Una aproximación teórica a la resolución de problemas matemáticos (página 2)

Es menester entender que la hermenéutica
constituye una búsqueda de la verdad plasmada en los
textos por un determinado autor. Es, como señala Morales
(op.cit), "plantear objetivamente la intencionalidad del
texto no es reducir simplemente a contemplar o admirar el objeto,
es entender claramente lo referido por el autor, de tal manera
que sea entendible para todo un universo" (p.38). Es en este
sentido como se plantea la utilización de la
hermenéutica en la presente investigación. Existe
un conocimiento plasmado en el texto por un autor el cual debe
ser objetivamente interpretado y descontextualizado para ser
reconstruido a la luz de un nuevo contexto de tal forma de
permitir que ese conocimiento sea adquirido e internalizado por
el intérprete.

A manera de clarificar que la hermenéutica es
utilizada en el sentido señalado en el párrafo
anterior es conveniente revisar, aunque de manera muy sucinta, el
pensamiento de Gadamer considerado como el padre de la
hermenéutica moderna o neohermenéutica. En
un primer momento, Lugo (s.f), Gadamer "considera que el
conocimiento es fundamental para la existencia humana, la persona
sólo desde su propio horizonte de interpretación,
que se construye constantemente, puede comprenderse y comprender
su contexto". Con esta perspectiva, Gadamer da a entender que el
hombre intenta comprender su pasado lo que le lleva a comprender
su propia realidad situándose en el momento
histórico del acontecer y formando parte de
él.

En un momento posterior considera, Lugo
(op.cit.), cómo " la manera esencial de
comprender del hombre consiste en la
interpretación… una comprensión
antropológica o traducción de una realidad externa
a la propia realidad subjetiva". Esa interpretación a la
que se hace referencia puede considerarse como un diálogo
permanente entre texto e intérprete, diálogo que
terminará cuando ambos alcancen la "verdad"; pero esta
verdad sólo lo será para un determinado individuo
dejando la puerta abierta a futuras interpretaciones puesto que
dicho proceso es fundamentalmente subjetivo. El
círculo hermenéutico, fundamento del
método hermenéutico, se presenta así en
Gadamer, Lugo (op.cit.): " la realidad del autor del
texto y del texto mismo y la realidad del intérprete se
conjugan en un diálogo…"

Es así como se comprenden tres elementos o
aspectos fundamentales en la interpretación
hermenéutica, como lo señala Palencia (2002): "el
texto que tiene que ver con el significado que encierra y que
transmite; el autor, quien le da un contenido significativo al
texto; y el intérprete, que a través de un
código, descifra el contenido significativo que le dio el
autor…" (p.161).

El objetivo principal de la presente
investigación consiste en "señalar pistas", o
realizar una aproximación teórica, que ayude a la
conformación de una teoría del aprendizaje de la
matemática la cual tome en cuenta los aspectos
motivacionales y cognitivos del aprendiz cuando resuelve
problemas matemáticos utilizando para ello el paradigma
constructivista.

Kilpatrick (1990) presenta su punto de vista:

La visión del constructivismo incluye dos
principios: 1.- el conocimiento es constructivamente activado por
el conocimiento subjetivo, no recibido pasivamente por el medio
ambiente. 2.- llegar a saber es un proceso adaptativo que
organiza un mundo experimental, no descubierto e independiente.
Un mundo preexistente fuera de la mente del conocedor.
(p.40).

El conocimiento, desde el punto de vista kantiano puede
ser: puro o empírico. El primero se desliga de la
experiencia y la sensibilidad y, al anteceder a toda
experimentación, es un conocimiento "a priori". El
segundo, se basa en la experimentación, constituye un
conocimiento "a posteriori". Kant señala también,
que las proposiciones matemáticas constituyen un
conocimiento "a priori".

Esta visión apriorística del conocimiento
matemático será tomada en cuenta al asumir la
postura constructivista. Existe un saber matemático
(axiomático) no conocido por el aprendiz al cual debe
acceder para construir su aprendizaje. El docente, más que
un facilitador, será el medio utilizado para alcanzarlo,
es decir, se asume al constructivismo desde un punto de vista
pedagógico y no desde su concepción
radical.

El análisis de las teorías cognitivas y
motivacionales, indicada en los objetivos de la
investigación, fue realizada de acuerdo a la
metodología planteada, es decir, una revisión del
arte de las mismas mediante lectura crítica y
síntesis utilizando la hermenéutica,
posteriormente, como vehículo interpretativo

Capítulos de la
Investigación

La presente investigación consta,
básicamente, de siete capítulos que se detallan a
continuación:

Capítulo I: Una visión general,
en el cual se hace el planteamiento del problema, la
justificación de la investigación, el objetivo de
la misma y la metodología utilizada.

Capítulo II: El problema del problema,
donde se presenta el nacimiento del problema en la especie humana
y su definición desde diferentes puntos de vista: general,
social, psicológico y matemático tomando en cuenta
las diferentes acepciones que sobre el mismo han realizado
diversos autores.

Capítulo III: La Resolución de
Problemas: una historia sin fin, donde se hace una
revisión bibliográfica teórico- exhaustiva
de la evolución histórica de la Resolución
de Problemas desde las civilizaciones más antiguas –
incluyendo la Grecia clásica – hasta nuestros días
señalando los diferentes enfoques: cognitivo,
motivacional, aptitudinal que han marcado a ésta
actividad.

Capítulo IV: Teorías de la
ciencia, planteándose el problema del conocimiento en
sus diferentes facetas: posibilidad, origen, esencia, forma y
veracidad; así mismo, se presenta una visión de la
ciencia como sistema de conocimientos.

Capítulo V: Teorías del
aprendizaje, donde además del concepto de
teoría se plantean las diferentes corrientes cognitivas
que se han constituido en teorías del aprendizaje como las
conductistas, mediacionales, de procesamiento de la
información, psicogenéticas y
constructivistas.

Capítulo VI: Teorías
motivacionales, donde se plantea la definición de
motivación y las diferentes teorías que se basan en
el constructo incluyendo la teoría atribucional de
Weiner,la teoría motivacional de Pintrich y la
metacognición.

Capítulo VII: Una teoría
confluyente, donde a modo de conclusión se hacen
confluir las teorías cognitivas del aprendizaje con las
motivacionales y la metacognición utilizando el
constructivismo pedagógico en la resolución de
problemas como manera de lograr un cambio conceptual en el
estudiante.

CAPITULO II

El problema del
problema

Introducción

"Al principio creó Dios el cielo y la tierra. La
tierra era confusión y caos, y tinieblas cubrían la
faz del abismo, más el espíritu de Dios se
movía sobre las aguas…" (Sagrada Biblia,
Génesis:1,2). Esta bella forma poética narra, desde
el punto de vista bíblico, la creación del Universo
y la Tierra. Todas las civilizaciones y culturas en el planeta
han propuesto en algún momento de su historia, una manera
o teoría plausible acerca de la creación del mundo.
Dentro de estas teorías o explicaciones, ya sean
míticas o científicas, se encuentra la hermosa
presentación de Heráclito (2000) : " este mundo, el
mismo para todos, ningún Dios ni hombre lo hizo, sino que
fue siempre, es y será fuego siempre vivo que se enciende
según medidas y se apaga según medidas"
(p.14).

En ese mismo orden de ideas, la teoría actual con
más asidero científico lo constituye la
singularidad del Big-Bang – término acuñado por el
astrofísico británico Fred Hoyle hacia 1.940 – la
cuál establece que el Universo actual provino de una "gran
explosión" acaecida en un "átomo primitivo" o
"huevo cósmico", hace alrededor de 15 mil millones de
años, promoviendo la formación de galaxias,
estrellas, planetas y todos los cuerpos celestes conocidos.
Respecto a esta teoría, el físico y
astrónomo norteamericano Sagan (1992) considera al
Big-Bang como "una explicación lógica del origen
del universo conocido a partir de un instante después del
estallido pero que no nos dice nada acerca de lo que había
antes" (p.20).

En el largo discurrir del tiempo que transcurre entre el
Génesis (Biblia), pasando por el siglo V a.c
(Heráclito) y alcanzando el siglo XX (Sagan), son
numerosas las teorías o explicaciones que se han generado
acerca del origen del Universo y este planeta el cual sirve de
morada a la especie humana. Teorías, al fin y al cabo, tal
como señala Prigogine (1992), las cuales son "
hipótesis provisionales, formulaciones personales,
sometidas a la prueba del tiempo" (p.38).

La idea subyacente en los párrafos anteriores es
la de hacer un preámbulo a la solución de otro
problema que, así como el anterior, ha ocupado a la
especie humana durante su existencia, cuál es su propio
origen.

"Después dijo Dios: Hagamos al hombre a imagen
nuestra, según nuestra semejanza… Y creó Dios al
hombre a imagen suya; a imagen de Dios lo creó; mujer y
varón los creó…" (Sagrada Biblia, Génesis:
1,26, 27). Esta interesante versión poética con la
cual la Biblia señala la creación del hombre puede
considerarse como una teoría religiosa entre las tantas
que han tratado de explicar la aparición del hombre en el
escenario del planeta. Todas las culturas, pueblos y
civilizaciones, en algún momento de su historia, en un
afán de comprender el pasado, oscuro y misterioso, han
propuesto leyendas y mitos con la intención de
clarificarlo. De la misma manera como se han formulado variadas y
diferentes teorías acerca de la creación del
Universo y la Tierra, así también diversas se han
formulado sobre la creación y aparición de la vida
y, consecuentemente, del hombre.

