólo en la imaginación del hombre,
pues, dicho punto no tiene existencia real.

CAPÍTULO 8

Fin de las
geometrías no euclidianas

8.1 Unicidad de la Recta que Pasa por Dos Puntos

Se presentará en esta primera sección de
este capítulo la demostración del postulado de
unicidad de la recta que pasa por dos puntos
distintos.

Se supone conocido por el lector todo lo relacionado con
rectas, puntos, planos y espacio, así como puntos
colineales y coplanarios.

8.1.1 Postulados de Incidencia

Los primeros cuatro postulados que dan nacimiento a toda
geometría que trate de rectas y planos en el espacio son
los siguientes:

Postulado 1 (de los dos puntos
distintos)

Por dos puntos distintos cualesquiera pasa una
recta.

Obsérvese que acá no se está
postulando la unicidad de dicha recta. Esto es porque la unicidad
es demostrable a partir de los demás postulados de
incidencia.

Postulado 2 (de la cantidad mínima de
puntos)

a) Toda recta contiene al menos dos puntos
distintos.

b) El plano contiene al menos tres puntos distintos no
colineales.

c) El espacio contiene al menos cuatro puntos distintos
no coplanarios.

Postulado 3 (de los tres puntos
distintos)

Para cada tres puntos distintos existe al menos un plano
que los contiene.

Postulado 4 (de la recta en el plano)

Toda recta que tiene dos de sus puntos en un plano,
está contenida totalmente en dicho plano.

Para la demostración de unicidad de la recta que
pasa por dos puntos distintos sólo se necesitan los
siguientes dos teoremas.

8.1.2 Teorema 8.1 (el plano que contiene a r y no
a s)

Si dos rectas se intersecan en algún punto (por
postulado 1 y postulado 2 parte b, lo hacen), entonces existe al
menos un plano que contiene a una pero no a la otra.

Demostración:

Ahora se está en condiciones de demostrar que si
dos rectas se intersecan en algún punto, éste es
único.

8.1.3 Teorema 8.2 (intersección de dos
rectas)

Si dos rectas se intersecan en algún punto,
éste es único.

Demostración:

Sean r y s dos rectas distintas y
supongamos que se intersecan en algún punto A.
Entonces

Ahora, como corolario de este teorema 8.2, se
tiene

Corolario 8.2.1

La recta que pasa por dos puntos distintos es
única.

En efecto, si por dos puntos distintos pasaran dos
rectas distintas, éstas se estarían intersecando en
dos puntos distintos, lo que contradiría al teorema
anterior. Así, la recta que pasa por dos puntos distintos
es única. (

8.1.4 Consecuencias del Teorema 8.2

La consecuencia directa del teorema 8.2 es la
desaparición de la geometría elíptica como
tal; pasando a ser sólo el estudio de las
geodésicas de una esfera. Veamos el
porqué.

El plano para la geometría elíptica es la
esfera y en ésta los grandes círculos son las
rectas. Según los postulados de esta geometría, por
dos puntos distintos pasa al menos una recta. Además,
existen pares de puntos en el plano de dicha geometría por
los cuales pasa más de una recta. Estos son los puntos
conocidos como antípodas. Sin embargo, en los cinco
postulados que dan nacimiento a dicha geometría,
están implícitos los cuatro postulados de
incidencia; pues sin éstos, es imposible el nacimiento de
geometría alguna.

Ahora bien, al demostrarse que por dos puntos distintos
no puede pasar más de una recta, entonces esta
geometría no es una geometría de líneas
rectas, sino la aplicación de la geometría
euclidiana, con algunas restricciones, al estudio de las
geodésicas de la esfera; que es como se le debe
tener.

De esta manera, queda esclarecido el porqué
Beltrami y Klein dedujeron que
las geometrías no euclidianas eran consistentes si la
euclidiana lo era, puesto que dichas geometrías (las no
euclidianas) no son más que aplicaciones de
aquella.

8.2 El Teorema de las Paralelas

El teorema de las paralelas o quinto postulado de
Euclides en su forma de Playfair (físico y
matemático escocés) se enuncia
así:

"Por un punto exterior a una recta r pasa una
única paralela a r".

