Una distribución de probabilidad es una representación de todos los resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con cada uno.
Una distribución de probabilidad es discreta cuando los resultados posibles del experimento son obtenidos de variables aleatorias discretas, es decir, de variables que sólo puede tomar ciertos valores, con frecuencia números enteros, y que resultan principalmente del proceso de conteo.
Ejemplos de variables aleatorias discretas son:
Número de caras al lanzar una moneda
El resultado del lanzamiento de un dado
Número de hijos de una familia
Número de estudiantes de una universidad
Ejemplo ilustrativo: Sea el experimento aleatorio de lanzar 2 monedas al aire. Determinar la distribución de probabilidades del número de caras.
El espacio muestral es S = {CC, CS, SC, SS}
La probabilidad de cada punto muestral es de 1/4, es decir, P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) = 1/4
La distribución de probabilidades del número de caras se presenta en la siguiente tabla:
Resultados (N° de Caras) | Probabilidad |
0 | 1/4 = 0,25 = 25% |
1 | 2/4 = 0,50 = 50% |
2 | 1/4 = 0,25 = 25% |
El gráfico de distribuciones de probabilidad en 3D elaborado en Excel se muestra en la siguiente figura:
Interpretación:
La probabilidad de obtener 0 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
La probabilidad de obtener una cara al lanzar 2 monedas al aire es de 2/4 = 0,5 = 50%
La probabilidad de obtener 2 caras al lanzar 2 monedas al aire es de 1/4 = 0,25 = 25%
LA MEDIA Y LA VARIANZA DE LAS DISTRIBUCIONES DISCRETAS
MEDIA
La media llamada también valor esperado, esperanza matemática o simplemente esperanza de una distribución de probabilidad discreta es la media aritmética ponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesos son las probabilidades respectivas de tales resultados. Se halla multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
Donde:
Media, Valor Esperado, Esperanza Matemática o simplemente Esperanza
= Posible resultado
Probabilidad del posible resultado
VARIANZA
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla calculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y finalmente se suman los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
Nota: La varianza se expresa en unidades al cuadrado, por lo que es necesario calcular la desviación estándar que se expresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto tiene una interpretación más lógica de la dispersión de los resultados alrededor de la media. La desviación estándar se calcula así: 
Ejemplo ilustrativo:
Hallar la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar del número de caras al lanzar tres monedas al aire.
Solución:
El espacio muestral es S = {CCC, CCS, CSC, SCC, CSS, SCS, SSC, SSS}
La probabilidad de cada punto muestral es de 1/8
Se elabora las distribuciones de probabilidad y se realiza los cálculos respectivos. Estos resultados se presentan en la siguiente tabla:
|
|
|
| |||
0 | 1/8 | 0·1/8 = 0 | (0-1,5)2 ·1/8 = 0,281 | |||
1 | 3/8 | 1·3/8 = 3/8 | (1-1,5)2 ·3/8 = 0,094 | |||
2 | 3/8 | 2·3/8 = 3/4 | (2-1,5)2 ·3/8 = 0,094 | |||
3 | 1/8 | 3·1/8 = 3/8 | (3-1,5)2 ·1/8 = 0,281 | |||
Total | 1 | 1,5 | 0,750 | |||
Observando la tabla se tiene:
; 
Y calculando la desviación estándar se obtiene:
Los cálculos en Excel de la esperanza matemática, la varianza y la desviación estándar se muestran en la siguiente figura:
Interpretación:
El valor de significa que si se promedian los resultados del lanzamiento de las tres monedas (teóricamente, un número infinito de lanzamientos), se obtendrá 1,5.
Los valores de y 
miden la dispersión de los resultados de lanzar las tres monedas alrededor de su media.
TAREA
1) Elabore un organizador gráfico sobre las distribuciones discretas
2) Al ser la esperanza matemática una media aritmética ponderada, explique el por qué en su fórmula no aparece la división por la suma de los pesos como en cualquier fórmula de la media aritmética ponderada.
3) Sea el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire.
3.1) Elabore un gráfico de distribuciones de probabilidad en 2D de manera manual y empleando Excel
3.2) Elabore un gráfico de distribuciones de probabilidad en 3D empleando Excel
3.3) Calcule la esperanza matemática, la varianza y desviación estándar de manera manual y empleando Excel.
E(X) = 3,5 ;
;
4) Dada las distribuciones de probabilidad
|
| |
0 | x | |
1 | 1/4 | |
2 | 6x | |
3 | 4x | |
4 | 1/16 | |
4.1) Calcular el valor de x
1/16
4.2) Elabore un gráfico de distribuciones de probabilidad en 3D empleando Excel
4.3) Calcule la esperanza matemática, la varianza y desviación estándar de manera manual y empleando Excel.
E(X) = 2 ;
;
5) El número de automóviles que la empresa D & M vendió mensualmente varió de 4 a 12 junto con la frecuencia de ventas que se muestra en la siguiente tabla:
N° meses | Automóviles ( | |
6 | 4 | |
8 | 8 | |
12 | 10 | |
10 | 12 | |
8 | 14 | |
4 | 12 | |
En meses anteriores el número promedio de ventas mensuales fue de 8 con una variabilidad de 4,2. Empleando las cifras presentadas, determine que ha pasado el promedio mensual de ventas y su variabilidad de la empresa D & M en comparación con los meses anteriores. Realice los cálculos empleando Excel.
Como E(X) = 10,167 y
se evidencia que la empresa ha incrementado su promedio mensual de ventas y ha reducido su variabilidad en comparación con los meses anteriores.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Interamericana Editores S.A. Bogotá, Colombia
Autor:
Mario Orlando Suárez Ibujes