Mencionar este hecho obliga a pensar en nombres como
Lamarck, Darwin y Oparin, y más recientemente en Teilhard
de Chardin, Kimura y Gould, entre otros. Oparin, en 1.924,
formuló una teoría donde señalaba al origen
de la vida como una combinación de los elementos
químicos presentes en la primitiva atmósfera
terrestre. Así mismo, Kimura (1992) considera la
aparición de la vida "como una reacción
química provocada por los rayos del sol que creó en
la sopa original la primera célula capaz de duplicarse"
(p.76). Las teorías señaladas, coincidentes en
varios aspectos, son las explicaciones más plausibles que
se tienen acerca de la aparición de la vida en el planeta
con la excepción de los que plantean su origen
extraterrestre.

En un "breve lapso de tiempo" de unos 3.500 millones de
años, esa primigenia proteína desarrolla cambios y
mutaciones, es decir, evoluciona hacia formas más
complejas de vida pasando por la aparición, hace unos 4
millones de años de los primeros homínidos
bípedos y, culminando, hace unos 50.000 años, con
la presencia del hombre moderno.

La transformación de la vida en el planeta ha
sido y es materia de numerosas investigaciones mediante las
cuales se ha tratado de explicar cómo y de qué
manera ha evolucionado hasta la actualidad siendo de singular
importancia las relativas al hombre, es decir, en qué
forma y manera se produjo, dentro de la evolución de las
especies, ese fenómeno llamado hombre.

Hablar de la evolución de las especies es hablar
de Darwin. No se desea afirmar la no existencia de estudios o
investigaciones previos al respecto sino mencionar que la
Teoría Evolucionista, así denominada por el propio
autor, provee de una manera sencilla una explicación
plausible acerca de los cambios ocurridos en las especies. Tan
sencilla y completa es la misma que el mismo Popper, en Arsuaga
(2001), condenó el darwinismo al ostracismo
científico: "he llegado a la conclusión de que el
darwinismo no es una teoría científica testable o
contrastable, sino un programa metafísico de
investigación, un posible marco para teorías
contrastables" (p.376). Arsuaga (op.cit.), al mostrar la
posición entre científicos en general, incluidos
biólogos y paleontólogos, comenta el hecho del
furor alcanzado por la doctrina, según la cual:

sólo es buena ciencia ( o incluso sólo es
ciencia) aquella que sigue el modelo hipotético-deductivo,
que es el que mejor describe la forma de trabajar en
física: se parte de unas proposiciones (llámense
también postulados, axiomas o premisas) y a partir de
ellas se deducen ( por lógica) una serie de
hipótesis (conclusiones, implicaciones o predicciones) que
pueden ser sometidos a contrastación con los hechos ( que
pueden ser "falsados" se dice), por medio de la
experimentación o por medio de la observación…"
(p.375).

La condena de Popper es, por tanto entendible, al no
poder falsar la teoría evolucionista de Darwin como lo
señalan Grant y Ruse, en Arsuaga (op.cit.),cuando
afirman: "procede de una mala interpretación de la esencia
del razonamiento darwinista: el mecanismo de la selección
natural. El error consiste en igualar la selección natural
a la "supervivencia de los más aptos", utilizando una
fórmula que no es original de Darwin, sino de Herbert
Spencer" (p.377). La teoría evolucionista de Darwin tiene
a su favor dos criterios importantes : la simplicidad,
puesto que una teoría sencilla siempre es preferible a una
basada en una gran cantidad de postulados; y la
capacidad para extenderse a campos diferentes de aquel para
la cual fue creada. En este sentido no cabe duda que la
mencionada teoría cumple las dos premisas: una gran
sencillez al presentar la selección natural como modo de
evolución y su extensión a otras ramas de la
ciencia cómo la sociología, la psicología,
entre otras.

En el transcurso del tiempo, el darwinismo estricto se
fisura con la aparición de nuevas teorías: el
evolucionismo teísta o finalismo , donde se mantiene
el principio evolucionista pero dejando a salvo el principio del
propósito divino de la creación; el
neolamarckismo quien defiende la tesis de la
evolución en línea recta; la teoría de
la mutación también llamada
saltacionismo, la cual admite la aparición
súbita de nuevos tipos biológicos sin pasar por la
selección natural; ortogénesis, la cual
propugna una evolución impulsada por fuerzas internas de
los propios organismos. Las teorías mencionadas,
referenciadas en la obra de Arsuaga, tienen, cómo es
lógico, defensores y detractores aún cuando han ido
cayendo en el desuso. Las tendencias actuales se polarizan entre
un neodarwinismo o teoría sintética de
la evolución, quien surge como combinación del
darwinismo con el mendelismo (síntesis) con una
visión gradual de la evolución; y la
teoría del equilibrio puntuado, la cual defiende un
modelo de selección natural actuando a varios niveles
incluido el nivel de especiación.

Los párrafos anteriores hacen notar cómo
en diferentes épocas de la historia de la humanidad se han
planteado teorías científicas o
pseudocientíficas donde se ha pretendido explicar, de
alguna manera, la historia de la vida en el planeta. El hecho
cierto es que, independientemente de la posición asumida,
en algún momento, en algún instante y quién
sabe porqué razón, si la hay, apareció un
Universo, una Tierra y una vida.

Nace el problema

Al comienzo del capítulo se señaló
el origen bíblico del hombre como una de las
teorías religiosas que sustentan esa aproximación;
así mismo, la teoría evolucionista y otras tantas
quienes plantean diferentes puntos de vista respecto al
nacimiento de la vida y su posterior evolución en el
planeta. La pregunta lógica a formular en este momento es,
¿en qué momento de la evolución de la vida
aparece el hombre ?. Y más aún, ¿por
qué aparece?

Respecto a este punto surgen las más variadas y
controversiales opiniones o teorías que tratan de dar una
adecuada respuesta a las interrogantes previas: por una parte los
evolucionistas finalistas o teístas como Teilhard de
Chardín, Broom, Von Koenigswald, entre otros, quienes ven
la intervención divina en la creación del hombre
considerándola, incluso, como el acto final de la
evolución; y, por otra parte, los que adoptan la
teoría sintética y, más recientemente la
teoría del equilibrio puntuado, como Elredge, Gould,
Washburn, entre otros, que ven la creación como una
evolución adaptacionista en preparación para la
llegada del hombre.

Cualquiera sea la versión real o la teoría
apropiada para explicar este proceso, lo cierto es, cómo
se señala en la pregunta, que en algún momento de
la evolución apareció un homínido o
protohomínido precursor del hombre tal como se conoce en
la actualidad. Ese momento, según registros
fósiles, data de unos 6 millones de años, para
algunos paleoantropólogos, y para otros, unos 4 a 4.5
millones de años. Este "animal" que vive en los
árboles, por diferentes motivos como lo señalan las
hipótesis existentes al respecto – teoría de la
sabana, teoría del mosaico de bosques y teoría de
la variabilidad – abandona su vida en el bosque, se va a la
sabana, y se convierte en un ser bípedo en lo que
constituye, para algunos investigadores, un primer paso hacia su
transformación en hombre. Otros investigadores consideran
que esa transformación no ocurre sino hasta la
aparición del lenguaje o de alguna otra forma de
comunicación.

Autores como Huxley, Wilson, Teilhard de Chardín,
entre otros, han defendido la tesis según la cual la
noción de progreso es inherente al proceso evolutivo y que
la vida evolucionó hacia formas más complejas y
perfectas. Esta razón explica porqué Huxley, por
ejemplo, en Arzuaga (op.cit.), afirma : "la nuestra era
la única vía de acceso hasta la inteligencia"
(p.165).Las diferentes ramas del frondoso árbol
genealógico de los primates muestran como se separó
el hombre de éstos y cómo evolucionó hasta
transformarse en el "hombre moderno". En un momento no
determinado, el homínido desciende del árbol, va a
la sabana, se yergue y comienza una nueva vida, lejos de la
seguridad del bosque, produciéndose un reacomodo o cambio
en su ancestral modo de vida. Entre 6 y 4 millones de años
separan a ese primate, que se aventuró a vivir en un
ambiente diferente a su nicho primitivo, del hombre
actual.

De gran interés resulta, en este proceso
evolutivo, saber a ciencia cierta cuando realmente nace el
hombre. La postura bípeda ha sido señalada por
algunos paleoantropólogos cómo inicio o nacimiento
del hombre aún cuando, actualmente, hay otras posiciones
con más asidero científico al considerar el
nacimiento de la especie humana cuando ésta
desarrolló alguna forma de comunicación o lenguaje
para finalmente constituir una nueva especie. Es así
cómo, con una distancia de 50.000 a 80.000 años, se
consiguen los primeros vestigios de adornos y utensilios hechos a
mano en lo que constituye un primer intento de separación
de especies.

