- Introducción
- Procedimiento
- Propiedades
- Ejemplos ilustrativos
- Ejercicios de refuerzo
- Referencias
bibliográficas
Introducción
Para comprender que son los números enteros es
necesario saber la clasificación de los números.
Los números se agrupan en conjuntos o
estructuras diversas; cada una contiene a la anterior y es
más completa que ella y con mayores posibilidades en sus
operaciones.
El siguiente gráfico muestra la
clasificación de los números
Estos números se detallan a
continuación:
Números Naturales (N)
Los números naturales son los primeros que
surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de
contar y de ordenar son las más elementales que se pueden
realizar en el tratamiento de las cantidades.
Los números naturales son
cardinales, pues sirven para contar los elementos de un
conjunto. El conjunto de los números naturales es
infinito.
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8,9……}
Además de cardinales (para
contar), los números naturales son ordinales, pues
sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º
(primero), 2º (segundo), 16º (decimosexto).
Números Enteros (Z)
Número
entero, cualquier elemento del conjunto formado
por los números naturales y sus opuestos. El conjunto de
los números enteros se designa por Z:
Z = {….,-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 ,4,
5,…}
Los números negativos permiten contar nuevos
tipos de cantidades (como los saldos deudores) y ordenar por
encima o por debajo de un cierto elemento de referencia (las
temperaturas superiores o inferiores a 0 grados, los pisos de un
edificio por encima o por debajo de la entrada al mismo,
etc.)
Números Racionales (Q)
Son los que se pueden expresar como
cociente de dos números enteros, es decir, en forma de
fracción.
Ejemplo:
El conjunto Q de los números racionales
está compuesto por los números enteros y por los
fraccionarios. Los números racionales no enteros se llaman
fraccionarios.
Los números racionales sirven para expresar
medidas, ya que al comparar una cantidad con su unidad el
resultado es, frecuentemente, fraccionario.
Al expresar un número racional, no entero, en
forma decimal se obtiene tres clases de números
decimales:
Números Irracionales (I)
Son aquellos que no son racionales, generalmente tienen
una cantidad de cifras ilimitadas (no
periódicas).
Ejemplo:
Números Reales (R)
El conjunto formado por todos los
números racionales y los irracionales es el de los
números reales, de modo que todos los números
mencionados hasta ahora (naturales, enteros, racionales,
irracionales) son reales. Estos números ocupan la recta
numérica punto a punto, por lo que se llama recta
real.
Números Imaginarios
Son aquellos que provienen de extraer la raíz con
índice par de un número negativo.
Ejemplo:
Números Complejos (C)
Se denomina número complejo a la unión de
los números reales con los números
imaginarios.
Ejemplo:
5+3i
Procedimiento
Para sumar o restar números enteros (Z)
se procede del siguiente modo:
– Si tienen el mismo signo, se suman sus valores
absolutos, y al resultado se le pone el signo que tenían
los sumandos, es decir, signos iguales se suma y se conserva el
signo de los sumandos.
Ejemplos: 5 + 7= 12 ; -5 –7 = -12
– Si tienen distintos signos, es decir, si un sumando es
positivo y el otro negativo, se restan sus valores absolutos y se
le pone el signo del mayor, es decir, signos diferentes se resta
y se conserva el signo del número de mayor valor
absoluto.
Ejemplos:
7 – 5 = 2 ; 5- 7 = -2 ; -7 + 5 = -2 ; -5 + 7=
2
Propiedades
Clausurativa: La suma o resta de dos o más
números Z es otro Z: 5+7=12? a + b = c, siendo a, b, c
elemento de los números Z.
Asociativa: (5+7)+2=5+(7+2)? (a+b)+ c =
a+(b+c)
Conmutativa: El orden de los sumandos no altera
la suma total, 7- 5 = -5 + 7 ? a + b = b + a
Elemento neutro: el cero es el elemento neutro de
la suma, 7 + 0 = 7? a + 0 = a
Elemento opuesto: todo número entero a,
tiene un opuesto –a, 7 + (-7) = 0 ? a + (-a) = 0
Ejemplos
ilustrativos
1.- Resuelva numérica y
gráficamente las siguientes operaciones:
a) 2+5 b)-2-5 c)5-2 d)2-5 e)-2+5 f)-6+2
Solución:
2.- Resuelva los siguientes ejercicios siguiendo
el proceso afirmaciones-razones.
a) 5-{2+[2-5]} b)3-{-4+[5-(4-8)
]}
Solución:
Afirmaciones | Razones |
a) 5-{2+[2-5]} | |
=5-{2+[-3]} | Restando y porque el –5 tiene mayor valor |
=5-{2-3} | Cuando está el + antes de un signo de |
=5-{-1} | Restando y porque el –3 tiene mayor valor |
=5+1 | Cuando está el – antes de un signo de |
=6 | Signos iguales se suma y se conserva el signo de |
b) 3-{-4+[5-(4-8) ]} | Datos del ejercicio b) |
=3-{-4+[5-(-4) ]} | El-8 tiene mayor valor absoluto |
=3-{-4+[5+4 ]} | El –4 sale cambiando de signo |
=3-{-4+[9 ]} | Se conserva el signo de los sumandos. |
=3-{-4+9} | El + está antes de [ ] |
=3-{5} | El 9 tiene mayor valor absoluto |
=3-5 | El – está antes de { } |
= -2 | El –5 tiene mayor valor absoluto |
Ejercicios de
refuerzo
1.- Resolver numérica y
gráficamente las siguientes operaciones:
a)7-4 | b)7+4 | c)-7-4 | d)4 -7 | e)-4+7 |
f)-3+6 | g)-3-6 | h)3-6 | i)6-3 | j)-3+6 |
2.- Resolver los siguientes ejercicios aplicando
el proceso afirmaciones-razones.
a) 2+{3-5} | R=0 | |||||||||||
b) 3+{1-9} | R=-5 | |||||||||||
c) 7-{2-7} | R=12 | |||||||||||
d) 4 -{5-8} | R=7 | |||||||||||
e) 6-{5+[2-5]} | R=4 | |||||||||||
f) 6-{5+[5-2]} | R=4 | |||||||||||
h) 8+{7-[5+(2-8)]} | R=16 | |||||||||||
i) 9+{2-[4 -(3-2)]} | R=8 | |||||||||||
j) 3-(5-{2-[3-(2-1)]}) | R=-2 | |||||||||||
k)2-[1-(5+{-3 +[5 -(6-8)]})] | R=10 | |||||||||||
l) 1-[3-(4 -{2 -[-5 -(-8+6)]})] | R=-3 | |||||||||||
m) –2+[-2+(-5+{6-[4 | R=-5 |
Referencias
bibliográficas
SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática,
Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.
SUÁREZ, Mario, (2004), Hacia un interaprendizaje
Holístico de Algebra y Geometría,
Ed. Gráficas Planeta, Ibarra, Ecuador.
Autor:
Mario Suarez