Diferentes fallas y métodos de cálculo de tensiones en engranajes cilíndricos de dientes rectos de material plástico (página 2)

Tabla 4. Valores del Factor de Lewis
según el método de Faires

3. Finalmente se iguala la carga
dinámica a la carga de desgaste y se despeja el ancho
necesario. Fd = Fw.

Fw = Dp . b . Q . kg

Donde:

Dg – Diámetro primitivo del la rueda,
cm.

Dp – Diámetro primitivo del
piñón, cm.

b – ancho de los dientes , cm.

kg – Factor del material.

s – tensión admisible a contacto, en
kg/cm2.

f – ángulo de presión.

Ep, Eg – módulo de elasticidad
en kg/cm2 del piñón y la rueda
respectivamente.

De los anchos de cara obtenidos por la
ecuación de Lewis y por la ecuación del desgaste se
toma el mayor.

5.4- Método de cálculo
según Moya.

Según Moya, la condición de
resistencia de una pareja de engranajes plásticos está
dada por la siguiente expresión:

Donde:

[s] – Tensión admisible del material,
según tabla 5 en MPa. F – Fuerza tangencial aplicada
sobre el diente, en Newton. Cs – Factor de servicio, según
tabla1.

Y – Factor de Lewis, según tabla
2. m – Módulo, en mm.

b – Ancho del diente, en mm. n – Factor de
seguridad.

s – Tensión actuante en el pie del
diente, en MPa.

Tabla 5- Valores de la tensión
admisible, en MPa.

El factor de seguridad se puede tomar entre
1 y 1,7 según la experiencia de los autores. Los valores
mayores se toman para las aplicaciones de mayor potencia y
temperatura.

5.5- Método de cálculo
según Carboplast.

Para obtener el ciclo de vida de un
piñón fabricado en PROLON, se calcula el esfuerzo
básico admisible en la raíz del diente empleando para
ello una modificación de la fórmula de
Lewis.

Después se fija el valor calculado en
el eje vertical de la Figura 6, se lee su proyección en el
eje

horizontal de acuerdo al módulo
específico del piñón y se determina el ciclo de
vida en función de los esfuerzos, los cuales pueden
convertirse, de acuerdo a la velocidad, en tiempo de vida
esperada.

Si el torque a transmitir es el factor que
se conoce, entonces el esfuerzo admisible se calcula por la
siguiente expresión:

Y si la potencia es el factor conocido,
entonces se calculará por:

Donde:

S – Esfuerzo admisible en el diente en
Kgf/cm2. T – Torque transmitido por el piñón en
Kgf/cm2.

PD – Diámetro primitivo del
piñón en mm

M – Módulo de la transmisión en
mm

F – Ancho de la cara del diente en
mm.

Y – Factor de forma del diente, según
la figura 7.

C1 – Factor de corrección de
operación, según figura 8

C2 – Factor de corrección de
temperatura, según figura 9. HP – Potencia
transmitida por el piñón en HP.

N – Velocidad del piñón en
rpm.

La velocidad lineal usada para determinar
C1 en la figura 8 se determina por la siguiente
expresión:

Figura.6 – Máxima resistencia
a la flexión vs. Ciclos de vida.

Figura 7 – Factor de forma del
diente "Y" para varios perfiles del diente.

Figura 8 – Factor de
corrección C1 por condiciones de
operación.

Figura 9. Factor de corrección
C2 por condiciones de temperatura.

5.6- Método de cálculo
según DSM.

La firma DSM plantea los métodos de
cálculo de resistencia en base a la sustitución de
engranajes

Metálicos por engranajes
plásticos de Nylatron- Nylon. Plantean que aunque el Nylon
tiene una resistencia significativamente más baja que los
metales, debido a que con su uso se puede reducir la fuerza de
fricción y la de inercia y esto ligado a su valor de
resiliencia entonces se puede hacer la sustitución directa,
especialmente para engranajes construidos de metales no ferrosos,
hierro fundido y aceros blandos.