En su evolucionar, el hombre atravesó diferentes
fases durante las cuales su cerebro se hizo más grande y
complejo sucediendo un día el milagro de la inteligencia o
razón. Un día en el cual este humanoide toma
conciencia de constituir una nueva especie, de poseer algo que lo
diferencia de los otros animales y de su capacidad para dominar y
cambiar el ambiente. Darwin siempre pensó que el origen de
la mente humana había de ser buscado en la
evolución. Otros autores, como Wallace, en Arsuaga
(op.cit.), "pensaban que la mente humana estaba
ahí porque una "inteligencia superior" había guiado
nuestra evolución con un propósito
específico; un regalo divino, no un producto de la
evolución orgánica" (p.297).

Estas posturas tan disímiles tienen eco hoy
día en autores modernos que aún cuando abandonan el
sentido espiritualista de su origen, mantienen la posición
de la aparición súbita. Tal vez de estos
investigadores los más renombrados sean Chomsky y Gould
quienes defienden la tesis, el primero, de la existencia de "un
órgano para el lenguaje" en el cerebro humano que no
surgió por selección natural; y, el segundo, que
mente y lenguaje humano no son producto de la selección
natural ordinaria.

Intermedia de las teorías mencionadas, la
emergentista, Arsuaga (op.cit.), indica: "las
propiedades de un sistema, definido como un conjunto de elementos
interrelacionados, dependen en gran medida de cómo
interactúen los diferentes elementos entre sí"
(p.300). Autores como Lorentz, Huxley, Tattersall, Klein, entre
otros, fueron o son partidarios de esta teoría.
Específicamente Lorentz, en Arsuaga
(op.cit.)

La palabra evolución hace referencia al
desarrollo o despliegue de algo que ya estaba presente de alguna
manera, como "la flor en el capullo y el pollito en el huevo",
por eso utilizo la palabra fulguración (del latín
fulguratio, resplandor del relámpago)… cuando se
conectan dos sistemas independientes entre sí, surgen de
repente unas propiedades sistémicas totalmente nuevas, que
antes no existían, ni siquiera a modo de sugerencias
(p.301).

Esta posición de Lorentz la comparte Klein, en
Arsuaga (op.cit.) "cuando todos los volantes y ruedas de
la maquinaria cerebral acertaron a engranarse correctamente,
entonces el complicado reloj mental se puso en marcha. Y
surgió, como un prodigio de la naturaleza, inesperado pero
sin embargo viable, una nueva maravilla de la evolución"
(p.304).

En el mismo orden de ideas, Mitchen, en su influyente
teoría, en la obra reseñada, afirma:

En la evolución de la mente humana hubo primero
una etapa, similar a aquella en la que se encuentran los
chimpancés actuales, en la que dominaba "una inteligencia
general". En una fase posterior se desarrollaron una serie de
"módulos mentales" que funcionaban como si fueran
"órganos mentales" independientes y especializados en
funciones diferentes: un "módulo de historia natural" para
relacionarse con los otros seres vivos, un "módulo social"
para relacionarse con los otros miembros del mismo grupo, y un
"módulo" para entender las propiedades físicas de
los objetos, que dio lugar a un "módulo" para la
tecnología de la piedra… la mente humana moderna no
se manifestó hasta que, en una tercera y última
fase, se abrieron ventanas y puertas en los muros que
mantenían aislados las diferentes "inteligencias".
Así surgió, únicamente en nuestra especie,
una "fluidez cognitiva" que ponía en comunicación
la "inteligencia general" con las diferentes "inteligencias"
especializadas (p.305).

Detractores de esta teoría sistémica se
han manifestado hoy día, sobre todo a raíz de los
últimos descubrimientos fósiles que
comprobarían la existencia de una mente moderna
entendiéndose con ello la parición del raciocinio,
como forma superior de la inteligencia, antes de la confluencia
de las "inteligencias especializadas" con la "inteligencia
general". La utilización de adornos así como el
tallado manual de objetos – cultura lítica – señala
para muchos el nacimiento de una conciencia, de una inteligencia
o de una razón que produjo, en ese Adán, un
desarrollo vertiginoso de habilidades cognitivas que le llevan,
en su complejización, a constituir el hombre
actual.

Independientemente de la teoría asumida:
evolucionista, creacionista o sistémica, el hecho real es
la aparición de una inteligencia en la especie humana,
superior a la "inteligencia general" del tronco común. Es
esta inteligencia, y no otra cosa, la que separa al hombre de los
humanoides impulsándole a progresar al hacerle capaz de
enfrentar situaciones – básicas, sociales, culturales y
espirituales – y resolverlas. Esas situaciones
problemáticas, a las que todo ser viviente se enfrenta, se
solucionan por evolución o adaptación, pero es
sólo la especie humana quien, utilizando ese don tan
preciado que posee, las resuelve de otro modo: las razona, las
enfrenta y las vence. Es un proceso contínuo, inacabado,
donde por un lado se solucionan los problemas y, por el otro, se
les crea, produciéndose así un avance o
complejización del hombre y de la sociedad que lo
cobija.

Creación del
Conocimiento

En la introducción del presente capítulo,
puede observarse como a partir de una conjunción de
circunstancias – posiblemente irrepetibles – surgió la
vida en un mundo en gestación y como fue evolucionando
hasta la aparición del hombre, tal como se conoce hoy
día. El antecesor del hombre, de la misma forma que el
resto de los animales de su entorno, enfrentó situaciones
que pudieran llamarse problémicas, sobre todo en lo
tocante a su supervivencia: alimentación, defensa, abrigo,
entre otras, los que pudieron haber sido los aspectos
fundamentales a solucionar. En el devenir del tiempo, este
"humanoide" se hace humano al adquirir conciencia o inteligencia.
De esta manera, las situaciones problemáticas a resolver
serán ahora enfocadas o enfrentadas de manera
diferente.

Al producirse la sedentarización del hombre, con
el descubrimiento de la agricultura, comienza una
complejización de su incipiente sociedad que lo
llevará a plantearse y solucionar problemas: primero, los
relativos a alimentación, defensa y abrigo – necesidades
básicas – y después, lo tocante a educación
y culturización -necesidades superiores. Es decir,
continúa el proceso evolutivo con la diferencia, como la
considera Gould (1992) de que: "a partir de ahí, el hombre
ha escapado a la ley de la selección natural para entrar
en un nuevo orden, el de la cultura" (p.63).

Piaget (1986), destacó el papel
desempeñado por el comportamiento del individuo en el
proceso evolutivo cuando lo describió como "el conjunto de
acciones que los organismos ejercen sobre el medio exterior para
modificar algunos de sus estados o para alterar su propia
situación con relación a aquel…" (p.7).
Así mismo, Popper y Eccles (1980), defienden la tesis
según la cual "la actividad, las preferencias, la
habilidad y las idiosincrasias del animal individual pueden
influir indirectamente sobre las presiones selectivas a las que
está expuesto y con ellas puede influir sobre el resultado
de la selección natural." (p.14). De esta manera, la
conducta o comportamiento del individuo producida como
consecuencia de su interacción con el medio ambiente no
sólo afectará a éste sino también
ocasionará un cambio conductual en el propio individuo en
un proceso evolutivo contínuo e inacabado.

En un largo periplo para la existencia humana pero
sumamente breve en la historia de la vida, durante un
período que abarca desde, aproximadamente, 4.5 a 6
millones de años hasta hace escasos 50.000 a 80.000
años, el hombre evolucionó y desarrolló
características propias que lo diferenciaron y diferencian
de las demás especies. A título de ejemplo se puede
mencionar el famoso caso del esqueleto "Lucy" – del cual se
conserva un 40% – encontrado en 1974 por Jonson en
Etiopía, quien contribuyó a dilucidar parte del
enigma de la evolución humana. Este esqueleto pertenece a
un ser completamente bípedo pero sin un gran cerebro ni
tecnología lítica, siendo datado a unos 3.6
millones de años. Posteriormente Leaky descubre – 1.978 y
1.979 – otros restos fósiles en Tanzania de ciertos
homínidos que caminaban erguidos y supuestamente
pertenecen a la misma especie de "Lucy". Estos fósiles
son, hasta la actualidad, los más antiguos descubiertos y
permitieron a los expertos retrotraer el origen del hombre hasta
la cifra de 4.5 – 6 millones de años.

La inteligencia con la que el hombre fue dotado por la
naturaleza, en algún momento de su evolución,
permitió que la especie sobreviviera al poder encarar y
resolver las nuevas situaciones al utilizar una fuerte dosis de
creatividad. Esa creatividad a la que se alude, en una
evolución cultural como afirma Gould (op.cit.) en
su teoría, se tradujo en la creación de
conocimiento. Una creatividad necesaria para detectar problemas,
para sugerir una posible solución, para poner a prueba la
hipótesis asumida y para rehacer el esquema si el intento
fue fallido.

Solucionar o resolver problemas es entonces la actividad
propia de la evolución cultural del hombre. De solucionar
problemas relativos a necesidades primarias, sólo mediante
la adquisición de habilidades para asegurar una
supervivencia propia del contexto donde se desenvuelve, a
resolver problemas originados por necesidades superiores o
espirituales, ha siso la historia del hombre. Una historia de
evolución a través de pocos millones de años
la cual, lenta al principio pero vertiginosa después,
propició la aparición del hombre moderno – no mas
de 50.000 años – quien con inteligencia, creatividad y
raciocinio creó toda una ciencia basada en el conocimiento
y en la superación de obstáculos o
barreras.

