Esta expresión para Bi es válida cuando las dimensiones transversales de la barra al cuadrado son despreciables frente a la distancia d al cuadrado. Si en el experimento las dimensiones de la barra no sobrepasan los centímetros y la distancia d es del orden de unos 30cm o mayor, se está en presencia de una relación de 1 a 900 aproximadamente, lo cual justifica la aproximación. Esta relación también hace que el campo producido sea independiente de la forma de la sección transversal del imán.
Esta ecuación puede ser usada para un cálculo rápido, pero conviene mejorar el análisis utilizando la expresión original, que es más exacta (ecuación 7)
(La integración de la ecuación (6) es también un problema elemental que se recomienda desarrollar)
Si un imán de barra con un momento magnético M es suspendido en el campo magnético terrestre Bt, recibe un momento o torque t dado por:
Y está orientado de modo de llevar al imán a su posición de equilibro que es cuando está alineado con Bt. La ecuación de movimiento del imán, si no hay otra fuerza presente es:
Donde I0 es el momento de inercia de la barra. Cuando los ángulos son pequeños (menores de 10° por ejemplo) se puede utilizar la aproximación sina˜a y se obtiene la conocida ecuación del oscilador armónico:
Relación entre los campos magnéticos terrestres y del imán con el ángulo de deflexión de la aguja de brújula bajo la acción combinada de ambos campos, cuando las direcciones de estos son perpendiculares.
Si el imán se coloca a una distancia d de la brújula, medida desde su punto medio, cuidando que su campo magnetico sea perpendicular al de la tierra, como en la figura 3, el ángulo a que la aguja de la brújula forma con la dirección norte-sur cumplirá la relación:
Dada la forma en que está orientado el imán, la magnitud de Bi esta dada por la ecuación (7), de manera que de la ecuación (9) resulta:
De la ecuación (8) se tiene que midiendo el período de oscilación de la barra-imán y calculando, con la masa y las dimensiones de la barra, su momento de inercia, se obtiene el producto de las magnitudes del campo terrestre y el momento magnético del imán de la forma:
Por una parte, midiendo el ángulo de deflexión de la aguja de la brújula para diferentes valores de la distancia d, y graficando los términos ya señalados de la ecuación (10), se calcula la pendiente y se obtiene de ella el cociente:
En esta primera parte del trabajo, se han dado a conocer el fundamento teórico del experimento y la manera en que las fórmulas que de él derivan, deben ser manipuladas para obtener los valores experimentales de las magnitudes físicas deseadas.
Se ha incluido un apéndice con ideas de cómo construir la brújula a usar en la experiencia, sin pretender que sea una receta definitiva, si no una guía para el lector, ya que este puede sugerir el uso de materiales diferentes o similares y proponer un modo de ensamblado que mejore la calidad del instrumento.
En cuanto a la medición de las magnitudes involucradas en la experiencia, el autor desea recordar que deben usarse los métodos correctos para garantizar se estén midiendo el valor deseado y no otra cosa. Por ejemplo, en la medición del período de oscilación de la barra-imán, debe medirse el intervalo de tiempo en que ocurren N oscilaciones, y dividiendo dicho intervalo por N obtener así el período; además, las oscilaciones deben contarse con referencia a la posición de equilibro y no a los extremos entre los cuales oscila el imán (en ellos la velocidad es aproximadamente igual a cero y resulta muy difícil precisarlos).
El autor desea recordar también que todo valor experimental de una magnitud física debe contener el error experimental. Para ello recomienda hacer uso en los cálculos de la teoría de errores de apreciación y, también, graficar los errores y aplicar un procedimiento convincente para calcular la pendiente.
Construcción de la brújula
Materiales
Los materiales necesarios para construir la brújula se describen a continuación:
Envase de plástico transparente con tapa, de forma cilíndrica y con altura aproximada de 2cm.
Trozo de corcho, u otro material que flote en agua y sea fácil de perforar tal como goma, goma-espuma, plástico o anime; de forma cilíndrica, con altura entre 0,5cm y 1cm de acuerdo con el material usado, cuyo radio debe medir aproximadamente 12 del radio del envase plástico.
