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Las secciones cónicas




Enviado por Rafael



Partes: 1, 2

  1. Introducción
  2. Excentricidad de
    las cónicas
  3. Expresion
    analítica de las cónicas
  4. Propiedades de la
    elipse
  5. Aplicación
    de las cónicas
  6. Cónicas
    degeneradas
  7. Bibliografía

Introducción

Se denomina Cónica, a
cada una de las curvas planas que se obtienen
al cortar una superficie cónica por un plano que no pasa
por su vértice.
El tipo de curva que se obtiene depende
del ángulo a de la superficie cónica y del
ángulo ß que forma el plano P con
el eje e.

Si ß entonces el plano
corta a todas las generatrices de la superficie cónica y,
por tanto, se obtiene una curva cerrada. Si
ß a se obtiene una curva
abierta. A continuación se exponen con más detalle
los distintos casos que se pueden dar según los valores
que tome
ß.Si ß = 90º la intersección
del plano con la superficie cónica es una
circunferencia.

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Figura 2. Plano de sección forma una
circunferencia

Si
ß a y
ß < 90º se obtiene una elipse
tanto más alargada cuanto menor (más próximo
a a) sea el ángulo ß.

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FIGURA 3. Plano de corte que forma una
elipse

Si ß = a el plano
es paralelo a una de la generatrices y se obtiene una curva
abierta llamada parábola.

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Figura 4. Plano de corte que forma una
parábola

Si
ß a entonces, tanto en los
casos en que el plano corta al eje
(0 < ß a)
como cuando es paralelo a él
(ß = 0), se obtiene una curva con dos
ramas abiertas llamada hipérbola.

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Figura 5. Plano de corte para una
hipérbola.

Muchos descubrimientos importantes, tanto
en la Matemática pura como en la aplicada han tenido
relación con las secciones cónicas. El estudio por
Apolonio de las cónicas. En el siglo III a.n.e. fue uno de
los trabajos más notable de la geometría griega.
Unos 2000 años más tarde, Galileo descubrió
que un proyectil lanzado horizontalmente desde lo alto de una
torre, cae a la tierra describiendo una trayectoria
parabólica (si se prescindiera de la resistencia del aire
y se supone que el movimiento tiene lugar sobre una parte de la
superficie terrestre que se supone plana).

Uno de los momentos cumbres de la historia
de la astronomía tiene lugar alrededor del año
1600, cuando el astrónomo Kepler sugiere que todos los
planetas se mueven en órbitas elípticas. Ochenta
años más tarde, Newton demostraba que la
órbitas planetarias elípticas implican la Ley de la
gravitación Universal. En la que la fuerza de
atracción es proporcional al inverso del cuadrado de la
distancia entre los cuerpos que se atraen. La teoría de la
Gravitación Universal formulada por Newton se considera
algunas veces, como el mayor descubrimiento científico que
se ha realizado. Las secciones cónicas aparecen
no solo en las órbitas de los planetas y satélites,
sino también como trayectorias de partículas
atómicas elementales. Estos ejemplos y muchos otros
muestran la importancia de la teoría de las secciones
cónicas que difícilmente es estimada en toda su
importancia.

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Kepler – Astronomo

Excentricidad de
las cónicas

Una sección cónica puede
definirse como una curva descrita por un punto que se mueve en un
plano de manera que la razón de sus distancias a un punto
fijo y a una recta fija es constante. Esta razón constante
se llama excentricidad de la curva y se designa por la
letra e. (No debe confundirse con la letra e de
Euler.) La curva es una elipse si 0 < e < 1. Una
parábola si e = 1, y una hipérbola si
e < 1. El punto fijo se llama foco y la
recta fija directriz.

Dados una recta L, un punto F no
perteneciente a L y un número positivo e,
designemos con d(X,L), la distancia de un punto X a L. El
conjunto de todos los X que satisfacen la
relación

lX – Fl = e d
(X.L)………………

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