En la teoría del conocimiento, existen factores
que durante cierto tiempo frenan u obstaculizan el avance de la
ciencia: Bachellard los denominó obstáculos
epistemológicos en tanto Kuhn los llamó
ciencia normal. Así mismo, también existen
situaciones que aceleran ese avance a las que el primero
llamó ruptura epistemológica y el segundo,
crisis de los paradigmas. En este orden de ideas se
pronuncia Graterol (op.cit.) : "los procesos de
creación de conocimiento o saber están relacionados
con la solución de problemas teóricos o
prácticos que en una u otra forma afectan a un grupo
social o a una comunidad que se desenvuelve en un espacio-tiempo"
(p.18). Así mismo, Varela y Martínez
(op.cit.) afirman: "desde un punto de vista
epistemológico, la ciencia como actividad humana,
está dirigida fundamentalmente a resolver problemas"
(p.173).

¿Qué es un
Problema?

Con cierta frecuencia, un individuo se encuentra ante
una situación donde debe responder una pregunta a partir
de algún dato específico o de algún otro
tipo de información. Claxton, en Pozo y Pérez
(1999), narra una anécdota entre un maestro y un
niño de un barrio marginal en los Estados Unidos: "el
maestro pregunta al niño ¿cuantas patas tiene un
saltamontes? El niño miró tristemente a su maestro
y le contestó ¡Ojalá tuviera yo los mismos
problemas que Ud.!". De esta anécdota se puede inferir que
un problema se entiende de diferentes maneras dependiendo de la
situación o contexto en el que se encuentran los actores
involucrados, de la información que se maneje o disponga,
es decir, de una serie de factores intrínsecos o no al
problema en si.

Responder la pregunta ¿qué es un problema?
no es una cuestión tan sencilla de realizar. Depende de
diferentes y diversos factores que involucran personas,
situaciones, contextos, características individuales o
colectivas, en fin, una multiplicidad de aspectos ya sea que se
considere, dicho problema, desde diferentes puntos de vista:
general, social, psicológico o matemático, entre
otros. Kilpatrick (1982) al referirse a la pregunta antes
formulada hace la siguiente consideración: "esta no es una
pregunta que pueda contestarse en un artículo corto, ni
siquiera en un libro largo" (p.1). Es así como se confirma
que un problema es algo sumamente complejo de definir y es
menester contextualizarlo desde diferentes puntos de
vista.

El problema desde el punto de vista
general

A lo largo del tiempo y desde que el hombre es hombre –
cuando nace el problema – se han presentado a la especie humana
situaciones contentivas de un problema – situaciones
problemáticas – haciéndole utilizar aptitudes y
habilidades, es decir, creatividad e inteligencia, para
resolverlas. Al comienzo, situaciones de solucionar necesidades
básicas o primarias y, posteriormente, la
resolución de necesidades espirituales y
superiores.

Diversos autores ha tratado de definir lo que es un
problema: Nieto (1993) lo define como "un obstáculo
arrojado ante la inteligencia para ser superado, una dificultad
que exige ser resuelta, una cuestión que requiere ser
aclarada" (p.105).

González (op.cit.): "puede concebirse
como sinónimo de dificultad; ésta se presenta
cuando a alguien se le plantea una interrogante, al tiempo que se
le exige una respuesta o solución" (p.251).

Soto Guzmán, en Medina (op.cit.), define
un problema como "una discrepancia entre una situación
actual observada y una situación deseada"
(p.8).

Escalante (1984): "una situación
problemática existe cuando habiendo un objetivo que debe
ser logrado, el mismo aparece tan vagamente definido que el
individuo no logra determinar con toda precisión y
claridad los medios relevantes para resolverla" (p.1).

Polya, en García (op.cit.), "enfoca el
problema como la manera de salir de una dificultad, de evitar un
obstáculo, de lograr un fin que no era inmediatamente
obtenible" (p.97).

García (1996) establece el concepto de problema
como

Una situación que presenta una oportunidad de
poner en juego los esquemas de conocimiento, que exige una
solución que aún no se tiene y en la cual se deben
hallar interrelaciones expresas y tácitas entre un grupo
de factores y variables, búsqueda que implica la
reflexión cualitativa, el cuestionamiento de propias
ideas, la construcción de nuevas relaciones, esquemas y
modelos mentales, es decir, y en suma, la elaboración de
nuevas explicaciones que constituyen la solución al
problema.

García (1998), señala lo siguiente: "en el
lenguaje común, problema es una cuestión en la que
hay que averiguar o que provoca preocupación".

Garret (op.cit.) afirma:"una situación
puede convertirse en problema, solamente cuando ha sido
reconocido como tal, es decir, cuando corresponden a una duda
carente de respuesta".

De Guzmán (1996) indica: "se tiene un verdadero
problema cuando se encuentra en una situación desde la que
quiere llegar a otra, unas veces bien conocida, otras un tanto
confusamente perfiladas, y no se conoce el camino que puede
llevar de una a otra".

La revisión de un amplio espectro de literatura
sobre problemas y resolución de problemas permitió
entresacar las anteriores definiciones de investigadores de
reconocida trayectoria que contemplan al problema desde un punto
de vista general. En este sentido puede observarse, de un
análisis de las mismas, que involucran una serie de
términos comunes: obstáculo, dificultad, objetivo y
respuesta, así como la imposibilidad de separar al sujeto
de la propia definición. Etimológicamente,
obstáculo significa hacer difícil o
imposible el paso o lo que impide la realización de algo.
Así mismo, difícil significa que se
requiere inteligencia, habilidad y esfuerzo para lograr o superar
algo. Se puede señalar así que en un problema se
encuentran presentes los siguientes aspectos: un obstáculo
para alcanzar una meta, una dificultad propia del
obstáculo que impide la consecución de la meta, una
meta u objetivo a alcanzar y una respuesta como solución
al mismo.

El problema desde el punto de vista
social

En algún momento de su evolución hacia
formas superiores de vida, el hombre siente o experimenta la
necesidad de agruparse con otros miembros de su especie con el
fin de solucionar problemas comunes a su incipiente sociedad.
Hobbes (2000), considera a este respecto:

La experiencia inmediata o histórica del hombre y
su manera de vivir y mantenerse sobre la tierra presenta un dato
radical: los seres humanos se buscan entre si y construyen
espacios comunes en los cuales viven y se reproducen… la
soledad absoluta le es imposible al ser humano y, pese a las
enormes dificultades que encuentra en compartir su cotidianidad
con otros, cualquier esfuerzo resulta válido con el fin de
conjurar el aislamiento… (p.130).

¿Qué razón tan poderosa
impulsó al hombre a relegar a un segundo plano uno de los
dones más preciados con el que fue dotado por la
naturaleza, cual es la libertad? La complejización de la
evolución en el sentido de enfrentarse día a
día con situaciones problemáticas más
difíciles ocasionadas por su afán de conocimiento,
por la solución de sus requerimientos básicos y por
el deseo intrínseco de alcanzar la felicidad, le llevan a
sacrificar, al menos parcialmente, su sentido de libertad
heredado de su propia naturaleza. Locke (2000) se pregunta:
"¿cómo decidieron los hombres, originalmente libres
y entregados a la absoluta soberanía, coartar sus
privilegios individuales y entregarse a una convivencia de la
cual redundarían tantas contradicciones?"
(p.170)

Las razones mencionadas producen la aparición de
una forma de vida donde el individuo no sólo debe resolver
sus propios problemas sino otros en comunión con los
demás de su especie, avocándose a solucionar
situaciones comunes: nace así la sociedad como ente
aglutinador de seres con una visión común en lo
relativo al logro de la felicidad. Liazos (1982) así lo
considera:

los problemas, desde el punto de vista social, pueden
incluirse en dos grandes bloques según sea la perspectiva
teórica que adopte: por una parte, estarían las
definiciones que resaltan los aspectos objetivos perjudiciales de
los problemas, aunque éstos no sean identificables por
sectores amplios de población como situaciones
susceptibles de ser cambiadas… y, por la otra, aquellas
definiciones que entienden que solo existe un problema social
cuando un grupo significativo de la sociedad percibe y define
ciertas condiciones como problema y pone en marcha acciones para
solucionarlas.

Diversos investigadores como Fuller y Myers, Merton,
Blumer, Kohn , Sullivan y cols.entre otros, reseñados por
Liazos (op.cit.), muestran importantes elementos para
identificar un problema social. En primer lugar, debe existir
consenso entre los miembros de la sociedad de cuales son los
problemas en general; en segundo lugar, determinar los grupos
quienes definen el problema social puesto que son ellos los
interesados en resolverlo; en tercer lugar, las razones que
definen el problema; y, por último, estar conscientes que
un problema social atañe a todos y no a
individualidades.

Identificado como tal, un problema social debe ser
resuelto con el aporte de la sociedad. Aspectos cómo: la
fuerza de los números (grupo con acceso a mayor cantidad
de personas); organización; acceso a recursos; autoridad,
entre otros, son rasgos resaltantes y fundamentales en la
solución de un problema social.

El propio salón o aula de clases, con las
interacciones entre docente y alumno, adquiere de este modo una
dimensión de hecho social. González
(op.cit.) lo confirma de la siguiente manera: "la
enseñanza puede ser concebida como una situación
social que se produce en un determinado contexto o escenario
(aula de clases), donde un grupo de actores (profesor y alumnos)
llevan a cabo un conjunto de acciones o actividades" (p.13). En
la misma tónica se manifiesta Kilpatrick
(op.cit.), "es una construcción social con
significado por cada participante en el proceso" (p.9). El
docente plantea un problema al alumno o a un grupo de ellos en la
espera de su solución con lo que se genera una
búsqueda de pistas, por parte del o los solucionadores
donde se indaga si el problema tiene toda la información
pertinente, si la solución es inmediata o no, si es
menester esforzarse en la búsqueda de esa solución
o si involucra algún otro aspecto del entorno
mismo.

El problema desde el punto de vista
psicológico

La definición clásica de problema, desde
la perspectiva psicológica es, Kilpatrick
(op.cit.), "una situación en la que se debe
alcanzar una meta, pero en la cual está bloqueada una ruta
directa" (p.7). Así mismo señala: "los
psicólogos añaden con rapidez que un problema
requiere un individuo dentro de la situación – alguien que
tiene el problema" (p.7). La vertiente psicológica del
problema no difiere de la concepción general más
que en la presencia del individuo cognoscente del mismo. Es
así como al señalar la presencia en un problema del
obstáculo, la dificultad, la meta y la respuesta, desde
esta aproximación psicológica es necesario
establecer que deben ser enfocados y solucionados en
función de los objetivos propuestos, con inteligencia,
creatividad y raciocinio los cuales no son más que
atributos de la especie humana.

Los aspectos psicológicos, propios del individuo
solucionador del problema, se consideraron firmemente en los
estudios, a partir de la década de los 50`s, cuando el
pragmatismo y el conductismo ceden paso a investigaciones
relacionadas con los aspectos motivacionales propios del
individuo. De esta manera se encuentran las definiciones de
problema de Thorndike, en Kilpatrick (op.cit.),
como:

Se orienta al individuo hacia un objetivo particular y
se le motiva para alcanzarlo. Se tiene un fin en perspectiva…
está bloqueado el progreso hacia el objetivo… los
patrones de respuesta habituales no son adecuados para permitir
que el individuo supere el obstáculo y proceda hacia su
objetivo (p.7).

La formulación de Brownel, en la obra citada, se
refiere:

a) a tareas conceptuales y perceptivas, b) la naturaleza
de las cuales es capaz de comprender el individuo en virtud de
naturaleza (sic) original, de aprendizaje previo, o de
organización de la tarea, pero c) para los cuales por el
momento él no conoce un medio de satisfacción
directo. d) El individuo se siente perplejo en la
situación del problema, pero no experimenta una
confusión total.(p.7).

De igual manera, Henderson y Pingry, en Kilpatrick
(op.cit.), expresaron la subjetividad del problema en
términos sencillos: "lo que puede ser un problema para un
individuo puede no serlo para otro individuo. Un problema para un
individuo particular en el día de hoy, puede no ser un
problema para él mañana" (p.8).

Luria (1945) considera el problema como "una actividad
intelectual de modo organizado que se apoya en un programa
lógico de operaciones relacionadas entre sí, donde
dichas operaciones están determinadas por un cierto
objetivo, una cierta pregunta a la que es imposible dar una
respuesta inmediata".

Kinsella, en Medina (op.cit.), coincide con la
definición de Henderson y Pingry

"un individuo está en una situación
problemática cuando determina un objetivo particular y
está motivado a lograrlo pero está, al menos de
manera temporal, frustrado en el ataque de su tarea trazada"
(p.10).

Perales (op.cit.) define al problema como
"cualquier situación prevista o espontánea que
produce, por un lado, un cierto grado de incertidumbre y, por el
otro, una conducta tendente a la búsqueda de su
solución" (p.170).

Pozo, Postigo y Gómez (1995) definen el problema
como "una situación nueva o sorprendente, a ser posible
interesante o inquietante en la que se conoce el punto de partida
y donde se quiere llegar, pero no los procesos mediante los que
se puede llegar" (p.17).

Las diferentes acepciones de problema señaladas
poseen aspectos psicológicos básicos como:
perplejidad, confusión, frustración, incertidumbre,
entre otros, los cuales son propios, no del problema o
situación en sí, sino del sujeto que enfrenta o
trata de resolver el problema. Es así como se entiende el
concepto de problema desde el punto de vista de la presente
investigación. No puede desligarse del aspecto
psicológico puesto que al tratar sobre resolución
de problemas es intrínseca la presencia del
solucionador.

El problema desde el punto de vista
matemático

La matemática se ha construído, en gran
parte, sobre la base de resolver problemas: el de la cuadratura
del círculo, la trisección del ángulo y la
duplicación del cubo – por mencionar sólo problemas
famosos de la antigüedad – y sus implicaciones en la
creación y desarrollo posterior de nuevas ramas de la
misma. El teorema de los Cuatro Colores y el Último
Teorema de Fermat son ejemplos de problemas matemáticos
resueltos hace poco tiempo – última década del
siglo pasado – los cuales se habían constituído en
verdaderos retos para el investigador. La Conjetura de Goldbach,
la Conjetura de Poincaré y la Hipótesis de Riemann
son ejemplos de problemas existentes en la matemática en
espera de una solución.

En apartes anteriores se definió el problema
desde diferentes aspectos: general, sociológico y
psicológico. Común a todas esas definiciones son
las ideas de obstáculo, de dificultad, de meta y de
solución del problema, con la inclusión de un
solucionador. Desde el punto de vista de la perspectiva
matemática, la definición de problema no es
diferente salvo que "está involucrada la noción de
matemática." En este sentido, Svechikev, en García
(op.cit.), lo conceptualiza como

Una narración clave en el que el valor de algunas
magnitudes está implícito y se necesita hallar otro
valor de la magnitud, dependiente de los valores dados, con los
que mantiene ciertas relaciones que están señaladas
en las condiciones del problema" (p.97).

El Módulo Tutorial sobre Resolución de
Problemas del CENAMEC (1986), en García
(op.cit.), define un problema como "una situación
que es nueva, debe ser resuelta y se llega a su solución
mediante la aplicación de herramientas matemáticas"
(p.97). De la misma manera, Parra (op.cit.) define el
problema como "una situación no resuelta donde la
matemática juega un papel fundamental para la
resolución del mismo" (p.26).

Al considerar nuevamente la importancia que tienen los
problemas en el desarrollo de la matemática, el famoso
matemático Halmos al referirse a la constitución de
ella como: axiomas, teoremas, pruebas, conceptos, definiciones,
métodos, fórmulas o teorías,
señaló, Beyer (1998):

La matemática seguramente no existiría sin
estos ingredientes; ellos son todos esenciales. Es sin embargo,
un punto de vista tentador que ninguno de ellos es el
corazón de la disciplina, que la razón principal de
existir del matemático es resolver problemas, y que, por
lo tanto, de lo que realmente consiste la matemática es de
problemas y soluciones (p.43).

Hacer matemática es resolver problemas, de
acuerdo a lo anterior. Pero esa solución o búsqueda
de ella no transita sola: se requiere un solucionador quien, en
un determinado ambiente o contexto, busque la meta a
través de aptitudes, habilidades y conocimiento. Cabe
destacar, de lo señalado, la confluencia de lo
sociológico con lo psicológico en el proceso de
resolver un problema. Es menester, sin embargo, considerar el
aspecto pedagógico del problema puesto qué en el
mecanismo de apropiación del conocimiento, en un aula de
clase, está implícito dicho aspecto.

Entre los objetivos de la investigación
está el de señalar pistas para conformar una
teoría del aprendizaje de la matemática utilizando
el constructivismo como estrategia pedagógica, de tal
forma que la consideración del problema desde el punto de
vista matemático debe llevar implícito el
componente pedagógico. Revuz, en Parra (1991), menciona
este aspecto cuando considera al problema como " un tema de
investigación de dificultad suficiente sin ser excesiva y
al cual el alumno podrá consagrar un tiempo suficiente"
(p.59).

Introducir problemas en la clase involucra varios
aspectos pedagógicos: apropiación, por parte del
alumno, de conocimientos preexistentes con el docente como
mediador; fijación de esos conocimientos al compararlos
con situaciones reales o con la estructura cognitiva propia del
aprendiz; desarrollo de aptitudes y habilidades para el
aprendizaje, entre otros. En conclusión, el problema
matemático no debe verse sólo desde esta
perspectiva: los conceptos sociológicos y
psicológicos están íntimamente relacionados
al existir un solucionador del problema en un contexto social. De
igual manera, la concepción pedagógica es parte
integral del mismo al asumirse la presencia de un docente
mediador entre conocimiento y aprendizaje.

CAPITULO III

La
resolución de problemas: una historia sin
fin

Introducción

El capítulo anterior se dedicó muy
someramente, a la par de la definición de problema, a la
presentación de las teorías o concepciones
más resaltantes y actuales acerca de la creación
del Universo y la vida en el planeta así como las
hipótesis principales sobre la creación o
aparición del hombre en el mismo.

