Una de las ventajas de este tipo de aprendizaje radica en sus grandes perspectivas de contribuir al logro de una mejor organización y durabilidad del conocimiento; pues, en contraposición al aprendizaje memorístico, en el que el conocimiento es necesario extraerlo de la memoria de la misma forma en que fue aprendido; con el aprendizaje significativo se extraen estructuras organizadas que reflejan las características fundamentales del objeto de estudio, y aplicando estrategias de elaboración puede obtenerse más información de esas estructuras.
Por otra parte, la educación matemática, en aras de perfeccionar el proceso de enseñanza aprendizaje (PEA) de la matemática, ha propuesto el empleo de la resolución de problemas en tres direcciones principales: el PEA por medio de la resolución de problemas (cuando se motiva e introduce el nuevo contenido por medio de la resolución de problemas sencillos, cuyas herramientas de solución están en la zona de desarrollo actual del alumno); el PEA de la resolución de problemas (cuando se hace énfasis en los procesos que intervienen en el proceso en sí de resolución de problemas) y el PEA para la resolución de problemas (cuando se emplean los problemas para ilustrar las aplicaciones del contenido o ampliar sus significados), términos estos que manejaremos por el momento de manera intuitiva y que se definen en el capítulo 1 con mayor exactitud.
En Angola, el empleo de la resolución de problemas se limita al PEA para la resolución de problemas al finalizar los sistemas de clases y unidades temáticas con vistas a la fijación y aplicación del contenido, pues en general no se emplean los problemas para motivar o introducir los nuevos contenidos (PEA basado en la resolución de problemas). También se ha hecho énfasis en los pasos que se siguen al resolver problemas, pero no se profundiza en el empleo de estrategias y recursos heurísticos.
El PEA basado en la resolución de problemas, en primera instancia, permite que el alumno realice conexiones entre la teoría y el mundo real; facilita que el estudiante se involucre en su propio proceso de aprendizaje, y que el profesor y los alumnos sean mediadores entre el conocimiento y el alumno, para que este utilice la teoría o los contenidos de una o más asignaturas como herramientas que le permitan identificar problemas, determinar causas, proponer y seleccionar alternativas de solución; propicia el logro de su motivación intrínseca (condición necesaria para el logro de una actitud de aprendizaje significativo), para que sea el mismo estudiante quien trate de relacionar la teoría con un problema real y de su entorno, que sea capaz de relacionar los conocimientos previos con los nuevos para construir su propio conocimiento y de esta manera lograr un aprendizaje significativo y permanente.
El estudio del papel de los problemas en la lógica y estructura del proceso docente constituye un aspecto de cardinal importancia en los fundamentos sobre el aprendizaje de la matemática en los trabajos de A. Schoenfeld (1985), Jeremy Kilpatrick (1990), Miguel De Guzmán (1993), Marie Lise Peltier (1993), Joseph Gascón (1994), Luz Manuel Santos (1995), Campistrous (1996) y otros, que no sólo se restringen al estudio de los procesos heurísticos que transcurren en la solución del problema propiamente, como la mayoría de los trabajos de G. Polya, sino que discuten sobre sus aspectos epistemológicos como base para las sugerencias pedagógicas; sobre sus principales aportes se profundiza en el capítulo 1.
En cuanto al tratamiento de conceptos, en la enseñanza superior los conceptos son de naturaleza abstracta y muchos poseen una extensión dinámica (como el de función, que depende del dominio que se considere); sin embargo, se lleva a cabo un tratamiento muy restringido de los mismos, al ocuparse solo de elementos particulares de su extensión.
En este nivel, solo se profundiza en el empleo de los conceptos en la solución de ejercicios semejantes a algunos ya resueltos, no se transmite una adecuada conceptualización sobre las características lógicas (extensión y contenido) fundamentales de los conceptos matemáticos. No se emplean organizadores importantes como mapas de extensiones y de proposiciones, no se logra un conocimiento sobre los diferentes tipos de generalizaciones que se realizan -en ocasiones ni siquiera se tiene la idea de que se ha realizado una generalización-, no se dispone de criterios para determinar la calidad de las generalizaciones, se demuestran muchos teoremas y sin embargo, esta importante acción se ve desligada del proceso de desarrollo conceptual.
Por otra parte, el tratamiento de los teoremas matemáticos requiere de la preparación del camino para su obtención, debe realizarse su demostración ya sea en la propia clase o en el estudio independiente debidamente controlado, lo cual requiere de una preparación para su demostración, que incluye: el despertar de la motivación para la misma, la determinación de las hipótesis y las tesis, la elección del método de demostración más adecuado, la elaboración del plan de demostración. Durante la ejecución del plan, deben dejarse claras las reglas de inferencias que se utilizan, los principios, reglas y estrategias heurísticas que se emplean. Debe llevarse a cabo un tratamiento óptimo de explotación del error que cometen los estudiantes y analizar las condiciones perspectivas y retrospectivas del mismo. Ver (Ballester y otros, 1992).
Con el objetivo de analizar cómo se manifiesta el tratamiento de algunos conceptos y teoremas matemáticos, el papel de la resolución de problemas y el aprendizaje activo, mediado y significativo en la disciplina Análisis Matemático de la carrera Licenciatura en Ciencias de la Educación, especialidad Matemática, se aplicaron algunos instrumentos que permitieron apreciar la existencia de algunas dificultades.
Resumiendo y formalizando algunas de las ideas aquí expresadas, según la literatura consultada, la experiencia del autor en la docencia, la observancia de diferencias significativas en la manera de enseñar de los profesores angolanos con respecto a los cubanos, los resultados obtenidos durante seis años de ejercicio de la docencia de la Matemática a alumnos de dicha carrera, se tiene, sobre la relación resolución de problemas – tratamiento de conceptos – tratamiento de teoremas – aprendizaje significativo en el PEA del Análisis Matemático, los resultados siguientes:
Sobre los procesos que intervienen en el tratamiento de conceptos:
Son muchos los conceptos de varios temas de la disciplina Análisis Matemático, que pueden ser formados mediante el proceso de comparación de objetos particulares (vía inductiva), sin embargo esto no se hace. En la mayoría de los casos, el tratamiento conceptual parte de su definición; esto se debe, principalmente, al presupuesto de tiempo. No obstante, los estudiantes deben conocer el proceso de formación inductivo, por lo que resulta necesario implementarlo con algunos conceptos a partir de la resolución de problemas.
