Sean r y s dos rectas paralelas
cualesquiera. La figura 8.6 ilustra la situación
general.
CAPÍTULO 9
Los tres problemas
clásicos de la geometría
9.1 El Caos Geométrico-Algebraico
Ya se vio (capitulo 7) cómo aparece el caos en la
teoría de funciones reales por causa de la razón
del continuo; el cual no notamos por la dilatación o
contracción de los puntos. Ahora se verá
cómo dicha razón es la causa del caos en la
geometría, al realizar construcciones con regla y
compás. En lo adelante, regla y
compás se abreviará por
re-com.
Antes de enunciar el teorema que demuestra cómo
aparece el caos en los cálculos algebraicos de las
longitudes de segmentos obtenidos con re-com, es necesario
inferir que si un número x es constructible con
re-com, entonces, cualquier potencia de x es
también constructible con dichos instrumentos, utilizando
un procedimiento debido a Rodolfo Nieves,
matemático auto didacta de Cojedes (Venezuela); que
veremos más adelante.
Ahora bien, como todo real x es el siguiente de
otro real y, se tiene que x = y + rc.
Como la regla y el compás no determinan la posición
de y ni de rc, entonces con re-com se obtiene el
cuadrado geométrico de x en la forma xx
= x2. Como el cuadrado algebraico de x en función
de y es x2 = y2 + 2yrc, entonces, no tenemos más
que aceptar que tanto el cuadrado geométrico de x
como el algebraico coinciden, ya que en (y + rc)2, el
término rc2 es nulo. De igual manera se puede probar que
cualquier potencia par geométrica de x coincide
con la potencia par algebraica, como veremos
enseguida.
9.1.1 Potencias Pares Geométricas y
Algebraicas
Para demostrar que las potencias pares
geométricas y algebraicas coinciden, partimos del hecho
que en la potencia dos ambas son iguales y que, para elevar a la
potencia n, primero se eleva a la potencia dos, luego a
la tres, etc.
Observación: Cuando se dice que
coinciden (iguales geométrica y
algebraicamente) se está queriendo decir que los
cálculos algebraicos con valores de ángulos
notables y sus derivados (valores deducidos utilizando la
circunferencia trigonométrica), y los cálculos con
valores de ángulos productos de una n
sección (n ( 3) son iguales.
9.1.2 Teorema 9.1 (potencias impares geométricas y
algebraicas)
La n-ésima potencia geométrica de algunos
reales x es un poco mayor que la n-ésima potencia
algebraica de dichos números cuando n es impar
mayor o igual que tres.
Así, la raíz n-ésima
geométrica de x (si no es exacta) será un poco
mayor que la raíz n-ésima algebraica (en
términos numéricos) de dicho número si n es
impar. Esto, que acá se denominará el caos
geométrico-algebraico, fue lo que hizo imposible
a los matemáticos del pasado que lograran la
solución de los tres problemas clásicos de la
geometría.
9.2 El Método para la Potenciación
Geométrica
A continuación, veremos el método para
elevar a la potencia n a cualquier segmento que
determinemos sobre los ejes coordenados (X, Y) con una unidad
fijada de antemano. Dicho método, como se dijo
anteriormente, pertenece a Rodolfo Nieves
(Tinaco-Cojedes).
En la figura 9.1 se tienen los dos ejes coordenados (X,
Y). En ellos se ha determinado la unidad y se ha tomado al azar
un punto x sobre el eje X.
En el triángulo ABC rectángulo en B se
tiene que 0B = x y 0A = 1. Entonces, por Euclides se
tiene
Pero, ¿qué es lo novedoso de este
cuadrilátero? (o mejor deberíamos llamarlo
ene-látero). Lo novedoso de dicho método es que
refuerza lo estudiado en el capítulo 2 sobre la
racionalidad de todos los números reales. Puesto que los
teoremas sobre extensiones algebraicas de campos nos dicen que un
número tomado al azar del eje X no puede ser elevado a una
potencia impar mayor que tres.
En efecto, si dicho número tomado al azar fuese
por ejemplo, al
elevarlo a la 3 se tendría construido con re-com el
número 
el
cual, según la teoría de extensiones algebraica de
campos, no es constructible. De tal manera que todos los teoremas
de la referida teoría, que se fundamentan en la existencia
de irracionales, deben ser revisados minuciosamente para ver
qué se aprovecha de ellos y qué se
desecha.
9.3 Trisección de un Ángulo
Cualquiera
La trisección de un ángulo cualquiera
(división de un ángulo en tres ángulos
iguales), la duplicación de un cubo (obtención de
un cubo de volumen doble a uno dado) y la cuadratura de un
círculo (obtención de un círculo de
área igual a la de un cuadrado dado) es lo que se conoce
como los tres problemas clásicos de la
geometría, los cuales deben ser resueltos con
sólo la regla (sin marcas) y el compás. En esta
sección veremos la trisección de un ángulo
arbitrario.
9.3.1 Deducción del Método para la
Trisección de un Ángulo
En las figuras 9.2.a y
9.2.b se tiene
Lo deducido para ( y (" sucede para cualesquiera que
sean dichos ángulos. Para terminar de deducir el
método utilicemos las figuras 9.3.a y
9.3.b.
De todo lo anterior se tiene que el eneágono (o
nonágono) regular sí es constructible con re-com.
