Distribución de probabilidad uniforme

Distribución de probabilidad
uniforme

La distribución de probabilidad uniforme es un
ejemplo de una distribución de probabilidad es continua.
Una distribución de probabilidad es continua cuando los
resultados posibles del experimento son obtenidos de variables
aleatorias continuas, es decir, de variables cuantitativas que
pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del
proceso de medición.

Ejemplos de variables aleatorias continuas
son:

La estatura de un grupo de personas

El tiempo dedicado a estudiar

La temperatura en una ciudad

Es una distribución en el intervalo [a,b]
en la cual las probabilidades son las mismas para todos los
posibles resultados, desde el mínimo de a hasta el
máximo de b. El experimento de lanzar un dado es un
ejemplo que cumple la distribución uniforme, ya que
todos los 6 resultados posibles tienen 1/6 de probabilidad de
ocurrencia.

La función de densidad de una distribución
uniforme (altura de cada rectángulo en la gráfica
anterior) es:

Donde:

a = mínimo valor de la
distribución

b = máximo valor de la
distribución

b – a = Rango de la distribución

La media, valor medio esperado o esperanza
matemática de una distribución uniforme se calcula
empleando la siguiente fórmula:

La varianza de una distribución uniforme se
calcula empleando la siguiente fórmula:

La probabilidad de que una observación caiga
entre dos valores se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo ilustrativo

Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante
recibe clases en un determinado día entre las siguientes
horas: 7:00 – 8:00 – 9:00 – 10:00 – 11:00 – 12:00 –
13:00

1) ¿Cuál es la función de densidad
de la variable X?

2) Elaborar un gráfico de la distribución
de probabilidades

3) Calcular el valor medio esperado

4) Calcular la desviación
estándar

5) Calcular la probabilidad de que llegue en la primera
media hora

6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de
10:00 a 12:15, calcular la probabilidad de recibir esta
asignatura.

Solución:

1) a = 7 y b = 13

Reemplazando valores en la ecuación de la
función de densidad se obtiene:

2) Elaborando el gráfico de la
distribución de probabilidad empleando Excel se
obtiene:

Interpretación:

Cada rectángulo tiene 1 de base y 1/6 = 0,167 de
altura.

El área de cada rectángulo es:

El área total (rectángulo de base el
intervalo 7-13 y altura 1/6=0,167) representa a la suma de todas
las probabilidades, y es igual a uno:

3) Reemplazando valores en la fórmula del valor
esperado se obtiene:

4) Reemplazando valores en la fórmula de la
varianza se obtiene:

5) Llegar en la primera media hora significa que llega a
la 7:30. Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre las
7:00 y las 7:30.

Como 7:30 = 7horas + 30 minutos, y el porcentaje que
representa 30 minutos de una hora es:

Por lo tanto se debe calcular la probabilidad entre 7 y
7,5

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos
valores se obtiene:

En el siguiente gráfico se muestra la
probabilidad calculada:

6) Se debe calcular la probabilidad entre las 10:00 y
las 12:15

Como 12:15 = 12horas + 15 minutos, y el porcentaje que
representa 15 minutos de una hora es:

Por lo tanto de debe calcular la probabilidad entre 10 y
12,25

Aplicando la fórmula de la probabilidad entre dos
valores se obtiene:

En el siguiente gráfico se muestra la
probabilidad calculada:

Los cálculos en Excel se muestran en la siguiente
figura:

TAREA

1) Realice un organizador gráfico de
la distribución uniforme

2) Los tiempos de terminación de una obra
varían entre 10 días y 18 días.
¿Cuál es la probabilidad de que se requiera entre
12 y 16 días para realizar la mencionada obra?. Realice un
gráfico que ilustre la probabilidad calculada. Resuelva el
ejercicio de manera manual y empleando Excel.

0,5

3) Ciertos recipientes contienen agua con un volumen
uniformemente distribuido de media igual a 25 litros y un rango
de 2 litros. Calcule la probabilidad de seleccionar un recipiente
que contenga entre 24,5 y 26 litros. Realice un gráfico
que ilustre la probabilidad calculada. Resuelva el ejercicio de
manera manual y empleando Excel.

4) Sea X el momento elegido al azar en que un estudiante
recibe clases en un determinado día entre las siguientes
horas: 15:00 – 16:00 – 17:00 – 18:00 – 19:00 – 20:00 – 21:00.
Resuelva el ejercicio de manera manual y empleando
Excel.

4.1) ¿Cuál es la función de
densidad de la variable X?

0,167

4.2) Elabore un gráfico de la distribución
de probabilidades

4.3) Calcule el valor medio esperado

18

4.4) Calcule la desviación
estándar

1,732

4.5) Calcule la probabilidad de que llegue en los
primeros 15 minutos. Realice un gráfico que ilustre la
probabilidad calculada.

0,042

4.6) Si recibe clases de Estadística Aplicada de
19:30 a 21:00, calcular la probabilidad de recibir esta
asignatura. Realice un gráfico que ilustre la probabilidad
calculada.

0,25

5) Sea X el contenido de envases de azúcar
producidos por la empresa D & M elegido al azar. El contenido
de los envases varía entre 999 y 1001 gramos. Resuelva el
ejercicio de manera manual y empleando Excel.

5.1) ¿Cuál es la función de
densidad de la variable X?.

0,25

5.2) Elaborar un gráfico de la
distribución de probabilidades.

5.3) Calcular el valor medio esperado.

1000

5.4) Calcular la desviación
estándar.

1,155

5.5) Calcular la probabilidad de que un envase pese
entre la esperanza matemática y 1000,5 gramos. Realice un
gráfico que ilustre la probabilidad calculada.

0,125

6) Cree y resuelva 2 ejercicios de aplicación
sobre la distribución uniforme empleando datos reales
sobre cualquier tema de su preferencia. Resuelva de manera manual
y empleando Excel.

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

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Colombia

Autor:

Mario Orlando Suárez
Ibujes