Distribución binomial

Definición

Cuando se dispone de una expresión
matemática, es factible calcular la probabilidad de
ocurrencia exacta correspondiente a cualquier resultado
específico para la variable aleatoria.

La distribución de probabilidad binomial
es uno de los modelos matemáticos (expresión
matemática para representar una variable) que se utiliza
cuando la variable aleatoria discreta es el número de
éxitos en una muestra compuesta por n
observaciones.

Propiedades

– La muestra se compone de un número fijo de
observaciones n

– Cada observación se clasifica en una de dos
categorías, mutuamente excluyentes (los eventos
no pueden ocurrir de manera simultánea. Ejemplo: Una
persona no puede ser de ambos sexos) y colectivamente
exhaustivos (uno de los eventos debe ocurrir. Ejemplo: Al
lanzar una moneda, si no ocurre cruz, entonces ocurre cara). A
estas categorías se las denomina éxito y
fracaso.

– La probabilidad de que una observación se
clasifique como éxito, p, es constante de una
observación o otra. De la misma forma, la probabilidad de
que una observación se clasifique como fracaso,
1-p, es constante en todas las observaciones.

– La variable aleatoria binomial tiene un rango de 0 a
n

Ecuación:

PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X

Donde

PX=Probabilidad de X éxitos, dadas y

n = Número de observaciones

p = Probabilidad de éxitos

1-p = Probabilidad de fracasos

X = Número de éxitos en la muestra (= 0,
1, 2, 3, 4,………)

Ejemplo ilustrativo N° 1

Determine P(X=5) para n = 6 y p = 0,83

Solución:

Aplicando la ecuación se obtiene:

PX=n!X!n-X!·pX·1-pn-X

PX=5=6!5!6-5!·0,835·1-0,836-5=0,4018

En Excel se calcula de la siguiente manera:

a) Se escribe los datos y se inserta la función
DISTR.BINOM. Clic en Aceptar. Los argumentos de la función
escribir como se muestra en la figura:

b) Clic en Aceptar

Ejemplo ilustrativo N°
2

Determinar P(X=4) para n =5 y p =
0,45

Solución:

Se puede aplicar la ecuación para cada
probabilidad, pero para ahorrar tiempo se recomienda encontrar
las probabilidades con lectura en la tabla de probabilidades
binomiales. Realizando la lectura en la tabla de la
distribución binomial para P(X=0) con n=5 y p=0,5 se
obtiene 0,0503. Continuando con la respectivas lecturas en la
tabla se obtiene: 0,2059 para P(X=1), 0,3369 para P(X=2), 0,2757
para P(X=3) y 0,1128 para P(X=4),

Por lo tanto
PX=4=0,0503+0,2059+0,3369+0,2757+0,1128=0,9816

Los cálculos realizados en Excel se muestran en
la siguiente figura:

Media de la
distribución binomial

La media de la distribución binomial es igual a
la multiplicación del tamaño de la muestra por la
probabilidad de éxito

Desviación estándar de la
distribución binomial

TAREA

1) Realice un organizador gráfico sobre la
distribución binomial

2) Determine de manera manual y empleando
Excel

2.1) Para n = 4 y p = 0,12, ¿cuánto es
P(X=0)?

R: 0,5997

2.2) Para n = 10 y p = 0,40, ¿cuánto es
P(X=9)?

R: 0,0016

2.3) Para n =10 y p = 0,50, ¿cuánto es
P(X=8)?

R: 0,0439

2) En una muestra de 4 pedidos, se observa el siguiente
resultado:

2.1) Llenar la tabla de manera manual y empleando
Excel

Resolver los siguientes ejercicios de manera manual y
empleando Excel

2.2) Si la probabilidad de que un formato de pedido sea
marcado es de 0,1, ¿qué probabilidad existe de que
haya tres formatos marcados?

P(X=3) = 0,0036

2.3) Si la probabilidad de que un formato de pedido sea
marcado es de 0,1, ¿qué probabilidad existe de que
haya menos de tres formatos marcados?

