Perpetuidades (página 2)

• El dueño de una mina con reservas de
  explotación probadas para un plazo mayor a 100
  años, tiene una utilidad neta promedio anual de 18000
  um. Calcule el valor presente de la mina con el objetivo de
  venderla ahora pues se sabe que los próximos dos
  años la mina no operará por renovación
  de sus equipos. El dueño percibe una TEA de 15
  %.

Solución: Con los datos R = 18000; i =
15%, K = 2, y aplicando la fórmula tenemos:

2.5. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE
DIFERIDA ANTICIPADA:

Para calcular el valor presente de una perpetuidad
simple diferida puede utilizarse la formula del valor presente de
una anualidad simple diferida anticipada temporal, reemplazando
su FAS por el de una renta perpetua.

La formula calcula el valor presente de una perpetuidad
simple anticipada diferida k periodos de renta, en la cual i es
la tasa efectiva de cada periodo. Con las siglas establecidas la
fórmula se representaría así:

Ejemplo:

• Una sociedad benéfica obtuvo una
  donación anual de 5000 um, de forma indefinida, los
  mismos que se percibirán a inicios de cada año,
  pero después de haber transcurrido 3 años
  contados a partir de la fecha ¿cuál es el valor
  presente de esa donación, dada una TEA de
  8%?

Solución: Con los datos Ra = 5000; i = 8%;
k = 3; y con la fórmula tenemos:

2.6. VALOR PRESENTE DE UNA PERPETUIDAD SIMPLE CUYAS
RENTAS SE REALIZAN CADA CIERTO NÚMERO DE PERIODOS DE
TASA:

Existen diversas actividades de producción de
bienes o servicios cuyos activos deben mantenerse, renovarse o
sustituirse periódicamente cada cierto número de
años, originando desembolsos que constituyen una renta
perpetua, tal como sucede con el mantenimiento de carreteras,
puentes, renovación de unidades de transportes, etc. Los
primeros desembolsos periódicos para mantener esos activos
pueden verse en la gráfica del siguiente modo:

¿Cuál será el importe del valor
presente de las rentas perpetuas uniformes W que se
realizarán cada z periodos capitalizados? Puede dividirse
el horizonte temporal en subhorizontes temporales uniformes de z
periodos cada uno. El importe W al final de cada subhorizonte
puede considerarse como el monto de una anualidad vencida de z
rentas uniformes R.

Este cálculo se realiza aplicando la siguiente
fórmula:

La fórmula calcula el valor presente de una
perpetuidad en la cual las rentas se realizan cada z periodos de
la tasa i. Con las siglas establecidas, la fórmula se
representaría así:

Ejemplo:

• El Puente colgante de Chosica con San Fernando
  deberá reemplazarse cada 15 años con una
  inversión de 15000 um. Calcule el importe que debe
  depositarse hoy, para formar un monto que asegure a
  perpetuidad los remplazos futuros del puente, si dicho
  capital percibe una TEA de 10%.

Solución: Con los datos W = 15000; i =
0.1; z=15, y aplicando la fórmula tenemos:

Una inversión de 4721.07 um. Colocado hoy a una
TEA del 10% generará un monto dentro de 15 años de
19721.07 um., el asegurará a perpetuidad el importe
requerido de 15000 um. Para efectuar los reemplazos futuros del
puente, como se aprueba a continuación:

Monto al finalizar el año 15:4721,07
×1,1515 19271.07

Retiro para reemplazar el puente
-15000.00

Saldo que generará el nuevo monto de
15000 um 4721.07

Rentas de una
perpetuidad

3.1. RENTA PERPETUA VENCIDA

¿Cómo se calcula una renta perpetua si se
conoce el importe de un valor presente y una tasa de
interés? Por ejemplo, si una persona abre un
depósito de 10000 um, una cuenta de ahorros a un TEM de 3%
y retira al término de cada mes 300 um. Dado que la cuenta
tiene una duración indefinida y que el principal permanece
invariable: al término del primer mes se habrá
generado un interés de 300 um, y producto del retiro el
saldo de la cuenta sería 10000 um (el monto
igualaría al principal); al término del segundo mes
se generaría un interés de 300 um, y producto del
retiro el saldo regresaría a 10000 um, y así
sucesivamente.

Una renta uniforme perpetua vencida puede verse entonces
como el flujo de efectivo producido periódicamente por una
cuenta a una tasa de interés determinada, en un horizonte
temporal infinito, que se retira al término de cada
período.

La fórmula calcula la renta perpetua vencida de
una anualidad simple cuyo horizonte temporal es infinito y en el
cual i es la tasa efectiva del periodo de renta. En este caso, la
tasa i constituye el FRC cuando n tiende a +8. Con las siglas
establecidas la fórmula puede representarse de la
siguiente manera:

R = P. FRCi;8

Ejemplo:

• Una persona decidió abrir una cuenta con un
  importe de 10000 um, en un banco que remunera los ahorros a
  con una TEA de 6%, con el objeto de retirar indefinidamente
  una renta uniforme mensual cada 30 días. Calcule el
  importe de esa renta perpetua.