Mina de grafito (de las usadas en los lápices portaminas), u otro material con dimensiones similares; tal como un trozo recto de alambre de cobre.
Aguja previamente imantada, construida con un trozo recto de alambre de acero de longitud menor que el diámetro del envase (puede usarse una aguja de colchonero o un rayo de rueda de bicicleta).
Procedimiento para el ensamblado
Se pasa la mina de grafito por el centro del corcho (u otro material usado), el cual ha sido previamente perforado con aguja o alambre delgado.
Se adhiere la aguja imantada a la cara superior de la "moneda" de corcho con algún pegamento, con su punto medio ceñido a la mina.
Se coloca agua en el envase de plástico y se introduce el ensamble resultante de los dos pasos anteriores, de manera que el extremo inferior de la mina estará pivotado en una pequeña perforación previamente realizada en el centro del envase, sin que éste haya sido traspasado. La cantidad de agua debe ser tal que el corcho no alcance el fondo y la aguja no supere la altura del envase. Finalmente se coloca la tapa, haciendo pasar el extremo superior de la mina por un agujero que también previamente se realizó en su centro.
Colocación de una escala graduada
Durante la realización de la experiencia se miden ángulos correspondientes a deflexiones de la aguja de la brújula, así que ésta debe proveerse de una escala dividida en grados. Se considerarán tres opciones para tal fin, a saber:
Adherir la brújula encima de una escala graduada impresa en papel. Esto debe realizarse antes de ensamblar la brújula con el fin de verificar que los centros de la escala y el envase coincidan.
Adherir la escala graduada en la tapa superior y hacer algunos arreglos para que se visualice el valor que señale la aguja (como por ejemplo, recortar la parte central de la escala después de estar adherida).
También se puede, ayudándose con una regla, "marcar" la escala en la tapa con un bisturí, una aguja o un alfiler (p. ej., con la punta del acero de un compás), y luego retirar la escala de papel. La escala se pinta con marcador d color negro, de modo que al limpiar la superficie el color queda sólo en las líneas "talladas" (este procedimiento es un tanto laborioso, pero la escala resultante perdura más que la de papel).
Consideraciones importantes
Si se coloca la escala como se indica en el numeral 1, los extremos de la aguja deben tener un doblez hacia abajo, para que desde arriba se observe que valor indica.
Si la escala está como se indica en los numerales 2 o 3, la aguja debe ser recta y la cantidad de agua e el envase permitir que ella esté lo más cerca posible de la tapa, pero sin tocarla.
En cualquiera de los casos el extremo de la aguja debe ser puntiagudo, para así facilitar la lectura de los ángulos.
Una manera de conseguir una "barra" imantada es cementar con la cola acrílica instantánea imanes cerámicos como los que se pueden obtener de las cerraduras para gabinetes de cocina empotrada.
Medición simultánea del campo magnético terrestre y del momento magnético de un imán
Resumen
Siguiendo las líneas abordadas en la primera parte de este trabajo, se dan a conocer los materiales empleados, el procedimiento seguido y los resultados obtenidos por el autor en la ejecución de la experiencia. Se incluye un apéndice que contiene detalles de la teoría de errores considerada.
Presentación y descripción de los materiales
Los materiales empleados fueron:
Barra-imán.
Envase de plástico con tapa.
"Moneda" de anime.
Aguja de acero.
Trozo recto y delgado de alambre.
Además de los mencionados, se empleó en las mediciones una regla graduada y un cronómetro.
La barra-imán usada tiene forma de paralelepípedo con las siguientes dimensiones:
Largo: L=L0±?L=0,153±0,0005m
Ancho: b=b0±?b=0,019±0,0005m
Grosor: a=a0±?a=0,006±0,0005m
La masa de la barra es:
Masa: m=m0±?m=0,131±0,0001Kg
Los valores de las magnitudes que se han presentado se escriben en la forma:
Valor Representativo±Error de Apreciación
De la misma forma se escribirán todas las mediciones. Los relacionados con el tratamiento de errores de apreciación a lo largo de este trabajo, se especifica en un apéndice al final.