2.4) Si la probabilidad de que un formato de pedido sea
marcado es de 0,1, ¿qué probabilidad existe de que
haya mayor de tres formatos marcados?

2.5) Si la probabilidad de que un formato de pedido sea
marcado es de 0,1, ¿qué probabilidad existe de que
haya tres o más formatos marcados (es decir, por lo menos
tres)?

0,0037

2.6) Si la probabilidad de que un formato de pedido sea
marcado es de 0,1, ¿qué probabilidad existe de que
haya tres o menos formatos marcados?

0,9999

2.7) Calcular la desviación
estándar

3) El 60% de profesionales leen su contrato de trabajo,
incluyendo las letras pequeñas. Suponga que el
número de empleados que leen cada una de las palabras de
su contrato se puede modelar utilizando la distribución
binomial. Considerando un grupo de cinco empleados:

3.1) Llenar la tabla manera manual y empleando
Excel

3.2) Resolver los siguientes ejercicios de manera manual
y empleando Excel. Cuál es la probabilidad de
que:

a) Los cinco lean cada una de las palabras de su
contrato

0,0778

b) Al menos tres lean cada una de las palabras de su
contrato

0,6826

c) Menos de dos lean cada una de las palabras de su
contrato

0,0870

3.3) ¿Cuáles serían los resultados
para los incisos de la pegunta 3.2) si la probabilidad de que un
empleado lea cada una de las palabras de su contrato es de 0,80?.
Resolver los siguientes ejercicios de manera manual y empleando
Excel

0,3277; 0,9421; 0,0067

4) Un examen de estadística de elección
múltiple contenía 20 preguntas y cada una de ellas
5 respuestas. Si un estudiante desconocía todas las
respuestas y contestó al azar

4.1) ¿Cuál es la probabilidad de que
conteste correctamente a 5 preguntas?

0,1746

4.2) ¿Cuál es la probabilidad de que
conteste correctamente a lo más 5 preguntas?

0,8042

Referencias
bibliográficas

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir
Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario
Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con
Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte, Lima,
Perú.

GOVINDEN, Lincoyán, (1985), Introducción a
la Estadística, Ed. McGraw Hill. Interamericana
Editores. S.A., Bogotá, Colombia.

JOHNSON, Robert, (2003), Estadística
Elemental, Ed. Math Learning, Ed. Tercera, México
DF.

KUBY, Patricia.

KAZMIER, J. Leonard, (1990).
Estadística Aplicada a la Administración y la
Economía,

Ed. McGrawHill, Ed. Segunda, Bogotá,
Colombia.

LIND, Marchal, (2005), Estadística Aplicada a los
Negocios y a la Economía, Ed. McGraw- Hill,

MASON Ed. Décima., Mexico DF.

MARTINEZ, Bencardino, (1981), Estadística
Comercial, Ed. Norma, Bogotá, Colombia.

MORENO, Francis, (1993), Estadística Inferencial,
Universidad Particular de Loja, Loja, Ecuador.

SÁNCHEZ, Jesús, (2007),
Introducción a la Estadística Empresarial, Madrid,
España.

SALTOS, Héctor, (1986), Estadística de
Inferencia, Ed. Pío XII, Ambato, Ecuador.

SHAO, Stephen, (1980), Estadística para
Economistas y Administradores de Empresas, Ed. Herrero

Hnos, México DF.

SPIEGEL, Murray, (2000),
Estadística, Serie de Compendios Schaum, Ed. McGraw-Hill,
México.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática, Ed. Gráficas
Planeta, Ibarra,

Ecuador.

STEVENSON, William, (1981), Estadística para
Administración y Economía, Ed. Harla S.A de
C.V. México D.F.

WEBSTER, Allen, (2000), Estadística Aplicada a
los Negocios y a la Economía, Ed. McGraw Hill.
Interamericana Editores S.A. Bogotá,
Colombia

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes