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Guía didáctica para el Interaprendizaje de Medidas de Tendencia Central




Partes: 1, 2

  1. Competencias
  2. Media aritmética
  3. Media geométrica
  4. Media armónica
  5. La mediana
  6. Medidas de posición
  7. Moda

CAPÍTULO II

Competencias

- Interpreta adecuadamente las características y propiedades de las medidas de tendencia central y comprende sus aplicaciones.

- Emplea correctamente algoritmos matemáticos para calcular medidas de tendencia central de manera manual y empleando Excel.

- Realiza eficientemente diagramas de caja y bigotes de manera manual y empleando Graph.

- Crea y resuelve correctamente ejercicios de aplicación sobre las medidas de tendencia central.

Media aritmética

Las medidas de tendencia central son medidas representativas que como su nombre lo indica, tienden a ubicarse hacia el centro del conjunto de datos, es decir, una medida de tendencia central identifica el valor del dato central alrededor de cual se centran los demás datos, siendo la media aritmética una de aquellas medidas.

La medida aritmética, a igual que cualquier otra medida de datos estadísticos, cuando se calcula a nivel de toda la población, se denominan parámetro, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de todos los estudiantes que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo. Pero si se calcula basada en muestras, se denomina estadígrafo o estadístico, como por ejemplo, la calificación promedio en el examen de admisión de estudiantes de colegios fiscales que ingresan a la Universidad UTN al primer semestre del presente año lectivo.

2.1.1) MEDIA ARITMÉTICA SIMPLE

2.1.1.1) Definición

Es la medida de tendencia central más utilizada por lo general se ubica hacia el centro de distribución estadística.

2.1.1.2) Métodos de Cálculo

a) Para Datos sin Agrupar

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b) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias.- Cuando una serie se la agrupa en serie simple con frecuencias para obtener la media aritmética, se multiplica la variable por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos (n). Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así:

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c) Para Datos Agrupados en Intervalos.- Cuando una serie se la agrupa en intervalos para obtener la media aritmética, se multiplica la marca de clase de intervalo (xm) por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo divide para el número de elementos. Todo esto puede representarse mediante una fórmula matemática, así

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Ejemplo ilustrativo

Calcular la media aritmética de las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una muestra de 20, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y agrupando en intervalos.

4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8, 5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6

Solución:

1) Sin agrupar

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En Excel se calcula insertando la función PROMEDIO:

2) Agrupando en tablas de frecuencias

Además presentar los datos en un diagrama de sectores.

x

f

4

3

5

2

6

3

7

1

8

6

9

1

10

4

Total

20

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3) Agrupando en intervalos

Intervalos

f

xm

4- 5

5

4,5

6 -7

4

6,5

8- 9

7

8,5

10-11

4

10,5

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Nota: Cuando se agrupa en intervalos los cálculos son sólo aproximaciones

En Excel se calcula insertando la función: SUMAPRODUCTO (C27:C30;D27:D30)/SUMA(C27:C30) como se muestra en la siguiente figura:

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Nota: La principal propiedad de la media aritmética es:

La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de datos respecto de su media aritmética es cero

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2.1.2) MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

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Ejemplo ilustrativo: Se tiene una información acerca de las utilidades por pan y cantidades vendidas de panes de tres tiendas. Calcular la media aritmética promedio de la utilidad por pan.

Tienda

Utilidad/pan

Cantidad vendida

1

1

2000

2

0,8

1800

3

0,9

2100

Solución:

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TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Defina con sus propias palabras lo que entiende por medidas de tendencia central

2) ¿Cuál es la diferencia entre parámetro y estadígrafo?. Mediante un ejemplo ilustre su respuesta.

3) ¿Qué entiende por media aritmética simple?

4) ¿Qué entiende por media aritmética ponderada?

5) Calcule la media aritmética de las siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una muestra en forma manual y empleando Excel.

10

8

9

7

6

5

4

8

6

3

8

3

6

9

10

8

10

10

9

8

5.1) Sin agrupar.

7,35

5.2) Agrupando en frecuencias.

7,35

6) Compruebe la propiedad principal de la media aritmética con los datos del ejercicio anterior sin agrupar y con los datos agrupados en frecuencias de manera manual y empleando Excel.

7) Calcule la media aritmética de las siguientes calificaciones de Matemática tomadas de una muestra en forma manual y empleando Excel.