El hecho, prácticamente indiscutible, radica en
la premisa de que el hombre desciende de un tronco común
quien en un determinado momento de su evolución
dejó una vida arborícola, definida por la seguridad
del bosque, para aventurarse a una nueva experiencia en la
sabana. Pero así como existe amplio consenso en lo
indicado, existen contradicciones e hipótesis encontradas
entre los investigadores en lo referente al "momento", al
"instante", cuando ese homínido se transformó en
hombre. Un periplo de vida de unos dos millones de años
separan ese "momento" de la aparición de las primeras
formas culturales – collares y cuentas, herramientas
líticas, ritos religiosos – en un lento proceso de
adecuación, cuyo principal motivo fue la invención
de la agricultura que transformó una sociedad
nómada en otra sedentaria.

La dispersión del hombre por el mundo conocido no
sucede en igualdad de condiciones para los diferentes grupos
existentes. En algunos casos las condiciones de medio ambiente –
nicho ecológico – y de genotipo de la especie causaron
diferentes formas o tipos de evolución tanto
biológica como cultural, produciéndose la
desaparición o extinción de algunos de esos grupos
o un mayor proceso evolutivo en otros. Ejemplo típico lo
constituye la extinción en Europa del hombre deNeardental
y su sustitución por el hombre de Crogmañón
que pertenecía a otra especie humana.

El Oriente Medio, en regiones que hoy día
constituyen los países de Egipto, Siria,
Afganistán, Pakistán, entre otros, y principalmente
Irak e Irán, la raza humana experimentó un
vertiginoso crecimiento social y cultural mayormente motivado al
desarrollo de la agricultura en la rica zona de la Mesopotamia
comprendida entre los ríos Tigris y Eufrates. Este gran
desarrollo de la actividad tanto agrícola como pecuaria,
produjo un autoabastecimiento de las sociedades sitas en dicha
región generando una nueva actividad – el comercio – al
negociarse los excedentes con poblaciones vecinas lo cual trajo
como consecuencia un mayor desarrollo social, económico y
cultural con una expansión en las artes y las
ciencias.

Las actividades científicas en estas primeras
civilizaciones se concentraron principalmente en la
astronomía y la matemática. Bell (1995)
acertadamente se refiere a este punto:

Todos los pueblos civilizados, en el transcurso de su
historia han dirigido sus esfuerzos hacia el estudio de la
matemática. Los orígenes prehistóricos de
éstos son tan ignotos como los del lenguaje y el arte, y
aún de su primera etapa civilizada solo pueden hacerse
conjeturas basándose en las características de los
pueblos primitivos de hoy (p.13).

En lo siguiente no se pretende realizar o escribir una
historia de la matemática al existir, en este sentido, una
bibliografía abundante y de excelente calidad sino
resaltar en cada una de las civilizaciones prehistóricas,
al principio, los mayores desarrollos alcanzados en el
planteamiento y solución de problemas matemáticos y
su influencia en el desarrollo posterior de la actividad y,
posteriormente cubrir desde ese mismo punto de vista, el gran
auge alcanzado por la misma durante el período griego
básicamente hasta el año 300 d.c. Prosiguiendo con
la investigación se analizará la historia de la
Resolución de Problemas matemáticos desde comienzos
de la edad media hasta los grandes descubrimientos de los siglos
XVI al XIX continuando con su desarrollo desde el siglo XX hasta
nuestros días donde se presentan diferentes facetas o
vertientes desde donde se enfoca dicha actividad.

El Problema Matemático y su
Solución en los Albores de la
Civilización

Es de amplio consenso la consideración de que la
civilización propiamente dicha comenzó con la
invención de la agricultura y con la utilización de
una forma superior de comunicación como lo es el lenguaje
escrito. La agricultura, como ya se indicó,
permitió un mayor intercambio económico con otros
pueblos la cual unida al lenguaje, ocasionó un crecimiento
de la actividad cultural y científica en los
mismos.

Las primeras civilizaciones propiamente dichas de las
cuales se tiene noticia, en occidente, datan de unos 6.000
años a.c – alrededor de 4.000 años después
de la aparición de la agricultura. Sin embargo, algunos
descubrimientos recientes en el occidente de la India ponen en
duda lo antes señalado al datarse algunos restos
arqueológicos hasta el 8.000 a.c – hacia el final de la
última glaciación – aún cuando este hecho no
es compartido por la totalidad de los arqueólogos. Las
civilizaciones de las cuales se tienen los más antiguos
registros matemáticos son: la mesopotámica
– incluida Sumeria y Babilonia – hacia el 5.700 a.c y, la
egipcia hacia el 4.300 a.c. Al referirse a estas
civilizaciones, Bell (op.cit.) se pronuncia de esta
forma:

Por el año 5.700 a.c los sumerios, predecesores
de los babilonios semíticos, empezaron a contar su
año a partir del equinoccio de primavera. Mil años
más tarde, el primer mes del año recibió el
nombre de Toro, estando el sol en la constelación de
Taurus en el equinoccio de primavera hacia 4.700 a.c. De esta
manera los habitantes de Mesopotamia debieron de haber tenido una
aritmética elemental útil (p.35).

Como fue mencionado, el auge del comercio entre los
pueblos mesopotámicos y otros, ya no tan cercanos,
ocasionó un intercambio cultural más rápido
y dinámico. Hacia el 2.500 a.c ya los sumerios estaban
familiarizados con pesas y medidas utilizando una base de
numeración sexagesimal – base 60 – con algo del sistema
decimal – base 10. En este sistema el valor dependía de la
posición y así, con los adecuados caracteres
cuneiformes, en Bell (op.cit.):

17, 35; 6, 1, 43 en que el punto y coma indica el
principio de la parte fraccionaria significa 17 x 60 + 35 + 6/60
+ 1/602 + 43/603 … de acuerdo con el humor del escriba, un
espacio en blanco podía o no indicar la falta de la
potencia correspondiente de 60. (p.40).

Los babilonios por su parte contribuyeron a la
aritmética de este período configurando tablas
matemáticas donde tabulaban 1/n para enteros
n llevados a base 60. Otro aporte babilonio lo
constituyó las tablas de multiplicar para diferentes
multiplicadores las cuales convenientemente utilizadas,
servían para calcular raíces cuadradas.

En el transcurso del tiempo la civilización
sumeria es absorbida por la babilonia con todo su bagaje de
conocimientos produciéndose lo que muchos historiadores de
la matemática han considerado el adelanto más
notable en el desarrollo de las matemáticas cual es la
demostración aún cuando otros consideran que
no existió como tal sino como una "intuición
muda".

Diversos problemas fueron legados por los babilonios los
cuales lograron sobrevivir hasta nuestros días gracias al
hecho de haber sido escritos en tablas de arcilla. Algunos de los
más importantes tal vez hayan sido: resolución de
ecuaciones del tipo x3 + ax2 + b = 0; sistemas de ecuaciones
lineales con dos incógnitas; ecuaciones simultáneas
de segundo grado del tipo pq = 600, (ap + bq)2 + cp + dq = e;
ecuaciones de segundo grado donde obtenían una sola
raíz aún cuando hay un ejemplo donde se dan las dos
raíces positivas.

Respecto a la geometría y el análisis, los
babilonios resolvían problemas relativos a cilindros
rectos y troncos piramidales. Así mismo ya era conocido
por ellos lo que después se llamaría el Teorema de
Pitágoras y, lo que Bell (op.cit.) denomina "el
vestigio registrado más antiguo que se posee sobre los
orígenes del análisis matemático: los lados
de los ángulos correspondientes de triángulos
semejantes son proporcionales" (p.49). Grande fue realmente el
legado del pueblo babilonio al desarrollo de la matemática
en lo que respecta a la aritmética y la geometría
al punto que conocían un valor de pi como 3 lo
que permitió una medición primitiva del
círculo.

Otra civilización contemporánea con la
anterior, donde se produjo también un avance de las
matemáticas, fue la egipcia. Se sitúan los
registros más antiguos que se poseen hacia el año
4.300 a.c y se supone coinciden con la aparición del
primer calendario de 365 días por año donde se
señalaban las inundaciones periódicas del Nilo
base, por así decirlo, del progreso y auge que
experimentó este pueblo en tan temprana edad de las
civilizaciones. Bell (op.cit) confirma que "ya en 3.500
a.c los egipcios manejaban libremente números del orden de
los cientos de millar; los jeroglíficos de aquella lejana
fecha registran la captura de 120.000 prisioneros humanos,
400.000 bueyes y 1.422.000 cabras" (p.41). Así mismo se ha
adjudicado a los egipcios el hecho de ser grandes
geómetras vistas las maravillosas construcciones
realizadas – pirámides, obeliscos, templos – lo cual no
parece tan cierto a luz de recientes descubrimientos.

La geometría utilizada por dicho pueblo se basaba
en la practicidad y en la experiencia de muchos años de
construcción más que en el ingenio mostrado, por
ejemplo, por los babilonios. Se sabe como usaban una cuerda con
varios nudos espaciados regularmente para conocer, por ejemplo,
"si en un lado del triángulo había tres nudos, y en
el otro cuatro, entonces el otro lado debía tener cinco".
Ese procedimiento fue utilizado por los agrimensores egipcios
para medir las parcelas de los agricultores y determinar
así el monto del impuesto a pagar. Pero no existe ninguna
prueba para demostrar el conocimiento que el cuadrado de un lado
sumado al cuadrado del otro, en ese triángulo
rectángulo, diera como resultado el cuadrado de la
hipotenusa o Teorema de Pitágoras, como actualmente se le
conoce.

