Valor del dinero en el tiempo (página 2)

LAS TASAS DE
INTERÉS

Existen diferentes formas de pactar el pago de
intereses. Cada decisión en cuanto al pago incide sobre el
monto del interés, o sea, sobre la tasa de interés
que efectivamente se paga o se recibe. Hay tres aspectos del pago
de intereses que determinan el monto que verdaderamente se
pagará, a saber:

– la capitalización de intereses: tasas simples y
compuestas.

– la frecuencia de la capitalización: tasas
nominales y efectivas.

– el momento del pago de intereses: tasas vencidas y
anticipadas.

A continuación, se detallarán las
diferentes modalidades de pagar los intereses y se
aclarará su relevancia para el establecimiento de
equivalencias financieras.

El interés simple

Si la tasa de interés financiera pagada es una
tasa simple, se paga interés únicamente sobre el
capital originalmente invertido o prestado (el principal). Los
intereses acumulados no pagan interés, no se
"capitalizan". En tal caso, si se invierte P en el año O,
se retorna $(P + iP) o $ P(l + i) en
el año 1; si se deja el capital invertido otro año,
se ganará nuevamente

$iP y se tendrá acumulado $ (P + iP + iP) o
sea, $P (1 + 2i)

Sucesivamente, si se deja el principal invertido, al
final del tercer año se ganará otro monto de
intereses y se tendrá $P (1 +
3i).

Por lo tanto, al invertir una suma P a una tasa
simple, i, durante n períodos, se recibirá
al final del n-ésimo período una suma (futura),
F, como se aprecia en la ecuación 3.1:

F = P (1 + ni) Ecuación
3.1

Alternativamente, si un inversionista desea saber
cuánto dinero debe invertir en el presente, P,
para recibir una suma, F, dentro de n
períodos:

P = F Ecuación 3.2

( 1+ ni)

La ecuación (3.2) permite calcular el valor
inicial que uno podría pedir prestado si sabe que su
capacidad de repago al final del año n es igual a $F,
dada una tasa de interés simple

Suponga que tiene $600.000 para invertir o prestar en
este momento y la tasa de interés financiera es del 1 0%
anual, pagadera como tasa simple. ¿ Cuál
será el retorno mínimo que lo inducirá a
invertir en un proyecto en lugar de prestar el dinero, si se
supone que el período de inversión o de
préstamo es de cinco años? La ecuación (3.1)
brinda la solución para este problema. Se sabe que si
presta el dinero se genera un valor futuro que puede ser
calculado con dicha ecuación. Se tiene: P =
$600.000; i = 10%; y n = 51; Se calcula
F:

F= ($600.000) (1 + 5(0,10)) =
$900.000

Como consecuencia, no se invertiría si el
proyecto que le ofrecen no produce $900.000 o más para el
final del Año 5

El interés compuesto

En contraste con la tasa de interés simple la
tasa compuesta significa que los intereses no se pagan
únicamente sobre el principal, sino también sobre
los intereses acumulados. Con la tasa compuesta, al invertir
$P en el Año O, se puede retirar al final del
Año la cantidad $P( 1 +i); a mantener tanto el
principal ($P) como los intereses del primer año
($iP) en el fondo de inversión durante el segundo
año, los intereses se acumulan sobre ambos y, por lo
tanto, al final del Año 2, podría retirar
$(P+iP)(l+i) o sea, $ P (1 + i)2 . Esto es, el inversionista
habrá ganado en ese segundo año, intereses
sobre el capital y, además, sobre los intereses devengados
en el primer año.

En la misma forma, dejando tanto el principal como los
intereses invertidos, al final del

Año 3 se tendrá $ P (1 +
i)2 (1 + i) = $ P (1 + 3i)
.

En forma general, se tiene que al final del año
n, habrá $ P (1 + ir. Este
mismo concepto se plantea en la ecuación 3.3:

F=p (l+ i)n Ecuación 3,3

Nótese que el período de interés y
el período de inversión se definen en las mismas
unidades de tiempo; años, en este caso.

Asimismo, para el caso en el que se conoce la suma
F que se desea recibir (o repagar) en el futuro y se
necesita conocer la suma presente P, que será necesario
invertir (o pedir) en el presente, se tiene:

P =

La tasa compuesta genera más retorno que la tasa
simple, ya que paga intereses sobre una cantidad que va
aumentando con el tiempo. Esto se puede comprobar si se repiten
los ejemplos que mostraron el uso de la Ecuaciones 3.1 y 3.2,
para el caso de una tasa compuesta.

Para la tasa simple, se mostró que al invertir
$600.000 a una tasa de interés simple del 10% anual, se
obtendrá una suma de $900.000 dentro de cinco años.
Si ahora se tiene una tasa de interés compuesta, se
calcula F en la siguiente forma:

F = ($600.000) (1 + 0,10)5 =" $966.306

Observamos que el rendimiento con el interés
compuesto es mayor que el que se obtenía con la tasa de
interés simple, ya que la introducción de la
acumulación de intereses sobre intereses ha incrementado
el fruto de la inversión.

Otro ejemplo puede contribuir a ilustrar la diferencia
entre la tasa simple y la compuesta. Se busca calcular la tasa de
interés simple que hace que $500 prestados hoy generen
$600 dentro de dos años. En este caso, la suma futura es
$600; la suma presente $500.

Se tiene F = $600; P = $500; y n
= 2. Se despeja i de la Ecuación 3.1 o la
Ecuación 3.2.

i =

i =

I =0,10=10%

Ahora se calcula la tasa compuesta que hace que los $600
recibidos ahora y los $500 prestados hace dos años sean
equivalentes; se tiene

F = 600; P = 500; n = 2. Se despeja i de la
Ecuación 3.3:

i= (F/P)/I/n – 1

i = (F/Pp)1/2 -1

i = 0,0954 = 9,54%

La tasa compuesta necesaria para hacer que $50.0.
generen $600. dos años después, es menor que la
tasa simple necesaria para cumplir el mismo fin, debido a que los
intereses acumulados ganan intereses en el escenario de la tasa
compuesta.

A partir de este momento, se hará referencia
siempre a la tasa compuesta por considerar que representa la
alternativa de inversión más común en el
mundo real. Todas las equivalencias financieras discutidas se
basarán en una tasa compuesta.