Dada la naturaleza abstracta de los objetos y la infinitud de la extensión de los conceptos matemáticos que se tratan en esta carrera, no existe motivación para establecer su comparación y no se emplean problemas adecuados para lograr esto.
Los estudiantes no son conducidos a la determinación de los rasgos esenciales y no realizan, el proceso de abstracción de rasgos no esenciales; no tienen conciencia del proceso de síntesis de los rasgos esenciales y de su consideración en un determinado conjunto (el contenido).
No existe un conocimiento acabado sobre aspectos esenciales relativos al trabajo con conceptos como son: en qué consisten los procesos en que se subdivide el tratamiento conceptual (formación, desarrollo y generalización), cuáles son las características lógicas del concepto (contenido y extensión), cuáles son las operaciones lógicas que se pueden realizar con conceptos (definición, clasificación, generalización), etc.
Durante los procesos de desarrollo y generalización conceptual, no se llevan a cabo suficientes acciones que traigan consigo un conocimiento más acabado del concepto en estudio.
Sobre el tratamiento de teoremas:
No existe una preparación del camino de obtención del teorema.
Muchas veces, por presupuestos de tiempo, no se realiza la demostración del teorema, y cuando se hace, no se lleva a cabo una preparación para su demostración, que incluye la motivación para la misma, la determinación de las hipótesis y las tesis, la elección del método de demostración más adecuado, la elaboración del plan de demostración.
Durante la ejecución del plan, no se dejan claras las reglas de inferencias que se utilizan, ni los principios, reglas y estrategias heurísticas que se emplean.
No se lleva a cabo un tratamiento óptimo de explotación del error que cometen los estudiantes
No se analizan las condiciones perspectivas y retrospectivas del mismo.
En ocasiones, la articulación entre los conocimientos que tiene el estudiante con los nuevos no se lleva a cabo significativamente, pues no se emplean adecuados organizadores (como mapas de extensiones, de contenidos, diagramas) encaminados a modificar las estructuras mentales de los estudiantes que permitan organizar el contenido en estructuras relacionadas más fáciles de recordar a largo plazo, salvo el olvido de aspectos secundarios.
Muchas veces no se logra la necesaria motivación intrínseca en los alumnos y por ende, la actitud de aprendizaje significativo para abordar situaciones de aprendizaje, por medio de la resolución de problemas cercanos a los intereses del futuro profesor de Matemáticas, que traigan consigo una implicación afectiva del alumno, lo que da al traste con que solo se esfuercen en su estudio para salir bien en las evaluaciones de las asignaturas.
El sistema de evaluación generalmente está encaminado a la reproducción de contenidos aprendidos por medio de evaluaciones orales y escritas (frecuentes, parciales y finales), priorizando la función sumativa de la misma y no a la realización de la evaluación formativa, suscitando escenarios de autoevaluación y coevaluación, no solo de contenidos, sino de la calidad de los procesos que han intervenido en el aprendizaje.
Estas deficiencias se manifiestan, entre otros aspectos, debido a que en el proceso de formación de los profesores de Matemática en el Instituto Superior de Ciencias de la Educación (ISCED) de Huambo en la República de Angola no se ha implementado un sistema de superación que conduzca, de manera efectiva la necesaria relación que debe existir entre el empleo de la resolución de problemas, el tratamiento de conceptos, el tratamiento de teoremas y el aprendizaje significativo en el PEA de las disciplinas matemáticas en general y del Análisis Matemático en particular.
Por todo lo antes expuesto, se ha podido constatar la existencia del siguiente problema científico:
Problema Científico: ¿Cómo puede perfeccionarse el proceso de enseñanza aprendizaje de la disciplina Análisis Matemático en la carrera Licenciatura en Ciencias de la Educación, especialidad de Matemática del ISCED-HBO?
Por tanto la presente investigación tiene como objeto de estudio: "El Proceso de Enseñanza – aprendizaje del Análisis Matemático en la carrera Licenciatura en Ciencias de la Educación, especialidad de Matemática del ISCED-HBO"
Nuestro campo de acción es: "El papel de la resolución de problemas para abordar los conceptos y teoremas en el proceso de Enseñanza – Aprendizaje del tema Cálculo Diferencial de la disciplina Análisis Matemático de la carrera antes citada"
El objetivo general es: diseñar una estrategia didáctica basada en la resolución de problemas que contribuya a elevar la calidad del tratamiento metodológico de los conceptos y teoremas en el proceso de Enseñanza – Aprendizaje del Análisis Matemático en dicha carrera.
Desarrollo
Sistema de acciones propuesto en la estrategia didáctica
A continuación se expone el sistema de acciones propuesto en la estrategia didáctica basada en la resolución de problemas para contribuir al cumplimiento del objetivo general propuesto.
Acciones relativas al planteamiento de los problemas.
Durante todos los procesos de formación, desarrollo y generalización conceptual, así como de búsqueda, demostración, valoración y aplicación de teoremas.
Los problemas que se planteen deben estar encaminados a:
Relacionar esencialmente, y no de modo arbitrario, el conocimiento nuevo con los conocimientos previos que tienen los alumnos aplicando el concepto vygotskiano de Zona de Desarrollo Próximo.
Modificar los esquemas y modelos mentales por medio de un proceso personal de equilibrio ( desequilibrio ( reequilibrio.
Propiciar las condiciones para que los alumnos planteen problemas por sí solos, como consecuencia natural de las insatisfacciones con los vacíos que se deben ir llenando al relacionar los conceptos significativamente.