Solución:

3.2. RENTA PERPETUA ANTICIPADA

Para el cálculo de la renta uniforme
perpetua anticipada, reemplazamos la renta vencida R por su
equivalente anticipada Ra (1+i):

Cálculo de
"i" en una perpetuidad

El cálculo de i puede realizarse directamente al
despejar de sus respectivas fórmulas de perpetuidades, el
valor presente o la renta de una perpetuidad. El resultado que se
obtenga con esta operación constituye la tasa de la
perpetuidad.

Ejemplo:

• 1. ¿Cuál debe ser la TEA de una
  cuenta abierta con un importe de 10000 um para que produzca
  una renta perpetua mensual vencida de 250um?

Solución: Con los datos
P=10000; R= 250; y aplicando la formula:

Capitalización

La palabra capitalización es utilizada como
sinónimo de valor presente de una renta
perpetua.

Ejemplo:

• La compañía la Rosa tiene terrenos
  alquilados en forma indefinida, que le aseguran rentas de
  $500 a inicios de cada mes. ¿Cuál es el valor
  capitalizado de esos activos considerando una TEM del
  1%?

SOLUCIÓN: Con los datos Ra= 500; i= 0.01;
y aplicando la fórmula tenemos:

Ante el rendimiento del 1% efectivo mensual, es
equivalente disponer de un capital de $50500 o ser propietario de
los terrenos de la Rosa.

5.1. COSTO CAPITALIZADO

El costo capitalizado de un activo está
constituido por su costo inicial más el valor presente de
las infinitas renovaciones para poseerlo permanentemente, como
sucede en el caso de bienes que deben prestar servicios de forma
indefinida, por ejemplo: caminos, puentes, muelles, pavimentos,
etc. La diferencia con la capitalización es que
ésta excluye el costo inicial del activo. Las renovaciones
de activos fijos permanentes se producen necesariamente al final
de su vida útil; según el costo de las condiciones
del mercado, puede ser diferente al costo original del
bien.

Si se designa:

C = costo capitalizado del activo

F = costo original o inicial del activo

W = costo de reemplazo del activo

z = número de años de vida útil del
activo

i = tasa de interés periódica

Y de acuerdo con el concepto de costo capitalizado de un
activo fijo; costo original + valor presente de las infinitas
renovaciones, se tiene que:

C = F + P

Dado que en este caso P constituye el valor presente de
una perpetuidad pagadera cada z periodos, cuyo valor se calcula
con la fórmula del valor presente de una perpetuidad
simple cuyas rentas se realizan cada cierto número de
periodos de tas, puede reemplazarse en la formula del siguiente
modo:

Donde i y z son del mismo plazo.

Ejemplo:

• La canalización de las riberas del rio Rimac
  en la zona del centro de Lima tuvo un costo de 400000 um. Los
  técnicos estimaron que cada 15 años
  debía limpiarse y reforzarse los muros de
  contención a un costo aproximado de 150000 um. Calcule
  el costo capitalizable dado una TEA de 8%.

Solución: Con los datos: F = 400000; z = 15; i =
0.08; W = 150000; aplicando la fórmula tenemos:

El importe de 469055.40 um permitirá cubrir el
costo original de 400000 um para canalizar el rio Rimac. El saldo
de 69055.40 um al cabo de 15 años, se habrá
convertido en 219055.40 um, a la TEA de 8%, lo que
permitirá cubrir el importe de 150000 um para limpiar y
reforzar los muros de contención y dejar un remanente de
69055.40 um, a fin generar indefinidamente un nuevo monto para la
limpieza refuerzos posteriores.

5.2. COSTO CAPITALIZADO CUANDO "F" ES IGUAL A
"W"

Si el costo original F de activo fijo es a su respectivo
costo de reemplazo W, entonces la formula puede modificarse dando
el siguiente resultado:

Ejemplo:

• Calcule el costo capitalizado de una camioneta combi
  cuyo precio de adquisición es 15000 um, su vida
  útil es de 5 años y el costo de sus futuros
  reemplazos es similar al original. Considere una TEA de
  7%.

Solución: Con los datos F=15000; z=5; i=
0.07 y con la fórmula:

Conclusiones

• Las perpetuidades son anualidades que tienen
  infinito número de pagos, en la realidad, las
  anualidades infinitas no existen, todo tiene un final; sin
  embargo, cuando el número de pagos es muy grande
  asumimos que es infinito.

• Este tipo de anualidades son típicas cuando
  colocamos un capital y solo retiramos intereses.

• Para el cálculo de la anualidad en
  progresión geométrica perpetua operamos, a
  través del límite cuando el número de
  términos de la renta (n) tiende a infinito.

• Las perpetuidades permiten calcular
  rápidamente el valor de instrumentos de renta fija por
  muchos periodos. Ejemplos de perpetuidades, son las
  inversiones inmobiliarias en que existe un pago de alquiler
  por arrendamiento, las pensiones o rentas vitalicias, los
  proyectos de obras públicas, carreteras, presas,
  valuación de acciones, etc.

• Para el mantenimiento a perpetuidad, el capital debe
  permanecer intacto después de efectuar el pago
  anual.

Bibliografía

• Carlos aliaga Valdez; manual de matemática
  financiera. Apuntes de estudio.

• http://www.monografias.com/trabajos29/6-llaves-maestras-matematicas-financieras/6-llaves-maestras-matematicas-financieras.shtml.

Autor:

Neil Alex Navarro