Una aproximación teórica a la resolución de problemas matemáticos (página 3)

El mismo Aristóteles afirma que el inventor de la
Lógica fue Sócrates con lo que quiere reconocer que
el origen de su trabajo, la exposición formal, la
reducción a silogismos de aspectos del lenguaje, hay que
buscarlo precisamente en los diálogos socráticos
(p.32).

Aristóteles no fue un matemático
propiamente dicho pero hizo importantes contribuciones a la misma
al sistematizar la Lógica Hipotético- Deductiva.
Consideró la matemática como una de las tres
ciencias teóricas junto con la filosofía y la
física teórica y reconoció la importancia de
su estudio, como lo indican O`Connors y Robertson (2003):
"pensó que un hombre no podía reclamar el
conocimiento de una materia a menos que fuera capaz de
trasmitirlo a otros…" Así mismo Heath, en O`Connors y
Robertson (op.cit.), apunta "la importancia de una
verdadera comprensión de las matemáticas en
Aristóteles radica principalmente en el hecho que la
mayoría de sus ilustraciones del método
científico son tomadas de la
matemática".

Euclides de Alejandría (365 a.c – 300 ?
a.c), discípulo de Platón, escribió la obra
matemática, al decir de muchos historiadores de la misma,
más grande de todos los tiempos al punto de trascender
hasta nuestros días sin mayores cambios. Se tiene poca
información de su vida y lo que se sabe es principalmente
por Arquímedes, quien lo menciona en su obra y, por Proclo
en el 450 d.c. Existen tres teorías principales acerca de
la existencia de este personaje: la primera considera realmente
su existencia como tal y fundó una escuela en
Alejandría; la segunda considera su existencia y la
continuación de su obra por parte de sus discípulos
escribiendo los últimos tomos de Los Elementos; y, la
tercera sostiene que su vida fue una invención como la
realizada por Weil, Dieudonné, Cartan, Chevalley y
Grothendieck cuando escribieron numerosos artículos y
trabajos bajo el seudónimo Bourbaki. Las más
recientes investigaciones se inclinan por la primera de las
hipótesis señaladas.

Los Elementos comienzan con las definiciones de punto,
línea, superficie, ángulo, entre otras, y cinco
postulados que constituyen la Geometría Euclídea.
Entre ellos, el estudio y negación del V Postulado
desembocó en el nacimiento, en el siglo XIX, de las
geometrías no-euclídeas. El método utilizado
para las demostraciones de sus teoremas fue el deductivo. En este
sentido, González (op.cit.) acota:

Para la demostración de sus teoremas
Euclídes recomendaba comenzar por peguntarse
¿qué se pide? ¿qué se busca?,
aclarado esto procedía a realizar una
representación gráfica de la situación
introduciendo líneas auxiliares si ello resultaba
necesario; finalmente, efectuaba la verificación
correspondiente (p.146).

Puede notarse en esta forma de enfrentar un problema una
primera aproximación a lo que en el futuro
constituirían las técnicas de resolución de
problemas. Rodríguez (op.cit.) se refiere a ello:
"con Euclídes accedemos a la formalización que se
convertirá a lo largo de la historia del pensamiento
matemático en un método legitimador por excelencia
del saber matemático" (p.32).

Arquímedes de Siracusa (287 a.c – 212
a.c) fue uno de los grandes matemáticos griegos de la
época de oro la cual prácticamente culmina con
Apolonio de Perga hacia el 200 d.c. La obra de este genio que con
mayor exactitud ha llegado hasta nuestros días es El
Método donde presenta una aproximación al valor del
número pi como 3.1428… al señalar la
relación entre el área del círculo y el
cuadrado de su diámetro como 11 : 14. Bell
(op.cit) señala así: "toda la obra de
Arquímedes se caracteriza por el rigor, la
imaginación y la fuerza. Puede llamársele
correctamente el segundo físico-matemático en la
historia y uno de los más excelsos. El primero fue
Pitágoras" (p.84). Utilizó el método de
exhaución para demostrar la cuadratura de la
parábola produciéndose el descubrimiento del
cálculo integral.

Por medio de la mecánica demostró algunos
de sus teoremas aún cuando, en este sentido señala
Jiménez (op.cit.), al referirse a
Arquímedes:

Yo mismo, algunas de las cosas que descubrí
primero por vía mecánica, las demostré luego
geométricamente, ya que la investigación hecha por
este método no implica verdadera demostración. Pero
es más fácil, una vez adquirido por este
método un cierto conocimiento de los problemas, dar luego
la demostración, que buscarla sin ningún
conocimiento previo (p.137).

La época de oro de la matemática griega
prácticamente culmina su esplendor con la obra de Apolonio
relativa a las cónicas produciéndose un ligero
despertar o último estertor, según se mire, con
Ptolomeo, Herón, Pappus y Diofanto cubriendo un
período hasta aproximadamente el siglo III de nuestra era.
Una posible razón de este hecho, lo constituye la
absorción de Egipto por Roma hacia el 30 a.c y la
creciente presión de la cultura romana sobre el resto del
mundo.

Inmenso, realmente grande, fue el legado de la
matemática griega al resto del mundo occidental. Con la
presentación y resolución de problemas y teoremas,
a lo largo de casi cinco siglos, desde Thales y Pitágoras
hasta Apolonio, se sentaron las bases de lo que serían las
"matemáticas modernas": la geometría proyectiva y
diferencial, el cálculo de variaciones, el cálculo
integral, la continuidad infinita, la teoría de
números, entre otras. Sería sumamente largo y
extenso, lejos del objetivo de la investigación, enumerar
y analizar los alcances de la matemática griega de este
período fuera del contexto de la resolución de
problemas.

La Matemática Post –
Helénica

La matemática, después del siglo III de
nuestra era, entra en un período de aletargamiento como
bien lo señala Turnbull (1968):

Después de la muerte de Pappus, la
matemática griega y, en realidad, la europea,
permaneció inactiva por casi mil años. La historia
de la ciencia pasó, casi en su totalidad, a la India y
Arabia; y la introducción de la notación decimal de
la India en Europa fue, con mucho, el acontecimiento más
importante de este largo período (p.45).

En este mismo sentido se pronuncia Jiménez
(op.cit) :

la matemática vivió una larga noche
durante los siglos de la dominación romana; larga noche
que comenzó a iluminarse por las aisladas hogueras
prendidas por los divulgadores árabes que devolvieron a
Europa el legado griego. A partir de aquí se puede
observar que los países que empiezan a gozar de
importantes resurgimientos culturales, se hacen cada vez
más fuertes en matemática (p.127).

Ciertamente fue muy larga la noche experimentada en el
desarrollo de la matemática. La asunción de Roma al
trono del mundo – siglo I a.c; las contínuas invasiones
bárbaras a occidente; la división del imperio en
Occidente y Oriente; la caída de Roma – siglo V d.c; la
destrucción de Alejandría y su famosa biblioteca
hacia el 642 d.c, son algunos de los hechos resaltantes que
permitieron el sueño de la matemática durante esa
larga noche. Otro aspecto resaltante, en este mismo sentido, lo
constituyó el hecho del poder absolutista de los Papas de
la Iglesia Católica los cuales ejercieron un amplio poder
directo o indirecto sobre reyes y monarquías en todo el
transcurso de la Edad Media y quienes, en un dogmatismo
tergiversado, condenaron al ostracismo de los conventos todo lo
relacionado con el estudio de las ciencias. Harto conocido es el
hecho de la condena de Copérnico por la Santa
Inquisición al negarse a aceptar el sistema ptolomeico,
dogma de fe de la Iglesia, cuando tuvo la osadía de
criticarlo.

Este aspecto se explicita muy bien en las palabras de
Bell (op.cit) al referirse al período de la media
edad media:

Se había olvidado por completo la importancia de
las matemáticas como sistema deductivo. Puesto que la
ciencia se había hundido hasta el nivel de la
superstición, la otra mitad de la visión
pitagórica no sobrevivía sino en los
fantásticos absurdos de la numerología sagrada y
profana, ya que el número reinaba en el oscuro universo de
la Europa de la Edad Media (p.99).

Si algo puede considerarse como desarrollo de la
matemática durante la dominación musulmana en
Europa a partir del 711, fue el hecho de llevar consigo las
traducciones de la aritmética y álgebra
hindú y griega las cuales, a su vez, fueron traducidas al
latín por algunos eruditos europeos. No hay nada, al decir
de historiadores de la matemática, que valga realmente la
pena en el progreso de esta ciencia en este oscuro período
de la historia de la humanidad. No es sino hasta el siglo XVI
cuando comienzan a asomar las mentes matemáticas de
diversos pensadores quienes iniciaron el avance o desarrollo que
actualmente posee esta ciencia. La transición entre una
matemática que parece fenecer y otra la cual pugna por
nacer, no es espontánea. Durante la Edad Media – a partir
del siglo VIII – la matemática conserva su
formación hindú-griega-árabe con un
álgebra retórica y, en algunos casos sincopada,
donde no hay mayor crecimiento o desarrollo salvo contadas
excepciones como el caso de Leonardo de Pisa o
Fibonacci.