Cuando un problema, o conjunto de problemas, ha sido resuelto por la mayoría de los alumnos con ayuda del profesor o de otros compañeros más capaces (aprendizaje mediado), deben plantearse otros, con objetivos semejantes a los anteriores, hasta lograr que la mayoría de los estudiantes los resuelvan independientemente y, paulatinamente, plantear otros que requieran de cierta dosis de creatividad, hasta lograr, con su resolución, un aprendizaje activo de los alumnos.
A la hora de escoger el problema a plantear debe tenerse en cuenta que el aprendizaje significativo del contenido que este incluye queda determinado, no solo por el conocimiento previo que debe tener el alumno, sino por la capacidad adquirida a lo largo de su desarrollo.
Durante el proceso de formación del concepto por vía inductiva.
Plantear problemas encaminados a:
Presentar a los estudiantes cierto número de objetos, especialmente seleccionados, con el objetivo que los comparen y los analicen.
Mediar para que los alumnos seleccionen propiedades de cada objeto, los comparen con los otros objetos, determinen las propiedades comunes y hagan su abstracción de las propiedades no comunes.
Facilitar el proceso mental de síntesis, para que se seleccione un conjunto mínimo de propiedades (esenciales), a partir de las cuales se puedan obtener todas las demás propiedades comunes.
Dejar claro mediante la generalización, la posible existencia de un conjunto de objetos más amplio que los considerados, que satisfacen estas características esenciales, y la posibilidad de que algunos de los presentados no se incluya en el concepto.
Utilizar una denominación verbal para nombrar la clase de todos los objetos que cumplen las propiedades esenciales, y realizar la definición científica del concepto correspondiente a la clase de propiedades seleccionada.
Durante el proceso de desarrollo del concepto.
Plantear problemas encaminados a:
Obtener caracterizaciones del concepto definido.
Realizar un estudio de la extensión del concepto caracterizado por:
El estudio de estructuras algebraicas y topológicas.
La ampliación de la clase de elementos conocidos de su extensión.
El establecimiento de isomorfismos entre su extensión y la extensión de otros conceptos u otros conjuntos.
La determinación de relaciones significativas con las extensiones de otros conceptos.
La construcción de mapas de extensiones que tienen lugar entre la extensión del concepto estudiado con las extensiones de otros conceptos, y de los mapas de contenido correspondientes.
La determinación de objetos límite y casos especiales del concepto en estudio.
Realizar aplicaciones importantes del concepto en problemas intramatemáticos extramatemáticos; así como ampliar sus significados.
Ejercitar a los estudiantes en las técnicas de demostración para ampliar las propiedades del concepto, utilizando para ellos las caracterizaciones más adecuadas.
Durante el proceso de generalización del concepto.
Plantear problemas encaminados a
Preparar el concepto para su generalización.
Realizar generalizaciones:
Por debilitamiento del contenido del concepto.
Por consideración de contextos más amplios.
Establecer criterios de bondad para valorar la calidad de las generalizaciones hechas.
Durante el proceso de obtención del teorema.
Plantear problemas encaminados a:
Preparar el camino para la obtención del teorema, que incluye:
La motivación para la misma.
La visualización geométrica del resultado que se pretende enunciar.
La realización de preguntas heurísticas cuyas respuestas permiten la obtención de resultados parciales que en su conjunto conducen a la formulación del teorema como tal.
Durante el proceso de demostración del teorema.
Plantear problemas encaminados a:
Realizar la demostración de la mayoría de los teoremas, y las que no puedan hacerse en clases por presupuesto de tiempo, entonces orientarlas como estudio independiente para ser posteriormente controladas, preferiblemente en seminarios.
Llevar a cabo una preparación para su demostración, que incluye la motivación para la misma, la determinación de las hipótesis y las tesis, la elección del método de demostración más adecuado, la elaboración del plan de demostración.
Durante la ejecución del plan, dejar claras las reglas de inferencias que se utilizan, así como los principios, reglas y estrategias heurísticas que se emplean.
Llevar a cabo un tratamiento óptimo de explotación del error que cometen los estudiantes.
Durante el proceso de valoración de la calidad del teorema obtenido. (Analizar las condiciones perspectivas y retrospectivas del mismo)
Plantear problemas encaminados a:
Relacionar más de una vía de demostración en aquellos teoremas factibles para ello.
Valorar validez de contrarrecíprocos, poner contraejemplos, mencionar condiciones necesarias, suficientes o caracterizaciones.
Valorar posibilidades de empleo en contenidos venideros.
Reproducir las demostraciones definidas en el programa como básicas.
Durante el proceso de aplicación del teorema.
Deben realizarse preguntas heurísticas encaminadas a:
Identificar cuál teorema debe aplicarse en determinados pasos de la solución de algunos problemas.
Cuando identifica el teorema que debe usarse, debe garantizarse que se emplee correctamente.
Acciones relativas a la resolución de los problemas.
Existen varios programas heurísticos generales para llevar a cabo el proceso de resolución de problemas; entre ellos: el de Polya (1986), el de Schoenfeld (1985a) y el de Miguel de Guzmán (1992); los cuales presentan muchos aspectos coincidentes. Teniendo en cuenta estos tres programas y las acciones que han realizado los profesores del Seminario de Matemática Educativa de la UCLV en su trabajo profesional a la hora de guiar esta actividad en asignaturas de la carrera Licenciatura en Matemática de la UCLV, planteamos a continuación el programa heurístico general y los procedimientos correspondientes para la resolución de problemas que pretendemos seguir.
Fases y acciones del programa heurístico general para la resolución de los problemas durante los procesos de formación, desarrollo y generalización conceptual y durante la formulación y demostración de teoremas matemáticos.
Este programa heurístico general se implementa cuando se proponen los problemas relativos a los procesos descritos anteriormente de: llevar a cabo el proceso de formación por vía inductiva (desarrollo o generalización) conceptual de un concepto matemático, o de llevar a cabo el proceso de obtención (demostración) de teoremas en la carrera Licenciatura en Educación, especialidad Matemática del ISCED de Angola".
