Antes de iniciar nuestro viaje por el
fascinante mundo de los números combinatorios, nos
dedicaremos a repasar algunos conceptos
básicos.
Conjunto:
Puede ser definido como una colección de
componentes que tienen propiedades similares o afines. A cada
componente particular se le denomina elemento del
conjunto.
Como ejemplo podemos citar el conjunto de todos los
países que forman las Antillas mayores. Los elementos de
este conjunto serían: Cuba, Rep. Dominicana, Haití,
Pto Rico y Jamaica.
Podemos notar nuestro conjunto esta formado por un
número finito de elementos, y es que un conjunto puede
tener cualquier cantidad de elementos desde ninguno (conjunto
vacio) hasta infinitos elementos.
Un conjunto que posea una cantidad conmensurable o
finita de elementos se denomina conjunto finito.
Un conjunto que posea una cantidad infinita de elementos
se denomina conjunto infinito.
Un conjunto que carece de elementos se conoce como
conjunto vacio.
Factorial de un
número:
Sea n un número entero positivo, el producto 1 *
2 * 3 *…n, se conoce como el factorial de n y su
representación matemática es: n!
0! Se define como 1.
Ejemplos:
5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120
3! = 1 * 2 * 3 = 6
10! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9 * 10 = 3628800
Combinatoria:
En un conjunto dado de elementos finitos, el estudio de las
diferentes maneras en que se pueden arreglar dichos elementos
siguiendo reglas establecidas, es lo que se conoce como
combinatoria.
La representación simbólica de los
números combinatorios, sin repetición, es la
siguiente:
Donde:
m y n son números enteros = 0 y m = n.
Los símbolos 
se definen matemáticamente como:
Como nota es preciso puntualizar que existen otras
nomenclaturas para representar los números combinatorios,
sin embargo podremos notar mas adelante que se nos hace mas
conveniente usar la simbología C(m, n); por lo que en lo
adelante la usaremos para nuestros fines.
Algunas de las propiedades de los números
combinatorios son:
1.
2.
3.
A la expresión C (m, n) se le denomina número
combinatorio y no es necesario tomar en cuenta el orden en que se
disponen los elementos para la resolución de los
mismos.
Ejemplo:
¿De cuantas formas se pueden colocar dos letras de la
palabra música?
La palabra música está compuesta por seis
letras diferentes de las que tomaremos dos, entonces:
Esto lo podemos comprobar exhaustivamente de la siguiente
manera:
M-U-S-I-C-A
MU US SI IC CA
MS UI SC IA
MI UC SA
MC UA
MA
Recordemos que el orden en que se disponen los elementos no
importa, por lo que es lo mismo MU que UM.
Ahora bien, hemos hablado de orden y repetición.
Sabemos que en este tipo de problemas el orden no importa y la
repetición esta restringida, entonces cabe preguntarnos
¿existe alguna regla que nos prohíba hacernos el
siguiente planteamiento?
¿Cuál sería el resultado del problema
anterior si tomamos dos letras que no estén seguidas una
de otra?
M-U-S-I-C-A
Por el método exhaustivo nos da:
MS UI SC IA
MI UC SA
MC UA
MA
Es decir diez maneras diferentes de agrupar las letras.
Ha resultado tarea sencilla encontrar la
respuesta por el método mostrado, pero resulta evidente
que no es la mejor manera de resolver este tipo de problemas si
tenemos números grandes, por lo que debemos buscar otro
método menos mecánico.
¡Eureka!
Entonces nuestra fórmula se
convierte en:
Habíamos advertido con anticipación que
por conveniencia usaríamos la nomenclatura C (m, n); ahora
vemos el motivo que nos llevó a tomar tal
decisión.
Pero, ¿Qué significa el superíndice
sobre la C?, ¿De donde ha salido tan misteriosa
fórmula?
Antes de darle una respuesta a la primera
pregunta, daremos la siguiente fórmula:
Que no es mas que una forma extendida de 
, cuando k = 0.
= 
Donde el superíndice (k), nos indica la cantidad
de elementos consecutivos a ser discriminados.
En la segunda versión del ejemplo se nos
pedía encontrar las posibles formas que se pueden combinar
dos letras de la palabra MUSICA, sin que se juntasen dos letras
consecutivas. En otras palabras nos piden que excluyamos o
discriminemos la letra que se encuentra al lado de su antecesora,
es decir que tenemos un factor discriminante k = 1.
Resolver el siguiente ejercicio:
En una fila de 10 asientos, se desean disponer tres
personas de forma tal que queden por lo menos dos asientos vacios
de por medio entre cada persona. ¿De cuantas maneras
diferentes pueden arreglarse?
Como quedan dos asientos vacios entre cada persona, k =
2.
Solución exhaustiva del problema
Imagínense tener que calcular 
de manera exhaustiva, eso
nos tomaría un buen tiempo, que podemos reducir aplicando
la fórmula genérica.
Lo que nos acuerda que no dimos respuesta a la segunda
pregunta.
La fórmula genérica puede ser demostrada
de forma "sencilla", el objetivo de estas páginas es dar a
conocer dicha fórmula, por lo que consideramos que no es
necesario incluir tal demostración, ya que la experiencia
nos dice que muchos de los potenciales lectores jamás
leerían estas páginas si cometiésemos la
sensatez de incluirla en este documento.
Autor:
José Acevedo