Análisis de tendencia para series de tiempo

1)
INTRODUCCIÓN

Las series de tiempo llamadas también series
cronológicas o series históricas son un conjunto de
datos numéricos que se obtienen en períodos
regulares y específicos a través del tiempo, los
tiempos pueden ser en años, meses, semanas, días o
otra unidad adecuada al problema que se esté trabajando.
Ejemplos de series de tiempo son: Ventas mensuales de un producto
en una empresa, producción total anual de petróleo
en Ecuador durante un cierto número años o las
temperaturas anunciadas cada hora por el meteorólogo para
un aeropuerto.

Matemáticamente, una serie de tiempo se define
por los valores Y1, Y2, Y3,…….de una variable Y
(ventas mensuales, producción total, etc.) en tiempos t1,
t3, t3……….. Si se reemplaza a X por la
variable tiempo, estas series se definen como distribuciones de
pares ordenados (X,Y) en el plano cartesiano, siendo Y una
función de X; esto se denota por:

El principal objetivo de las series de tiempo es hacer
proyecciones o pronósticos sobre una actividad futura,
suponiendo estables las condiciones y variaciones registradas
hasta la fecha, lo cual permite planear y tomar decisiones a
corto o largo plazo. Después, con base en esa
situación ideal, que supone que los factores que
influyeron en la serie en el pasado lo continuarán
haciendo en el futuro, se analizan las tendencias pasadas y el
comportamiento de las actividades bajo la influencia de ellas;
por ejemplo, en la proyección de ventas de un producto o
de un servicio de una empresa se calculan los posibles precios,
la reacción del consumidor, la influencia de la
competencia, etc.

Es necesario describir la tendencia ascendente o
descendente a largo plazo de una serie cronológica por
medio de alguna línea, y la más adecuada
será la que mejor represente los datos y sea útil
para desarrollar pronósticos. Para lograr la
estimación de la tendencia se utilizan con más
frecuencia los siguientes métodos:

2) MÉTODO
DE LOS MÍNIMOS CUADRADOS

Este método ya se estudió en el
capítulo anterior, en el que se indicó las formas
para hallar la ecuación de una recta de mínimos
cuadrados. Con esta recta se obtendrán los valores de
tendencia.

Ejemplo ilustrativo:

Con los siguientes datos acerca de las ventas en
millones de dólares de la Empresa M & M:

1) Hallar la ecuación de tendencia por el
método de los mínimos cuadrados.

2) Pronosticar la tendencia de exportación para
el 2011.

3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta
de tendencia.

Solución:

1) Para hallar la ecuación de tendencia por el
método de los mínimos cuadrados se llena la
siguiente tabla, codificando la numeración de los
años 1995 como 1, 1996 como 2, y así
consecutivamente para facilitar los cálculos.

Reemplazando valores en las siguientes fórmulas
se obtiene los valores de a0 y a1:

Interpretación:

– El valor al ser positiva indica que existe una tendencia
ascendente de las exportaciones aumentando a un cambio o
razón promedio de 0,07 millones de dólares por cada
año.

– El valor de indica el punto en donde la recta interseca al
eje Y cuando X = 0, es decir indica las exportaciones estimadas
para el año 1996 igual a 3,22.

Reemplazado los valores anteriores en la recta de
tendencia se obtiene:

Y = 3,22 + 0,07X

2) Para pronosticar la tendencia de exportación
para el 2011 se reemplaza X = 17 en la recta de tendencia,
obteniendo el siguiente resultado:

Y = 3,22 + 0,07X

Y = 3,22 + 0,07·17 =
4,41

Los cálculos en Excel se muestran en la
siguiente figura:

3) La gráfica de los datos y la recta de
tendencia elaborada en Excel se muestran en la siguiente
figura:

3) MÉTODO
DE LOS SEMIPROMEDIOS

Este método se aplica con el objeto de
simplificar los cálculos y consiste en:

a) Agrupar los datos en dos grupos iguales

b) Obtener el valor central (mediana) de los tiempos y
la media aritmética de los datos de cada grupo,
consiguiéndose así dos puntos de la recta de
tendencia y

c) Estos valores se reemplazan en el siguiente
sistema:

d) Resolviendo el sistema se encuentran los valores de
y los cuales se reemplazan en
la ecuación de la recta de tendencia, la cual
es:

Con esta recta de tendencia se puede realizar
pronósticos, los cuales son menos exactos que los
obtenidos con el método de los mínimos cuadrados,
sin embargo, su diferencia es mínima.

Ejemplo ilustrativo

Con los siguientes datos sobre las ventas en millones de
dólares de la Empresa D & M

1) Hallar la ecuación de tendencia por el
método de los semipromedios.

2) Pronosticar la tendencia de ventas para el
2011.

3) Elaborar la gráfica para los datos y la recta
de tendencia.

Solución:

1) Se codifica la numeración de los años
2000 como 1, 2001 como 2, y así consecutivamente para
facilitar los cálculos. Se agrupa en dos grupos
iguales.

El año 2005 se dejó por fuera para tener
grupos con el mismo número de años. El valor
central de 3 corresponde a la mediana del primer grupo 1, 2, 3, 4
y 5. El valor central de 9 corresponde a la mediana del segundo
grupo 7, 8, 9, 10 y 11. El semipromedio 1,8 corresponden a la
media aritmética del primer grupo. El semipromedio 2,82
corresponden a la media aritmética del segundo grupo. De
esta manera se obtienen dos puntos (3, 1.8) y (9, 2.82) de la
recta de tendencia.

Reemplazando los puntos en el siguiente sistema se
obtiene:

Resolviendo el sistema empleando la regla
de Cramer se obtiene:

Como es positiva, la recta tiene una tendencia
ascendente (pendiente positiva).

Reemplazando los valores calculados se
tiene la recta de tendencia, la cual es:

2) Para pronosticar la tendencia de exportación
para el 2011 se reemplaza X = 12 en la recta de tendencia,
obteniendo el siguiente resultado:

Y = 1,29 + 0,17X

Y = 1,29 + 0,17·12 =
3,33

Interpretación: Existe una tendencia
ascendente a un cambio promedio de 0,17 millones de
dólares por cada año, por lo que el Gerente de
ventas de la empresa debe seguir aplicando las políticas
necesarias para mantener la tendencia ascendente y mejorar la
tasa de crecimiento.

Los cálculos realizados en Excel se muestran
en la siguiente figura:

3) La gráfica de los datos y la recta de
tendencia elaborada en Graph se muestran en la siguiente
figura:

REFERENCIAS
BIBLIOGRÁFICAS

BENALCÁZAR, Marco, (2002), Unidades para Producir
Medios Instruccionales en Educación, SUÁREZ, Mario
Ed. Graficolor, Ibarra, Ecuador.

DAZA, Jorge, (2006), Estadística Aplicada con
Microsoft Excel, Grupo Editorial Megabyte,

Lima, Perú.

SHAO, Stephen, (1980), Estadística para
Economistas y Administradores de Empresas, Ed.

Herrero Hnos, México DF.

SPIEGEL, Murray, (2000),
Estadística, Serie de Compendios Schaum, Ed.
McGraw-Hill,

México.

SUÁREZ, Mario, (2004), Interaprendizaje
Holístico de Matemática, Ed. Gráficas
Planeta,

Ibarra, Ecuador.

SUÁREZ, Mario, (2011), Interaprendizaje de
Estadística Básica

TAPIA, Fausto Ibarra-Ecuador.

Autor:

Mario Suarez