Durante la resolución de los problemas particulares que se plantean en cada árbol de problemas, puede seguirse el programa heurístico siguiente:
Comprensión del problema:
Lectura cuidadosa.
Selección e interpretación de palabras claves.
Modelación verbal del problema, eliminando la información no esencial.
Elaborar figuras, tablas o esquemas que proporcionen una mejor comprensión del problema.
Trabajo en el problema:
Precisión del problema:
Determinar las magnitudes conocidas y buscadas.
Determinar leyes a utilizar del área que corresponde el problema.
Establecer relaciones y dependencias entre las magnitudes.
Modelación gráfica, tabular, mediante principios o leyes del área a que corresponde el problema.
Modelación matemática del problema.
Modelación matemática de las magnitudes del problema.
Modelación de relaciones entre magnitudes.
Obtención del modelo matemático a partir del modelo mediante principios o leyes del área a que corresponde el problema.
Determinación de las características del modelo matemático con respecto a su solución.
Después de obtenido el modelo matemático del problema, con respecto a su solución, puede ocurrir una de tres variantes siguientes:
V1. El alumno conoce, al menos, un método de solución del modelo.
V2. El alumno no conoce un método de solución y le es permitido utilizar las tecnologías de la información y las comunicaciones (TIC) para resolver el modelo.
V3. El alumno no conoce un método de solución y no se le permite utilizar las TIC para resolver el modelo.
Fases correspondientes a cada una de estas variantes.
En la primera variante:
Si conoce un solo método de solución, debe pasar a la fase de solución del modelo.
Si conoce más de un método de solución, debe:
Determinar el método óptimo para la solución del problema.
Aplicar estrategias en este sentido.
En la segunda variante:
Determinar el paquete que va a utilizar para resolver el problema.
Seleccionar la herramienta computacional que va a utilizar.
En la tercera variante:
Determinar la idea de solución.
Elaboración de un plan de solución.
Determinación de medios y estrategias, por ejemplo, utilizar la estrategia de trabajo hacia adelante o hacia atrás.
Realización de estimados.
Solución del modelo matemático.
Determinación de la solución.
De acuerdo con la variante que corresponda se utilizará un método de solución, se empleará la herramienta computacional escogida, o se aplicará el plan de solución diseñado.
Evaluación del proceso matemático de solución y de su resultado.
Comprobación de la solución.
Consideraciones perspectivas y retrospectivas.
Reflexiones sobre el proceso de solución aplicado.
Valoración de la aplicación de otros procesos de solución.
Posibilidad de empleo del proceso de solución en otros problemas semejantes.
Determinación de las restricciones con las que ha sido resuelto el problema.
Determinación de otros resultados matemáticos necesarios para dar solución al problema original.
Transferencias de resultados matemáticos.
Aplicación del proceso inverso al de modelación.
Transferencia de resultados matemáticos a frases verbales.
Transferencia de resultados matemáticos a afirmaciones verbales.
Planteamiento de nuevos problemas matemáticos.
Eliminar restricciones con las que fue resuelto el modelo matemático.
Analizar la posibilidad de ampliar el dominio de solución del modelo.
Planteamiento de otros problemas contextuales.
Planteamiento de otros problemas contextuales que se resuelvan con un modelo similar al que se empleó en el problema resuelto.
Planteamiento de nuevos problemas contextuales en correspondencia con las generalizaciones del modelo obtenido en la fase anterior.
Procedimientos heurísticos.
Principios heurísticos: analogía, reducción, inducción, generalización, movilidad, medir y comprobar, consideración de casos especiales y casos límites.
Estrategias heurísticas.
Trabajo hacia adelante.
Determinación de una caracterización óptima.
Utilización de propiedades conocidas adecuadas.
Aplicación de reglas de inferencia correctas.
Trabajo hacia atrás.
Trabajo operacional obviando reglas de inferencia hasta llegar a una solución probable.
Comprobación de la solución probable.
Modelación.
Modelación verbal del problema.
Modelación gráfica, tabular o mediante leyes contextuales.
Modelación matemática.
Solución del modelo matemático.
Transferencia de resultados matemáticos a frases y afirmaciones verbales.
Acciones relativas al logro de la motivación intrínseca durante todos los procesos.
Acciones a realizar en este sentido pueden ser:
Involucrar a los alumnos en el planteamiento de problemas debidamente dosificados con cierta significatividad experiencial para los alumnos, los que pueden ser extramatemáticos o intramatemáticos de la misma rama del concepto o de otras áreas de la matemática.
Plantear problemas encaminados a resaltar las necesidades no satisfechas, encaminados a que los estudiantes se esfuercen en su resolución de manera enérgica y con intención.
Plantear variedad de problemas encaminados al planteamiento de metas por los alumnos, alcanzables con diferentes niveles de esfuerzos.
Plantear problemas encaminados a despertar la duda, la perplejidad, la contradicción, la confusión o la inadecuación.
Hacerles ver que de los errores que se cometen también se aprende, lo que ayuda a elevar o mantener estable la autoestima del alumno ante un error cometido.
Acciones para el logro de un PEA con la unidad entre lo cognitivo y lo afectivo.
En el epígrafe 1.4.1 se profundizó en este importante aspecto. No obstante, antes de determinar acciones que tributen a esta unidad, consideramos pertinente destacar que: la comunicación como relación entre los sujetos y como vía para el logro de un aprendizaje mediado, en la cual se establecen múltiples motivaciones; es el proceso que adquiere, en el sentido afectivo, un carácter fundamental.
Se proponen las acciones siguientes:
Lograr que los alumnos con mayores dificultades planteen sus dudas y conducirlos, por medio de adecuados niveles de ayuda, a la asimilación del contenido.
Estimular a los estudiantes en la posibilidad del desarrollo de tareas (resolución de problemas, elaboración o completamiento de organizadores de la información, etc.) que les permitan descubrir, aplicar u organizar los conocimientos matemáticos.