El verdadero despertar o renacer de la matemática
ocurre hacia finales de la Edad Media por una serie de razones
singulares las cuales se venían gestando desde tres o
cuatro siglos antes, como fueron: la formación de ciudades
a partir de los burgos quienes promovieron el desarrollo de las
artes y las ciencias; la aparición de una nueva clase
social – la burguesía – la cual reclamó el mismo
derecho al estudio que la realeza; la creación de las
universidades a partir de las escuelas catedralicias donde se
enseñaban los conocimientos antiguos y actuales; la
aparición de una nueva forma de trabajo como fue la de
educador o profesor y, hacia finales de esa era oscurantista: el
resurgimiento de ciencias y artes con el Renacimiento; los viajes
de descubrimiento quienes permitieron un enriquecimiento con
culturas foráneas y la invención de la imprenta que
permitió el acceso a los trabajos de investigación
en forma más universal.

Nombres como Ferro (1465-1526) , Fontana o Tartaglia
(1500-1557) , Cardano (1501-1576), Copérnico (1473-1543),
Viéte (1540-1603), Napier (1550-1617) , Galileo
(1564-1642), Kepler (1571-1630), Cavalieri (1598-1647), son solo
algunos de los más importantes científicos:
matemáticos, astrónomos o físicos que
cubrieron con su conocimiento la ciencia del Renacimiento en el
siglo XVI. Específicamente en la matemática:
resolución de ecuaciones cúbicas y
cuárticas, matemática aplicada, perfeccionamiento
de la notación algebraica, los logaritmos, la
notación exponencial, perfeccionamiento de la
geometría, astronomía dinámica, son solo
algunos de los adelantos matemáticos en esta época.
Con Viéte se accede a la notación simbólica
en el álgebra y a la transición de lo particular a
lo general que tantos avances produjo en la matemática de
la época. Su método de resolución de
problemas consistía en, Bell (op.cit) "reducir un
problema no resuelto a la solución sucesiva de problemas
ya solucionados" (p.129).

Este principio de desarrollo, iniciado por los
mencionados, deja el escenario servido a los grandes pensadores –
filósofos y matemáticos – del siglo siguiente:
Desargues (1593-1662) , Descartes (1596-1650) , Fermat
(1601-1665) , Pascal (1623-1662) , Wallis (1616-1703) , Barrow
(1630-1677) , Newton (1642- 1727) , Leibnitz (1646-1716) ,
Jacques Bernoulli (1654-1705) , Johan Bernoulli (1667-1748), son
sólo algunos de esos grandes pensadores que tanto y tan
maravilloso conocimiento aportaron al desarrollo de la
ciencia.

A partir del siglo XVII se inicia el gran desarrollo de
la matemática el cual ha continuado ininterrumpidamente
hasta nuestros días. En lo que continúa y siguiendo
los objetivos de la investigación, el trabajo se
circunscribirá al estudio histórico de la
resolución de problemas dejando de lado todos esos
magníficos descubrimientos y adelantos experimentados por
la matemática a partir del siglo mencionado.

Con Descartes (1596-1650) puede
señalarse el comienzo de la historia moderna de la
resolución de problemas, como metodología. Su gran
obra: El Discurso del Método o El Discurso, plasma la
grandeza de su pensamiento que se constituiría en una
filosofía – el racionalismo – que tanta influencia tuvo y
aún conserva en el pensamiento científico humano.
Esta obra, a la par de Las Reglas para la Dirección de la
Mente, las escribe hacia 1628-1629 si bien la primera en
publicarse es El Discurso el cual forma un volumen junto con la
Dióptrica, los Meteoros y la Geometría.

Su filosofía puede resumirse, como lo
señala Rodríguez Huéscar (1983) en el
prólogo del Discurso del Método, en lo siguiente:
"he aquí que de lo único que no puedo dudar, por
más que apure y extreme mi voluntad de hacerlo, es de que
estoy dudando. Pero dudar es pensar, y pensar es ser. Estoy
dudando, estoy pensando; luego soy, existo" (p.25). Esta frase
recogida como cogito ergo sum muestra el principio
fundamental de la filosofía cartesiana y le
permitió establecer los preceptos principales con los
cuales pretendía resolver cualquier problema de la vida,
incluyendo los matemáticos, como se desprende de lo
comentado por el propio filósofo en su obra fundamental –
El Discurso (1983):

en lugar de ese gran número de preceptos de que
la lógica está compuesta, creí yo que
tendría bastante con los cuatro siguientes… era el
primero no aceptar nunca cosa alguna como verdadera que no la
conociese evidentemente como tal, es decir, evitar cuidadosamente
la precipitación y la prevención y no admitir en
mis juicios nada más que lo que se presentase a mi
espíritu tan clara y distintamente, que no tuviese
ocasión alguna de ponerlo en duda. El segundo, dividir
cada una de las dificultades que examinase en tantas partes como
fuera posible y como se requiriese para su mejor
resolución. El tercero, conducir ordenadamente mis
pensamientos, comenzando por los objetos más simples y
fáciles de conocer para ascender poco a poco, como por
grados, hasta el conocimiento de los más complejos,
suponiendo, incluso, un orden entre los que no se preceden
naturalmente. Y el último, hacer en todas partes
enumeraciones tan completas y revistas tan generales que
estuviese seguro de no omitir nada (pp.59-60).

Al referirse a la matemática,
específicamente el análisis geométrico y el
álgebra, y la forma de resolver problemas relativos a
ellos por medio del Método, Descartes (op.cit.)
hace la siguiente aseveración:

me atrevo a decir que la exacta observación de
estos pocos preceptos que había elegido me dio tal
facilidad para desentrañar todas las cuestiones a que
estas dos ciencias se extienden, que en dos o tres meses que
empleé para examinarlas, habiendo comenzado por las
más simples y generales, y constituyendo cada verdad que
encontraba una regla que me servía después para
encontrar otras, no solo resolví varias que había
juzgado antes como muy difíciles, sino que, al final, me
pareció también que podía determinar,
aún en las mismas que ignoraba, porqué medios y
hasta donde era posible resolverlas (p.61).

Este método fue, por decirlo así,
desglosado en su obra Reglas para la Dirección de la Mente
donde presenta veintiuna de ellas con información precisa
de los pasos a seguir para resolver algún problema. Con
ellas y los preceptos del Método, Descartes sienta las
bases de lo que a la vuelta de unos tres siglos,
constituirían las heurísticas de resolución
de problemas.

Hacia 1600 – comienzos del siglo XVII – se afirma con
Bacon una corriente filosófica en la cual se propone que
toda ciencia ha de basarse en la experiencia como única
forma de conocer. Esta corriente – empirismo – fue llevada a su
máxima expresión por Hume hacia 1740 cuando
afirmaba que todo conocimiento proviene de la experiencia ya sea
la externa – los sentidos – o la interna la cual llamó
autoexperiencia – reflexiva – en oposición al racionalismo
cartesiano. Estas corrientes filosóficas, primero el
racionalismo y luego el empirismo, signan la investigación
científica de los siglos XVII al XIX pasando por el
apriorismo de Kant que concluye con el idealismo donde lo
importante es el sujeto cognoscente.

Hacer mención a las corrientes filosóficas
de estos siglos es de singular importancia puesto que las mismas
señalaron la pauta para la creación
científica en general y la matemática, en
particular. En esencia, es el racionalismo cartesiano con los
preceptos del Método quien señala las pautas a
seguir en la creación de conocimiento de la época
hasta mediados del siglo XIX con el Positivismo de Comte el cual
se consolida en el primer cuarto del siglo XX con el Positivismo
Lógico y Neopositivismo. Para esta época, dos de
sus más grandes exponentes matemáticos fueron
Poincaré (1854-1912) y Hadamard (1865-1947). Respecto a
Poincaré, Miguel de Guzmán (op.cit.) se
manifiesta así:

Es el gran ejemplo de matemático convencido de
que las formas propias del pensamiento matemático
presentan influencias profundas para el conjunto de la cultura
humana. Poincaré no solo enriqueció muchas ramas de
la ciencia matemática, la mecánica, la
astronomía, la física… sino que los mismos
psicólogos en uno de los congresos más importantes
de principio de siglo, le pidieron que los iluminara sobre la
naturaleza de la invención matemática.

En González (op.cit) se encuentra,
referido a este matemático, lo que pudiera considerarse
una heurística de resolución de problemas cuando
afirmaba:

La creación o invención matemática
atraviesa varios momentos: una actividad consciente y prolongada,
seguida de un período de descanso durante el cual resulta
muy conveniente dedicarse a otra cosa, dejando que el
inconsciente trabaje libremente; es durante este período
cuando puede producirse una súbita iluminación del
pensamiento ( cuando se prende el bombillo) y, repentinamente,
surge una idea que puede conducir a la solución; cuando
esto ocurre se vuelve al esfuerzo consciente, tratando de
verificar que la idea repentina efectivamente funciona
(p.147).

Respecto a Hadamard, de Guzmán (op.cit.)
señala: "se encargó de continuar y profundizar la
labor de Poincaré con su magnífico trabajo
Psicología de la Invención en el Campo
Matemático". En esta obra Hadamard detalla más el
proceso creativo del matemático y así lo confirma
González (op.cit.) cuando se refiere a su
heurística de varias etapas:

a) documentación (informarse, leer previamente,
discutir); b) preparación (jugar con los datos, tratar
conscientemente varias vías, diversas hipótesis,
dar marcha atrás, reiniciar el razonamiento con nuevas
hipótesis; si no tenemos éxito, es recomendable
detenerse por algún momento y dedicarse a otra cosa, por
ejemplo, tocar violín (como lo hacía Einstein); c)
incubación (dejar que trabaje el inconsciente); d)
iluminación (estar atento a la idea repentina, al eureka
arquimedeano, al encendido del bombillito); e)
verificación (someter a análisis, comprobar,
probar, verificar la idea repentina); f) conclusión
(formular resultados) (pp.147-148).

La Resolución de Problemas en
el Siglo XX

Los comienzos del siglo XX se enriquecen con las ideas
del filósofo norteamericano Dewey (1859-1952) quien
publica en 1909 su obra titulada How we Think – Cómo
pensamos – en la cual plasma su pensamiento reflexivo como un
objetivo de la educación. Este trabajo constituyó
el primer intento, en la educación norteamericana, de
plantear la resolución de problemas como un
propósito importante del currículo. Tan grande fue
la importancia del pensamiento reflexivo – razonamiento
crítico o reflexivo – que constituyó la base
epistemológica de la doctrina pragmática con su
marcada influencia en los Estados Unidos y el mundo en la primera
mitad de siglo pasado.

Los postulados del razonamiento crítico de Dewey
pueden sintetizarse en:

• El encuentro que tiene el hombre al moverse
  activamente por la vida con un problema.

• Intelectuación de la situación
  problemática.

• Inventario de las posibles soluciones.

• Puesta en práctica de la posible
  solución.

• Comprobación de la
  solución.

Al referirse al pensamiento reflexivo de Dewey,
González (op.cit.) señala los pasos a
seguir en la resolución de un problema:

• a) Definir el problema.

• b) Considerar las condiciones que envuelve el
  problema.

• c) Formular hipótesis para la posible
  solución del problema.

• d) Considerar el valor probable de las
  diferentes hipótesis.

• e) Definir en relación a cuál es
  la mejor idea para la solución del problema
  (p.254).

Los comienzos de siglo fueron fuertemente influenciados
por el Positivismo Lógico o Neopositivismo y el
Pragmatismo como doctrina de esa filosofía. Igualmente, en
el campo de la psicología, surgió una corriente
conocida como Conductismo gracias a los trabajos de Hull, Tolman
y Skinner quienes pretendieron establecer reglas fijas para
relacionar el estímulo con la respuesta de tal forma que
se pueda prever el comportamiento si se conoce el
estímulo.

En la continuación de esta revisión
histórica acerca de la resolución de problemas se
seguirá el orden establecido por Perales
(op.cit.), quien indica en su investigación
cuales han sido las distintas corrientes psicológicas que
la han acogido:

Psicología conductista.

Psicología de la Gestalt.

Psicología cognitiva: teoría del
procesamiento de la información.

Psicología cognitiva: teoría de
Piaget.

Psicología cognitiva: constructivismo
(p.171).

Psicología
conductista

El conductismo nace en América con los
trabajos de Watson (1878-1958) como una reacción contra el
estructuralismo de Hundt (1832-1920) y Titchener
(1867-1927) y el funcionalismo de James (1842-1910) ,
Dewey (1859-1952) y Carr (1873-1954) , principalmente.
Aragón (2001), al referirse a esta corriente
psicológica, afirma que su objetivo es "teniendo un
estímulo (E), poder producir la respuesta ( R ) o,
conociendo una respuesta, poder inferir el estímulo que la
produjo" (p.46).

En el marco de esta Psicología del aprendizaje y
relacionado con la solución de problemas, Perales
(op.cit.) acota: "las primeras investigaciones se
basaron en la identificación – a través de la
observación – de las estrategias de resolución de
problemas empleadas por distintas personas en un intento de
buscar similitudes entre ellas" (p.172). Siguiendo este enfoque,
Wallas, en González (1981), presenta un método de
resolución de problemas conformado por cuatro etapas:
preparación o acumulación de la información;
incubación o apartarse temporalmente del problema;
iluminación o un darse cuenta repentino – el eureka
arquimedeano; y el hallazgo de la solución.

Contemporáneo al anterior, Polya, en Contreras
(op.cit.), "anunció, en 1931, en Zurich, ante la
Sociedad Suiza de Profesores de Matemática, un nuevo
método de enseñanza bajo el título
¿cómo buscar la solución de un problema de
matemáticas?" (p.149); este trabajo fue publicado
posteriormente en su obra How we solve it en 1944. Esta
obra de Polya es quizás la investigación sobre
resolución de problemas que más influencia ha
ejercido en esta área de la matemática. La
mayoría de los modelos propuestos y las investigaciones
realizadas en dicha área han recibido, en mayor o menor
grado hasta el presente, la decidida influencia de la
metodología de Polya.

Este método, Polya (1987), consiste
en:

Comprender el problema

·) ¿Cuál es la incógnita?
¿Cuáles son los datos?

·) ¿Cuál es la condición?
¿Es la condición suficiente para determinar la
incógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante?
¿Contradictoria?

Concebir un plan

·) ¿Se ha encontrado con un problema
semejante? ¿O ha visto el mismo problema planteado en
forma ligeramente diferente?

·) ¿Conoce un problema relacionado con
éste? ¿Conoce algún teorema que le pueda ser
útil? Mire atentamente la incógnita y trate de
recordar un problema que le sea familiar y que tenga la misma
incógnita o una incógnita similar.

·) He aquí un problema relacionado al suyo
y que se ha resuelto ya. ¿Podría usted utilizarlo?
¿Podría utilizar su resultado?
¿Podría emplear su método? ¿Le
haría falta a usted introducir algún elemento
auxiliar a fin de poder utilizarlo?

·) ¿Podría enunciar el problema en
otra forma? ¿Podría plantearlo en forma diferente
nuevamente? Refiérase a las definiciones.

·) Si no puede resolver el problema propuesto,
trate de resolver primero algún problema similar.
¿Podría imaginarse un problema análogo un
tanto más accesible? ¿Un problema más
general? ¿Un problema más particular? ¿Un
problema análogo? ¿Puede resolver una parte del
problema? Considere sólo una parte de la condición;
descarte la otra parte; ¿en qué medida la
incógnita queda ahora determinada? En qué forma
puede variar? ¿Puede usted deducir algún elemento
útil de los datos? ¿Puede pensar en algunos otros
datos apropiados para determinar la incógnita?
¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar
la incógnita o los datos, o ambos si es necesario, de tal
forma que la nueva incógnita y los nuevos datos
estén más cercanos entre sí?

·) ¿Ha empleado todos los datos?
¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha
considerado usted todas las nociones esenciales concernientes al
problema?

Ejecución del plan

·) Al ejecutar su plan de la solución,
compruebe cada uno de los pasos.

·) ¿Puede usted ver claramente que el paso
es correcto? ¿Puede usted demostrarlo?

Visión retrospectiva

·) ¿Puede usted verificar el resultado?
¿Puede verificar el razonamiento?

·) ¿Puede obtener el resultado en forma
diferente? ¿Puede verlo de golpe? ¿Puede usted
emplear el resultado o el método en algún otro
problema? (p.19).

El conductismo ha tenido y conservado, en algunos casos,
marcada influencia en la psicología del aprendizaje y no
tardó en ser atacado sobre todo por su reduccionismo; de
eso se encargaría, principalmente, la psicología de
la Gestalt.

Psicología de la
gestalt

Esta corriente psicológica surge en Europa,
específicamente Alemania, de las manos de Wertheimer
(1880-1943) así como Köhler (1887-1967) y Koffka
(1886-1941). Aragón (op.cit.) se refiere a esta
corriente:

El gestaltismo se oponía al reduccionismo y
atomismo procedente tanto del estructuralismo, como del
behaviorismo… para los gestaltistas, no cabía la
posibilidad de estudiar la conciencia o la vida mental
analizándola en sus elementos más simples, dado que
ello destruía su característica fundamental: su
estructura, su unidad, es decir, el hecho de ser una totalidad
organizada, un todo organizado o gestalt (p.47).

Los psicólogos de la Gestalt,
contemporáneos de los conductistas, ya habían
detectado la tendencia que presentaban los solucionadores de
problemas a dividir o fraccionar el problema en etapas o fases
con miras a facilitar su solución. Este
señalamiento lo hace Duncker, en su investigación
On problem solving, y es destacado por Perales
(op.cit.)

La mayor contribución del enfoque
gestáltico ha sido el énfasis puesto en la
vertiente perceptual del proceso; para los seguidores de esta
corriente la aprehensión apropiada de las partes del
problema asegura que las "fuerzas de la organización"
produzcan la solución. De cualquier modo, no se especifica
con exactitud que son esas fuerzas de organización
(p.172).

Otra contribución de los teóricos de la
Gestalt es la valoración de las posibles soluciones de un
problema lo cual tiene, como se sabe, suma importancia en los
procesos de toma de decisiones.