Los métodos de evaluación de la
utilización de engranajes plásticos son:

1- Método para el reemplazo de
engranajes metálicos.

2- Método para equipamiento nuevo,
diseñado cuando se conoce la potencia y el torque o se
pueden estimar.

Ambos métodos fueron desarrollados usando datos de
resistencia a la fatiga y la máxima resistencia a la
flexión de los dientes de engranajes plásticos
elaborados por DSM. (Ver figura 10). Estos valores deben ser
corregidos de acuerdo a cuatro factores que tienen en cuenta lo
siguiente:

• La resistencia del material y la
presencia o ausencia de lubricación.

• La velocidad de la línea de
paso.

• La vida de servicio
requerida

• La temperatura ambiente bajo las
condiciones de servicio.

Figura 10. Tensiones de flexión
máximas en el diente en función de los ciclos de vida
para engranajes de Nylon

Método 1: Reemplazo y existencia de
engranajes metálicos.

Paso 1: Localizar el valor del factor de
corrección por la aplicación y material elegido. Cs-
Factor de corrección por tiempo de vida, según la
figura 11.

Cv- Factor de corrección de velocidad,
según la figura 12.

Cm- Factor de corrección para la
resistencia del material, según la tabla 6

Ct- Factor de corrección por efecto de
la temperatura.

Figura 11. Factor de
corrección por tiempo de vida

Figura 12. Factor de
corrección de velocidad.

Tabla 6. Factor de corrección por
la resistencia del material.

Si, T = Temperatura ambiental, Ct =
1.

Si, Temperatura ambiental < T < 2000
F, entonces:

Donde:

a = 0.022 para Nylatron GSM, Nylatron NSM y MC
Nylons.

a = 0.022 para Nylatron GS, Propileno Nylon
101.

a = 0.022 para Acetron GP Acetal

Paso 2: Calcular el torque máximo y potencia
máxima para la transmisión por engranajes
plásticos que va a servir como sustituta, para ello puede
usarse la siguiente ecuación que no es más que la
ecuación de Lewis.

Donde:

Tmáx- Torque máximo en ( lb ).
Dp- Diámetro de paso ( pulg ).

f- Ancho de la rueda ( pulg ).

y- Factor de forma del diente. P- Diametral
pitch.

n- Velocidad angular en ( rpm ). Hmáx-
Potencia máxima en ( hp ).

6.
Validación de los métodos a través de un ejemplo
de cálculo de una transmisión por engranajes de
plásticos sin corrección.

6.1 Datos de cálculo.

Con la intención de comparar los resultados del
cálculo de tensión en la base del diente por las
diferentes metodologías esbozadas anteriormente se procede a
calcular, en una primera fase, las características
geométricas de una transmisión de engranajes
cilíndricos de dientes rectos, después

se comprueba si para ese caso específico se pueden
emplear engranajes plásticos y si es afirmativo, entonces
por último se calcula la tensión por cada
metodología.

Como datos auxiliares e hipotéticos se
asume una transmisión por engranajes con las siguientes
características:

W = 5 Kw. ha* = 1 b=25,4mm

n1 = 890 rpm c =0.16

m = 4

ac = 20º

6.2- Cálculo
geométrico.

a) Puede asumirse que la distancia entre
centros es de 250 mm: Entonces:

y partiendo de ello llegar a:

b) Teniendo en cuenta este producto se
selecciona m = 4 y se calculan zp y zc:

c) Cálculo del diámetro de
paso:

dp1 = m.zp =
100

dp2 = m.zc =
400

d) Cálculo del diámetro
básico:

do = dp.cosac

do1 = dp1.cos 20° = 93.97 do2 =
dp2.cos 20° = 375.88 e) Altura del diente:

h = m.(2.ha *
+c – ?y)

?y = xS – y

Sustituyendo: h = 8,64

f) Cálculo del diámetro
interior:

di = dp –
2.m.(ha * +c – x)

di1 = dp1 – 2.m.(ha *
+c – x) = 90.72 di2 = dp2 –
2.m.(ha * +c – x) = 390.72 g)
Cálculo del diámetro exterior:

de = di +
2.h

de1 = di1 + 2.h = 108

de2 = di2 + 2.h = 408

6.3- Análisis de la posibilidad del
uso de engranajes plásticos para la
transmisión.