10

8

9

7

6

3

7

10

6

5

4

8

8

3

4

8

9

5

8

3

8

9

10

5

9

8

4

8

10

10

9

8

6

10

7

3

7.1) Sin agrupar.

7,0833

7.2) Agrupando en frecuencias.

7,0833

7.3) Agrupando en intervalos de ancho 2.

7

8) Compruebe la propiedad principal de la media aritmética con los datos del ejercicio anterior agrupados en intervalos de manera manual y empleando Excel.

9) Cree y resuelva un ejercicio similar al N° 8 con datos de cualquier tema de su interés.

10) Para construir un edificio se contrataron 30 obreros con un sueldo mensual de $ 300 cada uno. Calcule el sueldo promedio.

$ 300

11) En una investigación sobre la población en 4 barrios de la ciudad de Ibarra, se encontró que el número de habitantes es: 2000, 3000, 4500, 5000. Se supone que en 10 años la población se duplicará. Calcule la población promedio dentro de 10 años.

7250 habitantes

12) Cuatro personas ganan mensualmente: $400, $300, $500, $700. Calcule el salario promedio si a cada uno le aumentan $80.

$555

13) Un grupo de estudiantes obtuvieron las siguientes calificaciones evaluadas sobre 10 como se indica en la siguiente tabla:

Asignatura

Calificación

Matemática

7

8

6

6

5

10

Estadística

8

9

6

4

10

8

Inglés

9

10

8

8

7

6

Calcule la calificación promedio del grupo

7,5

14) Un estudiante en la asignatura de Estadística en los tres aportes parciales evaluados sobre 10 tiene: 4, 6 y 10. ¿Cuánto debe obtener en el cuarto aporte para que su promedio exacto sea 7?

8

15) Cree y resuelva un ejercicio similar anterior.

16) Los tres primeros aportes de un estudiante en la asignatura de Matemática son: el primer aporte es el doble del segundo, y éste es cuatro unidades menos que el tercer aporte, y el cuarto aporte es 2 unidades más que el tercer aporte. Si el promedio exacto es 5, ¿cuáles fueron los aportes?

x1 = 4, x2 = 2, x3 = 6 y x4 = 8

17) Cree y resuelva un ejercicio similar anterior.

18) Si el examen final de Estadística cuenta tres veces más que una evaluación parcial, y un estudiante tiene 8 en el examen final, 7 y 9 en las dos parciales. Calcule la calificación media en forma manual y empleando Excel.

8

19) Cree un ejercicio de aplicación sobre la media aritmética ponderada y resuélvalo forma manual y empleando Excel.

Media geométrica

2.2.1) PROPIEDADES

- La media geométrica proporciona una medida precisa de un cambio porcentual promedio en una serie de números.

- Se utiliza con más frecuencia para calcular la tasa de crecimiento porcentual promedio de series de datos, a través del tiempo.

- Es una medida de tendencia central por lo general menor que la media aritmética salvo en el extraño caso en que todos los incrementos porcentuales sean iguales, entonces las dos medias serán iguales.

- Se le define como la raíz enésima del producto de "n" valores. Cuando los datos son bastantes o cantidades grandes, para facilitar el cálculo se lo debe simplificar pero sin alterar su naturaleza, para lo cual se puede utilizar los logaritmos de base 10.

2.2.2) MÉTODOS DE CÁLCULO

2.2.2.1) Para Datos No Agrupados

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Ejemplo ilustrativo N° 1

La media geométrica es útil en el cálculo de tasas de crecimiento; por ejemplo, si el crecimiento de las ventas en un pequeño negocio son 3%, 4%,8%,9% y 10%, hallar la media de crecimiento.

Solución:

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Respuesta: 6,128%

Utilizando logaritmos:

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Empleando Excel se calcula insertando la función MEDIA.GEOM.

Ejemplo ilustrativo N° 2

Calcular la tasa de crecimiento promedio a la que ha variado las ventas de cierto producto con base a la siguiente tabla:

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Ventas

500

550

600

700

800

850

Solución:

Es necesario calcular el porcentaje que las ventas de cada mes representan respecto de los obtenidos el mes anterior.

Mes

Ventas

Porcentaje del mes anterior

Enero

500

Febrero

550

550/500=1,100

Marzo

600

600/550=1,091

Abril

700

700/600=1,167

Mayo

800

800/700=1,143

Junio

850

850/800=1,063

Calculando la media geométrica se obtiene:

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Restando 1 para convertirlo a un incremento mensual promedio da 1,112-1 =0,112, o un incremento promedio de 11,2% para el período de 6 meses.

Comprobación:

Mes

Ventas

Ventas calculadas con G

Enero

500

Febrero

550

500x1,112=556,000

Marzo

600

556x1,112=618,272

Abril

700

618,272x1,112=687,518

Mayo

800

687,518x1,112=764,52

Junio

850

764,52x1,112=850,146

Se puede observar que el valor de 850,146 calculado con la media geométrica es semejante al valor de venta real de 850, por lo tanto el valor calculado para la media geométrica está correcto.

2.2.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias

Se emplea la siguiente ecuación:

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Ejemplo ilustrativo N° 3

Calcular la media geométrica para las siguientes calificaciones de Estadística:

xi

fi

4

5

6

8

8

9

9

10

10

8

Solución:

Se llena la siguiente tabla, realizando los cálculos respectivos:

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Se aplica la siguiente ecuación para obtener la respuesta.

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2.2.2.3) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la ecuación:

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Donde:

xm = marca de clase

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico sobre la media geométrica

2) Cree y resuelva un problema similar al ejemplo ilustrativo Nº 2 para el cálculo de la media geométrica con datos sin agrupar. Resuelva manualmente empleando las dos ecuaciones presentadas y empleando Excel

3) Calcular la media geométrica para las siguientes calificaciones de Estadística de manera manual y con Excel

xi

fi

1

3

2

5

3

8

4

8

5

7

6

6

7

8

8

9

9

6

10

10

G = 5,23

4) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

5) Dado los siguientes datos:

19, 20, 21, 20, 19, 20, 21, 22, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 28, 29, 30, 31 y 33

5.1) Agrupe en intervalos de ancho 3.

5.2) Calcule la media geométrica manera manual y empleando Excel.

G = 24,15

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

Media armónica

La media armónica de una serie de números es el recíproco, o inverso, de la media aritmética de los recíprocos de dichos números, entendiéndose como recíproco al número que multiplicado por este nos da la unidad.

2.3.1) PROPIEDADES

- Es un promedio que se utiliza para el cálculo del costo promedio y todo tipo de variables expresadas en tasas o porcentajes.

- La media armónica no está definida en el caso de la existencia en el conjunto de valores nulos.

- Cuando la unidad constante o unidad de evaluación es igual a la unidad del numerador de una razón, se usa el promedio armónico, y si es igual a la unidad del denominador se usa el promedio aritmético.

2.3.2) MÉTODOS DE CÁLCULO

2.3.2.1) Para Datos No Agrupados

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Ejemplo ilustrativo: La velocidad de producción de azúcar de tres máquinas procesadoras son 0,5, 0,3 y 0,4 minutos por kilogramo. Hallar el tiempo promedio de producción después de una jornada de 4800 minutos del proceso.

Solución:

Como en la razón minutos/kilogramos (min/kg) cada máquina trabaja 4800 min, la razón contante es el tiempo de trabajo (4800 min), es decir la contante es la unidad del numerador, por lo tanto se debe emplear el promedio armónico.

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El tiempo promedio de producción es 0,383 minutos por kilogramo de azúcar.

Empleando Excel se calcula insertando la función MEDIA.ARMO

2.3.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencias

Se emplea cualquiera de las siguientes ecuaciones:

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Ejemplo ilustrativo: En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en horas que se demoran en realizar la misma obra determinados obreros. Calcular el tiempo promedio que se demora en realizar la obra un obrero tipo (un obrero promedio).

Tiempo

Obreros

4

4

5

5

6

7

7

2

9

2

Solución:

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2.3.2.4) Para Datos Agrupados en Intervalos

Se emplea la siguiente ecuación:

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Ejemplo ilustrativo: En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran para resolver una prueba de Estadística determinados estudiantes. Calcular el tiempo promedio que se demora en resolver la prueba un estudiante tipo.

Tiempo

Estudiantes

[40-50)

4

[50-60)

8

[60-70)

10

[70-80)

7

[80-90]

11

Solución:

Realizando los cálculos respectivos se obtiene:

xi

fi

xmi

fi/xmi

[40-50)

4

45

0,089

[50-60)

8

55

0,145

[60-70)

10

65

0,154

[70-80)

7

75

0,093

[80-90]

11

85

0,129

Total

40

0,611

Aplicado la ecuación se obtiene:

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TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico sobre la media armónica.

2) Calcule la media armónica de manera manual y empleando Excel de los siguientes números:

2, 4, 6, 8, 9 y 10

H= 4,789

3) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

4) En una empresa se ha controlado el tiempo que tardan tres obreros en realizar una obra. Uno demora 8 horas, otro 6 horas y un tercero 4 horas.

4.1) Halle de manera manual y empleando Excel el rendimiento de un obrero tipo (obrero promedio).

H= 5,534

4.2) ¿Para qué le serviría a la empresa saber el rendimiento promedio de un obrero tipo?

5) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior.

6) Cree y resuelva dos ejercicios similares al ejemplo resuelto para el cálculo de la media armónica con datos agrupados en tablas de frecuencias.

7) En la siguiente tabla se presentan los datos sobre el tiempo en minutos que se demoran para resolver una prueba de Estadística determinados estudiantes.

Intervalo de tiempo

Nº de estudiantes

[45-50)

2

[50-55)

2

[55- 60)

7

[60-65)

4

[65-70)

5

[75-80)

7

[85-90]

13

7.1) Calcule el tiempo promedio que se demora en resolver la prueba un estudiante tipo. Resolver de manera manual y empleando Excel.

H= 69,096

7.2) ¿Para qué le serviría al profesor saber el tiempo promedio que se demora en realizar la prueba un estudiante tipo?

8) Cree y resuelva un ejercicio similar al anterior

8.1) Realice los cálculos de manera manual y empleando Excel

8.2) Compruebe que la media geométrica es menor o igual que la media aritmética, y mayor o igual que la media armónica, es decir, en símbolos:

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9) ¿En qué caso ocurriría que la media geométrica sea igual a la media aritmética e igual a la media armónica?. Ponga un ejemplo y resuélvalo manera manual y empleando Excel.

La mediana

La mediana, llamada algunas veces media posicional, es el valor del término medio que divide una distribución de datos ordenados en dos partes iguales, es decir, el 50% de los datos se ubican sobre la mediana o hacia los puntajes altos y el 50% restante hacia los puntajes bajos.

2.4.1) PROPIEDADES

-La Mediana no tiene propiedades que le permite intervenir en desarrollos algebraicos como la media aritmética, sin embargo, posee propiedades que ponen en evidencia ciertas cualidades de un conjunto de datos, lo cual no ocurre con la media aritmética que promedia todos los valores y suprime sus individualidades. En cambio, la mediana destaca los valores individuales.

- Tiene la ventaja de no estar afectada por las observaciones extremas, ya que no depende de los valores que toma la variable, sino del orden de las mismas.

-Para el cálculo de la mediana interesa que los valores estén ordenados de menor a mayor.

- Su aplicación se ve limitada, ya que solo considera el orden jerárquico de los datos y no alguna propiedad propia de los datos, como en el caso de la media aritmética.

2.4.2) MÉTODOS DE CÁLCULO

2.4.2.1) Para Datos No Agrupados

a) Si el número n de datos es impar, la mediana es el dato que se encuentra a la mitad de la lista. Para calcular su posición se aplica la siguiente ecuación:

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Ejemplo ilustrativo:

Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Estadística evaluadas sobre diez: 10, 8, 6, 4, 9, 7, 10, 9 y 6

Solución:

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La media es el valor de x5 (quinto dato), es decir, Md=8

En Excel se insertando la función MEDIANA

b) Si el número n de datos es par, la mediana es la media aritmética de los dos datos que se encuentran a la mitad de la lista. Para calcular su posición se aplica la siguiente ecuación:

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Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de las siguientes calificaciones del curso de Matemática evaluadas sobre diez: 10, 8, 9, 6, 4, 8, 9, 7, 10 y 9

Solución:

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2.4.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de Frecuencia

Para calcular la posición de la mediana se aplica la siguiente ecuación:

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Ejemplo ilustrativo:

Dados los siguientes 20 números:

1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 2, 6, 6, 4, 4, 4 ,4, 5, 5, 5, 5

1) Agrupar los datos en tabla de frecuencia.

2) Calcular la mediana.

x

f

1

1

2

3

3

2

4

4

5

8

6

2

Total

20

Solución:

Calculando la posición de la mediana se obtiene:

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