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Cónicas (página 2)

Enviado por Noelia Andia



Partes: 1, 2

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hipérbola y la mediatriz se llama eje imaginario de la hipérbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que es el punto medio de los focos) se llama centro de la hipérbola. Los puntos donde la hipérbola corta a los ejes se llaman vértices de la hipérbola. Al igual que en la elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distancias desde un punto cualquiera de la hipérbola a ambos focos se les llama radios vectores del punto

-Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una circunferencia y un punto fuera de ella. Para construir una hipérbola se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja. Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una hipérbola. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el otro foco.

Otra forma de encontrar una hipérbola es la siguiente. Se colocan dos conos unidos en su vértice y se hace un corte de base a base de los conos. El perímetro de este corte será una elipse.

-Aplicaciones

La Hipérbola tiene propiedades de reflexión análogas a las de la elipse. Si se dirige un haz de luz en dirección de un foco, por ejemplo de f, se reflejará antes de llegar a él en la hipérbola en dirección del foco f'. Este principio se usa en los telescopios del tipo Cassegrain. El sistema de navegación loran (acrónimo de long range navigation) usa las propiedades de la reflexión de la hipérbola

Las hipérbolas aparecen en muchas situaciones reales, por ejemplo, un avión que vuela a velocidad supersónica paralelamente a la superficie de la tierra, deja una huella acústica hiperbólica sobre la superficie. La intersección de una pared y el cono de luz que emana de una lámpara de mesa con pantalla troncocónica, es una hipérbola.

La definición de la hipérbola como lugar geométrico es similar a la dada para la elipse, como vemos en seguida

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La recta que pasa por los focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento recto que une los vértices se llama eje transversal y su punto medio es el centro de la hipérbola. Un hecho distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos partes separadas, llamadas ramas.

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Figura 1.

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  Los vértices están a una distancia de a unidades del centro y los focos a una distancia de Monografias.comunidades del centro. Además

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Figura 2.

  Resumiendo:

Si el eje transversal de la hipérbola es horizontal entonces

  • El centro está enMonografias.com

  • Los vértices están en Monografias.com

  • Los focos están enMonografias.com

Si el eje transversal de la hipérbola es vertical entonces

  • El centro está en Monografias.com

  • Los vértices están en Monografias.com

  • Los focos están en Monografias.com

Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola son sus asíntotas. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se intersecan en su centro y pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a  y 2b  y centro en Monografias.com

El segmento recto de longitud 2b  que une

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se llama eje conjugado de la hipérbola. El siguiente teorema identifica la ecuación de las asíntotas.

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Observación: las asíntotas de la hipérbola coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones y centro

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Esto sugiere una forma simple de trazar tales asíntotas.

Si la excentricidad es grande los focos están cerca del centro y las ramas de la hipérbola son casi rectas verticales. Si la excentricidad es cercana a uno los focos están lejos del centro y las ramas de la hipérbola son más puntiagudas.

La propiedad reflectora de la hipérbola afirma que un rayo de luz dirigido a uno de los focos de una hipérbola se refleja hacia el otro foco (figura 2).

Figura 3.

 

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica, los focos, los vértices, la excentricidad y las asíntotas de la hipérbola cuya ecuación es

Solución

Completando el cuadrado en ambas variables

La gráfica se muestra en la figura 3.

Figura 4.

 

Ejemplo 2

Por tanto, la ecuación canónica es

El valor de está dado por

Figura 5.

La Elipse

Se llama elipse al lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es una constante. La línea que une los dos focos se llama eje principal de la elipse y la mediatriz de los mismos eje secundario. Se llaman vértices de la elipse a los puntos donde ésta corta a sus ejes. El punto medio de los dos focos se llama centro de la elipse y la distancia entre ellos se llama distancia focal.

-Construcción

Se debe tomar una hoja de acetato, en ella se dibuja una circunferencia y un punto dentro de ella.

 Para construir una elipse se dobla la hoja de tal manera que cualquier punto de la circunferencia coincida con el punto dibujado y desdoblamos la hoja.

Haciendo este procedimiento varias veces con un punto distinto de la circunferencia cada vez, tendremos que las marcas de los dobleces han formado una elipse. El punto dibujado es un foco y el centro de la circunferencia es el otro foco.

Otra forma de encontrar una elipse es la siguiente. Se debe hacer un corte a un cono de unicel con un plano, la dirección del corte debe ser de lado a lado de las paredes del cono sin llegar a la base. Mientras mas paralelo a la base sea el corte menos excentricidad tendrá la elipse. El perímetro de este corte será una elipse

-Aplicaciones

La elipse tiene propiedades de reflexión similares a la de la parábola, en este caso cuando colocamos un emisor de ondas en un foco, estas se reflejarán en las paredes de la elipse y convergerán en el otro foco. Con respecto a la elipse la aplicación primera que tenemos que mencionar es que las órbitas de los planetas son elípticas con el Sol en uno de los focos.

En la medicina se usa un aparato llamado litotriptor para desintegrar "cálculos" renales por medio de ondas intra-acuáticas de choque. El funcionamiento de este aparato es de la siguiente forma, se coloca un medio elipsoide lleno de agua pegado al cuerpo del paciente en el foco de esta parte del elipsoide se pone un generador de ondas; el foco de la otra parte del elipsoide se debe localizar en estos "cálculos" y así al reflejarse las ondas en la superficie de la elipsoide de afuera del paciente todas convergerán en el "cálculo" y este se desintegrará. Además existen capillas o galerías de los secretos. Son estructuras con techos elipsoidales aquí se puede oír a una persona que está en un foco desde el otro foco y las personas que están entre las otras dos no oirá nada.

Más de mil años después de que los griegos definieran las secciones cónicas, en la época del Renacimiento, el astrónomo polaco Nicholas Copérnico (1473 - 1543), en su obra: Sobre las revoluciones de las esferas celestes, sostenía que todos los planetas, incluso la Tierra, giraban en órbitas circulares alrededor del Sol. Aunque muchas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas la controversia provocada por su teoría heliocéntrica empujó a los astrónomos a buscar un modelo matemático que explicará los movimientos de los planetas y el Sol. El primero en hallarlo fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571 - 1630).Kepler descubrió que los planetas giran alrededor del Sol en órbitas elípticas, con el Sol colocado no en el centro sino en uno de los focos. El uso de las elipses para explicar el movimiento de los planetas es tan sólo una de sus diversas aplicaciones. Al igual que lo hicimos para la parábola vamos a definir la elipse como un lugar geométrico de puntos. En este caso usando dos puntos focales en vez de uno.

La recta que pasa por los focos corta a la elipse en dos puntos llamados vértices. La cuerda que une los vértices es el eje mayor de la elipse y su punto medio el centro de la elipse. La cuerda perpendicular al eje mayor y que pasa por el centro se llama eje menor de la elipse.

Para visualizar la definición de la elipse, basta imaginar dos chinches clavados en los focos y un trozo de cuerda atada a ellos. Al ir moviendo un lápiz que tensa esa cuerda, su trazo irá dibujando una elipse, como se muestra en la figura 1.

Figura 1.

  En el programa que sigue, el primer segmento determina la constante 2a. Esta constante se puede modificar arrastrando ambos puntos del segmento. Los focos también se pueden modificar arrastrándolos con el mouse. El punto sobre la línea azul sirve para variar la pendiente de la recta

 

 

Figura 2.

 

Observación: de la figura 2, podemos deducir que

es decir, es la constante a la que se refiere la definición.

 

Los focos están en el eje mayor a unidades del centro con

y el eje mayor es horizontal. En el caso de que el eje mayor sea vertical la ecuación toma la forma:

 

Observación: la demostración de este teorema no es complicada, basta aplicar la definición y la fórmula de distancia (figura 2).

Simplificando

Pero,

y así obtenemos la ecuación canónica de la elipse

La excentricidad es una medida de la "circularidad" de una elipse, entre más cerca de cero más circular y entre más cerca de uno más alargada.

Observe que al estar situados los focos en el eje mayor entre el centro y los vértices, siempre se tiene que

Es decir, las elipses tienen una excentricidad menor a uno.

Esto explica la dificultad de los astrónomos en detectar las órbitas elípticas de los planetas, pues estas tienen los focos muy cerca de su centro, lo cual las hace casi circulares. La siguiente tabla muestra la excentricidad de las órbitas de los nueve planetas y la Luna.

Una de las propiedades geométricas más interesante de la elipse afirma que: un rayo que emana de uno de los focos de la elipse y se refleja en ella pasa por el otro foco; esta propiedad se conoce como la propiedad reflectora (figura 3).

 

Figura 3.

Ejemplo 1

Hallar la ecuación canónica de la elipse

Trazar su gráfica identificando los vértices, los focos, el centro y la excentricidad.

Solución

Para hallar la ecuación canónica debemos completar el cuadrado de la expresión en ambas variables e

La gráfica se muestra en la figura 4.

Figura 4.

Ejemplo 2

La gráfica de la elipse se muestra en la figura 5.

Figura 5.

Ejemplo 3

Determine la ecuación canónica de la elipse con ejes paralelos a los ejes coordenados y que pasa por los puntos

Solución

Suponga que el centro de la elipse es

(h,k)

Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación debe ser:

Si la elipse tiene eje horizontal su ecuación tiene la forma:

Evaluando cada uno de los puntos, obtenemos el siguiente sistema:

(1) Si

(2) Si

(3) Si

(4) Si

De (3) y (4) obtenemos (5)

De (1), (2) y (5) tenemos que

Lo cual es falso. Esto nos dice que no existe una elipse de eje horizontal que pase por esos.

Si la elipse tiene eje es vertical, su ecuación tiene la forma:

Sustituyendo cada uno de los obtenemos el siguiente sistema:

(6) Si

(7) Si

(8) Si

(9) Si

De (6) y (7) tenemos (10)

De (8) y (9) tenemos (11)

De (6), (8), (10) y (11) tenemos

Con lo cual la ecuación de la elipse es:

(7) Si

 

Ejercicios

Historia

El matemático griego Menecmo (vivió sobre el 350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se obtiene cortando una superficie cónica con un plano que no es paralelo a ninguna de sus generatrices.

Las hipérbolas son las curvas que se obtiene al cortar una superficie cónica con un plano que es paralelo a dos de sus generatrices (Base y arista).

Las parábolas son las curvas que se obtienen al cortar una superficie cónica con un plano paralelo a una sola generatriz (Arista).

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira.

Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón.. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

 

 

Autor:

Noelia Andia

Partes: 1, 2


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