El aprendizaje por contigüidad de Guthrie
(1938,1952); la teoría hipotético-deductiva de Hull
(1943,1951); el conductismo propositivo de Tolman
(1932,1951);

la teoría del reforzamiento de Miller y Dollard
(1941,1950); el condicionamiento operante de Skinner (1953),
constituyeron junto al conexionismo de Thorndike (1911) y el
condicionamiento clásico de Pavlov (1927,1928), entre
otras, citados por Aragón (op.cit.), las
principales tendencias psicológicas que de una u otra
forma influyeron en el proceso de aprendizaje en la primera mitad
del siglo pasado.

Psicología cognitiva:
teoría del procesamiento de la
información.

No es posible señalar con precisión cuando
comenzó la influencia de la psicología cognitiva en
la resolución de problemas. Los trabajos de Rotter, en
1954, al integrar las teorías del aprendizaje con las de
la personalidad, marcan un deslinde con el conductismo y sientan
base a la formulación de las teorías cognoscitivas
sociales como las de Bandura y Rosenthal y Zimmerman, donde se
considera el aprendizaje desde una perspectiva
cognitiva-conductual.

En este mismo sentido se pronuncia Arrieta
(op.cit.) cuando se refiere a la resolución de
problemas: "se suele considerar el año 1956 como una fecha
clave para el desarrollo del tema desde una perspectiva
cognitiva… "(p.63). Es una década de transición
en la cual los modelos de resolución de problemas son
aún de marcado corte conductista como el de O`Brien, 1956,
en Medina (op.cit.) quien considera un modelo
constituido por tres etapas: ¿qué se ha obtenido?,
¿qué se desea obtener?, y ¿de qué
forma?, usando lo obtenido, se puede lograr lo deseado. Otro
modelo perteneciente a esta década es el de Kinney, 1959,
en Medina (op.cit.),consistente en siete etapas:
¿qué se desea?; ¿cuáles son los
datos?; ¿cuáles son los datos adicionales que
pueden inferirse de los datos dados?; ¿cuáles datos
serán usados para lograr lo deseado?;
¿cuáles serán las operaciones necesarias
para lograr una respuesta?; considérese una respuesta
razonable; explórense las vías para lograr dicha
respuesta.

La influencia de la psicología cognitiva en la
resolución de problemas está estrechamente unida a
la creación de las primeras computadoras. La
analogía establecida entre las mismas y la forma como los
humanos aprenden, permitió la aparición de las
Teorías de Procesamiento de la Información y su
rápida adaptación a la resolución de
problemas. En 1969 nació el Solucionador General de
Problemas –GPS– de Ernst y Newell el cual es, según
Perales (op.cit.):

Un modelo general de estrategia para la
resolución de problemas sin tener en cuenta el contenido
al que se aplicaban. Para su creación tanto Ernst y Newell
como más tarde Newell y Simon (1972) se apoyaron en la
verbalización de la resolución de problemas por
parte de diversos solucionadores para extraer, seguidamente, la
estrategia subyacente y tratar de generalizarla
(p.172)

Al comentar sobre el modelo de Newell y Simon,
Rodríguez (1992) dice: "los mismos se propusieron obtener
un resolvedor (sic) general de problemas, y lograron
diseñar un algoritmo de demostración de
proposiciones lógicas, con el que demostraron hasta el 80%
de las proposiciones del Principia Matemática de Russell y
Whitehead" (p.62). La utilización de las teorías
del procesamiento de la información en la
resolución de problemas permitió un avance
significativo en el área al permitir interconectar la
definición del problema con los procesos de
solución al reconocer la influencia del
contenido.

Psicología cognitiva:
teoría de Piaget.

Considerar esta teoría por separado se debe a la
gran influencia ejercida por este investigador en las
teorías del aprendizaje marcando, por así decirlo,
el comienzo del construccionismo social aún cuando ya
Vigotsky, en 1924, había planteado algunos de sus
principios en su Teoría Sociocultural. No es el objetivo
en este momento analizar la teoría de Piaget lo cual se
efectuará en el capítulo siguiente al considerar
las teorías cognitivas del aprendizaje pero si cabe
señalar en este momento que Piaget consideraba, en una
primera etapa – 1955 – que cualquier individuo con acceso a las
operaciones formales podía resolver cualquier problema
independientemente del contenido aún cuando
posteriormente, hubo de reconocer la influencia de dicho
contenido en la resolución de un problema. Perales
(op.cit.) lo confirma: "la perspectiva piagetiana o
postpiagetiana pone su acento en la necesidad de potenciar el
desarrollo cognitivo a través de la resolución de
problemas" (p.173).

Psicología cognitiva:
construccionismo.

Esta concepción filosófica y
psicológica sostiene la premisa según la cual es el
propio sujeto quien elabora, construye o produce sus propios
conocimientos y aprendizajes. No existe uniformidad entre los
teóricos de la corriente hasta el punto, Aragón
(op.cit.) "algunos afirman que fuera de nuestra mente no
existe ninguna realidad… otros piensan que las estructuras
mentales que elaboramos reflejan esa realidad… (p.250). Sobre
este tema se volverá en los capítulos siguientes
pero es menester conocer, en esta visión histórica,
como se relaciona dicha corriente con la resolución de
problemas. Perales (op.cit.) señala en este
sentido: "el punto de partida de la toma de posición del
constructivismo en el seno de la resolución de problemas
hay que buscarlo en la dependencia entre dicho proceso y el
contenido en el que se contextualiza el problema" (p.173).
Asuntos como la diferencia entre expertos y novatos, las
concepciones o conocimientos previos del aprendiz, la cantidad de
información procesada por el individuo, son entre otras,
cuestiones inherentes a la construcción del aprendizaje
sobre la base de la resolución de problemas.

Como fue considerado, la separación entre el
enfoque conductista y cognitivo en la resolución de
problemas se sitúa epocalmente en el año 1956 con
el lanzamiento del primer Sputnik por parte de la Unión
Soviética, lo que obligó a los "aliados" a revisar
sus programas de educación sobre todo en lo referente a la
matemática. Los estudios y modelos o heurísticas
planteados en el área toman fuerza y aún cuando
mantienen un marcado acento conductista se nota en ellos la
aparición de los aspectos cognoscitivos que operan en el
individuo.

Puig Adam, 1959, citado por Arrieta (op.cit.),
critica el modelo de Polya :

Todo cuanto se llega a sacar de esta metodología
clásica de los problemas es una cierta costumbre de
trazar, de tender caminos que enlacen la solución buscada
a las premisas establecidas en la red más o menos vasta de
implicaciones lógicas en que están inmersas. Pero a
medida que el campo se ensancha y los puntos de partida y de
llegada se alejan de las perspectivas corrientes, estos sabios
consejos metodológicos muestran una insuficiencia a su
generalidad (p.66).

Esta separación entre conductismo y cognitivismo
se acentúa hacia finales de la década de los
sesenta – 60`s – con la cada vez mayor influencia de la
inteligencia artificial. En 1965, Menchinskaya y Moro, citados
por Moral (1993), en una investigación independiente,
publican en la Unión Soviética una obra dedicada a
la enseñanza de la aritmética escolar donde
presentan una serie de reglas coincidentes con las ideas de
Polya. Hacia finales de la década comienza un estudio
más serio sobre resolución de problemas teniendo
como norte el procesamiento humano de la
información.

Los años setenta – 70`s – se inician con el
modelo de Newell y Simon el cual considera, según Moral
(op.cit.):

Que la resolución de problemas es un proceso de
búsqueda a través de un espacio de posibles
soluciones o planes para alcanzar la meta final. La tarea de la
persona que resuelve problemas consiste en reducir el espacio
problema para incluir solamente las soluciones válidas,
mediante estrategias como el análisis medios-fines, la
planificación o la división en submetas
(p.302).

Este modelo supera en algo el enfoque conductista de
ensayo-error y fue modificado posteriormente por Sacerdoty en
1977, al hacer una distinción entre la
planificación y la ejecución del plan aún
cuando mantiene una interrelación entre ellos.

Contemporáneo -1970 – al modelo medios-fines de
Newell y Simon se encuentra el modelo de Earp quien establece
cinco etapas para la resolución de problemas. Medina
(op.cit.) reseña este modelo de la siguiente
manera:

• a) Obtenga una visión general del
  problema a través de una primera lectura.

• b) Lea nuevamente el problema, poniendo
  especial énfasis en lograr cuáles son los datos
  y que se desea lograr. Esto será fundamental en la
  elaboración del plan de resolución del
  problema.

• c) Revise el vocabulario y los conceptos
  relacionados.

• d) Lea otra vez a objeto de planificar la
  resolución del problema.

• e) Lea finalmente a objeto de verificar los
  procedimientos y la solución obtenida
  (p.48).

Troutman y Lichtenberg, 1974, proponen un modelo
resultante de la combinación de diversos trabajos. Este
modelo, Medina (op.cit.), consta de cinco
etapas:

• a) Estar consciente del problema. Para ello es
  necesario leerlo en varias oportunidades, y asegurarse de que
  se ha entendido.