Con los materiales restantes se construye una brújula, esto siguiendo el procedimiento que figura en el apéndice de la primera parte del trabajo.
Procedimiento para la obtención de los datos y presentación de los resultados
En un pliego de cartulina se trazan dos rectas perpendiculares con longitudes aproximadas de 60cm y 15cm, de manera que la recta de menor longitud esté ubicada en uno de los extremos de la recta de mayor longitud. Sobre la recta de 60cm se trazan rectas perpendiculares de unos 4cm de longitud con separación de 5cm. Sobre el punto de intersección d las rectas de 15cm y 60cm se ensambla la brújula de manera que dicho punto coincida con el punto donde gira la aguja. La dirección en que se orienta la aguja sin la presencia de la barra-imán, que es la dirección del campo terrestre, debe hacerse coincidir con la línea de 15cm; esto se logra girando convenientemente el pliego de cartulina. Debe girarse también el envase de la brújula hasta conseguir que el extremo de la aguja coincida con el cero de la escala graduada.
Para medir el ángulo de deflexión de la aguja de la brújula para diferentes valores de la distancia d (recordar que d es la distancia entre el punto medio de la barra-imán y el punto de giro de a aguja), se coloca la barra-imán con su longitud máxima a lo largo de la recta de 60cm con su punto medio en la intersección de algunas de la rectas de 4cm, así; se mide entonces el ángulo a que se deflecta la aguja para cada distancia d, esta distancia queda determinada inmediatamente porque las rectas de 4cm están equiespaciadas.
Las mediciones realizadas se especifican en la tabla 1, donde d0 y a0 se refieren a los valores representativos de la magnitud respectiva:
Tabla 1. a vs d
A pesar que los ángulos se miden en la brújula con una escala en grados, sus valores deben expresarse en radianes para realizar los cálculos. Dichos valores se presentan en la tabla 2:
Tabla 2. a vs d
Con los valores de la tabla 2 se construyo la tabla tana vs D, tabla 3; donde:
Recordar que en la primera parte del trabajo, partiendo del cálculo campo magnético producido por una barra-imán, se obtuvo la relación:
Donde M es el momento magnético total del imán y Bt la magnitud del campo terrestre. De modo que al graficar tana vs D, se obtiene una recta de pendiente µ0M2pBt. El gráfico correspondiente, que proviene de graficar los valores de la tabla 3, se muestra en la página con el titulo Grafico tana vs D. En él se puede observar que no se grafican los errores de apreciación, esto debido a que de la tabla 3 se tiene que dichos errores son despreciables cuando se les compara con los valores representativos del término correspondiente.
El valor de la pendiente que se obtiene del gráfico tana vs D (ver procedimiento para calcular la pendiente en el apéndice), es:
Ahora bien, también en la primera parte del trabajo, a partir del torque que recibe la barra-imán suspendida en el campo terrestre, cuando se desplaza de posición de equilibrio; se obtuvo la relación:
Donde I y T son el momento de inercia y el período de oscilación de la barra respectivamente.
Para medir el período de oscilación, se suspende la barra por su medio de un hilo inextensible, de manera que el eje de suspensión sea perpendicular al largo y al ancho de la misma.
Por otra parte, el momento de inercia de la barra con respecto al eje de suspensión está dado por:
(Recordar que m, L y b son, respectivamente, la masa, el largo y el ancho de la barra).
Sustituyendo los valores resulta:
En la primera parte de este trabajo se mencionó que el aspecto más importante es que por medio de un procedimiento sencillo e ingenioso se efectúa la medición simultánea de la Componente Horizontal del Campo Magnético Terrestre y del Momento Magnético de un Imán, además de que, a diferencia de otros procedimientos empleados en la medición del campo terrestre, el presente no requiere del uso de materiales eléctrico ni del conocimiento previo del momento magnético del imán. Por tanto, debe contarse con información acerca de la magnitud del campo terrestre en el lugar donde se calcula, para así comparar con el valor experimental obtenido y determinar si este último es confiable o no. Como se desconoce el momento magnético de imán, la confiabilidad del valor experimental logrado para esta magnitud, dependerá entonces de lo confiable que resulte el valor del campo terrestre.