LOS
PERÍODOS DE CAPITALIZACIÓN: LAS TASAS NOMINALES Y
EFECTIVAS

Los conceptos de interés nominal e interés
efectivo están asociados a los intereses compuestos. Son
dos formas de expresar una tasa de interés compuesta para
un período de inversión determinado, definidos unos
períodos de capitalización o liquidación de
intereses, y una forma de pago de los mismos (anticipada o
vencida). Antes de expresar la diferencia entre tasas compuestas
nominales y efectivas, es necesario precisar tres términos
que estipulan las condiciones de su pago:

Los períodos de inversión son
aquellos que se utilizan para la construcción del flujo de
fondos y que, por lo tanto, están determinados por las
características de los proyectos. Por lo general, son
anuales. Son los períodos de referencia para la
tasa de interés. Los períodos de
liquidación o capitalización de intereses son
los períodos en los cuales los intereses se liquidan o se
capitalizan para acumularse. Los períodos de
liquidación o capitalización pueden ser diarios,
semanales, quincenales, mensuales, trimestrales, cuatrimestrales,
semestrales, anuales o de otra duración.

La forma de pago de los intereses hace referencia a
si la liquidación o la acumulación de los
intereses se hace al final (vencida) o al principio (anticipada)
de cada período de liquidación. Por lo general, una
tasa de interés se asume vencida, a no ser que se indique
lo contrario. Las diferencias entre tasas de interés
nominales con intereses vencidos o anticipados se
señalarán más adelante.

Ahora bien, utilizando esta terminología, se
puede definir la tasa de interés nominal, como la tasa
pagada durante un período de inversión, sin tener
en cuenta la acumulación o composición de intereses
que se logra dentro de este período y la forma de pago. La
tasa nominal es la que se cita como base de negociaciones;
es la tasa a la que se pactan la mayoría de las
inversiones en el mercado financiero. A partir de la tasa
nominal, se pactan la forma de pago y los períodos de
capitalización. Por ejemplo, una tasa nominal del 35%
anual podría ser capitalizable trimestre vencido.
Asimismo, podría ser pagadero semestre
anticipado.

En contraste, la tasa de interés efectiva,
expresa la rentabilidad de una tasa compuesta, teniendo en cuenta
la acumulación de intereses dentro del período de
inversión, la cual puede modificar el rendimiento efectivo
de la inversión. También tiene en cuenta la forma
de pago de los intereses, reconociendo que el pago de intereses
en forma anticipada permite al que los reciba reinvertidos
más temprano que en el caso en el que se pagan en forma
vencida. La tasa efectiva refleja la rentabilidad verdadera de la
inversión; como tal, debe ser la tasa que se utilice en el
manejo de equivalencias financieras.

La tasa de interés efectiva refleja el
rendimiento que se habría recibido al final de un
período de inversión si los intereses se hubiesen
capitalizado, independientemente de que se paguen o se
capitalicen.

En el mercado financiero, es común hablar de la
rentabilidad de las diferentes alternativas de inversión,
en términos de tasas efectivas anuales. Dicha tasa refleja
la rentabilidad verdadera de la inversión, que debe ser la
que se utiliza en el manejo de equivalencias
financieras.

LAS TASAS
VENCIDAS Y ANTICIPADAS

El interés vencido

El interés vencido se paga en el momento de
terminar (vencer) el período de causación de
intereses. Como tal, se desembolsa después de haber
transcurrido el tiempo durante el cual el dueño del dinero
ha sacrificado sus usos en actividades alternativas.

El interés anticipado

En contraste, el interés anticipado se paga en el
momento de iniciar el período de causación de
intereses. Por ejemplo, el pago de intereses correspondientes al
período de un préstamo se realiza en el momento de
desembolsar el capital del préstamo; como consecuencia, el
prestatario efectivamente recibe el monto que ha pedido prestado
menos el monto de interés correspondiente al
primer período.

El interés anticipado se entrega al dueño
del dinero antes de transcurrir el tiempo durante el cual va a
sacrificar sus usos alternativos. Como tal, cuenta con los
intereses desde el comienzo del período, en el que los
puede reinvertir o utilizar para generar algún beneficio,
sin necesidad de esperar hasta que termine el período. En
consecuencia, se esperaría que el interés
anticipado correspondiente a un determinado período sea
menor que su equivalente vencido.

Cuando se dice que el interés sobre un
préstamo de $K es una tasa anticipada, significa
que en el momento de ubicarse el préstamo, el prestamista
tiene que pagar los intereses del primer período,
$K, al prestatario, quedándose con (1- ia)
$K. Por lo tanto, es como si no hubiera sacado un
préstamo por todo el valor $K, sino por una suma
menor. No obstante, el valor a ser repagado al final del
período del préstamo es efectivamente
$K.

Así, el costo verdadero de un crédito cuyo
interés se paga en forma anticipada es superior al costo
para el caso que se pagara la misma tasa en forma
vencida.

EQUIVALENCIAS
FINANCIERAS ENTRE SUMAS DE DINERO EN DIFERENTES MOMENTOS DEL
TIEMPO

Unas sumas de dinero, en diferentes momentos del tiempo,
se definen como equivalentes cuando son indiferentes entre ellas
para un inversionista, dada una tasa de interés. Las
equivalencias más comunes se definen entre:

– Una suma presente y una suma futura

– Una suma presente y una serie uniforme

– Una suma futura y una serie uniforme

Equivalencia entre una suma presente y una suma
futura

Al establecer equivalencias entre una suma futura,
F y otra presente, P, la pregunta que debe
hacerse el evaluador financiero es: ¿Qué valor
debería tener F para compensar el desembolso de
P?

La intuición diría que el monto F
debería reponer P y, además, lo que
P habría ganado en una inversión
alternativa.

La manera de formalizar esta respuesta intuitiva ya se
ha planteado en este capítulo. Si el lector recuerda,
cuando se definió la tasa de interés compuesta con
la ecuación (3.3), se demostró que un inversionista
puede invertir una suma P a una tasa i y dentro
de n períodos de inversión recibir una
suma F, donde

F = P (1 +)1)n

Dada una tasa de interés i, se acepta
que para este inversionista será indiferente tener
P hoyo recibir F dentro de n
períodos, porque, si tiene P, podrá invertido a
la tasa i y recibir F. En otras palabras, es indiferente
tener F al final del período n, o tener
P al final del período O.

Otra forma de interpretar esta equivalencia consiste en
conceptualizar a F como el mínimo que un inversionista
esperará recibir dentro de n períodos, por
sacrificar la posibilidad de darle a P un uso
alternativo en el momento O y optar mas bien por comprometer esa
suma (P) en una inversión determinada hasta el
final del período n

Por estas razones, se afirma que P (en el
año O) y F (en el "n") son equivalentes, dada una
tasa de interés i.

