Guía didáctica para el Interaprendizaje de Medidas de Tendencia Central (página 2)

Como la posición de la mediana es
10,5, su valor es el promedio de los datos décimo y
undécimo. Para observar con claridad cuáles son los
datos décimo y undécimo se aconseja calcular la
frecuencia acumulada.

Se observa que el décimo dato es 4 y
el undécimo es 5, por lo tanto:

2.4.2.2) Para Datos Agrupados en
Intervalos

a) Por interpolación

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana de
los pesos de un grupo de 50 personas que se distribuyen de la
siguiente manera:

Solución:

Primero se calcula n/2 y después se
averigua el intervalo en el que está la mediana, este
intervalo recibe el nombre de intervalo o clase de la mediana.
Para averiguar el intervalo en el que está la mediana se
aconseja calcular la frecuencia acumulada.

En este ejemplo el intervalo de la media es
[65,75).Se observa que 16 valores están por debajo del
valor 65. Los 9 que faltan para llegar a 25 se interpolan en el
ancho del intervalo de la mediana que en este ejemplo es
10.

19 corresponde a 10

1 corresponde a 10/19

Por lo tanto la Mediana es igual 65+4,737=
69,737

b) Empleando la ecuación

Ejemplo ilustrativo: Calcular la mediana
del ejemplo anterior y representarla mediante un histograma de
frecuencias acumuladas.

Se calcula la frecuencia acumulada como se
muestra en la siguiente tabla:

Solución:

c) Resolviendo de manera
gráfica

A continuación se presenta un
histograma para la frecuencia acumulada.

Observando el gráfico se determina
que Md = 65+AE

Los triángulos ABC y AED son
semejantes, por lo que se cumple:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Escriba 3 diferencias entre media
aritmética y mediana.

2) Realice un organizador gráfico
sobre la mediana.

3) Calcule la mediana de los números
6, 6, 5, 2, 3, 4, 4, 5, 5, de manera manual y empleando
Excel.

Md= 5

4) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior

5) Calcule la mediana de los números
11, 12, 9, 10, 7, 8, de manera manual y empleando
Excel.

Md= 9,5

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

7) Dados los siguientes 35
números:

2, 2, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 6, 6, 6, 6, 6,
4, 4, 4, 4, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6, 6, 10, 10, 10, 8, 8, 8, 10, 10 y
10

7.1) Calcule la mediana sin agrupar los
datos de manera manual y empleando Excel.

Md=6

7.2) Calcule la mediana agrupando los datos
en una tabla de frecuencias.

Md=6

8) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

9) Calcule la mediana de las siguientes
edades de personas y representarla mediante un histograma para la
frecuencia acumulada.

Md= 67,93

10) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

11) Dados los siguientes
números:

50, 55, 59, 60, 69, 65, 66, 69, 63, 64, 70,
72, 77, 78, 79, 79, 77, 78, 71, 72, 73, 75, 77, 74, 73, 73, 74,
77, 80, 82, 85, 88, 89, 89, 85, 81, 82, 83, 82, 81, 90, 91, 92,
93, 94, 95, 96, 99, 100 y 109

11.1) Agrupe los datos en intervalos de
ancho 10.

11.2) Calcule la media aritmética de
manera manual y empleando Excel.

78,7

11.3) Calcule la media geométrica de
manera manual y empleando Excel.

77,77

11.4) Calcule la media armónica de
manera manual y empleando Excel.

76,81

11.3) Calcule la mediana por
interpolación, empleando la ecuación y empleando un
histograma para la frecuencia acumulada.

78,33

12) Cree y resuelva un ejercicio similar al
anterior.

Medidas de
posición

Son similares a la mediana en que
también subdividen una distribución de mediciones
de acuerdo con la proporción de frecuencias observadas.
Mientas que la mediana divide a una distribución en
mitades, los cuartiles (Q) la dividen en cuartos, los deciles (D)
la dividen en décimos y los puntos percentiles (P) la
dividen en centésimos.

Colectivamente, cuartiles, deciles y
percentiles se denominan cuantiles. Puesto que sirven para ubicar
datos particulares dentro de ciertas porciones de una
distribución de datos, toman el nombre de medidas de
posición.

2.5.1) CUARTILES.- Son cada uno de los 3
valores Q1, Q2, Q3 que dividen a la distribución de los
datos en 4 partes iguales.

2.5.1.1) Propiedades

Los cuartiles son un caso particular de los
percentiles. Hay 3 cuartiles:

Primer cuartil: Q1=P25, segundo cuartil:
Q2=D5 =P50=Mediana, tercer cuartil: Q3=P75

2.5.1.2) Métodos de
Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de
los cuartiles se encuentra aplicando la siguiente
ecuación:

Donde:

n = número total de datos

k = número del cuartil

Ejemplo ilustrativo:

Encuentre los cuartiles dada la siguiente
distribución, y represéntelos gráficamente
mediante un diagrama de caja y bigotes: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y
17

Solución:

Para calcular los cuartiles se ordena los
datos de menor a mayor

Aplicando la ecuación para el
cuartil uno se obtiene:

Como la posición del cuartil 1 es
2,5, su valor es el promedio de los datos segundo y
tercero

O también la posición 2,5
dice que el cuartil 1 está ubicado al 50% del trayecto
comprendido entre el segundo dato, que es 9 y el tercer dato que
es 9, es decir, Q1= 9+0,5(9-9) = 9

Interpretación: Este
resultado indica que el 25% de los datos es inferior a
9

En Excel se calcula insertando la
función CUARTIL

Aplicando la ecuación para el
cuartil dos se obtiene:

O también la posición 4,5
dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto
comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que
también es 12, es decir,

Q2= 12+0,5(12-12) = 12

Interpretación: Este
resultado indica que el 50% de los datos es inferior a
12

Aplicando la ecuación para el
cuartil tres se obtiene:

O también la posición 6,5
dice que el cuartil 2 está ubicado al 50% del trayecto
comprendido entre el doceavo dato, que es 12 y el quinceavo dato
que 15, es decir, Q3= 12+0,5(15-12)

Q3= 12+0,5(3)=12+1,5=13,5

Interpretación: Este
resultado indica que el 75% de los datos es inferior a
13,5

Notas importantes:

-Los cálculos en Excel para un
número impar de datos coinciden con los cálculos
realizados con las ecuaciones.

-Para un número par de datos, aunque
en ciertas ocasiones coinciden, suele existir diferencias en los
cálculos del Q1 y Q3 realizados con Excel. Este error de
cálculo es: e = 0,25d, en donde d es la distancia de
separación de los datos

-Para el Q1 se resta el error al valor
obtenido con Excel

-Para el Q3 se suma el error al valor
obtenido con Excel

En nuestro ejemplo e = 0,25(x7 –x6 )
= 0,25(15-12) = 0,25(3) = 0,75. Al sumar el error al valor Q3
inicialmente calculado con Excel se obtiene el valor correcto
como se muestra en la siguiente figura:

Para elaborar un diagrama de caja y bigotes
es necesario saber:

Un diagrama de caja y bigotes es una
representación gráfica que ayuda a visualizar una
distribución de datos: caja desde Q1 a Q3 (50% de los
datos), y bigotes el recorrido (distancia desde valor
mínimo hasta el valor máximo).

Para elaborar un diagrama de caja se
procede de la siguiente manera:

a) Se marca los valores de la serie de
datos sobre el eje horizontal o vertical.

b) Se ubica sobre el eje el valor
mínimo, primer cuartil, mediana o segundo cuartil, tercer
cuartil y el valor máximo.

c) Se construye un rectángulo (caja)
paralelo al eje, de longitud desde Q1 a Q3 y anchura
arbitraria.