Fortalecer la autoestima de los estudiantes de acuerdo con el nivel de desarrollo que presenten. Los de bajo aprovechamiento en el sentido que pueden vencer los objetivos fundamentales, sin suscitar una ayuda prematura por parte del profesor u otro alumno, y los de medio y alto aprovechamiento, que pueden ser capaces de mejorar su actuación.
Estimular la correspondencia entre lo que se piensa y se hace, para evitar manifestaciones de doble moral y desalentar el fraude académico, creando motivaciones para el estudio y convirtiendo éste en un deber social y un placer para el estudiante.
Velar porque se cumplan las normas de educación formal durante el desarrollo del PEA.
Suscitar escenarios que contribuyan a desarrollar valores como: la solidaridad, la laboriosidad, el patriotismo, etc, aprovechando para ello, las potencialidades que brinda la enseñanza basada en la resolución de problemas.
Acciones encaminadas a la realización de una adecuada evaluación de los conocimientos.
Anteriormente apuntamos que uno de los componentes del curriculum que más conflictos provoca en los alumnos es la evaluación concebida como instrumento de control y sanción del aprendizaje producido, en la que predomina la función sumativa de la evaluación.
La evaluación debe usarse no solo para la promoción de los alumnos de una asignatura dada, debiendo ser el objetivo primordial ayudar a conseguir un aprendizaje significativo, gratificante y satisfactorio; esto obliga a considerar prioritariamente su función formativa. Desde la concepción formativa de la evaluación como instrumento de perfeccionamiento y ayuda al alumno; para llevarla a cabo, de acuerdo con el objetivo de la estrategia, se debe atender a dos direcciones fundamentales, en las que se proponen las acciones:
Integrar la tipología evaluativa
a) Según su intención: formativa o sumativa.
b) Según su temporalidad: diagnóstica, frecuente o continua y final.
c) Según sus agentes: autoevaluación, coevaluación y heteroevaluación.
En los instrumentos evaluativos, incluir preguntas que midan la calidad tanto de procesos como de resultados, combinar preguntas reproductivas, con productivas y creativas.
Contrarrestar las patologías más frecuentes de la evaluación.
Planificación de la implementación de la estrategia en el tema "Cálculo Diferencial de funciones reales"
A continuación se planifica la implementación de la estrategia propuesta por medio del Sistema de clases relativo al tema "Cálculo diferencial de funciones reales", por medio del cual se implementa la estrategia didáctica basada en la resolución de problemas para llevar a cabo el tratamiento de los conceptos y teoremas relativos al mismo, en dicha carrera.
Leyenda:
En azul, aparecen los problemas y ejercicios planteados por medio de los cuales se va construyendo el conocimiento con un papel activo del estudiante.
En rojo, aparece la intención didáctica del problema o ejercicio como parte del proceso que interviene en el tratamiento de los conceptos y teoremas del tema en estudio.
Conferencia # 1: Derivadas de funciones de una variable real
Sumario
Problemas que conducen al concepto de derivada en un punto. Velocidad instantánea, tangente a una curva.
Derivada de una función en un punto.
Derivadas laterales.
Derivadas infinitas.
Problemas que conducen al concepto de derivada en un punto
Consideremos un problema físico y otro geométrico que precedieron históricamente al surgimiento del concepto derivada.
Velocidad instantánea.
Problema 1.1 (de presentación de objetos para comparar y de ampliación de significados del concepto):
Solución
Se llega en elaboración conjunta a la definición:
Definición: Denominamos velocidad instantánea del movimiento rectilíneo dado por s = f(t), con (t (0, al límite (si existe)
Problema 1.2: ¿Cuál es la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto de abscisa x0?
Solución mediante conversación heurística
Todo el mundo tiene una idea clara de lo que es la recta tangente a una circunferencia en uno de sus puntos, pero si tratamos de generalizar esa idea a otras curvas nos encontramos con cuestiones que esa idea no resuelve.
– ¿Puede la recta tangente cortar a la curva en más de un punto?
– ¿Puede atravesar la recta tangente a la curva por el punto de tangencia?
Solución
Consideremos una curva dada por y = f(x) definida y continua en un intervalo (a, b).
Problema 1.3: (de presentación de objetos para comparar y de ampliación de significados del concepto): ¿Cómo podemos hallar la ecuación de la recta tangente a f en x0 si solo tenemos el punto de tangencia?
Solución
¿Cuál es la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos de abscisas x0 y x0+?x?
Para conocer la ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P basta conocer la tangente de su ángulo de inclinación (pendiente), para conocer la pendiente de la recta tangente consideremos la pendiente de las rectas secantes que pasan por P
Conociendo que la recta normal a f en x0 es la perpendicular a la recta tangente a f en x0. ¿Cuál será la ecuación de la recta normal?
Problema 1.4 (de utilidad del concepto): Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 en el punto de abscisa 
3.
Solución
Visualización con el Paquete Mathematica: Visualización recta tangente.nb
Derivada de una función en un punto
(de síntesis y generalización): Ya se han resuelto dos problemas: uno físico y uno geométrico que conducen a un mismo objeto matemático (límite de un cociente incremental), que recibe el nombre especial de derivada de una función en un punto y vale la pena definir con rigor. ¿Cómo puede definirse dicho concepto?
Definición. Función derivada
Problema 1.5: (de ampliación de la colección de elementos conocidos de E): Utilizando la definición de derivada, demuestre que la derivada de las funciones es la que se indica:
Ejemplificación con el Paquete Mathematica: Derivada.nb
Derivadas laterales
(de preparación del concepto para la gereneralización) Cuando se calcula el límite del cociente incremental no siempre tiene que existir, pues a veces existe el límite por la derecha o por la izquierda pero no son iguales. ¿Qué nombre le sugiere estos límites laterales?
De forma análoga a los conceptos de límite y continuidad lateral se introduce el concepto de derivada lateral.
Definición. Derivada lateral (generalización por debilitamiento del contenido del concepto de derivada)
Llamamos derivada lateral derecha (izquierda) de y = f(x) en el punto y la denotamos como a:
(de ampliación de significados del concepto) ¿Cómo pueden ser interpretadas geométricamente las derivadas laterales de la función f en el punto x0?