Por ejemplo, un proyecto requiere una inversión
actual de 300.000 y va a generar un rendimiento único
dentro de dos años. Si no se invierte en el proyecto, se
utilizará el dinero en el mercado financiero, donde gana
un interés de 10% anual. ¿Qué monto de
dinero tendría que dar el proyecto para que el
inversionista sea indiferente entre él y la alternativa de
inversión financiera?

La alternativa financiera generará:

$ 300.000 (1 + 0.1)2 = 363.000

Por lo tanto, el proyecto deberá generar por lo
menos $363.000 para que sea equivalente a la inversión en
la alternativa financiera.

Valor presente de una suma futura

Asimismo, si se conoce la suma futura (el ingreso
previsto) y se desea saber la suma que será necesario
invertir hoy para poder recibir aquella, dada una tasa de
interés compuesta, basta con utilizar la siguiente
fórmula:

Como se puede apreciar, para un inversionista
será indiferente recibir F en el período
n o P el día de hoy, pues sabe que si
invierte P ahora a la tasa i, obtendrá
F en el período n. Por esta
razón, se dice que F y P son sumas
equivalentes para un inversionista, dada una tasa de
interés i. Por ejemplo, un inversionista tiene un
bono por valor de $ 10.000.000, a ser liquidado dentro de 5
años, y quiere saber el valor del bono hoy, en el
presente, dado que la tasa de interés es del
20%.

En este caso, el inversionista estaría dispuesto
a recibir:

Si alguien le paga al inversionista $4.018.776
éste podrá, en el peor de los casos, invertir dicha
suma al 20% anual y dentro de cinco años
obtendrá:

F = $4.018.776 (1 + 0.2)5 =
$10.000.000

Por lo tanto, desde el punto de vista financiero,
$4.018.776 al final del período O, son equivalentes a
$10.000.000 al final del período 5, dada una tasa de
interés del 20%.

Acumulación de una serie uniforme (valor futuro
de una serie uniforme)

Ahora se va a considerar la equivalencia entre una serie
de inversiones de igual valor y una suma futura, o sea, un flujo
con las siguientes características:

Se denomina A la cantidad invertida anualmente, desde el
año 1 hasta el año n, y F la suma
futura, pagada en el año n. La suma F
tendrá que equivaler a la serie de inversiones, más
los intereses pagados y acumulados sobre cada una de estas
inversiones. Por lo tanto, deberá reponer lo
siguiente:

A : la inversión realizada en el
año n

A(1+i) : la inversión del año
(n-1), con los intereses correspondientes

A (1 + i)2 : la inversión del año
(n-2) con los intereses de los dos años que
estuvo invertida

A (1 + i)3 : la inversión del año
(n-3), con los intereses de tres años

y así sucesivamente, hasta A (1 + ir-1
que representa la inversión del año 1 y los
intereses de (n-l) años.

Por lo tanto:

F (1 + i) = A (1 + i) + A (1 + i)2 + A (1 + i)3 +…
+ A (1 +)n-1

La solución de F corresponde a una serie
geométrica finita. Esta se encuentra multiplicando los dos
lados de la ecuación por (l + i):

F (1 + i) = A (1 + i) + A (1 + i)2 + A (1 + i)3 +…
+ A (1 + i)n

Ahora, se resta la ecuación F de la
ecuación F (1+ i):

F[(I+i)-I]=(I+i)n -A

o, lo que es igual,

F(i) = A ((1+i)n-l)

Despejando F, se obtiene:

F =

Se presenta el caso de un banco que ofrece una tasa de
interés mensual del 5% si se consigna una suma fija al
final de cada mes, por 48 meses, y no se retira ningún
dinero hasta el final del mes 48. En este caso, se consideran
consignaciones mensuales e intereses mensuales. Se quiere saber
cuál es el valor de la suma futura equivalente a la serie
de 48 consignaciones de $2000 cada una. Si las consignaciones no
ganaran intereses ni tuvieran alternativas de inversión,
la suma futura sería $96.000. Con la ganancia del 5%
mensual, se observa que:

F = 2000((1,05)48 -1) / 0,05 =
376.051

Amortización de una suma futura

En este caso, se considera la necesidad de generar una
suma para el futuro, acumulando una serie de inversiones que
reciben intereses. Un ejemplo para el cual es relevante esta
acumulación es el caso de un fondo en el que se hace una
consignación anual durante n años, con el
fin de acumular la suma necesaria para reemplazar una
máquina al final del

año n. En tal caso se conocen el monto
necesario en el año n, que se denomina
F, y la tasa de interés, i, se quiere
calcular A. Por lo tanto, se despeja A de la
Ecuación (3.8):

A =

Como ejemplo, suponga que un agricultor tiene un tractor
que durará cinco años más, a partir de este
momento. Con el fin de reemplazar ese equipo al final del
año 5, ese agricultor desea acumular en una cuenta de
ahorros que gana el l0% anual compuesto, los fondos necesarios.
¿Cuál es la cantidad que debe invertir anualmente
para generar $1.000.000 que sería el precio del tractor,
al cabo de 5 años?

En este caso, F = 1.000.000, i = 0.10 y n
= 5; se calcula A:

A = 1.000.000 (0,10) / ((1,1)5 -1) =
163.797

La recuperación de capital en una serie
uniforme

Las equivalencias ya estudiadas permiten extender el
análisis a otras posibles inversiones. Por ejemplo,
considere el caso en que usted encuentra necesario reservar unos
fondos para el mantenimiento de su hogar durante 24 meses, ya que
tiene que viajar durante ese tiempo y no tendrá forma de
enviar dinero a la casa. Piensa consignar $3.000.000 en una
cuenta de ahorros que genera intereses del 1,5% mensual. Los que
quedan en casa van a retirar una suma fija al final de cada mes.
Este caso corresponde a un flujo de fondos con las siguientes
características:

Se conoce el valor de P, de i y de
n. Lo que se desea saber es el valor de la suma
A que podrá retirarse mensualmente. Dicho valor
sería igual a no ganaran intereses. Pero como sí
los ganan, A será mayor.

El valor se obtiene con las ecuaciones (3.3) y
(3.8):

F=P(1+i)n

A =

Sustituyendo la ecuación (3.3) en la
ecuación (3.8) se observa la relación entre
A y P:

A = P (l+i)n (i)

(l+i)n -1

En este caso: P = 3.000.000; i = 0,015 y n
= 24. Por consiguiente:

A =

La equivalencia expresada por la ecuación (3.9)
permite calcular el valor de los repagos (amortizaciones e
intereses) de un préstamo concedido en un año O,
que debe ser repagado en n cuotas anuales de igual
valor, pagando intereses sobre saldos.