• b) Determinar que es lo que se desea obtener.
  Para ello se debe expresar el problema en términos
  familiares.

• c) Generar información y estrategias
  diversas para la solución del problema.

• d) Decidir acerca de las estrategias necesarias
  para la resolución, así como la correspondiente
  implementación.

• e) Evaluar los resultados obtenidos
  (p.49).

Correspondiente también a esta década, el
modelo de Wickelgren, 1974, citado por Medina
(op.cit.):

Sugiere métodos para ayudar a mejorar las
habilidades para la resolución de problemas. Tomando
muchos conceptos sobre inteligencia artificial intenta estudiar
la resolución de problemas desde un punto de vista
teórico. En su opinión, un problema consta de
información relacionada con

1.- datos suministrados.

2.- operaciones.

3.- metas (p.53).

El modelo de Kruteskii en 1976 estuvo relacionado
principalmente con las habilidades para la resolución de
problemas. Medina (op.cit.) señala las diferentes
fases del modelo:

I. Obteniendo información
matemática.

Habilidad para la percepción formalizada de
material matemático, entendiendo la estructura de un
problema.

II. Procesando información
matemática.

• a) Habilidad para el pensamiento lógico,
  considerando relaciones tipo espacial y cuantitativo…
  habilidad para pensar en símbolos
  matemáticos.

• b) Habilidad para una generalización
  amplia y rápida de objetivos matemáticos, de
  relaciones y de operaciones.

• c) Habilidad para resumir el proceso de
  razonamiento matemático y el sistema de operaciones
  correspondiente; habilidad para pensar en estructuras
  resumidas.

• d) Flexibilidad de los procesos mentales en la
  actividad matemática.

• e) Esfuerzo por claridad, simplicidad,
  economía y racionalidad de soluciones.

• f) Habilidad para manejar la reversibilidad de
  los procesos mentales en el razonamiento
  matemático.

III. Reteniendo información
matemática.

Memoria matemática (memoria generalizada para
relaciones matemáticas, características tipo,
esquema de razonamiento y pruebas, métodos de
resolución de `problemas y principios de
enfoque).

IV. Componente sintético general.

Molde matemático de la mente
(pp.50-51).

Los modelos mencionados para esta década poseen
un sabor conductista y una línea de acción
continuadora del modelo de Polya a excepción del modelo de
Kruteskii el cual plantea el uso de habilidades cognitivas. Si
bien se comienza a notar un distanciamiento con el conductismo,
esta corriente seguirá marcando los trabajos del resto de
la década así como una continuación en la
utilización de la heurística de Polya.

La segunda mitad de la década presenta, entre
otros, el modelo de Wheatley en 1977. A este respecto, Medina
( op.cit.) señala que el autor :

Discute la resolución de problemas desde el punto
de vista de la teoría de la especialización de los
hemisferios. Sugiere que la habilidad para la resolución
de problemas puede ser mejorada por medio de un mayor uso del
hemisferio derecho del cerebro, y existe evidencia de que el
hemisferio izquierdo es mejor en actividades como leer, hablar,
razonamiento analítico y aritmético…
(p.68).

Contemporáneamente, LeBlanc propone el uso de dos
estrategias, Medina (op.cit.), para afrontar y resolver
problemas:

• a. Los problemas típicos de los libros
  de texto. Con ello se busca, fundamentalmente, reforzar el
  entendimiento de un concepto o usar una habilidad aprendida
  previamente en una situación de la vida
  real.

• b. Un tipo de problema que él llama
  problema de proceso, porque se contemplan todos los
  procedimientos relacionados con la resolución de un
  problema…los llamados problemas de proceso requieren,
  normalmente, muy poca matemática formal. Se resuelven
  en varias formas, en la mayoría de los casos
  (pp.68-69).

En el año 1978, se encuentran los modelos de
resolución de problemas de Bell y Greeno. El primero de
ellos, González (op.cit):

Está enmarcado dentro de la línea
propuesta por Polya. Bell también divide en pasos el
proceso de resolución de un problema y sugiere, en cada
una de éstas, un conjunto de técnicas o estrategias
cuya implementación, potencialmente, conduce a la
solución…

Paso 1: Presentar el problema en forma
general.

El problema no debe ser planteado en una forma
explícita sino de forma tal que estimule el pensamiento
creativo y divergente y así el estudiante o potencial
solucionador del problema pueda descubrirlo o percatarse de su
existencia…

Paso 2: Reformular el problema en forma
operacional.

Este paso consiste en reformular el problema en una
forma más accesible, estableciéndolo en otros
términos a fin de incrementar las oportunidades de
encontrar un método para resolverlo…

Paso 3: Formular hipótesis y procedimientos
alternativos para atacar el problema.

En este paso de lo que se trata es de buscar enfoques
que probablemente conduzcan a la solución del
problema.

Paso 4: Probar las hipótesis y llevar a cabo
procedimientos que permitan obtener una solución o
conjunto de soluciones.

Esta es la etapa crucial según el modelo de Bell,
porque es durante ésta cuando realmente se resuelve el
problema o se aprueban o rechazan las conjeturas que el
solucionador se haya planteado en torno al problema. Las
técnicas que Bell propone para desarrollar este paso
coinciden por las sugeridas por Polya, pero este último
las ha propuesto en fases diferentes.

Paso5: Analizar y evaluar las soluciones, las
estrategias usadas para obtenerlas y los métodos que
condujeron al descubrimiento de estrategias para resolver el
problema.

En este paso se pretende analizar y evaluar el
método empleado para resolver el problema con el fin de
determinar cuan eficiente es, si puede ser mejorado o no y si
puede ser aplicado a una clase general de problemas (pp.
256-257-258).

El segundo de los modelos señalados, el de
Greeno, como lo plantea Mayorga (1987),

El primer estadio de solución culmina en un
árbol cognoscitivo formado por componentes que
corresponden a los elementos del problema. El proceso de
formulación de un plan de solución corresponde a la
construcción de una red de relaciones entre las variables
(elementos) del problema, de tal manera que las incógnitas
se vinculan con la información dada (p.23).

En el mismo año de 1978, Upton, Samson y Farmer,
como lo reseñan Laprea y Ruiz (op.cit.),
presentan un modelo de resolución de problemas complejos:
"el modelo consta de tres etapas fundamentales:
planificación, ejecución y evaluación. Cada
una de estas etapas tiene subdivisiones, por ejemplo, la etapa de
planificación implica planificación de la
ejecución y de la evaluación" (p.32).

Al año siguiente, 1979, y dentro de la
línea de investigación planteada por Newell y Simon
– modificada posteriormente por Sacerdoty – se encuentra el
modelo de Hayes-Roth, B. y Hayes-Roth, F. en el cual Moral (
op.cit.) :

Proponen un nuevo modelo de planificación para la
resolución de problemas. Su modelo considera la
planificación bajo una perspectiva "oportunista", es
decir, en cada punto del proceso las decisiones tomadas por la
persona que planifica y el tipo de observaciones que va haciendo
conforme se desarrolla el plan son consideradas oportunidades
para que el plan vaya creciendo o cambiando según sea
oportuno (p.303).

El modelo señalado consta de dos etapas: la
primera de ellas consiste en la planificación de las
acciones que conducen a alcanzar la meta; la segunda es la de
dirección y guía para la correcta ejecución
del plan. Como los mismos autores señalan estas fases son
interdependientes en un mismo "proceso oportunista".

Como puede verse en los modelos mencionados – son
posiblemente los más representativos de esta década
– la influencia conductista se separa un tanto para permitir el
acceso de las concepciones cognitivas pero todavía bajo la
marcada influencia del modelo multietapas de Polya. Si bien es
cierto que hasta la fecha señalada la influencia cognitiva
es cada vez mayor, también es cierto que los aspectos
afectivo-motivacionales del solucionador son muy poco tomados en
cuenta.

La década siguiente – 80`s – es considerada por
la mayoría de los investigadores como realmente
significativa en el empleo de la resolución de problemas
como instrumento de aprendizaje. En el metaanálisis
realizado al investigar el desarrollo de la resolución de
problemas en la década indicada, se observó un
marcado acento cognitivista dejando de lado, salvo algunas
excepciones, al conductismo como corriente principal; así
mismo se observó una continuación en el empleo de
la heurística multietapas de Polya como modelo
preponderante en las investigaciones realizadas. Se ha tratado de
resumir por años los principales trabajos efectuados en la
década, a sabiendas que los reportes, informes,
investigaciones, publicaciones y libros sobre el tema se cuentan
por millares. Se está en el inicio de la verdadera
investigación sobre resolución de problemas y
así lo indica Arrieta (op.cit.): "no ha sido
hasta finales de los 70 cuando han comenzado a desarrollarse de
manera sistemática las investigaciones sobre R.P
(sic.) matemáticos, con planteamientos comunes y
mejor coordinados" (p.67).

En 1980, LeBlanc y cols. proponen un modelo instructivo
para la resolución de problemas en las escuelas
elementales basado literalmente en las ideas de Polya; Schoem y
Oemhke, en el campo de la evaluación, desarrollan el Iowa
Problem Solving Test; Larkin y Reif proponen un modelo de
cómo los sujetos resuelven problemas con una
orientación expertos/novatos; Goldstein propone buscar
representaciones alternativas; Hayes, en Pomés (1991),
sistematiza las tareas para resolver un problema en seis
etapas:

• 1) Hallazgo del problema (reconocimiento de que
  existe un problema).