Una vez realizado el cálculo
geométrico se comprueba si en la transmisión pueden
emplearse engranajes plásticos.

I. Cálculo de la fuerza
tangencial:

Sustituyendo valores en M2 :

M 2 = 214.64
Nm

Y por consiguiente:

Ft = 1073.03N

II. Comprobación de la posibilidad
de utilización de engranajes de plástico en esta
transmisión:

X = (D 2 · F ·
n)+ (115 · H · Z
)

Donde:

D – Diámetro del engranaje, en
pulgadas. F – Ancho del diente, en pulgadas.

n – Velocidad de la rueda, en rpm. H –
Potencia trasmitida, en HP.

Z – Número de dientes de engranaje.

Si X es:

1 ó mayor – Se recomienda el uso del
plásticos, específicamente de la firma
Nylamid.

0,722 a 1 – El engranaje plástico funciona
adecuadamente

0,445 a 0,721 – El engranaje tiene pocas
propiedades para funcionar adecuadamente. Menos de 0,445 – No
debe usarse el plástico para reemplazar el metal.

Partiendo de los datos iniciales y del
cálculo geométrico: D = 3.94 pulg. H = 6.71
HP

F = 1 pulg. Z = 25 n = 890 rpm

Sustituyendo en la expresión anterior:
X = 33107.25

Por lo tanto como el resultado es mucho
mayor que la unidad se pueden utilizar engranajes de
plástico en esta transmisión

6.4- Cálculo de tensiones según el
método de Dvorak:

El método empleado por Dvorak para calcular las
tensiones de flexión en la base del diente para engranajes
plásticos tiene en cuenta el régimen de trabajo de la
transmisión, la geometría del diente y las condiciones
de servicio. Haciendo uso de la ecuación:

Cs se selecciona a través de la
tabla 1 asumiendo que la transmisión trabaja de 8-10
h y que tiene un tipo de carga constante.

Cs = 1

Y se determina a través de la tabla
2: Y = 0.342

La velocidad en el polo puede calcularse a través
de la siguiente ecuación:

Y a su vez P:

Sustituyendo estos valores en la ecuación de
Dvorak: S = 6883 lb/pulg2 = 47.45 MPa

6.5- Cálculo de tensiones
Según el método de Kelley:

Kelley en su metodología para el cálculo de
tensiones de flexión de engranajes plásticos tiene en
cuenta solo la geometría, en forma y dimensiones, del diente
y la carga a la cual está sometido. A través de la
ecuación que a continuación se enuncia:

Se tiene que:

F = 1073.03 N = 241.23 lb

Y sustituyendo los valores ya
obtenidos:

s = 4478.78 lb/pulg2 = 30.88 MPa

6.5- Cálculo de tensiones
según el método de Faires:

En la metodología propuesta por Faires
se considera que sólo la carga, teniendo en cuenta el efecto
dinámico, y la forma del diente tienen influencia sobre la
tensión en la base del diente.

Este método contempla los siguientes
cálculos:

1. Primeramente se calcula la carga
dinámica a través de la ecuación:

Se tiene que:

V = 301.97 m/min

Ft = 109.42 Kg

Entonces sustituyendo en 3.3: Fd = 291.01
Kg

2. Esta carga dinámica posteriormente
se iguala a la carga actuante y se obtiene la
ecuación:

Entonces se puede despejar S.

Teniendo en cuenta que Y = 0.58 por la
tabla 4 y sustituyendo los valores en S: S = 493,67 Kg/cm2
= 48.41 MPa

6.7- Cálculo de tensiones según el
método de Moya:

La condición de resistencia de una pareja de
engranajes plásticos está dada por la ecuación
siguiente y tiene en cuenta la geometría de la pieza, el
régimen de trabajo y las condiciones de servicio:

Con los datos del problema, y tomando n=1,5 se
obtiene:

s = 46,3217 Mpa

6.8- Método de cálculo según el
método de Carboplast.