Consideremos un préstamo en el año O para
financiar la construcción de un acueducto. En ese
año se recibe $1.500.000, que debe cancelarse en cuotas
anuales de igual valor entre el año 1 y el año 7.
Se paga un interés de 25% anual.

En este caso, se tiene P = 1.500.000; n=7;
i = 25%. Por lo tanto, la cuota anual que debe pagarse
es:

A =

Es necesario tener en cuenta que el valor de A
representa el pago de amortización del préstamo
más los intereses sobre saldos. La presentación en
el flujo de fondos exigirá desagregar A en sus
dos componentes. Esto se logra construyendo una tabla de
amortización, como la que se presenta a
continuación:

(miles de pesos)

n saldo inicial cuota (A) Interes Amortización
Saldo Final

1 1500.00 474.51 375.00 99.51 1400.49

2 1400.49 474.51 350.12 124.39 1276.10

3 1276.10 474.51 319.02 155.49 1120.61

4 1120.61 474.51 280.15 194.36 926.25

5 926.25 474.51 231.56 242.95 683.30

6 683.30 474.51 170.82 303.69 379.61

7 379.61 474.51 94.90 379.61 0

Se tiene entonces la información necesaria para
el flujo de caja, intereses y amortización, por
período. Se observa que, mientras los primeros disminuyen,
la amortización -o recuperación del capital-
aumenta. La suma de las amortizaciones deberá ser igual a
la cantidad inicialmente prestada.

PRINCIPALES
INDICADORES DE EVALUACION

Valor Actual Neto

Es la actualización del flujo de caja la valor
presente. El proyecto deberá realizarse siempre y cuando
el VAN sea mayor que cero a una tasa de actualización
igual al costo de oportunidad del capital (COK). En estricto, el
VAN se define como el valor actual de los flujos menos la
inversión inicial. Examinemos un simple proyecto reflejado
en el gráfico siguiente:

Para calcular su VAN se debe utilizar el costo de
oportunidad del capital (COK) del inversionista. Suponiendo que
éste es el 20% anual, obtenemos:

Un VAN (0.20) positivo indica que la rentabilidad es
superior al 20% del costo de oportunidades del capital. Esto es,
el inversionista recibirá 833 dólares por sobre el
20% que quería obtener, después de recuperar la
inversión.

En términos mas generales, podemos expresar el
VAN de un proyecto como la suma de todos sus flujos de caja
descontados.

VAN = St / (1+r)n

Donde St es el flujo de caja del proyecto (positivo o
negativo) en el momento t, n es la vida útil del proyecto
(o el número total de periodos relevantes) y r es la tasa
anual de descuento.

Tasa interna de Retorno

Indica la máxima tasa de interés que el
proyecto puede afrontar, sin ganar ni perder. Es decir, busca
igualar la actualización de los ingresos y egresos. La TIR
es aquella tasa que hace al VAN igual a cero. En términos
mas específicos, la TIR puede definirse como aquella tasa
de descuento que, cuando se aplica al flujo de caja del proyecto,
produce un VAN igual a cero.

Operativamente, la TIR es el valor de r que satisface la
ecuación:

La TIR debe ser mayor al Costo de Oportunidades de
Capital (COR) de los inversionistas para que el proyecto sea
renatable.

Trabajando con nuestro ejemplo simple, podemos apreciar
que:

• El proyecto rinde el 20% que exige el inversionista
  y 833 dólares mas o sea, está ganando mas del
  20%.

• Probablemente si el inversionista exige el 21%, el
  proyecto se lo dará y aún sobrara un
  excedente.

• Como este excedente es todo del inversionista, la
  TIR busca hasta cuando podría el inversionista
  aumentar la tasa e retorno exigida. Es decir, hasta cuanto
  podría ganar. Por ello buscará aquella tasa que
  haga el VAN igual a cero.

Ahora bien, para que el VAN sea cero, la diferencia
entre el valor actual del flujo en el año 1 y la
inversión del año 0, debe ser igual a
cero.

Relación Beneficio/Costo
(B/C)

La relación Beneficio/costo esta representada por
la relación  de los ingresos y egresos; En donde los
Ingresos y los Egresos deben ser calculados utilizando el
VPN o el CAUE, de acuerdo al flujo de caja; pero,
en su defecto, una tasa un poco más baja, que se denomina
"TASA SOCIAL" ; esta tasa es la que utilizan los
gobiernos para evaluar proyectos.

El análisis de la relación B/C, toma
valores mayores, menores o iguales a 1, lo que implica
que:

• B/C > 1 implica que los ingresos son
  mayores que los egresos, entonces el proyecto es
  aconsejable.

• B/C = 1 implica que los ingresos son
  iguales que los egresos, entonces el proyecto es
  indiferente. 

• B/C < 1 implica que los ingresos son
  menores que los egresos, entonces el proyecto no es
  aconsejable.

Al aplicar la relación Beneficio/Costo, es
importante determinar las cantidades que constituyen los Ingresos
llamados "Beneficios" y qué cantidades
constituyen los Egresos llamados "Costos". Por lo
general, las grandes obras producen un beneficio al
público, pero a su vez, produce también una perdida
denominada "Desventaja", se puede tomar como ejemplo de
esto la construcción de una represa hidroeléctrica,
la cual produce un beneficio que es la generación de
electricidad. La electricidad puede ser cuantificada en dinero; a
su vez, se produce una pérdida, por la inundación
de terrenos aptos para la agricultura y esa pérdida,
también puede ser cuantificada en dinero. (E. Gomez
http://www.gestiopolis.com)

Periodo de Recuperación

El periodo de recupero indica en cuanto tiempo el
inversionista recuperará su inversión. Este
indicador tiene mucho sentido cuando se emplea
complementariamente al VAN. Cuando el proyecto que se
evalúa es uno solo, el simple hecho de que se recupere la
inversión está indicando que el VAN es positivo.
Sin embargo, cuando hay más de un proyecto, el que
posibilite recuperar con mayor prontitud la inversión no
implica que sea el más conveniente para los intereses del
inversionista.

Es una situación más estable y normal,
difícilmente se tomará una decisión basado
sólo en este criterio. Pero si puede ser una importante
información complementaria cuando la diferencia entre VAN
de dos proyectos no significativa y se visualiza una posibilidad
de cambio en las condiciones futuras del entorno. Si no es
así, siempre el proyecto de mayor VAN será mejor,
ya que reporta un excedente superior a lo que se exige a la
inversión.

Ejemplo

VALOR ANUAL EQUIVALENTE

Pueda calcularse para costos o para
ingresos: para el caso de costos

Primero se calcula el VACT (Valor actual de
costos totales) mediante la siguiente relación:

Donde:

VACT = Valor actual de costos
totales

FCt = Flujo de costos totales periodo t

VR = Valor de recuperación de la inversión
al final de la vida

útil del proyecto

COK = Costo de oportunidad del capital

n = Vida útil del proyecto

Para luego calcular el VAE de costos (valor equivalente
anual):

Con este indicador se puede calcular el costo eficacia
(CE) del proyecto:

CE = VACT/ Número de población con acceso
o beneficios del proyecto.

TASA INTERNA DE
RETORNO AJUSTA (TUR)

Con el fin de resolver los problemas
inherentes en el uso de la TIR de la selección de
proyectos, se ha difinido la TIR ajustada. La cual tambien ha
sido denominada Tasa Unica de Retorno TUR Concretamente, el
ajuste de la TIR busca resolver los problemas de la inexistenxcia
o existencia múltiple de TIR y reinversion de los flujos
excedentes a la tasa de interes interna del proyecto y no a la
tasa de interes de oportunidad.

Con al TIR ajustada se garantiza la
existencia de una sola tasa, independientemente de la estructura
de los flujos. Ademas, se elimina el supuesto de que todos los
recursos excedentes se reinvierten a la misma TIR y se introduce
la reinversion a la tas ade interes de oportunidad.

La TIR ajustada se cualcula mediante la
conversión del flujo neto de proyecto en un flujo
simplificado de la siguiente forma:

Empleando la tasa de interés de
oportunidad se calcula el equivalente futuro de los ingresos del
proyecto en el ultimo año en su vida útil
(año T) .Denominemos este equivalente $F. Asimismo, se
calcula el equivalente presente de los egresos del proyecto
$P.

La TIR Ajustada o la TUR es aquélla
tasa que expresa una relación entre $P y $F.

Utilicemos la sigla TUR para denominar el
criterio.

Se establece:

$F = $P (1+TUR)T

Así la TUR resulta ser el valor
positivo de la T – esima raíz de la razón
entre $F y $P

TUR = ($F / $P)1/T – 1

Para entender la interpretación de
la TIR ajustada (o TUR) consideremos el siguiente caso para el
cual no fue posible encontrar una TIR. Dadas las
características del flujo.

Supongamos adicionalmente que la tasa de
interés de oportunidad del inversionista que estudia el
proyecto es de 10%. Al pasar el ingreso neto del año 0 a
su equivalente futuro y el costo del año 1 a su
equivalente presente (año 0). El flujo se convierte en el
siguiente:

En este caso , la TIR ajustada o TUR es
mayor que la tasa de oportunidad. Esto quiere decir que la
rentabilidad del proyecto, asumiendo las reinversiones de los
recursos excedentes a la tasa de oportunidad, es mayor que el
rendimiento de las alternativas de inversión que rinde un
10% .

Si la TIR ajustada o TUR fuera igual a lop
invertir en el proyecto será equivalente a seleccionar
iguales las alternativas financieras y por tanto se
asumirá una actitud de indiferencia frente al
proyecto.

Por consiguiente se deduce que la TUR puede
ayudar a determinar la rentabilidad de un proyecto. El criterio
es el siguiente:

Si TUR> lop2 el proyecto es atractivo,
ya que sus ingresos reponen los costos y generan recursos
adicionales a los que se obtendrían en el uso
alternativo.

Si TUR< lop el proyecto no vale la pena
ya que hay alternativas de inversión que arrojan mayor es
beneficio (estas son las que se ven reflejadas por el costo de
oportunidad del dinero)

Si TUR = lop es indiferente realizar el
proyecto o escoger las alternativas ya que arrojan el mismo
beneficio.

Es importante tener en cuenta que la TIR
ajustada o TUR igual que el VPN o la RBC, es función de la
tasa de interés de oportunidad. Al modificar lop los
valores de la TIR ajustada cambian.

Índice de rentabilidad
(IR)

Según Brealey y Myers " cuando los
fondos son limitados, necesitamos centrarnos en lo que
proporciona el mejor resultado para nuestro bolsillo. En otras
palabras, tenemos que realizar los proyectos que ofrecen la mayor
relación entre el valor actual y desembolso inicial. Esta
razón es simplemente el índice de rentabilidad…"
Este índice puede definirse de cualquiera de las
siguientes formas:

En los ejemplos de esta sección
utilizaremos la primera definición

Ejemplo VII.4.

Se tiene tres proyectos independientes que
presentan un VAN positivo, pero solo se cuenta con S/. 3,000 para
invertir ¿Qué proyectos se debe
ejecutar?

Cuadro VII.6

ALTERNATIVAS DE
INVERSIÓN

Con los S/. 3,000 podemos invertir en A o
en B y C. Según el IR los proyectos que debemos elegir
son, en primer lugar el C y en segundo lugar el B. Además,
en conjunto, generan un mayor VAN que el proyecto A, por el mismo
monto de inversión.

Este sencillo método de
clasificación también tiene sus
limitaciones:

• Solo sirve para clasificar proyectos independientes.
  La existencia de relaciones entre los proyectos
  independientes. La existencia de relaciones entre los
  proyectos impone restricciones adicionales a las de capital
  que deben ser analizadas por su cuenta.

• Cuando lso recursos de capital están
  limitados para cada uno de los periodos se incorpora
  restricciones adicionales.

• Debe agotarse totalmente el capital disponible. De
  lo contrario, es posible que la relación de los
  proyectos por medio del IR no genera un resultado
  optimo.

CONTRADICCIONES
ENTRE EL VAN Y LA TIR Y CÓMO
ELIMINARLAS.

Las principales contradicciones aparentes entre el Van y
la TIR son de dos tipos:

• El primer tipo surge cuando se contradicen respecto
  a un mismo proyecto para determinar si es rentable o no. La
  explicación a esta contradicción es la
  presencia de una tasa de retorno múltiple.

• El segundo tipo surge a tratar de elegir entre
  proyectos mutuamente excluyentes utilizando el VAN y la TIR
  como criterio de decisión. Estos problemas surgen
  cuando los proyectos a evaluar no cumplen con alguna de estas
  características: una misma distribución de
  ingresos, misma escala en el monto de inversión y/o
  misma vida útil.

A continuación desarrollaremos cada uno de estos
problemas v veremos cómo resolverlos.

Diferente escala de inversión

No todos los proyectos requieren de la misma
inversión. La diferencia en dichos montos trae
complicaciones en el análisis pues dar como resultado una
TIR sobrestimada (por un volumen de inversión
comparativamente menor). Para comparar proyectos utilizando la
TIR es necesario que ambos tengan la misma inversión.
Veamos esto; con un ejemplo.