• 2) Representación del problema
  (comprensión del foso que hay que cruzar)

• 3) Planificación de la solución
  (escoger un método para cruzar el foso).

• 4) Llevar adelante el plan.

• 5) Evaluación de la solución
  (bondad del resultado).

• 6) Consolidación del aprendizaje
  obtenido desde la experiencia de la resolución de un
  problema (p.80).

De igual manera, Kantowsky propone una
heurística, reseñada en Bañuelos (1995), la
cual puede ser utilizada en la resolución de problemas
matemáticos:

• 1. Dibujar un diagrama (figura, esquema,
  tabla).

• 2. Examinar un caso especial.

• 3. Identificar lo que se busca y lo que se
  da.

• 4. Identificar información relevante e
  irrelevante (examinar toda la información
  dada).

• 5. Trabajar hacia adelante desde el principio
  con la información dada.

• 6. Trabajar hacia atrás desde la
  conclusión.

• 7. Buscar un patrón o encontrar una
  generalización.

• 8. Buscar un problema relacionado
  (énfasis en estructura similar).

• 9. Buscar un teorema, definición,
  operación o algoritmo que se aplique al
  teorema.

• 10. Resolver parte del problema.

• 11. Verificar la solución.

• 12. Examinar si existe otra manera de encontrar
  la solución (soluciones alternas).

• 13. Examinar si se puede obtener otra
  solución.

• 14. Estudiar el proceso de resolución
  (pp.54-55).

En el año 1981, Papert señala que las
ideas de Polya se aprenden mejor al utilizar su geometría
de la tortuga en la computadora, es decir, buscar un problema
más simple; Chi y cols. presentan un modelo de cómo
los sujetos resuelven problemas con una orientación
expertos/novatos; Hayes sugiere trabajar en sentido inverso: de
la meta a los datos; Mc. Kenzie y Herrington proponen hacer
preguntas para resolver problemas.

En 1982, Charles y Lester proponen una guía
basada en el modelo de Polya y especifican la labor a realizar
por el docente antes, durante y después de la
resolución del problema propuesto así como un
sistema de puntuación para evaluar el trabajo de los
estudiantes en la resolución de problemas; Chiappetta y
Russell presentan un modelo de tres etapas: (a)
presentación del problema, (b) identificación y
agrupación de la información necesaria para la
resolución y, (c) análisis de la información
y producción de la solución; Reif y Séller
proponen un modelo al estilo de Chi.

Durante el año 1983, Fennell presenta un modelo
basado en el de Polya para los grados primarios; Mayer propone
trabajar por pasos; Lenat y Mayer indican que la eficiencia en
resolución de problemas está relacionada con el
conocimiento específico del área en
cuestión; Webb dice permitir la verbalización
durante la solución del problema y promueve el trabajo en
grupos.

En el año 1984, lo trabajos más
resaltantes, entre otros, son los de Golden y Mc.Clintock y
Frederiksen. Los primeros, en torno al análisis
específico de las variables sintácticas, de
contenido y de contexto, estructurales y heurísticas que
inciden en la dificultad de las tareas matemáticas. El
segundo presenta un modelo, mencionado por Laprea y Ruiz
(op.cit.), de resolución donde "se requiere de un
"pensamiento productivo" para su solución, es decir, los
procedimientos deben generarse o reorganizarse en la
representación del problema" (p.31). Las etapas del modelo
son: generación de una o varias hipótesis que
surgen de la búsqueda de información en la memoria,
seguida de una selección de hipótesis y de una
comprobación de las mismas.

En la segunda mitad de la década se pueden
encontrar los trabajos del Grupo Cero de Valencia donde, en
Arrieta (op.cit.):

Se enfatiza la importancia de la resolución de
problemas y las capacidades básicas que se consolidan
mediante la actividad matemática: generalizar, abstraer,
hacer hipótesis y someterlas a pruebas, explorar, tomar
decisiones, proponer ideas nuevas, hacer frente a situaciones
problemáticas con la confianza de que pueden ser
comprendidas y, en su caso, resueltas (p.66).

Otros trabajos para esta fecha son los de
Garófalo y Lejter quienes afirman que hasta ese momento –
1985 – la instrucción en resolución de problemas se
ha centrado, con relativo poco éxito, en las
heurísticas de resolución; Gick y Holyoak proponen
como ayuda en la solución de un problema, buscar problemas
análogos; Puente propone utilizar el aprendizaje por
descubrimiento versus el aprendizaje expositivo.

Los años finales en la década se
enriquecen con los trabajos de Miguel de Guzmán y Gick, en
1986, quienes presentan, el primero, un esquema para favorecer el
desarrollo heurístico a través de los juegos
basándose en el modelo de Polya y, el segundo, presenta un
método guiado por esquemas (conocimiento específico
del tema) y un método guiado por estrategias generales
(metaconocimiento). En los tres años finales, Coillot y
Dumas proponen estrategias metodológicas para
enseñar a los estudiantes a resolver problemas (1987);
Kramers y Pilot señalan lo mismo que los anteriores en
1988 y, Minsky, el mismo año, señala el principio
del progreso así como el ensayo y error y la
división en metas y submetas para resolver un
problema.

De singular importancia en la década mencionada,
por la relevancia del personaje, son los trabajos de Alan
Schoenfeld quien fundamenta su propuesta en lo que denomina la
adopción de una "microcosmo matemático" en el
salón de clases; es decir, motivar a los estudiantes a
desarrollar matemática, en el aula de clase, de manera
similar a los matemáticos. Schoenfeld presenta un modelo
de etapas, al estilo de Polya, el cual consiste, Bañuelos
(op.cit.), de:

Análisis

• 1) Trazar un diagrama si es posible.

• 2) Examinar casos particulares.

• 3) Probar a simplificar el problema.

Exploración

• 1) Examinar problemas esencialmente
  equivalentes.

• 2) Examinar problemas ligeramente
  modificados.

• 3) Examinar problemas ampliamente
  modificados.

Comprobación de la solución
obtenida

• 1) ¿Verifica la solución obtenida
  los criterios específicos siguientes?

a) ¿Utiliza todos los datos
pertinentes?

b) ¿Está acorde con predicciones o
estimaciones razonables?

c) ¿Resiste a ensayos de simetría,
análisis dimensional o cambio de escala?

2) ¿Verifica los criterios generales
siguientes?

a) ¿Es posible obtener la solución por
otro método?

b) ¿Puede quedar concretada en casos
particulares?

c) ¿Es posible reducirla a resultados
conocidos?

d) ¿Es posible utilizarla para generar algo ya
conocido? (p.54).

La década de los ochenta – 80`s – fue
particularmente pródiga en estudios e investigaciones
sobre resolución de problemas. El aspecto cognitivo
adquiere particular relevancia al igual que el enfoque
constructivista. Así mismo es menester hacer
mención acerca del punto de vista relativamente nuevo que
ejerció fuerte influencia en las investigaciones
pertinentes, cual fue la metacognición.

El término metacognición aparece en 1970
de la mano del psicólogo Flavell y colaboradores. Esta
corriente de la psicología del aprendizaje inicialmente
pasa desapercibida del panorama educativo principalmente por la
gran influencia que ejercía, para la época, el
diseño instruccional – instructional design – de
Gagné y es sólo hasta la década siguiente
cuando comienza a experimentar un auge inusitado con la
aparición del constructivismo en los modelos de
enseñanza y aprendizaje. Se produce, como señala
Humphrey en 1983, una nueva reconquista de la
conciencia.

Los antecedentes de la metacognición es necesario
buscarlos en Dewey con su pensamiento reflexivo a comienzos del
siglo XX y en Piaget, en los setenta, con la epistemología
genética de abstracción reflexiva. Estos
antecedentes unidos al trabajo de Flavell – Developmental
Changes in Memorization Proceses – en 1970, dan forma a esta
nueva área de la investigación en el aprendizaje de
las ciencias. La década de los ochenta -80`s – es
particularmente rica en investigaciones sobre este tema: Kail
(1979); Melot y Nguyen (1981); Aebli (1982); Humphrey (1983);
Churchland (1984); Sternberg, Weinstein y Mayer (1985);
Schoenfeld, Schön y Brown (1987); Bandura (1989). Así
mismo, la primera parte de la década de los noventa -90`s
– presenta los trabajos de Joms e Idol y Otero (1990); Mateos
(1991); Prawling y Law, Bradley y Parr (1993); Barberá,
Monereo y Gunstone y Northfield (1994).

Al referirse al gran desarrollo de estas
investigaciones, Monereo (1995) señala:

Una simple comparación de las citas
bibliográficas que se obtenían hace apenas cinco
años – cuando seleccionábamos las referencias de la
base de datos ERIC por el término metacognition
(sic) – con las que se obtienen en estos momentos, nos
dan una indicación bastante precisa de la trascendencia
del tema: ¡ de apenas una docena a más de mil
referencias! (p.77).