La magnitud de la componente horizontal de campo magnético terrestre en América del Sur oscila entre 0,25 gauss y 0,30 gauss (extraído de handbook of Chemistry and Physics, Chemical Rubber Publishing Co.). Comparando con el valor experimental obtenido, que fue de 0,283gauss±0,001gauss, se tiene que este último se encuentra dentro del intervalo "teórico" mencionado, de manera que puede concluirse que el experimento ha arrojado un resultado confiable. Así, resulta también confiable el valor obtenido para la magnitud del momento magnético del imán.
La metodología de esta experiencia ha permitido, por una parte desarrollar una metodología no común en la determinación del campo magnético terrestre, y por otra parte emplear materiales mínimos y de fácil adquisición. A manera de comparación, puede emplearse los métodos más comunes que usan instrumentos eléctrico y los que requieres conocer el momento magnético del imán, para determinar las magnitudes objeto de estudio, esto con la finalidad de contrastar los resultados.
Cuando se emplea un instrumento de medición provisto de una escala, por ejemplo una regla o una balanza, la elección del error de apreciación dependerá de la "calidad" del instrumento, esto en cuanto a la separación entre las marcas y a lo "delgadas" que sean estas; de manera que dicho error puede elegirse menor a la apreciación del instrumento.
En el experimento se midieron las longitudes con una regla que permitía diferenciar claramente entre marcas con una apreciación de 0,001m, de modo que de eligió un error de apreciación de 12 de este valor; esto es 0,0005m; lo cual puede observarse en los valores del largo y ancho de la barra-imán y los de la distancia d que figuran en las tablas 1 y2. En el caso de la medición de la masa de la barra-imán, se eligió el error de apreciación igual a la apreciación de la balanza, que es de 0,0001Kg. La escala graduada de a brújula, con una apreciación de 1°, permitió también elegir un error de apreciación de 12 de dicho valor, que es 0,5°; tal como se presentó en la tabla 1.
A continuación de desarrolla el procedimiento que permitió calcular magnitudes a partir de mediciones afectadas de error de apreciación y calcular errores haciendo uso de la fórmula de propagación de errores de apreciación:
Para expresar ángulos de grados a radianes
Con procedimientos análogos se transforman los demás ángulos de la tabla 1 hasta completar la tabla 2.
Para evaluar la tangente de ángulos afectados de error de apreciación y expresados en radianes
Tomando los valores del ejemplo que se está considerando resulta:
Este es el primer valor que figura en la tabla 3 para tana; de la misma forma se obtiene la tangente de cada uno de los ángulos de la tabla 2, hasta completar la tabla 3.
Para obtener los valores del término D que figuran en la tabla 3
A partir de los valores de la distancia d (tabla 2) se calcula D con la expresión:
Tomando como ejemplo el primer valor de d que aparece en la tabla 2, se tiene:
Análogamente se procede hasta completar la columna D de la tabla 3
Para calcular la pendiente de la recta a partir del gráfico tana vs D
En el gráfico se pudo observar que los puntos se alinean muy bien sobre una recta que, al extrapolar, pasa por el origen. Debido a esto, y al hecho ya mencionado que los errores de apreciación son mucho menores que los respectivos valores representativos, se calcula la pendiente usado el último punto en la recta, sin considerar los errores; resulta entonces:
Para medir el período de oscilación del imán
Para calcular el momento de inercia de la barra-imán
Para calcular la magnitud de la componente horizontal del campo terrestre y la del momento magnético del imán
El valor representativo de Bt, se obtiene calculando la raíz cuadrada del valor representativo del radicando. Aplicando la definición de Error Relativo y el hecho que: El error relativo de raíz n-ésima es el error relativo del radicando dividido por n, se llega a una expresión que permite calcular el error de apreciación de Bt, y así al resultado ya presentado:
Autor:
Br. David Prato
Estudiante de la especialidad de Física
UPEL-IPM
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