Las derivadas laterales, pueden ser interpretadas geométricamente utilizando el concepto de semitangentes a una curva en un punto.
Problema 1.6: (de ampliación de la colección de elementos conocidos de EC) Analizar la existencia de la derivada de la función
x ( R en el punto x = 0.
Solución
Calculando las derivadas laterales en x=0
No existe la derivada en el punto cero.
(de preparación para la obtención del teorema)
¿Es la función f(x) = 
continua en cero?
¿Se puede decir que toda función continua en un punto es derivable en ese punto?
Problema 1.7: (de establecimiento de relaciones entre la extensión E con las extensiones de otros conceptos y de determinación de condiciones necesarias para el contenido del concepto) ¿Cómo quedaría enunciado el teorema que relaciona los conceptos de función derivable y función continua?:
Solución: La solución de este problema es el enunciado del teorema:
Teorema: Toda función derivable en un punto es continua en ese punto.
Problema 1.8: (de recursos heurísticos para la demostración del teorema) Hacer la Demostración.
(de valoración de la calidad del teorema obtenido) ¿Es cierto el recíproco de este teorema? Argumente.
Derivadas infinitas
¿Qué ocurre en el caso en que el límite del cociente incremental sea + ( o – (? Realice un análisis algebraico y geométrico.
En este caso, diremos que en el punto la función f(x) tiene derivada infinita (o derivadas laterales infinitas).
Problema 1.9: (de ampliación de la colección de elementos conocidos de EC)
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 5- 15)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del Estudio independiente
1. Ejercicios 1, 2, 3 pág. 8
2. Ejercicios (1 – 6), pág. 15 y 16
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Clase Práctica #1: Derivada de una función
en un punto.
1. (de utilidad del concepto)
Encontrar la ecuación de la recta tangente y normal a la curva,
en el punto que se indica.
2. (de ampliación de la
colección de elementos conocidos de E y EC) Analizar donde las
siguientes funciones no son derivables.
3. (de ampliación de la
colección de elementos conocidos de E y EC) Encontrar A y B tal
que
4. (de ampliación de la
colección de elementos conocidos de E y EC) Analizar si es o
no derivable la función en el punto x = 0
5. ¿En qué puntos la
derivada de la función f(x) = x3 coincide numéricamente con
el valor de la propia función?6. (de utilidad del concepto) ¿Para
qué valores de la variable independiente son paralelas las tangentes
a las curvas y = x2 e y = x3?7. (de utilidad del concepto) Sea f(x)
= x2 + ax + b para todo x. Hallar valores de a y b tales que la recta y
= 2x sea tangente a la gráfica de f en el punto (2, 4).
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Clase Práctica #2: Derivada de una
función en un punto.
1. (de utilidad del concepto) Sea f(x)
= x + cos x para todo x. Hallar todos los puntos x para los que la gráfica
de f en (x, f(x)) tiene pendiente cero.2. (de utilidad del concepto) Hallar
valores de las constantes a, b y c para los cuales las gráficas de
los dos polinomios f (x) = x2 + ax + b y g(x) = x3 – c se cortan en
el punto (1, 2) y tengan la misma tangente en dicho punto.3. (de ampliación de la colección
de elementos conocidos de E y EC) Sea f definida como:
4. (de utilidad del concepto) Hallar
la ecuación de la parábola y = x2 +bx + c, que es tangente
a la recta y = x en el punto (1, 1).5. (de utilidad del concepto y de ampliación
de significados del concepto) Conociendo que f es derivable en c, sea
g la función definida por
6. (de ampliación de la
colección de elementos conocidos de E y EC y de ejemplificación
de casos especiales) Dar un ejemplo de una función f tal que
es definida para todo x real y satisfaga las siguientes condiciones:
((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((((
Conferencia # 2: Operaciones con funciones derivables. Diferencial.
Sumario
Operaciones aritméticas con funciones derivables.
Derivada de algunas funciones elementales
Diferencial.
Operaciones aritméticas con funciones derivables.
Problema 2.1 (de establecimiento de propiedades que conducen a la determinación de estructuras algebraicas de E con determinadas operaciones) (de preparación para la obtención del teorema) Hasta el momento ya sabemos las derivadas de algunas funciones elementales, pero ¿cómo calcular derivadas de la suma, el producto, el cociente, la composición y la inversión de funciones reales? Por ejemplo:
Solución
El siguiente teorema ofrece las herramientas necesarias para las tres primeras operaciones expresadas anteriormente.
Teorema: Supongamos que las funciones f(x) y g(x) son derivables en un puntoentonces, las funciones
Problema 2.2 (de
utilización de recursos heurísticos para la demostración
del teorema). Realice la demostración
de este teorema. Sugerencia: tenga en cuenta el límite del cociente incremental
en cada caso y realice las transformaciones algebraicas pertinentes.
Demostración:
2) En el caso de la derivada del producto se tiene, al aplicar el límite del cociente incremental resulta:
¿Qué se necesita en el próximo paso para llegar a lo que se necesita?
Ver las demostraciones de los demás casos en la página 17.
(de valoración
de la calidad del teorema obtenido) ¿Las
reglas anteriores pueden extenderse a un número cualquiera finito de
funciones?
Entonces ya estamos en condiciones para hallar las derivadas de operaciones con funciones concretas.
Ejemplos. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de E) Determine la función derivada de las funciones siguientes
Problema 2.3 (de
ampliación de la colección de elementos conocidos de E) Demuéstrelo
por dos vías como ejercicio de estudio independiente
Vía 1: Aplicar inducción completa
Vía 2: Aplicar el límite del
cociente incremental, tenga en cuenta el binomio de Newton.
Una aplicación directa de esta fórmula
y de las propiedades anteriores es el siguiente:
Problema 2.4 (de ampliación de la
colección de elementos conocidos de E) Demuéstrelo
Demostración
¿Qué transformaciones suceden con vistas al resultado que se quiere obtener?