En la enunciación (sin demostración) de
los teoremas a continuación, se supone que el lector
conoce todo lo concerniente a paralelismo y perpendicularidad,
así como la congruencia de triángulos.

Para el teorema de las paralelas se necesitan los
siguientes teoremas preliminares.

8.2.1 Teorema 8.3 (perpendicular no común a dos
rectas)

Las demostraciones de todos los teoremas que se
enunciarán acá están detalladas en el libro
"Los fundamentos de la geometría"
(Liberación de la geometría del postulado de las
paralelas, registro SAPI # 4923) del autor.

8.2.2 Teorema 8.4 (rectas sin perpendicular
común)

"Sean r, s y t rectas en un
plano tales que s es secante a r y a t
con s perpendicular a t en B0 pero no
perpendicular a r en el punto de corte A0;
además, toda perpendicular a r corta a t
y toda perpendicular a t corta a r. Entonces,
no existe ninguna recta que sea perpendicular tanto a t
como a r".

La figura 8.2 ilustra la situación
general.

Ahora, se definen paralelas cap a dos
rectas en un plano paralelas y cortadas ambas perpendicularmente
por una secante s. Es fácil determinar que, en
dos de tales rectas, cada perpendicular a una corta a la otra. En
consecuencia, es fácil probar el siguiente
teorema.

8.2.3 Teorema 8.5 (la perpendicular común)

"En un plano, si r y t son paralelas
cap y una recta u es perpendicular a una de
ellas, también es perpendicular a la otra".

Este teorema fue el que muchos matemáticos del
pasado trataron de probar inútilmente. De haber podido
demostrar este teorema, hubiesen demostrado el postulado de las
paralelas. La figura 8.3 ilustra la situación
general.

En la figura 8.3 se tiene que s corta
perpendicularmente a r y t. Por lo tanto,
r y t son paralelas cap. La recta
u es perpendicular a t en B. Es fácil
probar, con base en los teoremas anteriores, que u
también es perpendicular a r en A (si no lo
fuera, aplique el teorema 8.4).

Demostrados los tres teoremas anteriores también
lo está el postulado de las paralelas. Ahora, veamos lo
sencillo que es demostrar el teorema de la suma de los tres
ángulos internos de un triángulo; con base en el
siguiente teorema.

8.2.4 Teorema 8.6 (secante a dos paralelas)

"En un plano, la secante a dos paralelas cap
forma con éstas ángulos alternos internos
congruentes".

La figura 8.4 ilustra la situación
general.

8.2.5 Teorema 8.7 (los ángulos internos de un
triángulo)

"La suma de la medida de los tres ángulos
internos de un triángulo cualquiera es igual a
180º".

La figura 8.5 ilustra la situación
general.

El teorema anterior también es equivalente al
postulado de las paralelas. Así, queda demostrado que el
postulado de las paralelas era dependiente de los otros cuatro
postulados de la geometría euclidiana.

8.2.6 Consecuencias del Teorema de las Paralelas

Al igual que el teorema de unicidad de la recta que pasa
por dos puntos distintos, el teorema de las paralelas arroja
fuera del ámbito matemático a la geometría
hiperbólica como geometría de líneas rectas,
quedando, al igual que la elíptica, como una
aplicación de la geometría euclidiana al estudio de
las geodésicas de la seudoesfera. Así, las
geometrías no euclidianas llegan a su fin como
geometrías de líneas rectas y quedan sólo
como aplicaciones de la euclidiana.

8.3 El Verdadero Plano de la Geometría
Euclidiana

Se probará en esta sección que el
verdadero plano euclidiano es la superficie de una esfera cuyo
radio es r = (, siendo ( el último número real.
Para ello vasta demostrar que dos paralelas cualesquiera se
intersecan en el infinito por ambos lados.

8.3.1 Teorema 8.8 (paralelas secantes en el
infinito)

Dos paralelas cualesquiera se cortan en el infinito en
sus extremos.

Demostración: