Las medidas de tendencia central son medidas
representativas que como su nombre lo indica, tienden a ubicarse
hacia el centro del conjunto de datos, es decir, una medida de
tendencia central identifica el valor del dato central alrededor
de cual se centran los demás datos, siendo la media
aritmética una de aquellas medidas.
La medida aritmética, a igual que cualquier otra
medida de datos estadísticos, cuando se calcula a nivel de
toda la población, se denominan
parámetro, como por ejemplo, la
calificación promedio en el examen de admisión de
todos los estudiantes que ingresan a la Universidad UTN al primer
semestre del presente año lectivo. Pero si se calcula
basada en muestras, se denomina estadígrafo o
estadístico, como por ejemplo, la calificación
promedio en el examen de admisión de estudiantes de
colegios fiscales que ingresan a la Universidad UTN al primer
semestre del presente año lectivo.
1.1) Definición
Es la medida de tendencia central más utilizada
por lo general se ubica hacia el centro de distribución
estadística.
1.2) Métodos de Cálculo
a) Para Datos sin Agrupar
b) Para Datos Agrupados en Tablas de
Frecuencias.- Cuando una serie se la agrupa en serie
simple con frecuencias para obtener la media
aritmética, se multiplica la variable por la frecuencia
respectiva (f), luego se obtiene la suma de todos estos productos
y luego a este valor se lo divide para el número de
elementos (n). Todo esto puede representarse mediante una
fórmula matemática, así:
Donde n=f es la frecuencia total (o sea, el
número total de casos)
c) Para Datos Agrupados en Intervalos.- Cuando
una serie se la agrupa en intervalos para obtener la
media aritmética, se multiplica la marca de clase de
intervalo (xm) por la frecuencia respectiva (f), luego se obtiene
la suma de todos estos productos y luego a este valor se lo
divide para el número de elementos. Todo esto puede
representarse mediante una fórmula matemática,
así
x=f1·xm1+f2·xm2+f3·xm3+…fn·xmnf1+f2+f3+···fn=fi·xmif=f·xmn
Ejemplo ilustrativo
Calcular la media aritmética de las
siguientes calificaciones de Estadística tomadas de una
muestra de 20, sin agrupar, agrupando en tablas de frecuencias y
agrupando en intervalos.
4, 8, 10, 10, 5, 10, 9, 8, 6, 8, 10, 8,
5, 7, 4, 4, 8, 8, 6 y 6
Solución:
1) Sin agrupar
x=xin
x=4+8+10+10+5+10+9+8+6+8+10+8+5+7+4+4+8+8+6+620
x=14420=7,2
En Excel se calcula
así:
2) Agrupando en tablas de
frecuencias
Además presentar los datos en un
diagrama de sectores.
x | f |
4 | 3 |
5 | 2 |
6 | 3 |
7 | 1 |
8 | 6 |
9 | 1 |
10 | 4 |
Total | 20 |
x=fxn
x=3·4+2·5+3·6+1·7+6·8+1·9+4·103+2+3+1+6+1+4=14420=7,2
En Excel se calcula insertando la
función:
=SUMAPRODUCTO(A12:A18;B12:B18)/SUMA(B12:B18)
3) Agrupando en
intervalos
Intervalos | f | xm | |
4- 5 | 5 | 4,5 | |
6 -7 | 4 | 6,5 | |
8- 9 | 7 | 8,5 | |
10-11 | 4 | 10,5 | |
x=f·xmn
x=5·4,5+4·6,5+7·8,5+4·10,55+4+7+4=15020=7,5
Nota: Cuando se agrupa en intervalos
los cálculos son sólo aproximaciones
En Excel se calcula insertando la
función: SUMAPRODUCTO (C27:C30;D27:D30)/SUMA(C27:C30) como
se muestra en la siguiente figura:
Nota: La principal propiedad de la media
aritmética es:
La suma algebraica de las desviaciones de un conjunto de
datos respecto de su media aritmética es cero
Si x es un dato, su desviación respecto a x es la
diferencia x-x. La suma de estas diferencias es 0.
Para datos sin agrupar:x-x=0
Para datos agrupados en tablas de
frecuencias:fx-x=0
Para datos agrupados en intervalos:fxm-x=0
Empleando los datos del ejemplo anterior se comprueba la
principal propiedad de la media aritmética:
Cuando los números x1, x2, x3,….xk se les
asocia ciertos factores peso (o pesos) w1, w2, w3,….wk,
dependientes de la relevancia asignada a cada número, en
tal caso se requiere calcular la media aritmética
ponderada, la cual se calcula así:
x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…wk=w·xw
Ejemplo ilustrativo: Se tiene una
información acerca de las utilidades por pan y cantidades
vendidas de panes de tres tiendas. Calcular la media
aritmética promedio de la utilidad por pan.
Tienda | Utilidad/pan | Cantidad vendida | |||
1 | 1 | 2000 | |||
2 | 0,8 | 1800 | |||
3 | 0,9 | 2100 | |||
Solución:
x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…wk=w·xw
x=2000·1+1800·0,8+2100·0,92000+1800+2100=53305900=0,90339
En Excel se calcula insertando de la
siguiente manera:
Se insertar la función:
SUMAPRODUCTO (B36:B38;C36:C38)/SUMA(C36:C38)
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Autor:
Mario Orlando Suárez
Ibujes