La segunda mitad de la última década del
siglo pasado se enriquece con los trabajos de Nissani (1995);
Campanario y cols., Roth y cols. (1997); Campanario y Moya
(1998), entre otros, lo que reafirma la importancia concedida a
los fenómenos metacognitivos en el proceso de
aprendizaje.

Referente a la resolución de problemas, en la
última década del pasado siglo, las investigaciones
van estrechamente unidas a los aspectos metacognitivos que operan
en el solucionador. Definitivamente el aspecto meramente
cognitivo que prevaleció hasta la década de los
ochenta – 80`s – cede paso a los aspectos motivacionales y
metacognitivos en las investigaciones en el área de
resolución de problemas. Así se encuentran los
trabajos de Alsina (1990) sobre estudiantes dependientes e
independientes de campo; Parra (1990) discute el papel de la
representación del problema; Lawson y Séller (1990)
concluyen que la cantidad de conocimiento específico es un
determinante primordial en el rendimiento en solución de
problemas; Dijkstra (1991) estudia el papel de la memoria a corto
y largo plazo en la resolución de problemas y su
implicación en la adquisición y construcción
del conocimiento; Gil y cols.(1991); Schunk (1991) señala
que el aprendizaje implica adquisición y
modificación de conocimientos, estrategias, habilidades,
creencias y actitudes.

El año 1992 se hace presente con las
investigaciones de González y Tourón sobre el uso
que los estudiantes hacen de sus estrategias de aprendizaje y su
relación con sus características motivacionales. En
1995, el trabajo de DeCorte formula una interesante propuesta
aplicada al aprendizaje y enseñanza de la
matemática donde los define como un proceso de
conocimiento y construcción de significados: constructivo,
acumulativo, autorregulado, orientado a una meta, situado,
cooperativo y diferente individualmente; Slisko y Krokhin (1995).
En los años siguientes: Leonard y cols. (1996,1999);
Dufresne y cols. (1997); Torp y Saye (1999).

En nuestro país, los trabajos e investigaciones
sobre resolución de problemas se inician
prácticamente en la década de los ochenta – 80`s –
siguiendo el enfoque cognitivista que prevalecía para la
época a nivel mundial. En esta primera etapa se pueden
señalar los siguientes: Proyectos del CENAMEC (1975,1986);
las experiencias de Rodríguez (1979-1980) y las
investigaciones de Mayorga (1984) en el Instituto
Pedagógico de Caracas; el modelo de resolución de
problemas de Andrés (1985) de cinco etapas; las
experiencias llevadas a cabo por el Dr. Eduardo Lima de Sá
(1983) en la Universidad Simón Bolívar; el
Seminario Nacional Permanente sobre didáctica de la
matemática (1983-1987); seminarios y tesis de grado en el
programa de maestría en Psicología de la
Instrucción en la Facultad de Humanidades y
Educación de la U.C.V (1987).

En la década siguiente se encuentran, entre
otros, los trabajos de Itriago y Cruz (1992) con una estrategia
metodológica llamada Propósito-Meta-Objetivo.
Diversas investigaciones presentadas en el segundo Congreso
Venezolano de Educación Matemática, tales como:
Zambrano – la estrategia heurística general propuesta por
Mason, Burton y Stacey para la solución de problemas y su
relación con el desempeño estudiantil; Ganuza y
Fermín – el alumno como sujeto activo aprendiendo a
resolver problemas; Castillo – diferencias entre novatos y
expertos al resolver un problema lógico-matemático;
Delgado – resolución de problemas; Beyer – la
resolución de problemas y su implementación en el
aula; Cuicas – procesos metacognitivos desarrollados por los
alumnos cuando resuelven problemas matemáticos; Mosquera –
un caso a favor del uso de métodos gráficos y
numéricos para resolver problemas matemáticos;
Fermín y Ganuza – metodología generalizada para la
resolución de problemas matemáticos.

Otros trabajos de singular importancia hacia finales de
la década señalada lo constituyen: Cruz (1997)
sobre estrategias metacognitivas para la evaluación de los
aprendizajes matemáticos; González (1997) al
considerar, en su tesis doctoral, los aspectos cognitivos y
metacognitivos en estudiantes universitarios en Venezuela;
Meriño (1997) sobre la autopercepción de la
estrategia resolución de problemas y la actitud hacia la
matemática.

La tendencia actual, comienzos del siglo XXI, en las
investigaciones sobre resolución de problemas ha ido
centrándose en la consideración de los aspectos
cognitivos y motivacionales que operan en el aprendiz, más
no de una manera reduccionista, como prevaleció hasta hace
poco tiempo, sino integrándose en un todo – junto a la
metacognición – a modo y manera de producir un aprendizaje
significativo en el sentido ausubeliano. El constructivismo,
paradigma emergente en el aprendizaje de la matemática, ha
hecho una especie de simbiosis con la resolución de
problemas constituyéndose en una plataforma para la
conformación de los nuevos modelos de aprendizaje, por
ejemplo, el cambio conceptual. Las investigaciones al
respecto continúan. Se considera afirmativamente que la
resolución de problemas promueve una manera exitosa de
acceder al conocimiento matemático y los futuros estudios
sobre el tema deberán considerar los aspectos mencionados
integrados holísticamente así como avances en otras
ramas del saber: psicología, neurociencias, entre
otras.

CAPITULO IV

Teorìas de
la ciencia

Fulguración

El capítulo II de la presente
investigación se dedicó, entre otros, a plantear el
nacimiento del problema. Es la opinión del autor de la
presente investigación que el problema nace con el hombre
en el momento de la especiación, es decir, en el instante
cuando se da cuenta, cuando toma conciencia que constituye una
nueva especie con capacidad para modificar el ambiente. En este
sentido son diversas las teorías existentes que tratan de
explicar este fenómeno y posiblemente tienen su origen en
la posición de Wallace cuando afirmaba que la inteligencia
humana estaba ahí porque una mente superior así lo
determinó, es decir, un regalo divino y no el producto de
una evolución.

Autores modernos como Chomsky y Gould están en
sintonía con las ideas de Wallace y aún cuando
abandonan el sentido espiritualista de éste, concuerdan
con el hecho de la aparición súbita de la mente
humana. Otros autores en la actualidad, citados por Arsuaga
(op.cit.), tales como Stringer, Gamble, Noble, Davidson
y Tattersall "no conceden a otras especies de homínidos
distinta de la nuestra (como por ejemplo los neardentales) la
capacidad de manejar símbolos y ni siquiera la de
planificar el futuro no inmediato" (p.299).

Pareciese muy sencillo explicar la aparición de
la mente humana, algo tan complejo y maravilloso, a la luz de las
teorías anteriores. Surge así una nueva
teoría denominada emergentista o sistémica
la cual trata de explicar el fenómeno predicando que las
propiedades de un sistema dependen de cómo
interactúen sus partes relacionadas. Es lo contrario del
reduccionismo quien trata de explicar las propiedades
del sistema a través de las propiedades de las partes.
Así la mente humana surge, como lo señala Arsuaga
(op.cit.), "literalmente, cuando a un antepasado nuestro
(un Adán o una Eva) "se le cruzaron los cables" y
aparecieron conexiones nuevas entre circuitos preexistentes"
(p.300).

Como fue reseñado en el mencionado
capítulo, Konrad Lorentz llama a este proceso
"fulguración" – de donde se tomó el encabezado –
para señalar la aparición de algo completamente
nuevo, algo que antes no existía. Lorentz considera, en
Arsuaga (op.cit.): "cuando se conectan dos sistemas
independientes entre sí, surgen de repente unas
propiedades sistémicas totalmente nuevas, que antes no
existían, ni siquiera a modo de sugerencias" (p.301). La
mayoría de arqueólogos y paleoantropólogos
en la actualidad siguen la corriente emergentista. Klein,
Tattersall, Mitchen, entre otros, señalan, en Arsuaga
(op.cit): el primero, "cuando todos los volantes y
ruedas de la maquinaria cerebral acertaron a engranarse
correctamente, entonces el complicado reloj mental se puso en
marcha". El segundo, "las grandes novedades biológicas
siempre aparecen como por sorpresa". Para el tercero, "la mente
humana no se manifestó hasta que se abrieron ventanas y
puertas en los muros que mantenían aisladas las diferentes
inteligencias" (p.305).

Puede verse de lo anterior la profusión de
teorías que explican o tratan de explicar la
aparición de la mente humana. Todas tienen detractores y
seguidores pero son sólo eso, simples teorías que,
basadas en la experiencia e inteligencia de sus creadores, han
emitido o plasmado sus ideas acerca del punto en cuestión.
El hecho cierto se presenta cuando en un determinado instante de
su evolución, el "hombre" cae en cuenta que constituye una
nueva especie y debido a esa razón o inteligencia se sabe
y siente superior al resto de los animales. Comienza así
un nuevo proceso evolutivo – evolución cultural – donde a
través de diversos mecanismos aprehende a los objetos que
le rodean en un proceso de creación de
conocimiento.