Problema 2.5 (de
ampliación de la colección de elementos conocidos de E) Pruebe
como ejercicio de estudio independiente que:
¿Qué transformaciones suceden con vistas al resultado que se quiere obtener? Tenga en cuenta las propiedades de los logaritmos en búsqueda del límite fundamental algebraico.
Derivadas de las funciones hiperbólicas
Problema 2.8 (de
ampliación de la colección de elementos conocidos de E) Pruebe
como ejercicio de estudio independiente y utilizando las definiciones de las
funciones hiperbólicas que:
Introducción al concepto
de Diferencial.
(de generalización mental conducente
al concepto de incremento)
Definición.
Ejemplos.
Problema 2.9. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de E)
Problema 2.10 (de ampliación de la colección de elementos conocidos de E) Calcule el diferencial de y = f(x) = x en el punto x0.
Solución
(de comparación
de objetos particulares de E, análisis de rasgos comunes, síntesis
de rasgos esenciales, abstracción de rasgos no esenciales y generalización
a otros objetos) (de preparación para la obtención del teorema)
¿Qué característica común
poseen ambos ejemplos con respecto a la constante A?
Respuesta: En estos ejemplos podemos observar que la
constante A coincide con la derivada de la función en el punto x0 en
que se halla el diferencial.
(de establecimiento de relaciones entre
E y las extensiones de otros conceptos y de caracterización del concepto)
(de preparación para la obtención del teorema)
¿Por tanto qué relación puede establecerse entre los conceptos de función derivable con el de función diferenciable en x0?
El teorema siguiente relaciona los conceptos de derivabilidad y diferenciabilidad de una función en un punto.
Teorema. Una función f(x) es diferenciable en el punto 
si y solo si es derivable en dicho punto, y se tiene
(de empleo de recursos
heurísticos para la demostración del teorema)
¿Qué transformaciones se pueden hacer para tratar de llegar a que f es derivable, o sea, que existe su derivada?
Respuesta: Dividiendo por (x y pasando al límite, obtenemos:
(de empleo de recursos
heurísticos para la demostración del teorema)
Entonces ¿Qué ocurre si eliminamos el límite?
(de preparación para la obtención
del teorema)
¿Puede ocurrir que una función tenga dos o más diferenciales diferentes en x0? Enuncie un teorema al respecto.
Respuesta: La unicidad del diferencial se tiene a partir de la unicidad de la derivada.
Teorema: El diferencial de una función en un punto es único.
Diferenciales de funciones concretas conociendo la derivada
Problema 2.11 (de utilidad del concepto de derivada y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de diferencial) ¿Cómo puede expresarse el diferencial de toda función que conozcamos su derivada?, por ejemplo, de la función constante, la sinusoide, la logarítmica, etc
Solución
Reglas de diferenciación
Problema 2.12 (de establecimiento de propiedades que conducen a la determinación de estructuras algebraicas de E con determinadas operaciones) (de preparación para la obtención del teorema)
Enuncie y demuestre las reglas de diferenciación de la suma, producto y cociente de funciones diferenciables en x0.
Solución
Problema 2.13 (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de diferencial) Determine el diferencial de f(x) = sen x + 3ex
Solución
Interpretación geométrica del diferencial
De forma análoga a la derivada, el diferencial puede ser interpretado físicamente de diferentes formas según el significado que se le dé a la función y = f(x).
Aplicaciones del diferencial a los cálculos aproximados
(de ampliación del conocimiento
de la utilidad del concepto)
Problema 2.14 (de ampliación del conocimiento de la utilidad del concepto)
Como ha podido ver, el concepto de diferencial es muy importante en Matemáticas, pues es una fuente muy rica en la determinación de cálculos aproximados, aunque esto es solo el comienzo, pues también posee una presencia fundamental en el Cálculo Integral de funciones reales, el cual estudiaremos próximamente.
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 16- 32)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del Estudio independiente
1. Ejercicios 1, pág. 22
2. Ejercicios (1 – 6), pág. 31 y 32
—————————————————————————————
Clase Práctica #3: Derivada de funciones elementales.
Reglas de derivación.
1. (de ampliación de la colección
de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
Pruebe que:
2. (de establecimiento de la utilidad del
concepto de derivada) La ley de movimiento de un punto es s(t) = 5 t2,
donde s viene dada en metros y el tiempo t en segundos. Hallar la velocidad
del movimiento en el instante t = 3.3. (de establecimiento de la utilidad del
concepto de derivada) Probar que el coeficiente de variación
del área de un círculo respecto a su radio es igual a la longitud
del círculo.4. (de establecimiento de la utilidad del
concepto de derivada) Halle el coeficiente de variación del volumen
de una esfera respecto a su radio.5. (de aplicación de las propiedades
a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de la colección
de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
Halle la derivada de las siguientes funciones
6. (de ampliación de la colección
de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
Si f(x) = (ax + b) sen x + (cx + d) cos x, determinar valores de las
constantes a, b, c, d tales que f 䨸) = x cos x.7. (de aplicación de las propiedades
a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de la colección
de elementos conocidos de la extensión del concepto de suma finita)
——————————————————————————–
Clase Práctica #4: Reglas de derivación.
Diferencial de funciones.
1. (de ampliación de la colección
de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
2. (de utilidad del concepto de incremento)
3. (de utilidad del concepto de incremento)
¿En cuánto aumenta, aproximadamente el volumen de una
esfera, si su radio r = 15 cm se alarga en 2 mm?
4. (de utilidad del concepto diferencial)
Ejercicio 7, pág. 32 del texto.5. (de utilidad del concepto diferencial)
Ver ejercicio resuelto 3 página 30)
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Conferencia # 3: Derivada de las funciones compuestas e inversas
Sumario
Derivada de la función compuesta.
Derivada de las función inversa.
Derivada de funciones dadas paramétricamente.
Derivada y diferenciales de orden superior.
Introducción.
