Regresión y Correlación Lineal

Variable Independiente (X) (determinística, es decir no aleatoria.)

Variable Dependiente (Y) aleatoria

Ejemplos

X: Número de llamadas telefónicas realizadas por un vendedor promocionando un producto.

Y: Unidades vendidas por el vendedor.

X: Tiempo que dedica un estudiante a una materia.

Y : Evaluación que obtiene el estudiante en la materia.

Laಥgresión estadística௠regresión a la mediaॳ la tendencia de una medición extrema a presentarse más cercana a la media en una segunda medición. La regresión se utiliza para predecir una medida basándonos en el conocimiento de otra.

MODELO DE REGRESIÓN LINEAL

Enॳtadísticaଡಥgresión lineal௠ajuste linealॳ un୦eacute;todoୡtemático౵e୯delizaଡ relación entre unaඡriable dependiente༥m>Y, lasඡriables independientes༥m>Xi༯em>y un término࡬eatorio८ Este modelo puede ser expresado como:

La regresión lineal puede ser contrastada con laಥgresión no lineal.

Regresión lineal simple

Sólo se maneja unaඡriable independiente, por lo que sólo cuenta con dosడrámetros. Son de la forma:

Dado el modelo de regresión simple, si se calcula laॳperanzaਸ਼alor esperado) del valor༥m>Y, se obtiene:

Obteniendo dos ecuaciones denominadasॣuaciones normales౵e generan la siguiente೯luciónడra ambos parámetros

La interpretación del parámetro beta 2 es que un incremento en Xi de una unidad, Yi incrementará en beta 2

Maneja variasඡriables independientes. Cuenta con varios parámetros. Se expresan de la forma:8

Dadas dos variables (Y: variable dependiente; X: independiente) se trata de encontrar una función simple (lineal) de X que nos permita aproximar Y mediante: Y = a + bX

(ordenada en el origen, constante)

(pendiente de la recta)

A la cantidad e=Y-Y se le denomina residuo oॲror residual.

Así, en el ejemplo de Pearson: Y = 85 cm + 0,5X

Donde Y es la altura predicha del hijo y X la altura del padre: En media, el hijo gana 0,5 cm por cada cm del padre.

Regresión no lineal

Enॳtadística,ଡ regresión no linealॳ un problema de inferencia para un modelo tipo:

Y= F (X,0)+E

basado en datos multidimensionales x,y, donde f es alguna función no lineal respecto a algunos parámetros desconocidos ?. Como mínimo, se pretende obtener los valores de los parámetros asociados con la mejor curva de ajuste (habitualmente, con el método de los mínimos cuadrados). Con el fin de determinar si el modelo es adecuado, puede ser necesario utilizar conceptos de inferencia estadística tales como intervalos de confianza para los parámetros así como pruebas de bondad de ajuste.

El objetivo de la regresión no lineal se puede clarificar al considerar el caso de la regresión polinomial, la cual es mejor no tratar como un caso de regresión no lineal. Cuando la función ftoma la forma:

F(X) =X2ૠBX༯em>+༥m>C

la función༥m>f༯em>es no lineal en función de༥m>x༯em>pero lineal en función de los parámetros desconocidos༥m>a,༥m>b, yc. Este es el sentido del término "lineal" en el contexto de la regresión estadística. Los procedimientos computacionales para la regresión polinomial son procedimientos deಥgresión linealਭúltiple), en este caso con dos variables predictoras༥m>x༯em>yา. Sin embargo, en ocasiones se sugiere que la regresión no lineal es necesaria para ajustar polinomios. Las consecuencias practicas de esta mala interpretación conducen a que un procedimiento de optimización no lineal sea usado cuando en realidad hay una solución disponible en términos de regresión lineal. Paquetes (software) estadísticos consideran, por lo general, más alternativas de regresión lineal que de regresión no lineal en sus procedimientos.

En ocasiones nos puede interesar estudiar si existe o no algún tipo de relación entre dos variables aleatorias.