Origen y Creación del
Conocimiento

Especular acerca del origen del conocimiento es
remontarse al momento mismo cuando el hombre toma conciencia de
su naturaleza humana. A partir de ese instante se abre la ventana
de la realidad y su primitiva conciencia entiende ahora el
porqué la necesidad de cubrir sus requerimientos
básicos: alimentación, abrigo, procreación,
entre otros. No es ya simplemente el animal que se alimenta
porque siente hambre ni el que se junta con cualquier hembra de
la manada por cuestiones naturales de conservación de la
especie ni el que no tiene una manera de comunicarse con otros
miembros del grupo que no sea por señas; no es ya el
animal inferior que actúa por instinto natural sino un ser
superior al resto con conciencia o inteligencia propia lo cual lo
identifica como el dueño de la creación con poder
de modificación y cambio del ambiente que le
rodea.

En la medida según la cual esta nueva especie
evoluciona, adquiere más "conocimiento" de su medio
ambiente y aprende nuevas manera de cazar, de curtir pieles, de
abrigarse, entre otras, que lo hacen elevarse más y
separarse más en la escala animal a la cual
pertenecía y lo van transformando en un ser más
complejo con una más compleja forma de vida ya que en la
misma medida que soluciona inteligentemente sus problemas va
creando otros los cuales requieren mayor dosis de raciocinio para
su solución. Si bien es cierto que el hombre ha adquirido
conocimiento de la naturaleza, primariamente para la
satisfacción de sus necesidades básicas,
también es cierto que es menester indagar la forma como se
ha apropiado del mismo de forma de entender como ha evolucionado
culturalmente en el tiempo hasta la complejización de hoy
día.

En el proceso de sedentarización del hombre, como
se señaló en capítulos anteriores, debido
principalmente a la invención de la agricultura, se fue
gestando en él una nueva forma de vida la cual
permitió un mayor contacto con otros grupos sociales y en
aquellos sitios donde la cosecha y cría eran abundantes,
la aparición de un nuevo "modus vivendi" cual fue el
comercio al intercambiar sus productos por otros que no
producía. Esta nueva actividad produjo un crecimiento
cultural y una complejización social mayor que
prácticamente le forzó a la adquisición de
nuevos y más profundos conocimientos y a la
creación de una ciencia que, como ya se mencionó,
fue la pionera -sobre todo en matemática – de lo que
posteriormente vendría con egipcios y griegos.

El hecho de establecer sociedades sedentarias produjo un
aceleramiento en las formas de comunicación quienes
pasaron de la emisión de simples gruñidos y
señas a una forma más alta de intercambio de
información como lo fue el lenguaje onomatopéyico.
Gutierrez (2003) considera

Al lograr que los sonidos emitidos fueran reconocidos
por los demás, tácitamente acordaron la
relación de los signos sonoros emitidos con
fenómenos particulares… se estableció un
relación de abstracción o representatividad entre
el signo y el hecho. Cada vez que un sonido nos estimula, aparece
la imagen simultáneamente en nuestro cerebro.

La imagen plasmada en la mente del hombre es la
interpretación hecha de la realidad y en la medida
según la cual dicha interpretación es común
a los otros miembros del grupo, en esa misma medida surge el
lenguaje comunicacional. Este lenguaje considerado como una
expresión superior de la inteligencia provee al hombre de
una herramienta maravillosa que, por una parte lo diferencia
definitivamente del mundo animal-ancestral al cual
pertenecía y por la otra, le permite una evolución
más acelerada no ya desde el punto de vista darwinista,
sino desde el punto de vista cultural.

En esa incesante e imperecedera relación del
hombre con el medio que lo circunda se da otro proceso – de
índole superior – cual es la creación del
conocimiento. El hombre se construye a si mismo al relacionarse
sensorialmente con la realidad así como a través de
algo natural, distinto a los sentidos, que le permite tomar
conciencia de esa realidad e interpretarla adecuadamente. Este es
el problema inicial con el que se enfrenta una rama de la
filosofía – filosofía de la ciencia – conocida como
epistemología, teoría del conocimiento o
gnoseología, según diversos autores. Interpretar
esa realidad conlleva una serie de etapas – conscientes o
inconscientes – que se suceden en la correlación
objeto-sujeto: observación fenomenológica,
formulación de supuestos, instrumentación,
análisis y comprobación de resultados y
discusión.

Observación fenomenológica. De
acuerdo a lo visto hasta el momento, en todo proceso de
creación de conocimiento existe una relación
biunívoca entre realidad – objeto – y conciencia – sujeto.
Esta relación, como señala Hessen (2000) se
presenta "entre estos dos miembros que permanecen en ella
eternamente separados el uno del otro" (p.20). Así se
puede afirmar que en todo conocimiento existen cuatro elementos:
el sujeto cognoscente, el objeto conocido, la operación de
conocer y la información obtenida acerca del
objeto.

Cada sujeto cognoscente posee sus propias
características culturales, sociales, necesidades,
carencias, intereses, entre otros, originando una
interpretación propia de la realidad posiblemente
diferente a los otros miembros del grupo. Es así como se
puede interpretar a esta aprehensión de la realidad como
subjetiva ya que es un hecho voluntario del individuo
sujeto a las características que les son propias. El
objeto es así aprehendido por el sujeto y como el mismo
Hessen (op.cit.) cita: "el sujeto sólo es sujeto
para un objeto y el objeto sólo es objeto para un sujeto.
Ambos sólo son lo que son en cuanto son para el otro"
(p.20).

La observación fenomenológica implica por
tanto una compenetración con la realidad y una necesidad
de aprehensión por parte del sujeto. En la misma medida
mediante la cual se recibe información del objeto, se
produce la creación de una imagen de la misma en el sujeto
la cual posee las características del primero. Pero esta
aprehensión es necesario observarla desde dos puntos de
vista: uno es desde el punto de vista del sujeto y el otro, desde
el objeto. Desde el punto de vista del sujeto, éste se
apropia de las características del objeto más no
del objeto en sí produciéndose, como se
indicó, la aparición de una imagen. Desde el punto
de vista del objeto, se produce una transferencia hacia el sujeto
de las características del primero. En el primer caso se
habla de conocimiento subjetivo y en el segundo de
conocimiento objetivo.

Formulación de supuestos. En esta fase
el sujeto cognoscente produce voluntariamente una o varias
hipótesis explicativas del fenómeno observado. Cada
hipótesis señala una vía interpretativa y un
curso de acción a seguir. Con ella se trata de explicar
las causas de la observación fenomenológica y un
camino que permita la interpretación de la realidad a la
cual se refiere.

Instrumentación. Esta fase explicita los
instrumentos con los cuales se trata de comprobar la
hipótesis o plan de acción seleccionado en la fase
anterior. Se definen conceptos y variables que permitirán
interpretar la realidad a que se refieren con el fin de obtener
resultados.

Análisis y comprobación de
resultados. Se refiere esta fase a la recolección de
la información pertinente proveniente del objeto, su
análisis posterior y la comprobación final de la
hipótesis supuesta.

Discusión. Esta fase final de la
interpretación de la realidad está estrechamente
vinculada con el carácter de verdad del conocimiento.
Observado un fenómeno, determinada una vía para su
interpretación, obtenida una respuesta y alcanzado un
conocimiento, surge la pregunta o duda sobre la veracidad o
falsedad del mismo. En este sentido Fingermann (1981) acota:
"ante todo, debemos hacer notar que la verdad siempre se expresa
en un juicio; por consiguiente, sólo los juicios pueden
ser verdaderos o falsos. Los objetos no son ni verdaderos ni
falsos: son reales, ideales o imaginarios" (p.139). Si la verdad
de un conocimiento no radica en el objeto debe radicar entonces
en la relación entre objeto y sujeto; en la concordancia
entre las características del primero y la imagen que de
él construye el segundo. Este punto se verá
más explicitado en el aparte siguiente: el problema del
conocimiento.

El Problema del
Conocimiento

En el aparte anterior se consideró que el
conocimiento se presenta como una relación entre sujeto y
objeto en la cual el primero aprehende las características
del segundo manteniendo su propia identidad, es decir, el sujeto
forma una imagen contentiva de las propiedades del objeto. Pero
así mismo puede ocurrir que sea el objeto quien transfiera
sus propiedades al sujeto, es decir, el objeto es determinante y
el sujeto determinado. En el primer caso la imagen formada es
subjetiva y en el segundo, objetiva. Este
señalamiento lleva al planteamiento de la dificultad que
experimenta el ser humano al tratar de comprender lo relativo al
conocimiento y lo que él conlleva. Todo conocimiento
presenta tres elementos perfectamente diferenciados: el sujeto,
la imagen y el objeto. El estudio del conocimiento es, entonces,
el estudio de estos tres elementos.

Desde el punto de vista del sujeto el conocimiento es
estudiado por la psicología. En este sentido Hessen
(op.cit.) señala: "el conocimiento es una
aprehensión espiritual de un objeto… la
psicología, al investigar los procesos del pensamiento,
prescinde por completo de esta referencia al objeto" (p.23). La
psicología se dirige hacia el sujeto cognoscente y los
procesos que ocurren en él para apropiarse de un
conocimiento pero no dice nada acerca del origen y veracidad del
mismo, por tanto no resuelve el problema del
conocimiento.