La prueba más fehaciente existente en la
actualidad del desarrollo de la matemática egipcia se
encuentra en el llamado Papiro Rhind, actualmente en el Museo
Británico, y en el Papiro Golenischev, en Moscú. En
el primero de ellos, el más conocido, un sacerdote egipcio
llamado Ahmes escribió un documento "Orientaciones para
conocer todas las cosas ocultas" – hacia 1.700 a.c – donde
presentaba una colección de problemas matemáticos
aún cuando se tiene fuerte sospecha que fue copiado de
otro anterior. En este documento pueden verse gran diversidad de
problemas donde se visualiza el tipo de matemática
utilizada por los egipcios hasta la desconcertante
petrificación y posterior desaparición de su
civilización en un hecho aún no satisfactoriamente
explicado.

Como ejemplo de la matemática egipcia se pueden
señalar algunos de los problemas contenidos en el
mencionado documento, reseñados por Newman
(1968):

· reducir expresiones de la forma 2/ 2n + 1 a
fracciones con numerador unidad, por ejemplo, 2/29 = 1/24 + 1/58
+ 1/174 + 1/232

· "distribución panes 9 para hombres 10"
lo que quiere decir "dividir 9 panes entre 10 hombres". Este
problema lo resuelven reduciendo, como se señaló,
la expresión a fracciones de unidad como numerador.
Así 9/10 = 27/30 = 2/3 + 1/5 + 1/30 ( ya era conocida la
fracción 2/3 ).

· "panes 100 para hombres 5, 1/7 de 3 superior
para hombre 2 estos inferior ¿cuál es la diferencia
de porción?. Traducido quiere decir: reparta 100 panes
entre 5 hombres, de tal modo que las porciones que reciban
estén en progresión aritmética y que 1/7 de
la suma de las 3 porciones mayores sea igual a la suma de las 2
menores ¿ cuál es la diferencia de las porciones?.
El Papiro presenta una solución como 5 1/2.

· "un granero cilíndrico de
diámetro 9 y altura 6 ¿ cuál es la cantidad
de grano que puede contener?. En su resolución se usa una
regla para determinar el área del círculo como A=
(8/9 d)2, donde d es el diámetro de la
circunferencia.(p.102)

Los problemas mostrados dan una idea del tipo de
matemática utilizada por los egipcios. Se infiere, como
señalan estudiosos del tema, que dicha matemática
era experimental y los problemas se resolvían por tanteo.
Ejemplo típico lo constituye el hecho de dividir una
circunferencia en cinco o siete partes utilizando compás:
los egipcios lo hacían en sus edificaciones. De igual modo
conocían la fórmula para calcular el volumen de un
tronco de pirámide como V = (h/3)( a2 + ab + b2 ), donde
a y b son los lados de los cuadrados de las
bases y h, la altura. Esta fórmula es considerada
la obra maestra de la geometría egipcia.

El Legado
chino-hindú

En lo señalado hasta el momento en el presente
capítulo, se ha concentrado el estudio en lo referente a
las civilizaciones mesopotámicas y egipcia sin hacer
señalamiento de otros pueblos, quizás tan antiguos
como los mencionados, donde existió también el
florecer de una cultura matemática. Pueden mencionarse en
este sentido: el pueblo Maya, en el Nuevo Continente; la
civilización hindú; las civilizaciones del Lejano
Oriente, como las más importantes.

El pueblo maya, en América Central, poseía
un sistema de numeración en base 20 así como un
calendario muy preciso que se remonta a su más lejana
antigüedad posiblemente antes de su propia existencia hacia
el 3.400 a.c.

El pueblo chino tuvo conocimientos matemáticos
como la resolución de ciertas ecuaciones numéricas
pero por su lejanía y aislamiento del mundo de la
época no fueron conocidos sino hasta ya entrada la edad
media. El texto chino de matemática más antiguo que
se conoce data del 1.105 a.c llamado Chou-péi de autor
desconocido. Contiene asuntos matemáticos presentados en
forma de diálogos parecidos a los sutras
hindúes, donde se tratan los números
místicos, las medidas y la astronomía. Algunos
ejemplos de estos diálogos son:

• El arte de los números se deriva del
  círculo y el cuadrado

• Las formas son redondas o agudas; los números
  son pares o impares. El cielo se mueve en un círculo
  cuyos números subordinados son pares; la tierra reposa
  sobre un cuadrado cuyos números subordinados son
  impares.

El libro clásico de la matemática china es
el Kiu-chang Suan-shu ó Aritmética en Nueves
Secciones, de fecha y autor desconocidos. Esta obra contiene
nueve capítulos:

• Cuadriculando las formas, donde aparecen
  fórmulas correctas para calcular áreas de
  triángulos, trapezoides y círculos.

• Cálculo de cereales, donde se tratan
  porcentajes y proporciones.

• Cálculo de reparticiones, donde se plantean
  sociedades y regla de tres.

• Cálculo de longitudes, donde se calculan
  lados de figuras incluyendo raíces cuadradas y
  cúbicas.

• Cálculo de volúmenes.

• Aligación, relativo a problemas de
  movimiento.

• Exceso y deficiencia, referido a la regla de falsa
  posición.

• Ecuación, donde se plantea la solución
  simultánea de ecuaciones lineales con alguna
  noción de determinantes.

• Triángulo recto, donde se contempla el
  triángulo pitagórico.

Como bien puede observarse eran amplios y de profundidad
los conocimientos matemáticos chinos sin que se tenga, al
igual que los pueblos babilonio y egipcio, certeza de la
utilización del método deductivo tan profusamente
desarrollado por los griegos a partir principalmente del 600
a.c.

El pueblo hindú, por su parte, desarrolló
una matemática propia pese a su cercanía con la
civilización mesopotámica hasta el punto de
considerarse que la invención del cero se debe a
ellos. Utilizaron un sistema numérico posicional el cual
fue transferido a los árabes a comienzos de la era
cristiana. La información matemática más
importante que se tiene de este pueblo se encuentra en los
vedangas los cuales forman parte de los llamados
vedas. Estos vedangas se clasifican en seis
ramas del conocimiento:

• Fonética: la ciencia de la
  articulación y pronunciación.

• Gramática.

• Etimología.

• Metronomía ó chandah: el arte
  de la prosodia

• Astronomía.

• Reglas para rituales y ceremonias ( kalpa
  ).

La información matemática contenida en los
vedangas está normalmente en forma de
sutras – parecido a los diálogos chinos – la cual
era una forma peculiar de escribir que ayuda por su brevedad y
forma poética al capturar la esencia de un argumento. Los
kalpasutras – reglas para rituales y ceremonias –
incluyen el srauta-sutra con indicaciones para construir
piras de sacrificio en diferentes épocas del año.
Parte de esta literatura tiene que ver con la medición de
esos altares de sacrificio y se conocen como sulbasutras
donde sulba se refiere a la cuerda utilizada para medir
dichos altares. La antigüedad de esta literatura no se
conoce a ciencia cierta pero los brahmanas que contienen
los kalpasutras datan del 1.000 al 800 a.c.

Realmente interesante es esta corta revisión de
la historia matemática de los pueblos tratados. Un hecho
notorio, entre otros, se refiere al conocimiento de lo que
después, en el transcurso del tiempo, se llamaría
el Teorema de Pitágoras aún cuando no existe
ningún tipo de certeza para confirmar algún tipo de
contacto físico entre dichos pueblos y sin embargo
desarrollaron una cultura matemática afín en muchos
aspectos.

La historia de la matemática es la historia de
sus problemas y su solución. Bell, en su importante obra,
mencionaba que todos los pueblos han dirigido sus esfuerzos al
estudio de la matemática. Engañoso sería
considerar su desarrollo como transcurrido por un camino suave y
mullido exento de asperezas y dificultades. Lenta al principio,
de una manera utilitaria e intuitiva, y vigorosa después,
la matemática ascendió peldaños hasta
alcanzar – antes de la era cristiana – su mayor apogeo con la
civilización griega.

Con babilonios y egipcios se accede a las primeras
formas de demostración si bien no por deducción
hipotética propiamente dicha sino por una deducción
intuitiva que asombra todavía por su contenido. En este
sentido, Jiménez (1999) indica, refiriéndose al
Papiro Rhind: "esta colección de problemas nos da una
indicación, más o menos clara, de los
métodos egipcios, pero no podemos obtener de dichos
métodos de resolución una pista, ni siquiera
difusa, acerca de sus hábitos de razonamiento
lógico" (p.99).

La matemática avanza de esta manera desde un
comienzo oscuro e inescrutable, posiblemente en el inicio mismo
de la civilización en lo que se pudiera denominar etapa
primigenia, hasta aproximadamente el 600 a.c donde, con la
civilización griega, se produce una eclosión del
pensamiento matemático. Es un plantear y resolver
problemas quien produce este inexorable avance como lo confirma
Wiles, solucionador del Ultimo Teorema de Fermat, cuando apunta
en Jiménez (op.cit.): "un buen problema
matemático se define más por la matemática
que genera que por él mismo" (p.86).