De acuerdo al ejemplo ilustrativo se
tiene:

Valor mínimo = 6

Q1 = 9

Q2 = 12

Q3 = 13,5

Valor máximo = 17

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias

Se aplica la misma ecuación empleada
para el cálculo en los datos no agrupados

Ejemplo ilustrativo: Dada la siguiente
tabla:

1) Calcular el cuartil 2

2) Representar los cuartiles en un
histograma para la fra(%) (Frecuencia relativa acumulada medida
en porcentajes). Determinar gráficamente el valor de los
cuartiles

Solución:

1) Cálculo del cuartil 2

Aplicando la primera ecuación para
el cuartil dos se obtiene:

Como la posición del cuartil 2 es
4,5, su valor es el promedio de los datos cuarto y
quinto

Para observar con claridad cuáles
son los datos cuarto y quinto se aconseja calcular la frecuencia
acumulada

Se observa que el cuarto dato es 12 y el
quinto dato es 12, por lo tanto

2) Representando los cuartiles en un
histograma para la fra(%)

Calculando la fra(%) se obtiene:

c) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se emplea la siguiente
ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Dado los siguientes
datos sobre pesos de un grupo de 50 personas:

1) Calcular los cuartiles empleando la
ecuación

2) Calcular los cuartiles empleando un
histograma para fra(%) (Frecuencia relativa acumulada mediada en
porcentajes)

Solución:

1) Cálculo de los cuartiles
empleando la ecuación

1.1) Cálculo del primer
cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se
averigua el intervalo en el que está el cuartil, este
intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del primer
cuartil. Para averiguar el intervalo en el que están los
cuartiles se aconseja calcular la frecuencia acumulada

Por lo tanto en este ejemplo:

El intervalo del segundo cuartil es
55-65.

El número total de datos es
n=10

Se observa que 6 valores están por
debajo del valor 55, es decir Fa=6.

La frecuencia absoluta (fQ) del intervalo
del cuartil es 10

El ancho del intervalo del cuartil es
c=65-55=10.

Al aplicar la ecuación se
obtiene:

1.2) Cálculo del segundo
cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se
averigua el intervalo en el que está el cuartil, este
intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del
cuartil.

Por lo tanto para el segundo cuartil se
tiene:

Intervalo: 65-75

n=10

Fa=16

fQ =19

c =75-65 =10

Al aplicar la ecuación se
obtiene:

1.3) Cálculo del tercer
cuartil

Primero se calcula nk/4 y después se
averigua el intervalo en el que está el cuartil, este
intervalo recibe el nombre de intervalo o clase del
cuartil.

2) Cálculo de los cuartiles
empleando un histograma para fra(%)

2.1) Calculando la fra(%) se
obtiene:

2.2) Elaborando el histograma en Excel y en
Paint se obtiene la siguiente figura:

Histograma para la fra(%)

2.3) Cálculo del primer
cuartil

Observando en gráfico tenemos que el
Q1 = 55 + AE

Los triángulos ABC y AED son
semejantes, por lo que se cumple:

2.3) Cálculo del segundo
cuartil

Observando en gráfico tenemos que el
Q2 = 65 + CI

Los triángulos CFG y CIH son
semejantes, por lo que se cumple:

Despejando CI se obtiene:

2.3) Cálculo del tercer
cuartil

Observando en gráfico tenemos que el
Q3 = 75 + GM

Los triángulos GJK y GML son
semejantes, por lo que se cumple:

2.5.2) DECILES

2.5.2.1) Definición

2.5.2.2) Métodos de
Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de
los deciles se encuentra aplicando la siguiente
ecuación:

Donde:

n = número total de
datos.

k = número del decil.

Ejemplo ilustrativo:

Calcular el quinto decil de la siguiente
distribución: 6, 9, 9, 12, 12, 12, 15 y 17

Solución:

Para calcular los deciles se ordena los
datos de menor a mayor.

Aplicando la ecuación para el quinto
decil se obtiene:

O también la posición 4,5
dice que el decil 5 está ubicado al 50% del trayecto
comprendido entre el cuarto dato, que es 12 y el quinto dato que
también es 12, es decir,

D5= 12+0,5(12-12) = 12

En Excel se calcula de la siguiente
manera:

Como D5 es igual a P50 se introduce la
función PERCENTIL

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Se emplea la misma ecuación
utilizada en el cálculo de los deciles para datos sin
agrupar.

c) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se emplea la siguiente
ecuación:

2.5.3) PERCENTILES O CENTILES

2.5.3.1) Definición

Son cada uno de los 99 valores P1, P2,
P3,……..P99 que dividen atribución de los
datos en 100 partes iguales.

2.5.3.2) Métodos de
Cálculo

a) Para Datos No Agrupados

La posición o ubicación de
los percentiles se encuentra aplicando la siguiente
ecuación:

Donde:

n = número total de datos

k = número del percentil

Ejemplo ilustrativo:

Calcular los percentiles de orden 20 y 33
del peso de diez personas que pesan (en kg)

80, 78, 65, 73, 65, 67, 72, 68, 70 y
72

Solución:

Se ordena los datos de menor a mayor se
tiene:

1) Cálculo del percentil de orden 20
se obtiene:

En Excel se obtiene un valor aproximado
insertando la función PERCENTIL

2) Cálculo del percentil de orden 33
se obtiene:

b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Se emplea la misma ecuación
utilizada en el cálculo de los percentiles para datos sin
agrupar.

c) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se emplea la ecuación:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) ¿El valor de la mediana con
qué valor del cuartil, decil y del percentil coincide?.
Plantee y resuelva un ejercicio para ilustrar su
respuesta.

2) ¿Por qué a los cuartiles,
deciles y percentiles se les considera como medidas de
posición?

3) Realice un organizador gráfico
sobre las medidas de posición.

4) Calcule los 3 cuartiles de las
siguientes distribuciones de datos de manera manual y empleando
Excel. Realice un diagrama de caja y bigotes de manera manual y
empleando Graph.

6) Cree y resuelva un ejercicio similar al
presentado en el cálculo de los cuartiles para datos
agrupados en intervalos.

7) Emplee los datos del ejercicio anterior
y calcular los cuartiles empleando un histograma para la
frecuencia absoluta acumulada.

8) Calcule el quinto decil de 1, 3, 6, 9,
12, 15, 18 y 21 de manera manual y empleando Excel.

D5=10,5

9) Cree y resuelva un ejercicio sobre el
cálculo del decil 3 y del decil 7 para datos agrupados en
tablas de frecuencias.

10) Cree y resuelva un ejercicio sobre el
cálculo de los deciles de orden 4 y 8 para datos agrupados
en intervalos empleando las ecuaciones y a través de un
histograma para la fra(%).

11) Calcule el percentil de orden 25 de 2,
4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 y 22 de manera manual y empleando
Excel.

P25=6

12) Calcule el percentil de orden 75 de 10,
20, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 120 y 140.

P75=95

13) Plantee y resuelva un ejercicio sobre
el cálculo de los percentiles 35 y 60 para datos agrupados
en tablas de frecuencias.

14) Plantee y resuelva un ejercicio sobre
el cálculo de percentiles 45 y 85 para datos agrupados en
intervalos empleando las ecuaciones y a través de un
histograma para la fra(%).

Moda

La moda de un conjunto de datos es el valor
que aparece con mayor frecuencia.

2.6.1) PROPIEDADES

– No es afectada por valores muy altos o
muy bajos.

– La moda, al igual que la mediana, no se
presta para tratamientos algebraicos como la media
aritmética.

– La moda puede no existir, e incluso no
ser única en caso de existir.

– Cuando en un conjunto de datos hay tres o
más datos diferentes con la misma frecuencia mayor, esta
información a menudo no resulta útil (demasiadas
modas tienden a distorsionar el significado de moda). Por lo que
en estos casos se considera que el conjunto de datos no tiene
moda.

Para un conjunto de datos unimodales existe
la siguiente relación empírica:

Media aritmética – moda =
3 (media aritmética – mediana)

2.6.2) MÉTODOS DE
CÁLCULO

2.6.2.1) Para Datos No Agrupados

Se observa el dato que tiene mayor
frecuencia

Ejemplo ilustrativo N° 1

Determinar la moda del conjunto de datos 2,
4, 6, 8, 8 y 10

Solución:

Mo = 8, porque es el dato que ocurre con
mayor frecuencia. A este conjunto de datos se le llama
unimodal

En Excel se calcula insertando la
función MODA

Ejemplo ilustrativo N° 2

Determinar la moda del conjunto de datos:
2, 4, 6, 8 y 10

Solución:

Este conjunto de datos no tiene moda,
porque todos los datos tienen la misma frecuencia.

Ejemplo ilustrativo N° 3

Determinar la moda del conjunto de datos:
2, 4, 6, 6, 8, 8 y 10

Solución:

Este conjunto de datos tiene dos modas, 6 y
8, y se llama bimodal.

2.6.2.2) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencia

Se observa el dato tiene mayor
frecuencia

Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o
modas (si las hay) de los siguientes datos:

Solución:

Se observa que el dato con mayor frecuencia
es 6, por lo tanto Mo = 6

2.6.2.3) Para Datos Agrupados en
Intervalos

Se halla en el intervalo o clase que tenga
la frecuencia más alta, llamada intervalo o clase modal.
Se emplea la siguiente ecuación:

Ejemplo ilustrativo: Calcule la moda o
modas (si las hay) de los siguientes datos:

Solución:

Se observa que la clase modal es 30-39, ya
que es el intervalo con la mayor frecuencia.

Aplicando la ecuación

Gráficamente empleando un histograma
se calcula la moda de la siguiente manera:

La clase modal es 30-39, ya que es el
intervalo con la mayor frecuencia

Observando el histograma se tiene que Mo =
30 + FB

Los triángulos ABC y EBD son
semejantes, por lo que se cumple:

Donde:

AC = Diferencia entre la frecuencia
absoluta de la clase modal y la clase que la antecede.

BG es igual al ancho del intervalo 30-39
menos FB.

DE = Diferencia entre la frecuencia
absoluta de la clase modal y la clase que le sigue.

Reemplazando valores y despejando FB se
tiene:

TAREA DE INTERAPRENDIZAJE

1) Realice un organizador gráfico
sobre la moda.

2) Para una tienda de modas o para un
diseñador de autos, ¿ de qué le
serviría saber el valor de la moda?.

3) Se está estudiando el ingreso
diario de un grupo de personas y se tiene los siguientes valores
en dólares: 350, 400, 500, 350, 550, 1500 y
2000.

3.1) Calcule manualmente y empleando Excel
la media aritmética, la mediana y la moda.

3.2) ¿Qué valor es más
representativo del ingreso promedio?. Argumente su
respuesta.

4) Plantee un resuelva un ejercicio con
datos sin agrupar y comprueba la relación empírica
entre la media aritmética, mediana y moda.

5) Averigüe a 30 compañeros de
su clase sobre el número de hermanas y
hermanos.

5.1) Elabore una tabla de
frecuencias.

5.2) Calcule la media aritmética,
mediana y moda.

6) Dados los siguientes datos: 50, 52, 59,
60, 60, 63, 64, 65, 69, 69, 70, 70, 72, 72, 74, 74, 75, 75, 76,
75, 74, 70, 77, 78, 78, 79, 79, 75, 80, 80, 81, 81, 82, 83, 84,
85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 98, 99, 100 y
109

6.1) Calcule manualmente y empleando Excel
la media aritmética, la mediana y la moda con los datos
sin agrupar.

6.2) Agrupe los datos en intervalos de
ancho 10. Complete la siguiente tabla:

6.3) A partir de la tabla anterior calcule
media aritmética, la mediana y la moda.

6.4) Calcule la media aritmética
empleando Excel.

6.5) Calcule la moda empleando un
histograma.

Mo=76,47

6.6) Calcule la mediana a través de
un histograma para la fra(%)

Md=78,33

6.7) ¿Por qué varían
los resultados de los datos sin agrupar con los datos agrupados
en intervalos?

Autor:

Mario Suarez