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Secciones cónicas o cónicas



Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Historia de las
    cónicas
  3. Definición
  4. La
    circunferencia
  5. Elipse
  6. Las
    leyes de Kepler
  7. Parábola
  8. Hipérbola
  9. Ecuaciones de cónicas
  10. Aplicaciones
  11. Conclusiones
  12. Bibliografía

Introducción

Las cónicas están presentes
en la vida cotidiana, en la naturaleza, en el arte. Por ello, su
estudio nos ofrece una buena oportunidad para resaltar el
carácter instrumental de las matemáticas: "La
Matemática es el modo de comprender el mundo"
(Pitágoras).

Por otro lado, en el estudio de las
cónicas (que conjuga de forma armónica las
diferentes ramas de la geometría: sintética,
métrica, analítica, proyectiva, diferencial,…)
resalta el carácter global de las matemáticas: "El
carácter unitario de las Matemáticas reside en la
esencia intrínseca de esta Ciencia; pues la
Matemática es el fundamento de todo conocimiento
científico riguroso" (Hilbert).

Historia de las
cónicas

 El matemático griego Menecmo
(vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y
fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga
(antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar
detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad
plana que las definía. Apolonio descubrió que las
cónicas se podían clasificar en tres tipos a los
que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y
parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene
cortando una superficie cónica con un plano que no es
paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se
obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que
es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se
obtienen al cortar una superficie cónica con un plano
paralelo a una sola generatriz (Arista).

    Apolonio demostró
que las curvas cónicas tienen muchas propiedades
interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan
actualmente para definirlas.

Quizás las propiedades más
interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las
cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.
Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica
que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos
elípticos, parabólicos o hiperbólicos,
según la curva que gira. Apolonio demostró que si
se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo
elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se
concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana
con un espejo parabólico de manera que los rayos
incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz
reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad
permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo
parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol.
Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.)
logró incendiar las naves romanas durante la defensa de
Siracusa usando las propiedades de los espejos
parabólicos. La propiedad análoga, que nos dice que
un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve
para que los faros de los automóviles concentren el haz en
la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de
los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los
focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se
utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie
mayor iluminada.

  En el siglo XVI el filósofo y
matemático René Descartes (1596-1650)
desarrolló un método para relacionar las curvas con
ecuaciones. Este método es la llamada Geometría
Analítica. En la Geometría Analítica las
curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de
segundo grado en las variables x e y. El resultado más
sorprendente de la Geometría Analítica es que todas
las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan
secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt
(1629-1672).

Sin lugar a dudas las cónicas son
las curvas más importantes que la geometría ofrece
a la física. Por ejemplo, las propiedades de
reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero
sin duda lo que las hace más importantes en la
física es el hecho de que las órbitas de los
planetas alrededor del sol sean elipses y que, más
aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una
fuerza gravitatoria es una curva cónica. El
astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630)
descubrió que las órbitas de los planetas alrededor
del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el
caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás
planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de
Plutón.. Más tarde el célebre
matemático y físico inglés Isaac Newton
(1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo
alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva
cónica.

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