Ejemplo

Se tienen dos proyectos A y C, ambos con una vida
útil de 3 años. La COK es 10% y los flujos de caja
para los próximos tres años se presentan en el
Cuadro I.

Cuadro 1 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y
C

En el cuadro se puede apreciar cómo los dos
indicadores (VAN y TIR) se contradicen. Esto de debe a que los
montos de inversión no son los mismos, por lo que no se
puede determinar cuál proyecto debe elegirse. Para poder
comparar ambos proyectos es necesario solucionar esta
contradicción igualando los montos de inversión,
como se muestra a continuación.

Cuadro 2 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y C CON
IGUAL INVERSIÓN

1/ Lo que se intenta es igualar los montos de
inversión de ambos proyectos (3,000-1,8000 = 1,200). Sin
embargo, esta cantidad de dinero invertida en el proyecto genera
los beneficios de la mejor alternativa (1,200 x 0.1 =
120).

Una vez obtenidos los flujos de caja, se debe calcular
el VAN y la TIR para este nuevo proyecto.

Comparando el proyecto C con el proyecto A podemos
concluir que la información brindada por el VAN era la
adecuada: el proyecto A es el proyecto que debe realizarse porque
no sólo tiene una tasa de retorno mayor sino que
también tiene un VAN mayor.

Diferente vida útil

Muchas veces, los proyectos entre los cuales un
inversionista debe elegir tienen vidas útiles diferentes,
lo cual puede generar contradicciones entre el VAN y la TIR de
los proyectos. La TIR mide la rentabilidad del dinero que
permanece invertido en el proyecto y, si la vida útil
difiere, no considera aquella rentabilidad que el dinero que sale
del negocio obtendrá en la mejor alternativa de
inversión, lo cual distorsiona el valor de este indicador.
Veamos esto con un ejemplo.

Ejemplo .

Un inversionista necesita comparar el proyecto E con el
proyecto F, donde el costo de oportunidad es de 10% y las vidas
útiles son diferentes para cada uno, como se muestra en el
siguiente cuadro.

Cuadro 3 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS E Y
F

Una vez más, podemos observar una
contradicción entre ambos indicadores: el VAN indica que
la mejor opción es el proyecto E; sin embargo, la TIR
indica que la mejor alternativa es el proyecto F.

La solución a esta contradicción radica en
considerar que el dinero que sale del proyecto es invertido en la
mejor alternativa disponible: en este caso, el banco.

Cuadro 4.

1 / Lo que se obtiene del proyecto F al finalizar su
vida útil es invertido en la mejor alternativa durante el
segundo año a fin de igualar las vidas
útiles.

2/ C = A+B

Una vez obtenido el nuevo proyecto H, donde los ingresos
del proyecto se reinvierten en la mejor alternativa, se debe
hallar el VAN y la TIR para compararlos con el proyecto
E.

Estos resultados indican que la mejor alternativa es el
proyecto E pues tiene un VAN y una TIR mayores. Nuevamente, el
VAN es el que brinda la información adecuada para elegir
entre estos dos proyectos.

Ahora, la TIR calculada del proyecto H es más
baja pues resulta ser el promedio de su rentabilidad a lo largo
de 2 años de vida útil: 80% en el primer año
y sólo 10% en el segundo (siendo este 10% la rentabilidad
de la mejor alternativa).

Distribución de beneficios
desigual

En este caso, el monto de la inversión es similar
para cada uno de los proyectos pero la distribución de los
beneficios a través del tiempo no es la misma. Por
ejemplo, en un proyecto se pueden recibir los flujos de
beneficios de manera uniforme en cada período o todos al
final de la vida útil.

Ejemplo

Se tienen dos proyectos de inversión mutuamente
excluyentes, con una misma vida útil de tres años,
una inversión de S/. 3'000,000 y un COK de 10%. Cada
proyecto tiene una distribución diferente de los flujos de
beneficios, como se muestra a continuación.

Cuadro 5 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y
B

(en miles de soles)

A partir de los resultados del cuadro anterior se
observa que el VAN y la TIR se contradicen: si tomamos en cuenta
el VAN debe realizarse el proyecto B; sin embargo, si tomamos en
cuenta la TIR deberíamos realizar el proyecto A. Esta
contradicción puede ser solucionada si, en el caso del
proyecto B, se incorpora en el análisis de la TIR la
rentabilidad que adquieren los flujos fuera del proyecto en la
mejor alternativa posible. Esto se logra mediante un nuevo
indicador: la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) que se
desarrollará más adelante. Cabe resaltar que este
indicador es útil para solucionar el problema de la
distribución de beneficios desiguales, pero no el de vidas
útiles distintas o el de distinto monto de
inversión.

Otra manera de eliminar esta contradicción es
utilizando la tasa de retorno de los flujos increméntales,
en cuyo caso será necesario evaluar la diferencia de los
proyectos. Veamos este concepto con un ejemplo.

Ejemplo

Imaginemos dos proyectos: A y B. Cada uno con los flujos
de caja que presentamos en el Cuadro 6

Cuadro 6

FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y B

Para elaborar el análisis de los flujos
increméntales, se crea un nuevo proyecto llamado Proyecto
(A-B). Como se observa en el Cuadro VI.21. este proyecto
incremental equivale a pedir un préstamo con desembolso de
S/. 200 y S/. 2,500 los años 1 y 2, respectivamente, y con
un repago de S/. 3,200 el último año. Si calculamos
el VAN de este proyecto y éste resulta positivo, entonces
el proyecto A será mejor que el B; asimismo al calcular la
TIR, que en este caso representa la tasa de interés
efectivamente pagada por el préstamo, si ésta es
menor que el COK diremos nuevamente que A es mejor que B.
Haciendo los cálculos respectivos obtenemos los siguientes
resultados:

A partir de ellos se puede concluir que la mejor
alternativa es el proyecto B, tal como lo había indicado
el VAN.

Podemos comprobar estos resultados calculando el VAN y
la TIR del proyecto (B-A). Este nuevo proyecto incremental
sí es una inversión con salidas de dinero en los
primeros años y entradas en el último (ver Cuadro
VI.22.).

Cuadro 7 FLUJOS DE CAJA DE LOS PROYECTOS A Y
B

Por ello, el proyecto B será rentable si el VAN
es positivo y la TIR es mayor que el COK. Calculando estos
indicadores se concluye otra vez que B es mejor que A.

TASA VERDADERA DE
RENTABILIDAD (TVR)

Como ya se mencionó, otra manera de solucionar el
Problema de distribución desigual de beneficios es
calculando la tasa verdadera de rentabilidad (TVR) para cada
proyecto. Este indicador, al igual que la TIR, mostrará la
rentabilidad promedio pero, en este caso, no sólo del
capital que se mantiene en el proyecto, sino también del
monto de ingresos que sale del proyecto por concepto de
utilidades. La fórmula es la siguiente:

(VI.7)

Donde:

r: Costo de oportunidad del capital
(COK)

n: Número total de períodos. i:
Período corriente.

Ejemplo

Si aplicamos la ecuación (VI.7.) al ejemplo
anterior se obtiene, para el proyecto A, una TVR de 20.8%, y para
el proyecto B una TVR de 22.30%. Por lo tanto, se llega a la
misma conclusión sugerida por la solución anterior:
la mejor alternativa es el proyecto B.

Se puede concluir que si los proyectos no tienen una
distribución igual de ingresos y la TIR y el VAN se
contradicen, para tomar una decisión se deberá
calcular una diferencia de proyectos o la TVR. De esta manera se
elimina la contradicción que existe entre el VAN y la
TIR.

En conclusión, podemos recomendar que la tasa
interna de retorno se utilice sólo para proyectos
convencionales; no debe ser utilizada para comparar proyectos
mutuamente excluyentes. Sólo se podrá utilizar para
esto último si ambos proyectos tienen la misma vida
útil, la misma escala de inversión y una
distribución de beneficios similar. De lo contrario,
será necesario recurrir a los diferentes métodos
propuestos para eliminar la contradicción y tomar una
decisión adecuada.

Ejemplo 8

Inversiones Saturno Ldta. es una gran
compañía que invierte en toda clase de proyectos
con el ánimo de maximizar la rentabilidad total de sus
inversiones. Debido a su prestigio y tradición, esta
empresa puede invertir sin ninguna dificultad, al 20% de
interés anual, en una amplia gama de proyectos.

Actualmente, Inversiones Saturno Ltda. dispone de S/.
500,000 para invertir y ha identificado, además de los
proyectos habituales, cuatro alternativas que, por ser
competitivas entre sí, no se pueden llevar a cabo
simultáneamente. Por este motivo, el Gerente Financiero de
Saturno enfrenta la decisión de invertir en uno de los
cuatro nuevos proyectos y, si les sobra dinero, colocarlo en una
de las alternativas habituales; o no invertir en los nuevos
proyectos colocando los S/. 500,000 en las alternativas normales
que rinden 20% anual.

En el siguiente cuadro aparece una descripción de
los nuevos proyectos de inversión: allí se muestran
las partidas que los constituyen y los momentos en que ellas
ocurren. Además, aparecen los cálculos que hizo el
Gerente Financiero que incluyen el VAN, a una tasa de descuento
de 20% anual, y la TIR.

Cuadro 8.

NUEVOS PROYECTOS DE INVERSIÓN
DISPONIBLES

PARA INVERSIONES SATURNO LDTA.

(en soles)

El ordenamiento preferencial resultante de cada uno de
los índices utilizados para evaluar los cuatro proyectos
de inversión se muestra a continuación.

Cuadro 9 ORDENAMIENTO PREFERENCIAL DE LOS NUEVOS
PROYECTOS

Respecto de este cuadro, el Gerente Financiero hizo las
siguientes observaciones:

• a) Todos los proyectos son aconsejables en
  sí mismos por cualquiera de los dos índices que
  se utilicen, ya que todos los VAN son mayores que cero y
  todas las rentabilidades internas sobrepasan el 20% que es el
  costo de oportunidad del capital.

• b) El ordenamiento preferencial que resulta de
  cada una de las técnicas de evaluación
  utilizadas es enteramente inconsistente. En tanto que la TIR
  señala los proyectos A y D como los mejores, el VAN
  muestra al proyecto C como el mejor y al B como el
  peor.

Se aconseja, sin embargo, utilizar el reordenamiento que
indica el VAN.

Se quiere demostrar que el Gerente Financiero tiene
razón al afirmar que el ordenamiento adecuado es el que
proviene del VAN.

Debido a que se trata de proyectos mutuamente
excluyentes con diferente volumen de inversión y
distribución de beneficios, la TIR pierde efectividad en
la comparación de los proyectos y es esta la razón
de las contradicciones con el VAN. Lo más apropiado es
entonces obtener la TVR de cada proyecto.

Proyecto A

Inversión = -100,000

Beneficio final año

Proyecto B

Inversión = -200,000

Beneficio final año

Proyecto C

Inversión = -300,000

Beneficio final año

Proyecto D

Inversión = -400,000

Beneficio final año

Sin embargo, subsiste la contradicción con el
VAN, ya que estas rentabilidades son sobre volúmenes de
inversión diferentes y, por tanto, hay que hacer una
análisis incremental.

Cuadro 10 ANÁLISIS INCREMENTAL

1/ Se calculó como la TVR.

2/ Es indiferente elegir el proyecto A o el proyecto B
(TIR = 20%). En este caso, se trabaja con el proyecto A, pero si
se trabajara con el proyecto B el resultado no
cambiaría.

3/ El proyecto (C-A) es rentable (TIR > 20%), lo cual
quiere decir que C es mejor que A.

4/ El proyecto (D-C) no es rentable (TIR < 20%), lo
cual quiere decir que C es mejor que D.

Así desaparece la contradicción y se elige
el proyecto C.

TALLER II

PROBLEMAS
EQUIVALENCIAS FINANCIERAS

• 1. ¿Cuanto tiempo
  será necesario para que?

• a. Una inversión de S1.200.000 se
  convierta en S1.950.000 con una tasa de interés del
  27.5% anual?

• 2. Una empresa deposita hoy
  $700.000 en una entidad que paga una tasa de interés
  anual variable que depende del tiempo medido en años
  así:

La persona retira S250.000 dentro de 2 años y
deposita $180.000 tres años más tarde del retiro.
Calcular el saldo al cabo de 10 años

• 3. Un señor tiene hoy una deuda por
  valor de S650.000 y le cobran un interés del 3%
  mensual. A su vez, el señor dispone hoy de $450.000
  los cuales deposita en una cuenta al 4% mensual.
  ¿Dentro de cuánto tiempo el dinero que tiene en
  la cuenta le alcanzará para cancelar la deuda
  existente en ese momento?

• 4. Dentro de cuántos trimestres se
  tendrá en una cuenta de ahorros un saldo de $910.660
  sabiendo que hoy se hace un depósito de 5400.000 y
  luego retiros así: $80.000 dentro de 9 meses. S120.000
  dentro de 12 meses, si la cuenta de ahorros abona un
  interés del 9.9% trimestral.

• 5. Hallar la tasa efectiva anual equivalente
  al:

Respuestas

3% mensual

30% anual, capitalizable mensualmente

18% semestral

9% trimestral

• 6. Se dispone hoy de una suma para invertir y
  se presentan dos alternativas: la primera es invertir: la
  primera es invertir al 29% capitalizable mensualmente y la
  segunda es invertir al 30.5% capitalizable semestralmente.
  ¿Cuál se debe aceptar?

• 7. Una persona deposita S 100.000 en una cuenta
  de ahorros que paga un interés del 28% capitalizable
  trimestralmente; dentro de 3 años retira la tercera
  parte del total acumulado en su cuenta, dos años
  más tarde hace un depósito igual a la mitad del
  saldo existente en ese momento y dos años
  después retira la totalidad del dinero existente en
  esa fecha. Hallar el valor de este último
  retiro

• 8. Sustituir una obligación que consta
  de tres pagares de $100.000, $260.000 y $560.000 para dentro
  de 2,5 y 10 meses respectivamente, por su equivalente en dos
  pagos iguales uno para dentro de 10 meses y el otro a 20
  meses, sabiendo que la tasa de interés acordada en
  todos los casos es del 32.22% capitalizable
  mensualmente

• 9. Una institución bancaria le hace un
  préstamo a uno de sus clientes por valor de $1,540.000
  cobrándole una tasa de interés del 39%
  capitalizare mensualmente. La deuda se debe cancelar en dos
  pagos iguales de $1.148.314 cada uno. Si un pago se hace al
  cabo de un año, ¿cuándo se deberá
  cancelar el otro?

• 10. En el problema anterior para que valor de
  la tasa de interés, los dos pagos se deben hacer en 6
  y 12 meses

• 11.  Una persona deposita hoy S450.000 en una
  corporación de ahorro que paga el 28% capitalizare
  trimestralmente. Tres años después deposita
  $620.000 un año más tarde deposita 3500.000 y
  dos años después, decide retirar la cuarta
  parte del total acumulado hasta ese momento. Hallar el saldo
  en la cuenta de ahorros, cinco meses después del
  último retiro

• 12. Cuando usted adquirió una
  obligación, se comprometió a cancelarla
  mediante el siguiente plan: cuota inicial de $860.000, tres
  pagos de S950.000, S730.000 y $1.250.000 a 6, 10 y 15 meses
  respectivamente y un interés del 33% capitalizable
  trimestralmente. Transcurridos ocho meses usted cancela la
  mitad del saldo en ese momento, y el resto lo cancela cuatro
  meses más tarde. Se pide hallar el valor de cada uno
  de esos dos pagos

• 13. Una persona deposita S50.000 mensuales
  durante 4 años, en una entidad que paga el 30.5%
  capitalizable trimestralmente. Al cabo de ese tiempo, la
  persona empieza a retirar S50.000 por mes vencido y durante 4
  años. Averiguar el saldo al final de los 8
  años

• 14. . Un carro tiene un valor de contado de S
  16.000.000 y se puede adquirir con una cuota inicial del 30%
  del valor de contado y el resto financiado a tres años
  en cuotas mensuales iguales. Si la tasa de interés que
  se cobra por la financiación es del 42% capitalizare
  mensualmente, hallar el valor de las cuotas sabiendo que la
  primera se cancela dentro de tres meses

• 15. Una cuenta de ahorros se inicia hoy con
  cuotas mensuales iguales, debiendo hacer la última
  dentro de 18 meses a una tasa de interés del 3%
  mensual, y se harán retiros iguales cada mes de
  cantidades que sean el doble de la depositada, si el primer
  retiro se hace dentro de 19 meses, se pregunta:
  ¿durante cuánto tiempo se podrá retirar
  dinero antes que se agote el fondo?

APLICACIÓN
DE INDICADORES DE EVALUACION

• 16.  Supóngase que el Proyecto A
  consiste en la fabricación de un instrumento que se
  manejara manualmente, y el proyecto B es un proyecto en el
  que el instrumento se manejara a través de una
  computadora.

En la tabla siguiente, se tiene las inversiones
iniciales y los beneficios netos

correspondientes:

Hallar la TIR para ambos proyectos

Hallar el VAN al 10%

¿Qué proyecto elegiría por
qué?

• 17.  Se tiene dos proyectos Alternativos, una
  gran empresa textil y una pequeña empresa textil con
  los sgtes flujos.

Si el costo de capital es 12,5% se pide calcular el
VAN,TIR,

TIR Mg,VANMg, B/C Mg.De acuerdo a ello decidir
cuál de los proyectos se debería
ejecutar.

• 18.  Una Empresa desea financiar un proyecto de
  los que presentó su analista financiero, los flujos de
  ambos proyectos se presentan en el sgte cuadro.

La empresa esta pensando en elegir B, cuyo
TIR es mayor .

Es corecta la decisiòn de la empresa
Porquè

Cuál sería el criterio de
decisiòn correcto.

• 19.  -Una Empresa desea financiar un proyecto
  de los que presentó su anlista financiero, los flujos
  de ambos proyectos se presentanen el sgte cuadro.

Cuál de los dos proyectos
aconsejaría Ejecutarlo porqué?

• 20.  Se desea elegir el equipo más
  adecuado posible para una fábrica de chompas de alpaca
  y se cuenta con dos alternativas, cuál de ellas
  aconsejaría ud?

• 21.  Se tiene dos alternativas se trata de
  utilizar tuberías X de 18' y Z de 24'de
  diámetro, el costo inicial de X es 21,000 y de Z
  32,000 los costos de mantenimiento de X son 6700 por
  año, y de Z 3850 por año, es necesario este
  servicio por 7 años, al finalizar el sétimo
  año se puede vender las tuberías a la mitad del
  costo inicial Establezca dos indicadores que permitan decidir
  por cuál alternativa optar. Cok 10%.

• 22.  Se cuenta con dos alternativas
  tecnológicas

Si el costo de capital es 12 y 16% respectivamente se
pide calcular el Valor actual de costos de A, El Valor actual de
costos de B , el TIR marginal, graficar e interpretar.

• 23.  Se tiene 2 carreteras cuyos flujos de
  costos para cada uno son :Se desea elegir el equipo
  más adecuado posible para una fábrica de
  chompas de alpaca y se cuenta con dos alternativas,
  cuál de ellas aconsejaría ud

Cuál de los proyectos elegir si se
tiene

a. COK 10%

b.COK 20 %

c.COK >20%