Problema 3.1. (de establecimiento de propiedades que conducen a la determinación de estructuras algebraicas de E con determinadas operaciones) (de preparación para la obtención del teorema)
Hasta el momento solo sabemos calcular derivadas de algunas funciones elementales y de otras que se forman realizando operaciones básicas entre ellas de suma, resta, multiplicación y división. (se recuerdan las derivadas de dichas operaciones), pero aún no sabemos cómo determinar la derivada de funciones compuestas, por ejemplo: ¿Cómo determinar la derivada de la función y = sen 3x?
En este caso, observemos que, si t = g(x) = 3x; y = f(t) = sen t, entonces y = (fog)(x) = f(g(x)) = sen 3x
(Puede resolverse este ejemplo por el límite del cociente incremental y generalizar el resultado)
A continuación enunciaremos el teorema que expresa este resultado:
Derivada de la función compuesta
Ejemplo. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada).
Regla de la cadena
(de valoración de la
calidad del teorema obtenido) ¿Cómo
puede expresarse la derivada de la función compuesta en notación
de diferenciales?:
Como puede apreciarse, la regla de derivación de la función compuesta expresa que para los diferenciales se mantiene la ley de cancelación válida para los números reales.
Nota: La fórmula de derivación de la función compuesta se puede aplicar a más de dos funciones.
Problema 3.2. Luego, ya estamos en condiciones para elaborar las fórmulas para la derivada de funciones compuestas. Por tanto se orienta como estudio independiente elaborar dicha tabla tomando como guía el siguiente ejemplo:
(de aplicación de las
propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de
la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto
de derivada) Realice el mismo proceso para
el resto de las funciones elementales.
R/
Problema 3.3. (de aplicación de las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) Calcule la derivada de las siguientes funciones compuestas
Derivada de la función potencial para exponente real.
Problema 3.4. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) (de preparación para la obtención del teorema)
Ya conocemos cómo calcular la derivada de la función potencial
para exponente natural, pero cómo calcular la derivada de dicha función con exponente real. Sugerencia: Emplee la identidad logarítmica fundamental con base "e" para transformar dicha función.
Ejemplo. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
Derivada de la función inversa
Otra pregunta interesante es: ¿Cómo obtener la derivada de una función que es inversa de otra conocida?
(Ver teorema y demostración en pág. 36)
(de empleo de recursos heurísticos
para la demostración del teorema) Realice
la visualización geométrica del resultado.
Problema 3.5. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) Demuestre que:
Derivada de funciones dadas paramétricamente
Decimos que la relación entre y y x están dadas paramétricamente si tanto una como la otra son funciones de una tercera variable, digamos t (parámetro); es decir,
Problema 3.6. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) (de preparación para la obtención del teorema) (de empleo de recursos heurísticos para la demostración del teorema)
Ejemplo. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada)
Derivada de funciones potenciales-exponenciales de la forma
Problema 3.7. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada) (de preparación para la obtención del teorema)
(de empleo de recursos heurísticos
para la demostración del teorema) Sug:
emplee la identidad logarítmica fundamental
(de valoración de la calidad del teorema obtenido)
Hacer notar por ensayo error que no puede aplicarse directamente las fórmulas
de la derivada de la función potencial ni la exponencial.
Solución.
Derivada y diferenciales de orden superior
Problema 3.8. En ocasiones es necesario calcular las derivadas o diferenciales de funciones que son derivadas de otras. En este caso: Cómo puede definirse la derivada y el diferencial de orden n de una función f dada.
Solución
Una función que admite derivada hasta el orden n en un punto se dice n veces derivable en ese punto.
Interpretación física de la segunda derivada.
Problema 3.9. (Ampliación de los significados del concepto segunda derivada) Se conoce que la rapidez con que varía el desplazamiento s de un móvil en el instante t es la velocidad del móvil y se calcula como v(t)=s䨼em>t). ¿Cómo se nombra y se calcula la rapidez con que varía la velocidad en el instante t?
Solución
Ejercicios. (de ampliación de la colección de elementos conocidos de la extensión del concepto de derivada de orden superior) (Estudiar los ejemplos 1, 2, 3, 4 de la pág. 42 y 43)
Derivadas y diferenciales de orden superior de la suma y el producto defunciones
Problema 3.10. (de establecimiento de propiedades que conducen a la determinación de estructuras algebraicas de E con determinadas operaciones) (de preparación para la obtención del teorema) ¿Cómo pueden expresarse la derivada y el diferencial de orden n de la suma y el producto de funciones?
Solución
Derivadas de orden superior
Diferenciales de orden superior
Se tiene,
Las propiedades del diferencial son:
Ejemplificación con el Paquete Mathematica: Derivada de orden superior.nb
Ejercicio. (Estudiar los ejercicios resueltos. Pág. 47-48)
Orientación de la Bibliografía:
1. Análisis Matemático. Tomo II. Concepción Valdés Castro (págs. 32- 57)
2. Curso de Análisis Matemático. L.D. Kudriávsev. Tomo I
3. Cálculo Infinitesimal. Michael Spivak. Tomo I.
4. Problemas y ejercicios de Análisis Matemático. B. Demidovich
Orientación del estudio independiente:
1. Ejercicios 1(a- y) y 3(a-f) pág. 39 y 40
2. Ejercicios (1 – 6), pág. 48 y 49
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Clase Práctica # 5: Derivada de las funciones compuestas e inversas
1. (de aplicación de las
propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación
de la colección de elementos conocidos de la extensión del
concepto de derivada) Calcular la derivada de:3. (de aplicación de
las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación
de la colección de elementos conocidos de la extensión del
concepto de derivada)4. (de aplicación de
las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación
de la colección de elementos conocidos de la extensión del
concepto de derivada)5. (de aplicación de
las propiedades a las operaciones entre elementos del concepto de derivada
y de ampliación de la colección de elementos conocidos de
la extensión del concepto de derivada de orden superior) Encontrar
la derivada n-sima de:6. (de aplicación de
las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación
de la colección de elementos conocidos de la extensión del
concepto de derivada)7. (de aplicación de
las propiedades a las operaciones entre elementos de E y de ampliación
de la colección de elementos conocidos de la extensión del
concepto de derivada)
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