Ahora bien, ¿significa esto que el príncipe de las
matemáticas, F. Gauss, se equivocó en su teorema de
constructibilidad? De ninguna manera, Gauss nunca demostró
que su teorema fuese condición necesaria, sólo que
era condición suficiente.
9.3.2 Método para la Trisección de un
Ángulo
9.3.3 Comprobación del Teorema 9.1 en la
Trisección General
De lo anterior se tiene
En el triángulo OMF se tiene, por la ley del
seno, que
Para saber con qué signo tomar el radical en
(14), se hace la suposición que
Es decir, el teorema 9.1 nos asegura que el segmento EF
será un poco menor (algebraicamente) que MB. Sin embargo,
geométricamente EF = MB.
Para concluir la prueba de que nuestro método es
correcto y que EF = MB, usemos la razón de continuidad
para dar una demostración algebraica de que las
diferencias entre EF y MB valen siempre cero. Veamos.
Por (10), las diferencias son constantes. Para saber el
valor de esta constante, sustituimos ( por 90º (con lo cual
( = 30º, por la fig.9.3.b) y se tiene: Sen( –
2Sen( = 0. Así, las diferencias entre los segmentos EF y
MB son nulas para todo ángulo entre 0º y 180º y,
por tanto, las diferencias que se obtienen al hacer
cálculos son debidas al caos geométrico-algebraico
que ya nos profetizó el teorema 9.1.
9.4 Sobre la Duplicación y la Cuadratura
Se mostrará acá la verdadera causa por la
cual es imposible la duplicación del cubo y la cuadratura
del círculo con sólo la regla y el compás,
sin apelar a los teoremas de la teoría de
Galois; los cuales ya vimos que deben ser
revisados.
9.4.1 Imposibilidad de la Duplicación
9.4.2 Imposibilidad de la Cuadratura
Por otra parte, el valor obtenido, geométrico, no
coincidiría con el valor algebraico (teorema 9.1), porque
cada término elevado a una potencia impar en la serie
anterior es, algebraicamente, menor que su valor
geométrico; se tendría así una
contradicción. En consecuencia, no es posible realizar con
re-com la cuadratura de un círculo.
9.5 La Exacta Construcción del Nonágono
Regular
Con el método de la trisección de un
ángulo arbitrario aplicada al ángulo de 120º
podemos construir, de una manera muy sencilla, el nonágono
regular. Pero, cómo es que los matemáticos del
pasado no descubrieron este hecho. La respuesta es: Dios
sabe lo que hace y cuándo debe hacerlo. Si
alguien en el siglo XIX hubiese descubierto esto, sin conocer la
naturaleza del número real (razón de continuidad de
R) y con los teoremas de extensiones algebraicas de cuerpos en
todo su apogeo, el griterío de los beocios (como
diría Gauss) hubiese sido ensordecedor; y las
matemáticas habrían sufrido una grave crisis.
Además, Todo el que descubría algún
método para trisecar, se desengañaba al aplicar
trigonometría y efectuar sus cálculos. Sabe Dios
cuál de los tan numerosos métodos para trisecar
aparecidos durante todo este tiempo será también,
geométricamente, exacto.
9.5.1 Método para Construir el Nonágono
Regular
Sea dada la circunferencia de centro O (figura
9.6).
– Trace el diámetro AB y prolónguese por
A.
– Con centro en B y abertura de compás OB,
determine los puntos 3 y 6, sobre la circunferencia.
– Trace el segmento 63 y determine el punto M sobre
AB.
– Lleve, a partir de M, el radio OB y determine
C.
– Centre en C con la misma abertura de compás y
trace un arco que corte al rayo BA en D.
– Con centro en D y abertura M6, determine E sobre el
arco anterior (DE = M6).
– Al trazar BE se determina el punto 8, sobre la
circunferencia. La distancia A8 es el lado del nonágono
regular. Con abertura A8, centre en A = 9 y determine 1. Luego
centre en 3 y determine 2 y 4. Por último, centre en 6 y
determine 5 y 7. Una los puntos numerados y obtenga el
nonágono.
9.6 El Porqué de la Trisección
El lector se podría preguntar ¿por
qué la trisección de un ángulo sí es
posible realizarla con re-com? Si ya se vio que la
duplicación y la cuadratura no son posibles, ésta
tampoco debería ser posible. La respuesta es que en la
trisección de un ángulo no se determinan,
directamente, longitudes de segmentos sino tres ángulos de
igual medida sin especificar cuáles medidas. Es decir,
sólo se determinan tres porciones de plano
iguales sin puntualizar cuánto mide cada porción.
Por todo esto, la trisección sí es posible
obtenerla con re-com, puesto que al hacerlo no se viola el
teorema 9.1. No obstante, al aplicar el método anterior de
la trisección con cualquier programa computacional,
éste nos dirá que el método en
cuestión es falso, porque dicho programa estará
basado en geometría y álgebra y detectará
las diferencias profetizadas por el teorema 9.1.
DEDICATORIA
A la memoria de mis padres:
Justa María y Silvino (que están al
lado del Señor)
A mi esposa:
Ana Luisa
A mis Hijos:
Carolina, Ibrahim, Jhoana y Dianel.
A la memoria de:
* Georg Cantor (Padre de la Teoría de
Conjuntos)
Georg Cantor (Rusia, 1845-Alemania,
1918)
"Nadie nos expulsará del
paraíso que Cantor ha creado para nosotros"
(D. Hilbert. Zurich. 1897)
Autor:
Dimas Herrera
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