Para obtener el ciclo de vida de un
piñón fabricado en PROLON, se calcula el esfuerzo
básico admisible en la raíz del diente empleando para
ello una modificación de la fórmula de
Lewis.

Fijando el valor calculado en el eje vertical de la
Figura.6, se lee su proyección en el eje horizontal de
acuerdo al módulo especifico del piñón y se
determina el ciclo de vida en función de los esfuerzos, los
cuales pueden convertirse, de acuerdo a la velocidad, a tiempo de
vida esperada. Se calcula PLV a través de la
ecuación:

PLV = 4.6 m/s

Se tiene que: HP = 6.71 hp. F = 25.4 mm.

Y = 0.575, por la figura 7. C1 = 1.45, por la figura 8.
C2 = 1.30, por la figura 9.

Por lo tanto sustituyendo en la
ecuación:

S = 352.74 kgf/cm2

S = 34.59 Mpa

7. Cálculo
de la Tensiones mediante el Método de los elementos finitos
(MEF).

7.1 Consideraciones previas.

Antes de comenzar a resolver un problema mediante
cualquier programa de Elementos Finitos conviene reflexionar
sobre una serie de puntos.

¿Qué se pretende con el
análisis?

Determinar tensiones, obtener distribuciones de
temperatura, ver cómo evoluciona el sistema, calcular
frecuencias y modos propios, etc. Esta pregunta determinará
el tipo de análisis a realizar.

¿Cómo va a ser la geometría que se va
a analizar?

Seguramente se conoce la geometría real del
problema, pero a la hora de realizar su análisis se debe
simplificar al máximo en función del objetivo del
análisis, ya que la mayoría de los detalles
son

superfluos y lo único que conllevan es un consumo
excesivo de tiempo de cálculo y de espacio de

almacenamiento. Para ello se debe buscar posibles
simetrías, antisimetrías, axisimetrías del
problema, problemas de tensión o deformación planas,
eliminación de detalles superfluos: radios de acuerdo,
entallas, etc. Una vez estudiada la geometría se puede
decidir el o los tipos de elementos a utilizar, las
características de los mismos, así como las propiedades
de él o los materiales (módulo de elasticidad,
conductividad, etc.) a emplear.

¿Qué condiciones de contorno se
impondrán sobre el sistema a estudiar?

Las condiciones de contorno, aunque conocidas, se debe
estudiar si son o no importantes o influyentes en el tipo de
análisis que se va a realizar (puede darse el caso, por
ejemplo, de que el sistema esté sometido a un cambio brusco
de temperatura, pero que se desee realizar un
análisis

nodal para conocer sus frecuencias naturales, en cuyo
caso el resultado es independiente de esta

condición). Una vez decididas las condiciones de
contorno hay que estudiar la forma de aplicarlas, si representan
las condiciones reales del problema, si existe equilibrio (en el
caso de que sea un análisis estático), etc.. La
imposición de condiciones de contorno apropiadas es una de
las decisiones más complejas a la hora de realizar un
análisis por elementos finitos.

¿Qué resultados se espera
obtener?

Para poder saber si se ha realizado correctamente el
análisis o si representa bien la realidad, se debe tener una
idea de cómo va a responder. Por ejemplo, si se está
analizando una tubería sometida a presión interior y
los resultados indican que disminuye el radio entonces hay que
darse cuenta de que se ha modelado mal el sistema, bien en la
aplicación de las cargas, en el mallado, etc.

Una vez establecidos estos puntos se está en
disposición de realizar el Análisis por
Elementos

Finitos.

7.2- Cálculo de tensiones de flexión en el
diente del piñón a través del MEF.

Tomando como guía la metodología del
epígrafe anterior se calculan las tensiones que se generan
en el diente del piñón.

7.2.1 – Modelo usado.

Para el cálculo se tiene en cuenta la
transmisión por engranajes que a manera de ejemplo se viene
analizando por los diferentes métodos, donde el
piñón, que es el objetivo, tiene los siguientes
parámetros:

Número de dientes: Z = 25

Módulo: m = 4

Ancho: b = 25.4mm ha* = 1

c =0.16

ac = 20º

Con estos datos y utilizando el Mechanical Desktop, por
las facilidades que brinda para el diseño en

3D, se dibuja el piñón (figura 13 a). Como se
puede observar, el piñón tiene una configuración
simétrica y por tanto, para realizar el análisis a
través Cosmos Design Star se puede utilizar la
geometría de un diente (figura 13 b) con el objetivo de
simplificar los cálculos.

Figura.13 a: Modelo del
piñón que se está evaluando

Figura.13 b: Modelo de un diente
del piñón

Una vez concebida la configuración que va a ser
objeto de análisis, se exporta para el Cosmos

Design Star y se continúa con el
procedimiento.

Se genera automáticamente la malla, y se introduce
como material Nylon 6/10

7.2.2- Condiciones de contorno

Derivado de las condiciones de apoyo de la
rueda se restringen los seis grados de libertad de movimiento en
el área correspondiente al diámetro interior y producto
del corte de una parte del

volumen de la pieza se restringen los dos de movimiento
transversal en el área sobre los planos de corte. La fuerza
tangencial actuante sobre el diente resulta ser de 1073 N,
según el cálculo, y se coloca en la arista superior,
perteneciente al diámetro exterior, teniendo en cuenta que a
la entrada del engrane entre los dientes es cuando se produce el
mayor momento flector en la base del diente.

7.2.3- Resultados del cálculo.

Una vez que todas las condiciones están dadas se
pueden apreciar los resultados del comportamiento de las
tensiones en todo el volumen del diente (figura 14) y en la
figura 15 se hace un detalle de una zona de la base del diente
(Detalle I), que según se observa es la más
cargada.

El resultado de esta tensión, la máxima en la
base del diente, es aproximadamente 48.17 MPa.

Figura 14. Resultado del cálculo de
tensiones por el método de los elementos finitos a
través del Cosmos Design Star

Figura 15: Detalle de la Zona
I.

8-
Comparación entre los resultados del MEF y los diferentes
Métodos.

Con el objetivo de comparar los resultados se determina
cuanto representa cada resultado obtenido en el epígrafe 3.6
con respecto al valor obtenido a través del MEF (Tabla
7):

Tabla 7: Resumen de resultados con
respecto al MEF.

Conclusiones:

? La selección adecuada del material plástico
para fabricar una pareja de engranajes es un aspecto decisivo y
al cual el diseñador debe prestar cuidadosa
atención

? Las fallas de los engranajes plásticos tienen un
carácter muy similar a las de los engranajes metálicos,
aunque en el caso de los plásticos hay que tener en cuenta
aspectos tan importantes como la elevación de la temperatura
y el ablandamiento y deformación del material. La falla
esencial de los engranajes plásticos es la fractura de los
dientes y por tanto los métodos existentes en la literatura
están encaminados a prevenir dicha falla. Existen varios
métodos reportados oficialmente para calcular engranajes
plásticos, sin embargo todos ellos se basan en la
ecuación original de Lewis para el cálculo a
flexión.

? En los engranajes plásticos la geometría
juega un papel fundamental, ya que se pueden hacer modificaciones
que no siempre se pueden hacer en los engranajes
metálicos.

? Existen diferentes métodos de cálculo para
determinar las dimensiones de los engranajes plásticos en
función de la solicitación de potencia, arrojando
resultados diferentes en para cada método. Los métodos
más precisos son el de Dvorak, el de Faires y el de
Moya

? El uso de las correcciones del dentado podría
alargar considerablemente la vida de los engranajes
plásticos, esencialmente aumentando la resistencia a la
flexión que es la falla fundamental.

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Autor:

Dr. Jorge Laureano Moya Rodríguez

Ing. Tito Roberto Vilchez Vilchez Dr. José Alberto
Velázquez Pérez Dr. Rafael Mestizo
Cerón