Un matemático es algo mas que alguien que
sólo tiene el conocimiento y dominio de las
técnicas, para considerarse matemático no vasta con
saber matemáticas, hay que poseer una mente creadora, dar
algún aporte a tan portentosa ciencia. Paul Erdos,
matemático húngaro, decía que un
matemático es una máquina que convierte café
en teoremas.
A lo largo de la historia, ha habido toda clase de
matemáticos, algunos muy conocidos otros no tan conocidos,
pero todos tienen algo en común y es el hecho que en mayor
o menor medida han aportado un granito de arena (en algunos casos
playas enteras) a las ciencias matemáticas.
En esta ocasión quiero hablarles de un
matemático que quizás no sea muy conocido pero que
su nombre ha quedado aunado a un postulado muy interesante, el
cual trataremos más adelante.
Breve
Biografía
Joseph Louis Bertrand: nació en París,
Francia, el 11 de marzo de 1822.
Fue un matemático que perteneció a la
academia de ciencias de París.
En 1845 conjeturó que existe por lo menos un
número primo entre n y 2n – 2, para valores enteros
de n mayores que tres. Tiempo mas tarde la conjetura fue probada
por otro matemático llamado Pafnuty Chebyshev, hoy en
día a tal prueba se le conoce como postulado de
Bertrand. También hizo contribuciones en el campo de
la probabilidad, con su paradoja conocida como la paradoja de
Bertrand.
Joseph Bertrand murió en París el 5 de
abril de 1900.
Postulado de
Bertrand
Como vimos, en un principio Bertrand conjeturó
que: n < p < 2n – 2, tal que n > 3; aunque
confirmó su autenticidad para ciertos valores, no pudo
encontrar una prueba matemática que aseverara su
conjetura. Existe otra versión del postulado de Bertrand,
que aunque es más débil que el primero es
más refinado, existe un primo (p) entre n y 2n, para
valores de n mayores que 1.
n < p < 2n, tal que n >
1
Ahora nos surge la pregunta, ¿Por qué el
postulado de Bertrand no se conoce con el nombre de postulado de
Chebyshev, si fue este último quien lo
demostró?
La verdad es que el postulado se conoce con el nombre de
Bertrand-Chebyshev, pero es el apellido de Bertrand que aparece
de primero, y con el respeto que merece Chebyshev, considero que
es justo el nombre del postulado ya que hay que disponer de un
gran ingenio, al igual que quien lo demuestra, para venir y salir
con una conjetura matemática de cualquier índole,
Julio Verne lo expresó de mejor forma cuando dijo: lo que
uno puede imaginar, otros lo harán realidad.
Pero, ¿Dónde está la importancia
del postulado de Bertrand?
Pues en lo personal pienso que todo lo que tiene que ver
con números primos es interesante, recordemos que los
números primos son para las matemáticas lo que los
átomos son para la materia, todos los números
naturales pueden ser representados a partir de los números
primos. Existe cierto velo de misterio que arropa a los
números primos, hay muchas cosas que aún hoy, pese
a los avances matemáticos alcanzados, ignoramos de ellos,
por lo tanto hay mucha tela por donde cortar, eso los hace
atractivos para los estudiosos de los números. Estos han
sido tema de estudio de muchos matemáticos, que se han
dejado seducir por las propiedades matemáticas
intrínseca de ellos, y es que gran parte de la
teoría de números tiene que ver con tan fascinantes
guarismos. El postulado de Bertrand nos da un indicio de
cómo están distribuidos tales números, y es
ahí donde radica su importancia.
Existen un sin número de conjeturas que
involucran a los números primos, son muchas las que
podríamos citar, sin embargo, en vez de citar las
existentes, hemos querido exponer la nuestra, la cual
consideramos verdadera (común de nominador en todas las
conjeturas), pero en matemáticas considerar verdadera una
conjetura no es demostrarla, por lo que no debemos cometer el
error de pensar que es cierta hasta no haberla
demostrado.
Como nuestra conjetura no es más que una
generalización del ya mencionado postulado de Bertrand
(tanto la versión fuerte como la débil), que mejor
nombre que el de Conjetura Generalizada del Postulado de Bertrand
para denominarlo.
Conjetura
Generalizada del Postulado de Bertrand
Sea (m, x) números enteros mayores 0, se cumple
entonces que:
2m < p1 < m(x + 2) < p2 <
2m(x + 1)
Donde:
P1 y p2 son números primos, tales que:
P1 + p2 = 2m(x + 1) + 2m
Si sustituimos a x por 1, notaremos que nuestra
conjetura se convierte en la versión débil del
postulado de Bertrand, esto es:
2m < 3m < 4m
Por dicho postulado sabemos que existe por lo menos un
número primo entre 2m y 4m, pero eso no convierte en
verdadera nuestra conjetura ya que para que la misma sea
verdadera deben existir dos primos tales que: 2m < p1 = 3m y
3m = p2 < 4m. En otras palabras lo que hemos conjeturado es
que existen por lo menos dos números primos entre 2m y
4m.
La versión mas fuerte del postulado de Bertrand
afirma que existe por lo menos un número primo entre n y
2n – 2, veamos lo que sucede con la conjetura generalizada
cuando sustituimos a m por 1.
2m < p1 < m(x + 2) < p2 < 2m(x +
1)
Haciendo m =1, tenemos:
2 < p1 < (x + 2) < p2 < 2(x + 1)
2(x + 1) = 2x + 2
2x + 2 = 2(x + 2) – 2, sustituyendo este valor en
la conjetura original, tenemos:
2 < p1 < (x + 2) < p2 < 2(x + 2) –
2
Haciendo x + 2 igual a n, nos queda:
2 < p1 < n < p2 < 2n – 2
Donde claramente podemos notar la presencia de la
versión fuerte del postulado de Bertrand.
Para este último caso en particular, se hace casi
evidente la veracidad de nuestra conjetura, y no se requiere de
mucho esfuerzo demostrar que es verdadera para este
individual.
Según lo que hemos expuesto, para números
pares, deben existir por lo menos dos números primos entre
n y 2n, observemos algunos ejemplos:
(8,16)
Por el postulado de Bertrand, sabemos que existe por lo
menos un primo entre 8 y 16, mas la conjetura generalizada afirma
que existen dos, por lo que debe existir un primo entre 8 y (8 +
16)/2 y un segundo primo entre (8 + 16)/2 y 16.
(8 +16)/2 = 12
8 9 10 11 12
12 13 14 15 16
Efectivamente podemos notar la existencia de dos primos,
tal cual lo afirma la conjetura generalizada. Ojo, ojo, esto no
demuestra la veracidad de la conjetura, sólo ha sido un
ejemplo (bastante sencillo por cierto) para poder ilustrar mejor
lo que se ha dicho.
En los ejemplos podemos observar que cuando m = 1,
entonces x tiene que ser mayor que 1, puesto que sólo
tendríamos un número primo entre 2m y 2m(x +
1).
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Este último es un caso particular de la conjetura
generalizada del postulado de Bertrand.
Autor:
José Acevedo
Jiménez