El álgebra y la geometría, y hasta
rudimentos de análisis, tuvieron su origen en estas
civilizaciones: resolución de ecuaciones
simultáneas, potenciación y radicación,
cálculo de áreas y volúmenes,
intuición de los irracionales incluyendo el número
pi, son sólo algunos de los legados de estos
pueblos. Pudiera decirse que las técnicas de
resolución de problemas matemáticos tienen su
origen en esta época – desarrolladas extraordinariamente
con posterioridad por los griegos – cuando al decir de Bell
(op.cit.):

Un problema relativamente difícil es reducido por
transformaciones reversibles a otro más fácil de
resolver; la solución de este último se enlaza
entonces con la del anterior y con la de todos los problemas de
los que es el tipo. La reducción babilónica de las
ecuaciones de tercer grado parece ser el primer caso registrado
de esta metodología" (p.45).

La Matemática
Griega

Ha sido señalado con certeza el gran desarrollo
experimentado por esta ciencia a partir de la civilización
griega tomando como punto de partida el siglo VI a.c con la
figura legendaria de Thales de Mileto (627 a.c – 546
a.c). Este personaje, comerciante, dedicó gran parte de su
tiempo a realizar viajes por Egipto y el Oriente Medio
ilustrándose, se supone, con los conocimientos
matemáticos de esos pueblos. Diversos teoremas se
atribuyen a su autoría:

• Un círculo es bisecado por su
  diámetro.

• Los ángulos de la base de un triángulo
  isósceles son iguales.

• Si dos líneas rectas se intersecan, los
  ángulos opuestos que se forman son iguales.

• Si dos triángulos tienen dos ángulos y
  un lado iguales, los triángulos son iguales en todo
  sentido.

Rodríguez (1994) se refiere a este personaje de
la siguiente manera:

Con Tales observamos el concepto de proporción,
representación y si se quiere, demostración.
Recordemos que a Kant le impresionó la demostración
de Tales de la igualdad de dos ángulos del
triángulo isósceles. La demostración, en
principio, también lo enseña Tales, va unida a la
representación, la que a su vez es inseparable de nuestra
visión (p.31).

Cabe notar en lo reseñado por Rodríguez
que con Thales se accede a una de las primeras formas de
resolución de problemas matemáticos cual es la
representación gráfica. Se conjetura que
esta forma de demostración la utilizó para calcular
la altura de la Gran Pirámide cuando se encontraba en
Egipto, al establecer una aplicación de triángulos
semejantes a la sombra de la pirámide y la de su cayado
cuando lo sostenía perpendicular al suelo. Otro ejemplo de
esta forma de resolución lo constituye la medición
de la distancia entre un barco y la costa.

Contemporáneo con Thales se tiene la presencia de
Pitágoras de Samos (570 a.c -480 a.c) al cual se
le atribuyen diversos teoremas:

• La suma de los ángulos de un triángulo
  suman dos ángulos rectos.

• Teorema de Pitágoras

• Descubrimiento de los irracionales.

• Definición de cinco sólidos regulares
  – poliedros.

• Desarrollo y uso del álgebra
  geométrica lo que permitió resolver ecuaciones
  del tipo x2 + x + 1 = 0 y x3 + x2 +x + 1 = 0.

Prolija y extensa fue la obra de este matemático
en esta época de comienzo del desarrollo de la
matemática occidental. Relaciona los tonos de las notas
emitidas por cuerdas de una misma clase con las longitudes de las
mismas lo que constituye el primer problema de la
física-matemática. Este descubrimiento le lleva a
pensar que el Universo se rige por los números –
matematización de los fenómenos naturales – y junto
a la matemática como sistema deductible planteada por
Thales, constituyen los avances más notables de esta
primigenia fase de la matemática griega. En lo que
respecta a la resolución de problemas, como señala
Rodríguez (op.cit.) "accedemos a una nueva
técnica matemática, el principio de
reducción al absurdo como consecuencia de la
determinación del carácter inconmensurable de la
raíz cuadrada de dos" (p.32).

Posterior a Pitágoras, Hipócrates de
Chios (470 a.c – ¿ a.c) demostró la fuerza,
como método de solucionar problemas, de la técnica
del método indirecto o reductio ad absurdum como
deducción de una contradicción partiendo de una
hipótesis supuesta que se quiere refutar. Bell
(op.cit.) se refiere así al método: "la
validez universal de este método permaneció
inalterable hasta el siglo XX, cuando se hicieron objeciones a
usarlo sin discernir al razonar sobre clases infinitas"
(p.67).

Zenón de Elea (485 a.c – 430 a.c), con
sus famosas paradojas, marcó un determinante avance en la
matemática al señalar la indivisibilidad infinita
del espacio y tiempo lo cual con el devenir del tiempo se
constituiría en el principio de continuidad. De gran
agudeza filosófica y de gran ingenio matemático son
las dos primeras de estas aporías: la pista de
carreras y Aquiles y la tortuga. En ellas indica
que para alcanzar una determinada meta es necesario recorrer
primero la mitad de la distancia, después la mitad de la
mitad faltante, y así sucesivamente por lo cual no era
posible alcanzar dicha meta. Este hecho le llevó a
concluir que al haber infinitos puntos en una línea dada
no podían tocarse, uno a uno, en un tiempo
finito.

Las otras dos paradojas de Zenón
plantean, Bell (op.cit.), "si espacios y tiempos finitos
contienen solamente un número finito de puntos e
instantes, deducimos de nuevo una consecuencia que contradice la
experiencia" (p.73). Se puede observar en las paradojas de
Zenón el uso del método deductivo
hipotético y la reducción al absurdo para la
resolución del problema.

Sócrates (470 a.c – 399 a.c) no
pertenece a la pléyade de matemáticos de la era de
oro puesto que sencillamente, no lo era: era filósofo. No
dejó obras escritas y sólo se conoce su existencia
a través de otros personajes: el comediógrafo
Aristófanes quien lo ataca en su obra Las Nubes (423 a.c);
el filósofo Jenofonte, quien lo nombra en su obra
Memorables de Sócrates; y su discípulo
Platón, quien lo incluye en sus
Diálogos.

La razón de incluir a Sócrates en
este periplo por la matemática griega obedece al hecho de
desarrollar un método de enseñanza transferible a
la resolución de problemas matemáticos. En este
método interroga a la par de enseñar –
ironía socrática – para descubrir lo que
su aprendiz creía ignorar – mayéutica o
arte de iluminar los espíritus – haciéndolo avanzar
en el descubrimiento de la verdad – dialéctica.
Este método de enseñanza puede ser ampliado y mejor
entendido al revisar las palabras de González (1995
a):

Sócrates para hallar la verdad, planteó un
método cuyo propósito no es confundir al adversario
sino ayudarlo en su búsqueda cognoscitiva; este
método consiste en extraer del espíritu, mediante
una serie de interrogantes, la verdad que se sabe oscuramente. En
una primera etapa se da por supuesta la verdad de las
afirmaciones del interlocutor para luego obligarlo con
hábiles preguntas a deducir conclusiones lógicas
pero falsas que lo llevan a reconocer su error, en una especie de
reducción al absurdo. Posteriormente, también
mediante la formulación de un interrogatorio, se ayuda al
interlocutor a descubrir por si mismo la verdad que yacía
en su espíritu (p.147).

La mayéutica socrática, como
trascendió en el tiempo este método de
enseñanza, constituye otro hito en la larga historia de la
resolución de problemas lo cual se infiere del
Diálogo de Platón, Menón, en el cual
Sócrates conduce heurísticamente a un
esclavo a que determine el lado de un cuadrado de área
doble a la de uno dado en una especie de constructivismo
pedagógico.

Platón (427 a.c – 348 a.c) trasciende a
la historia con su filosofía la cual presenta en sus
Diálogos – unos 30 – donde enfrenta sus adversarios con
Sócrates. Era firme creyente en que un sólido
conocimiento de la geometría y la matemática era
esencial para entender la verdadera dirección de la
filosofía al considerar que podían constituir una
base para iluminar en la mente ideas no notadas de otra
forma.

Definió dos métodos intelectuales para el
desarrollo del pensamiento geométrico y matemático.
En el primer método, se inicia planteando una
hipótesis sin agregar hipótesis adicionales pero en
su lugar se construyen diagramas e imágenes hasta que se
puede rechazar o probar dicha hipótesis. En el segundo
método, la hipótesis original se construye con
un número adicional de hipótesis hasta alcanzar un
principio donde no hay nada hipotético; cuando se le
alcanza es posible retroceder a las etapas previas y probar la
hipótesis. En Platón se observa, como se
señaló en sus métodos, la utilización
de diagramas e imágenes como ayuda para la
resolución de un problema; así mismo, un enfoque
deductivo-hipotético en la solución de los
mismos.

Aristóteles de Estagira (384 a.c – 322
a.c), discípulo de Platón, fue el creador del Liceo
de Atenas y de toda una obra filosófica basada en la
lógica formal que signaría esta ciencia hasta el
siglo XIX. En Rodríguez (op.cit.) puede
leerse: